北师大版数学八年级上册2.7二次根式(1)课件
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北师大版八年级数学上册 2.7.1 二次根式 课件(共23张PPT)
3
3
(3)
1 2
2 （ 4） 9
2
50
3 10
2
3、一个直角三角形的斜边长为15cm，一条直角边长为10cm，
求另一条直角边长。5 5cm
选做题（2分钟）
设 a0，b0，化简下列二次根式。
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 3222232 2 6 2
或 72 362 62 2 6 2
2 8a2b3 2•22•a2•b2•b2ab 2b
在实数范围内,负数没有平方根
二次根式
根指数为2 被开方数是非负数
例2 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
( 3 ) x2 2x 1
(4) 1
2x 5
解： x2 2x 1 (x 1)2 解：当2x 50时
当x为任意数时（x 1)2 0 即x 5，原式有意义
6 7
＝
6 7
．
4 9 ＝ 49 16 25＝ 1625
4 ＝
4
9
9
16 ＝ 16
25
25
观察上面的结果你可得出什么规律 ？
二次根式的性质
a ba•b(a0,b0)
积的算术平方根等于它们算术平方根的积。
a a(a0,b0) 注意公式中的条件 bb
商的算术平方根等于它们算术平方根的 商。
例3 化简：
（1） 8164 （2） 256
（3） 5
9
最简二次根式的定义
带根号的数的化简要求： （1）被开方数中不含分母 （2）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式；
如例3化简结果中的 5 6 5
3
例4 化简：
【教学课件】2.7二次根式 北师大版 八年级数学上册
(a 0,b 0)
问题2：请验证下列等式是否成立？
(1) 4 4 ; (2) 81 81 ; (3) 9 9
25 25
100 100
4 4
请学生总结：
a b
a b
a a bb
(a 0,b 0) 这是二次根式的除法 法则。
(a 0,b 0)
例2 计算：
(1) 3 ; (2) 4 4 ; (3) 64 (4) 2 1 1
北师大版数学八年级上册
第二章 实数 7.二次根是
二次根式概念
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
探索交流，研究发现
算一算： (1) 4 25 ______; 4 25 _____;
(2) 9 49 ______; 9 49 _____;
(3) 36 1 ______; 36 1 _____;
4
9
答案：（1）10、10 （2）21、21 （3）3、2
ห้องสมุดไป่ตู้
根据填空你能发现什么？
一般情况下，当 a 0,b 0时，ab与 a b
100
9
9
2 10
答案 : (1) 3 10
(3) 8 2 2 33
(2) 2 10 3
(4)5
回顾联系，形成结构
进行二次根式的乘除法运算，要注意必备的条件， 正确使用公式，并要能灵活地与其他有关知识联系 起来，使运算便捷。
有什么关系？
想一想 (4) (9) 4 9
北师大版八年级数学上册《2.7二次根式(第1、2课时)》课件
2 5;
2
3 12；
3 2
xy
1 ; x
4
288
1 . 72
2 5 2 5 10；
3 12 36 6；
(2) 3 12
1 1 2 xy 2 y； 3 2 xy x x
的式子叫做
例1 当x是怎样的实数时， 义？
x2
在实数范围内有意
解：由
x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
当x是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？ x ?
2
3
x为任意实数
x为大于或等于零的实数
练
习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？ 解：设其宽为2x，长为3x，则有
把
a a 反过来，就得到 b b
a a a 0, b 0 . b b
利用它可以进行二次根式的化简.
例5 化简：
1
3 ; 100
2
25 y . 2 9x
3 3 3 解： ； 1 100 10 100
25 y 5 y 25 y . 2 2 2 9x 3x 9x
2 3 2 a 2、 、 19 a
等，你发现有何特点？
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
被开方数4ab含 4，a，b这样的因 数或因式，其中4 可以开方后移到根 号外，它是开得 尽的因数
练习
1.计算：
1
解: (1)
6 5 2 30 2；
3
2.7 第1课时 二次根式的概念及性质课件+2024—2025学年北师大版数学八年级上册
(1) 50;
(2)
2
;
7
(3)
1
.
3
解:(1) 50 = 25 × 2 = 25 × 2=5 2.
