第一章复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答
1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数)
(1)1-; (2)
ππ2(cos
isin )33-; (3)1cos isin αα-+;
(4)1i
e +; (5)i sin R e θ
; (6)i +
答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为
4π
2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π
3;
原题即为代数形式;三角形式为
4π4π2(cos
isin )33+;指数形式为4π
i 32e .
(2)略为 5π
i 3
5π5π
2[cos sin ], 233i e +
(3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα
(4)略为 i
;(cos1isin1)ee e +
(5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+
(6)该复数取两个值
略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ
θθθθθθ+=+=+
1.2 计算下列复数 1)()
10
3
i 1+-;2)()3
1i 1+-;
答案 1)3512i 512+-;2)
()13π/42k π
i
6
3
2e 0,1,2k +=;
1.3计算下列复数
(1 (2
答案 (1)
(2)(/62/3)
i n e
ππ+
1.4 已知x 的实部和虚部.
【解】
令
i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到
2
2
12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以
22
1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+
即实部为 ,x ±
虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值.
1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有|
|1
az b
bz a +=+
【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以
1()
()1|||||
|||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++
1.6 如果复数b a i +是实系数方程
()011
10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根.
证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()()
k
k
z z =,
故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 ()(
)
00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根.
注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点.
1.7 证明:
2222
121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值.
【解】 因为 22
2
2
44444444
(1)2(cos sin )2(cos sin )
(1)2(cos sin )2(cos sin )n n
n n n n n n n
n
n n i i i i i i πππππππ
π+=+=+-=-=-
所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π
=所以
4
,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±
1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 (1) cos5θ; (2)sin5θ
答案 53244235
(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ
θθθθθ-+-+
1.10 证明:如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根,但是1≠w 即不是主根,则必有
2110n -+++
+=w w w
1.11 对于复数,k k αβ,证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:
2
2
2
2
1
1
1
1
||(||||)||
||n n n
n
k k k k k k
k k k k αβαβαβ
====≤≤∑∑∑∑ 成立。
【证明】 对任意n 个复数,由三角不等式知
1
1
||||||
n n
k k k k k k αβαβ==≤∑∑
再由关于实数的柯西不等式得
2
2
2
2
1
1
1
1
||(||||)||
||n n n
n
k k k k k k
k k k k αβαβαβ
====≤≤∑∑∑∑,证毕。
1.12证明
1sin()sin
22cos cos 2cos3cos ;2sin
2n n θθθθθθθ+-+++
+=
1cos
cos()22sin sin 2sin 3sin 2sin
2
n n θ
θθθθθθ
-+++++=
成立.
1.13 下列不等式在复数平面上表示怎样的点集? 1)()1Re 0< 320<- 5) 2 1 1 <+-z z (答 1)平面上由0=x 与1=x 所构成的宽度为1的铅直带形域;2)以0z 为心,内半径为 2,外半径为3的圆环域;3)顶点在原点,开度为()01??-的角形区域;4)宽度为π 的说平带形域,边界为0=y ,π=y ;5)以035z =- 为心, 34= R 为半径的圆之外部区域) 1.14 指出下列关系表示的点之轨迹或范围;并说明是何种点集? 1)()πarg i 4z -= 2) 522=++-z z 解 1)令y x z i +=,由 ()πarg i 4z -= 知 ()()???>-=->=-01i Im 0i Re y z x z 且1πarctan 4y x -= 即 ?? ?>+=01 x x y 这样的点为z 平面上从点i 0=z 出发(但不含0z 点)与实轴倾角为π 4的射线.此射线所 形成的点集既非开集,也非闭集. 2)设y x z i +=,则原条件即为 ()2102252522 2 2 +-++=+-=-z z z z 即 21025222 2+=-+--z z z 由模的定义得 ()()2222100441002100258y x x z x +++=+=+ 化简得 1 23252 22 2 =?? ? ??+ ? ? ? ??y x 这是一椭圆,长半轴为25,短半轴为23 ,中心在原点,它是有界闭集(全部为边界点). 1.15描述下列不等式所确定的点集,并指出是区域还是闭区域,有界还是无界,单连通还是多(或复)连通. (1) 2i 3z ≤-≤ (2)()2i Re ≥z (3)1 23 >--z z (4) ()1arg 1πz -<<-+ (5)121+<-z z (6)521≤++-z z (7)122>+--z z (8)1i i ≤-+z z z z 解 (1)是以i 为圆心、在以2为半径的圆外,3为半径的圆内的圆环,是有界闭区域、 多连通.