复变1-习题课

(其中 − y π π < arctan < ) 2 x 2
x > 0,
x = 0, y ≠ 0, x < 0, y ≠ 0, x < 0, y = 0.
10
（3）三角表示法 ）
x = r cosθ , 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sinθ ,
复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) （4）指数表示法 ） 利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. y
z = x + iy
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x , y ) 表示.
y
⋅ ( x, y)
o
x
x
7
（2）向量表示法
23
简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成 任意一条简单闭曲线 将复平面唯一地分成 三个互不相交的点集. 三个互不相交的点集 (9) 光滑曲线
如果在 a ≤ t ≤ b 上, x′( t ) 和 y′( t ) 都是连续的, ′( t )]2 + [ y′( t )]2 ≠ 0, 那末 且对于 t 的每一个值 , 有 [ x 称这曲线为光滑的 .
z2 = r2 (cosθ 2 + i sinθ 2） ,
则有
z1 ⋅ z2 = r ⋅ r2[cos(θ1 +θ2 ) + i sin(θ1 +θ2 )] 1 Arg(z1z2 ) = Argz1 + Argz2.
12
几何意义
r r 从几何上看, 从几何上看 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 , r z 先把 z1 按逆时针方向 y 旋转一个角 θ 2 ,
因而有
z = z ,
n n
Arg z n = n Arg z .
15
(b)棣莫佛公式 (b)棣莫佛公式
(cosθ + i sinθ ) = cos nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ + i sin nθ .
n
(c) 计 方 wn = z 的 w, 其 z 为 知 数 算 程 根 中 已 复 .
θ + 2kπ θ + 2kπ w = z = r cos + i sin n n ( k = 0,1,2,L, n − 1)
4
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ,
1) 两复数的和 z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 ± y2 ). 2) 两复数的积 z1 ⋅ z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x2 y1 + x1 y2 ). 3)两复数的商 两复数的商 z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 . = +i 2 2 2 2 z2 x 2 + y2 x 2 + y2
再把它的模扩大到 r2 倍, r 所得向量 z 就表示积 z1 ⋅ z2 .
r
r1 r2
o
z1
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. 复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
13
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差
5
4)共轭复数 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数. 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为 z , 若 z = x + iy , 则 z = x − iy . 共轭复数的性质
(1) z1 ± z2 = z1 ± z2 ; z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ;
20
(3) 开集 内每一点都是它的内点,那末G 如果 G 内每一点都是它的内点,那末 称为 开集. 开集. (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称 如果平面点集 满足以下两个条件, 满足以下两个条件 它为一个区域. 它为一个区域. (a) D是一个开集； 是一个开集 是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全 是连通的, 中任何两点都可以用完全 属于D的一条折线连结起来 的一条折线连结起来. 属于 的一条折线连结起来
21
边界点、 (5) 边界点、边界 是复平面内的一个区域, 设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属 是复平面内的一个区域 的任意小的邻域内总有D中的点 中的点,这 于D, 但在P 的任意小的邻域内总有 中的点 这 点我们称为D的边界点. 样的P点我们称为 的边界点 D的所有边界点组成 的边界. 的所有边界点组成D的边界. 的所有边界点组成 (6) 闭区域 区域 与它的边界一起构成闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域 与它的边界一起构成闭区域. (7)有界区域和无界区域 (7)有界区域和无界区域 如果一个区域 D 可以被包含在一个以原 点
z1 z1 = ; z2 z2
( 2) z = z; ( 3) z ⋅ z = [Re( z )]2 + [Im( z )]2 ; (4) z + z = 2 Re( z ), z − z = 2i Im( z ).
6
3.复数的其它表示法 3.复数的其它表示法
（1）几何表示法 复数 z = x + iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一
(b ) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞ , (α ≠ ∞ ) (c ) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅ α = ∞ , (α ≠ 0) α α ∞ (d ) 除法 : = 0, = ∞ , (α ≠ ∞ ), = ∞ , (α ≠ 0) α 0 ∞
19
6.曲线与区域 曲线与区域
（1）邻域 平面上以 z0 为中心, δ (任意的正数 )为半径
我们称 N 为北极 , S 为南极 .
x
S O
P
y
17
复球面的定义 球面上的点, 球面上的点 除去北极 N 外, 与复平面内 的点之间存在着一一对应的关系. 的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用 球面上的点来表示复数. 球面上的点来表示复数 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与 我们规定 复数中有一个唯一的“无穷大” 复平面上的无穷远点相对应, 记作. 复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 就是复数无穷大的几何表示 球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应, 这样的球面称为复球面 复球面. 对应 这样的球面称为复球面
为中心的圆里面 , 即存在 M > 0, 使区域的每一个 点都满足 z < M , 那末 D 称为有界的, 否则称为无 界的.
22
(8) 简单曲线 设C : z = z ( t ) ( a ≤ t ≤ b ) 为一条连续曲线 ,
z (a ) 与 z (b ) 分别称为 C 的起点和终点 . 对于满足 a < t1 < b, a ≤ t 2 ≤ b 的 t1 与 t 2 , 当 t1 ≠ t 2 而有 z ( t1 ) = z ( t 2 ) 时, 点 z ( t1 ) 称为曲线 C 的重点. 称为简单曲线( 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线). 当曲线). 如果简单曲线 C 的起点和终点重合 , 即 z (a ) = z (b ) , 那末称 C 为简单闭曲线 .
iθ 2
14
2) 幂与根 (a) n次幂 次幂: 次幂 n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂 ,
记作 z ,
n
z n = 1z24z . z ⋅ ⋅ L3 4 ⋅
n个
对于任何正整数 n, 有 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ).
n 为负整数时 , 有z
−n
1 = n. z
若
z1 = r1 (cosθ 1 + i sinθ 1） , z2 = r2 (cosθ 2 + i sinθ 2） ,
z2 z2 z2 = , Arg = Argz2 − Argz1 . z1 z1 z1
则有
设复数z1和z2的指数形式分别为
z1 = r1e ,
iθ 1
z2 r2 i (θ 2 −θ1 ) . z2 = r2e , 则 = e z1 r1
18
(2) 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 或简称复平面. 来说, 实部,虚部 虚部,辐角等概念均无意 对于复数 来说 实部 虚部 辐角等概念均无意 它的模规定为正无穷大. 义, 它的模规定为正无穷大 关于 ∞ 的四则运算规定如下 : (a ) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞ , (α ≠ ∞ )
对于任意两实数 x , y , 我们称 z = x + yi 或 z = x + iy 为复数 .
其中 x , y 分别称为 z 的实部和虚部 , 记作 x = Re( z ), y = Im( z ).
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数; 当 y = 0 时, z = x + 0i , 我们把它看作实数 x . 当 x = 0, y = 0时, z = 0.
的圆 : z − z0 < δ 内部的点的集合称为 z0 的邻域 . 不等式 0 < z − z0 < δ 所确定的点的集合称为 z0 的去心邻域 . （2）内点 设 G 为一平面点集 , z0 为 G 中任意一点 . 如果