(2)
(3)
2
7
1
3
=
=
2×7
7×7
1× 3
3× 3
=
=
2×7
7×7
3
.
3
=
14
.
7
探
究
与
应
用
记 概念
最简二次根式
一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因
式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.注:化简时,通常要求
结
与
检
测
(4)
3
;
8
解:(4)
(5) 2.5;
3
8
=
(5) 2.5 =
(6)
1
7
=
3×2
8×2
5
2
1× 7
7× 7
=
=
=
6
16
5×2
2×2
7
.
7
=
=
(6)
6
.
4
10
4
=
10
.
2
1
.
7
谢 谢 观 看！
2
3
,
探
究
与
应
用
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助
计算器加以验证.
6 × 7与 6 × 7,
解:相等.验证略.
6
6
与 .
7
7
探
究
(2)
2
;
7
(3)
1
.
3
解:(1) 50 = 25 × 2 = 25 × 2=5 2.
(2)
(3)
2
7
1
3
=
=
2×7
7×7
1× 3
3× 3
=
=
2×7
7×7
3
.
3
=
14
.
7
探
究
与
应
用
记 概念
最简二次根式
一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因
式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.注:化简时,通常要求
结
与
检
测
(4)
3
;
8
解:(4)
(5) 2.5;
3
8
=
(5) 2.5 =
(6)
1
7
=
3×2
8×2
5
2
1× 7
7× 7
=
=
=
6
16
5×2
2×2
7
.
7
=
=
(6)
6
.
4
10
4
=
10
.
2
1
.
7
谢 谢 观 看！
2
3
,
探
究
与
应
用
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助
计算器加以验证.
6 × 7与 6 × 7,
解:相等.验证略.
6
6
与 .
7
7
探
究
2024八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题课件新版北师大版
5. [2024永州一中期末]化简｜ a －3｜＋( − )2的结果是
(
D
)
A. 0
B. 6
C. 2 a －6
D. 6－2 a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点2二次根式的性质
·
6. (1) ＝
(2)
＝
1
2
3
( a ≥0， b ≥0)；
( a ≥0， b ＞0).
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 下列各式的化简正确的是(
C
)
A. (−) × (−) ＝ − × − ＝(－2)×(－7)＝14
B. ＝ + ＝ × ＝5
C.
＝
＝
＝
D. . ＝
1
2
＝
3
4
5
6
7
8
9
10
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化
成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2 × ＝( )2＋( )2＋2× ×
＝( ＋ )2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2 × ＝12＋( )2＋2×1× ＝
(1＋ )2.
1
2
3
4
5
6
7
北师大版八年级数学上册课件：2.7 二次根式 (共42张PPT)
aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，
北师大版八年级数学上2.7二次根式(第1课时)课件(共12张PPT)
a a（a≥0， b＞0）． bb （2）最简二次根式
（3）理解本节课中用过的数学方法： 类比，找规律，归纳总结．
a a （a≥0， b＞0）． bb
其中字母a、b可以是什么数？
有什么限制条件吗？
注意公式里的条件噢！
例1 化简 （1） （2） （3）
72
；
56
；
5
。
3
通过上例中的化简，我们发现：被开方数 不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫做最简二次根式.
化简解决的分母中不含有根号，我们把这 种运算叫分母有理化，而对整个二次根式来 说，我们要求计算结果必须是最简二次根式.
第二章 实数
二次根式（第1课时）
目录
Contents
01 明析概念
02 探究性质
03 知识巩固
04 知识拓展
05 课堂小结
问题 ： （其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 共同特征：都含有开方运算，并且被开方数都
是非负数。
一般地，形如 a(a0) 的式子叫做二次根式。
a叫做被开方数．
议一议
（1）你怎么发现 5 0 含有开得尽方的因数的？ 你怎么判断 14 是最简二次根式的？
7
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪 些经验与体会，与同伴交流。
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/ 6/30202 1/6/30 Wednes day, June 30, 2021
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7 ＝ 6.480 ；
6 ＝ 0.9255 ， 7
6 ＝ 0.9255 ． 7
有何发现：
6 7 ＝
67，
6
（3）理解本节课中用过的数学方法： 类比，找规律，归纳总结．
a a （a≥0， b＞0）． bb
其中字母a、b可以是什么数？
有什么限制条件吗？
注意公式里的条件噢！
例1 化简 （1） （2） （3）
72
；
56
；
5
。
3
通过上例中的化简，我们发现：被开方数 不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫做最简二次根式.