(图形略) (2)即2-≤y 是下半平面,无界单连通闭区域. (3)z 到3的距离比z 到2的距离大,因此,它是左半平面21 2 点,是无界的多连通的区域. (4)在直线kx y =的上方,其中1tan -=k .无界单连通区域 (5)即()()()() 11411++<--z z z z 03553>+++z z z z 或0 135 222>+++x y x 916352 2 > +??? ? ?+y x 是无界多连通区域 (6)此不等是焦点在1=z 和2-=z 初,长半轴为5/2的椭圆内部,为有界单连通闭区域). (7)这是半支双曲线:117442 2 >-y x , ??? ??-<21x 部分是无界单连通区域. (8)不等式即1222≤-+y y x ,或 ()012 2 ≤-+y x ,只有当0=x ,1=y 成立,因此,只代表复平面上一个点i =z . 1.16已知映射 1 z = w ,求 (1) 圆周的象; (2)直线y x =的象; (3)区域1x >的象. 答案 (1) ||211|||||2z z == =w ,为圆周 ( 2)直线 111i 11 ,,,(1i)22u u z x x x x -====∴=-+-w v =v 2 (3) 先看直线 x=1的象, 22 222 11i 1,,1i 111y y u u u y y y y --= =∴==∴+=++++w v v 而 z =0 的象=∞w 在圆的外部,因此1x >的象是圆的内部即为22 u u + 1.17讨论下列函数在指定点的极限存在性,若存在求出其值,并判断在该点的连续性. 1)()2 i 2y x z f +=,i 20=z 2) ()???? ??-=z z z z z f i 21,00=z 解 1)()()()y x v y x u z f ,i ,+=,000i y x z += 则()x y x u 2,=,()2 ,y y x v =,()()2,0,00=y x , ()() ()()()()()()()()???? ?====→→→→4lim ,lim 02lim ,lim 22,0,2,0,2,0,2,0,y y x v x y x u y x y x y x y x ()i 4i 40lim 0 =+=∴→z f z z 又注意 ()()()i 4,i ,00000=+=y x v y x u z f ()()i 4lim 00 ==∴→z f z f z z 即()2 i 2y x z f +=在点i 20=z 处极限存在且连续. 2)设y x z i +=,则 ()()()y x v y x u y x xy y x xy z z z z z f ,i ,2i 4i 21i 212222+=+=+=???? ??-= 显然,()0,≡y x v 在()0,0点极限存在且连续. 但注意 ()() 2 20,0,2 lim y x xy y x +→不存在,事实上,令 kx y =,有 220 0220 01212lim 2 lim k k k k y x xy kx y x kx y x +=+=+→=→→=→,对不同k 值有不同结果,故知 ()() 2 20,0,2 lim y x xy y x +→不存在. 所以, ?? ?? ??-→z z z z z i 21lim 0不存在.由连续与极限的关系知()z f 在0=z 处极限不存在、不连续. 注 这两个问题均通过极限存在的充要条件将问题转化为两个二元实函数在对应点 ()00,y x 处极限存在性的判断问题,这是最常用的方法.在问题1)中,又根据连徐的另一 等价定义()() 00 lim z f z f z z =→,立即得到()z f 在i 20=z 处不仅极限存在,而且在该点连续的 结论;在2)中,()z f 实际上是一复变量实值函数,即()0,≡y x v ,所以由充要条件只需判 断一个二元实函数 ()22,y x xy y x u += 在()0,0点的极限存在性.由该二元实函数在()0,0点极 限不存在即得()z f 在0=z 处极限的不存在性. 1.18 若函数()f z 在点000i z x y =+点连续,证明 (1)()f z 在该点连续; (2)|()|f z 的模在该点连续. 本章计算机编程实践与思考 (说明:读者可参考第五部分 计算机仿真编程实践) 1.19 使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic 计算机仿真求解下列复数的实部、虚部;共轭复数;模与辐角; 717 3i 1(23i)(34i)(1)i ; (2) ; (3) ; (4) i i 4i 1i 23i 2i +--+ +-++ 1.20 计算机仿真计算: 1163 6 1i (1) (3i); (2) (1i); (3) (1i); (4) (1)13i -+?+--+ 1.21 计算机仿真求解方程 3 80z += 1.22 计算机仿真编程实践: 若 (1,2,,)l z l n =???对应为10n z -=的根,其中2n ≥且取整数.试用计算机仿真编程验 证下列数学恒等式 1 1() 1 0,() n n k k m m m k z z ==≠=-∑ ∏成立. 1.23 用计算机编程实践方法(Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C++)实现: (1)绘出单位圆及其内接正十七边形; (2)计算机编程求出边长; (3)能否对多变形进行推广,得出相应的计算机仿真计算方法. 1.24 计算机仿真编程验证 对复平面任意两个以上的不重合的有限远点,k m Z Z ,(即保证分母不为零),恒等式 1 11 0() N N k k m m m k Z Z ==≠=-∑ ∏ 是否还成立呢? 注意式中自然数2N ≥,而m, k 为1至N 的整数. (提示:利用随机函数产生随机数k N ,从而验证恒等式是否成立) 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则2 2z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 22 2=- (C )z z z z 22 2≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为 i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i --43 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44--(B )i 44+(C )i 44-(D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i -(C )等于0(D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续(B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13 一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( ) A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4.关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( ) A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 .在下列复数中,使得z e i =成立的是( ) 8.已知3 1z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分 ||342z dz z =-??的值为( ) A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于( ) A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11.以下关于级数的命题不正确的是( ) A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上,条件收敛 12.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的( ) A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 第二章 解析函数 1.用导数定义,求下列函数的导数: (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在;当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2.下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-,当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续,故2().f z z z =?仅在0z =处可导,处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3.确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 321+- (D )i 2 1 23+- 3.复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ) )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i -- 4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无 界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( ) 《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页) XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。) 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0= z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=?dz z z C n ,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ,则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 i (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 0) Im()Im(z z -) 1 1.设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π = -=i z z ,则=z 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数(A) 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空(每题3分, 2. 共30分) 1.= 2.=0是函数的 (说出类型,如果是极点,则要说明阶数) 3. ,则= 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8.设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线,则 9.函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10. 二.判断题(每题3分,共30分) 1.在解析。【】 2.在点可微,则在解析。【】 3.是周期函数。【】 4.每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5.设级数收敛,而发散,则的收敛半径为1。【】 6.能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7.为大于1的正整数, 成立。【】 8.如果函数在解析,那末映射在具有保角性。【】 9.如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10.。【】三.(8分)为调和函数,求的值,并求出解析函数。 四.(8分)求在圆环域和内的洛朗展开式。 五.(8分)计算积分。 六.(8分)设,其中C为圆周的正向,求。 七.(8分)求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ; 2. 三级极点; 3. ; 4. 0 ; 5. 0 ; 6. ; 7. ; 8. 0; 9. 0 ;10. 。 二.判断1.错;2.错;3.正确; 4. 错;5.正确;6.错; 7.错;8. 错;9. 正确;10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ;2. 三级极点;3. ; 4. 0 ;5. 0 ;6. ;7. ;8. 0 ; 9. 0 ; 10. 0。 二.判断1.错;2.错;3.正确;4. 错;5.正确;6.错;7.错;8. 错;9. 正确;10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ,故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ,故 , 所以。 则 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 1.3计算下列复数 (1 (2 答案 (1) (2)(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部. 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 1.7 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 第一套 第一套 一、选择题(每小题3分,共21分) 1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。 A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?( ) 。 A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的( )。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。 A. 22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. k s 1 . 二、填空题(每小题3分,共18分) 1. 23 (1)i += [1] ; ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点) ,(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为 i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3)2(π =+z arc ,6 5)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2123+- 3.