化简解决的分母中不含有根号，我们把这 种运算叫分母有理化，而对整个二次根式来 说，我们要求计算结果必须是最简二次根式.
第二章 实数
二次根式（第1课时）
目录
Contents
01 明析概念
02 探究性质
03 知识巩固
04 知识拓展
05 课堂小结
问题 ： （其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 共同特征：都含有开方运算，并且被开方数都
是非负数。
一般地，形如 a(a0) 的式子叫做二次根式。
a叫做被开方数．
议一议
（1）你怎么发现 5 0 含有开得尽方的因数的？ 你怎么判断 14 是最简二次根式的？
7
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪 些经验与体会，与同伴交流。
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/ 6/30202 1/6/30 Wednes day, June 30, 2021
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7 ＝ 6.480 ；
6 ＝ 0.9255 ， 7
6 ＝ 0.9255 ． 7
有何发现：
6 7 ＝
67，
6
八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题pptx课件新版北师大版
其中首先错误的一步是( C )
A. 第一步
B. 第二步
C. 第三步
D. 第四步
【点拨】
因为－3 ＝－ × ＝－ ，所以首先错误的
一步是第三步.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. [母题教材P43习题T2] 若直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为
8
9
10
11
12
13
14
15
(1)第7行，第2列上的数是
4
；
(2)我们规定一个二次根式落在第 a 行，第 b 列，可记作
( a ， b )，如 落在第2行，第4列，记作(2，4)，则
可记作
1
2
3
4
(406，5)
.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示.
( D )
A. 3 cm
B. 3 cm
C. 12 cm
D. 2 cm
【点拨】
由勾股定理，得直角三角形的斜边长＝
( ) ＋( ) ＝2 (cm).
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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12
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14
15
11. 已知 ＝ a ， ＝ b ，则 . 等于(
−
＋
B.
A.
A. 第一步
B. 第二步
C. 第三步
D. 第四步
【点拨】
因为－3 ＝－ × ＝－ ，所以首先错误的
一步是第三步.
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10. [母题教材P43习题T2] 若直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为
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(1)第7行，第2列上的数是
4
；
(2)我们规定一个二次根式落在第 a 行，第 b 列，可记作
( a ， b )，如 落在第2行，第4列，记作(2，4)，则
可记作
1
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(406，5)
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14. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示.
( D )
A. 3 cm
B. 3 cm
C. 12 cm
D. 2 cm
【点拨】
由勾股定理，得直角三角形的斜边长＝
( ) ＋( ) ＝2 (cm).
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11. 已知 ＝ a ， ＝ b ，则 . 等于(
−
＋
B.
A.
北师大版八年级上册课件 第二章2.7.2二次根式(共21张PPT)
〔3〕、原式 2 5 3 5 1 5 6 5
5
5
〔4〕、原式 1 2 5 2 4 2 28 5
3
3
〔5〕、原式 6 1 6 1 6 6 5 6
23
6
2. 计算
，结果正确的选项是〔B
〕
3. 计算： 解：
4.一个直角三角形的两直角边分别是 5 cm和 45
cm，求这个三角形的面积。
〔2〕公式 a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）
bb
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
提高题： x 2 3, y 2 3,
求x2 xy y 2
解： x 2 3, y 2 3, x y (2 3) （2 3） 2 3
xy (2 3)（2 3） 1
第二章 实数
§2.7.2 二次根式
第2课时
学习目标〔1分钟〕：
1.公式 a b a b〔a≥0，b≥0〕，
a a 〔a≥0,b＞0〕从右往左的运用． bb
2.了解二次根式的化简要求， 利用化简对实数进行简单的乘除、加减运算．
知识回忆
〔1〕被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因 数、因式，那么需要化简；
5.一个长方形的长和宽分别是 2 1 cm和 2 1
cm。求它的面积S和它的对角线长。〔运用平方差公式〕
〔2〕两个公式
分别把下面两个式子 ab a b (a 0，b 0)， a a (a 0，b 0) bb
等号的左边与右边对换 ，就得到二次根式的乘 法法则和除法法则 :
自学指导1：5分钟
自学课本P44的例题3；进一步熟悉公式，并解答下题
例1Байду номын сангаас计算：
解：
北师大版数学八年级上册二次根式第1课时二次根式(一)课件
须满足：含有二次根号“
”；被开方数a必须是__非__负__数___.