复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点) ,(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转3 π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得22z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +-43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A )22 1=+-z z (B )433=--+z z (C ))1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) 一、填空题(每小题2分) 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z (z <1) B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z (z <1) D () ∑∞ =-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 复变函数与积分变换试题与答案 1.(5)复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.(6)请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域,并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.(9)讨论函数2 2i =的可导性,并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外,函数) f在可导点解析吗?是或否请说明 (z 理由。 4.(7)已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=,求函数 v u z f i )(+=的表达式,并使0)0(=f 。 5.(6×2)计算积分: (1)?+-C n z z z 1 0) (d , 其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数; (2)?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.(5×2)分别在圆环 (1)1||0< 7.(12)求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.(7)分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。 9.(6分)求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.(5×2)(1)己知 F )()]([ωF t f =,求函数)52(-t f 的傅里叶变换; (2)求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。 湖南科技学院二○○ 年 学期期末考试 专业 年级 试题 考试类型:闭卷 试卷类型:D 卷 考试时量: 120 分钟 一(共7分,每小题1分) 1.nLnz Lnz n =(n 为正整数) ( ) 2.),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,则在区域D 内),(y x u 是),(y x v 的共轭调 函数。 ( ) 3.函数在可去奇点处的留数为0。 ( ) 4.0是2sin )(z z z f = 的一阶极点。 ( ) 5.复数0的辐角主值为0。 ( ) 6.在复变函数中,0cos ,0sin ,1|cos |,1|sin |2 2 ≥≥≤≤z z z z 同样成立。 ( ) 7.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是其解析区域内的调 和函数。 ( ) 二 、填空题(共28分,每小题4分) 1. i i -1=_________. 2.? =-2 |1|2 z z dz = 。 3. dz z c ?=__________。 (其中c 是从1到的直线段) 4.幂级数n n n z n ∑ +∞ =1 的收敛半径R = 5.0为 )1()(2-=z e z z f 的 阶零点。 6.2 ||2(1)(3)z dz z z =--?=____________ 7. )1(Re z z s z +∞== 。 8.1z =+arg z =_______________。 三 、计算题(共39分) 1. 已知),(),()(y x iv y x u z f +=在z 平面上是解析函数,且2 33),(xy x y x u -=,求解)(z f , 使得i f 2)0(=。(12分) 2. 求 ) 1(1 -z z 在10< 一.填空题(每小题3分,共计15分) 1. 2 31i -的幅角是( 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ) ; 2.)1(i Ln +-的主值是( i 4 32ln 21π + ); 3. 2 11)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ), 4.0=z 是 4 sin z z z -的( 一级 )极点; 5. z z f 1 )(=,=∞]),([Re z f s (-1 ); 二.选择题(每题4分,共24分) 1.解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为(B ) ; (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C ) y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(. 2.C 是正向圆周 3=z ,如果函数=)(z f ( D ) ,则0d )(=?C z z f . (A ) 23-z ; (B )2 ) 1(3--z z ; (C ) 2)2()1(3--z z ; (D ) 2 )2(3 -z . 3.如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛,则级数在(C ) (A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C ) i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散. 4.下列结论正确的是( B ) (A )如果函数 )(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析,则 0)(=? C dz z f (C )如果0)(=? C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析; (D )函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v复变函数试题与答案
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