对点范例 1. 下列各式中，不是二次根式的是( B )
知识重点 知识点二：二次根式的性质
=_________（a≥0，b≥0）；
=_________（a≥0，b＞0）.
对点范例 2. 计算：
36
4
9
知识重点 知识点三：最简二次根式 一般地，被开方数不含___分__母____，也不含能__开__得__尽__方____的因数 或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
典例精析 【例5】化简： （1）
思路点拨：利用二次根式的性质正确化简即可.
举一反三 5. 化简: （1）
谢谢
对点范例 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ D ）
Байду номын сангаас
课堂演练 典例精析 【例1】下列式子中，二次根式有（ B ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
思路点拨：根据二次根式的定义判断即可.
D. 5个
举一反三 1. 下列各式中，不属于二次根式的是（ B ）
典例精析 【例2】要使代数式 _________.
有意义，则x的取值范围是 x＞1
思路点拨：二次根式的被开方数必须是非负数；如果是分数， 注意分母不能为0.
举一反三
2. 若式子 )B A. x≠2 C. x≤2
在实数范围内有意义，则x的取值范围是(
B. x≥2 D. x≠-2
典例精析 【例3】下列各式计算正确的是（ D ）
思路点拨：利用二次根式的性质正确计算即可.
举一反三 3. 下列各式的化简：
y≥0），其中正确的是（ B ）
A. ①②
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A
3、如果+=0，则ab=___。
-5
4、观察下列各式；
1+ 1 = 2 3 3+ 1 = 4 5 1 3 1 5 2+ 1 = 3 4 4+ 1 = 5 6 1 4 1 6
请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式 1 表示出来。 n+ n+2
=
(n+1)
1 n+2
收获
a (a≥0) 形如的式子叫做二次根式。 被开方数是，根指数是。 a
2
ab = a立的条件是（a≥0，b＞0） b b
最简二次根式：①被开方数不含分母； ②被开方数不含小数； ③被开方数不含开得尽方的因数或因式。
组卷网
化简结果要求： ①分母不含根号； ②根式是最简二次根式。
a (a≥0) 形如的式子叫做二次根式。 被开方数是，根指数是。 a
2
③，⑤ 下列式子中，二次根式有(填序号)
① 35 ② -8 ③ x2
④ x+1
⑤ 0.24
（ a≥ 0， b≥ 0 ） ab = a . b 成立的条件是 a a = 成立的条件是 （a≥0，b＞0） b b
1、化简
9×196
3.5 = 1+ 2 = 5 3 2 = 7 = 2 7 5 = 7× 2 2× 2 = 7× 5 = 5× 5 3 2 = 2 14
4
=
=
14 2 35 5
35
25
3× 2
2× 2
化简结果要求： ①分母不含根号； ②根式是最简二次根式。
1、下列二次根式中,是最简二次根式的是（） C A.B.C.D. 2、若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0 B．1 C．－1 D．－4 5x2
2.7二次根式（1）
问题导入
学校有一块形状为正方形的花圃，你知道 它的边长是多少吗？ 边长为： 8 面积8
9 像，，，等式子， 8 3.6 16 有什么共同特点呢？ 8 能进行化简吗？ a (a=5)
自主学习
学习目标：
请同学们自学P41-42页的内容：
1、二次根式及被开方数，根指数的概念 （p41第二自然段） 2、二次根式的性质及成立的条件 （p41最后一自然段） 3、最简二次根式及化简方法（p42）
2.5×0.9
= 9 × 196 =3×14=42
= =
6
0.25×9
=0.5×3=1.5
6 25 2、能使式子
x
6 = 5 25
x
X2+1
=
X2+1
成立的条件是().
C
A、x≠0B、x≥0C、x＞0D、x为任何实数
最简二次根式：①被开方数不含分母； ②被开方数不含小数； ③被开方数不含开得尽方的因数或因式。 1、化简： 98 = 49×2 = 7 2 8 = 4× 2 = 2 2