概率论 第三讲 古典概率计算(二)
概率论与数理统计-古典概型
{12 ,13,14 ,15 ,23,24 ,25 ,34 ,35 ,45}, A {12 ,13 ,23},
从而，
P( A) 3 0.3. 10
表达方法：
样本空间中基本事件总数： N
设 Ak 表示第k 次取得次品，则 Ak 包含的基本事件
总数为: M PNk11 M (N 1)(N 2)(N k 1),
于是，P( Ak
)
M
P k 1 N 1
PNk
M N
(N (N
1)( N 1)( N
2)(N 2)(N
k k
1) 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
M N
.
P(Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的.
定义 假设试验的样本空间 包含无穷多个基本
事件，其总量可用某种几何特征进行度量；事件A包含 的基本事件可用同样的几何特征度量. 事件A的概率定 义为：
P( A) A的的度度量量.
29876 10 9 8 7 6
1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有N 件,其中有M 件次品.每次从
《古典概率的计算》PPT课件
1 333 250 83 1 500 3
2000
2000 4
小 结:
1、古典概型是重要的概率模型
2、古典概率计算公式为
P( A)
A包含的基本事件数 S中基本事件的总数
k n
3、古典概率计算重点是计数问题，排列组合是重要 的计数工具。
4、加法公式 P( A B) P( A) P(B) P( AB) 是计算概率的有效公式
能被 8 整除的整数为：
8, 16, …, 2000 共250个 P(B) 250 2000
“既被 6 整除又被 8 整除”即“能被 24 整除”的
24, 48, …,1992 共83个 P( AB) 83 2000
于是所求的概率为：
p 1 [P( A) P(B) P( AB)]
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的 事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之 为实际推断原理）。现在概率很小的事件在 一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不 是每天都接待来访者，即认为其接待时间是 有规定的。
例5 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取 到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的 概率是多少？ 解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”
ab 2） 无放回抽样
在a+b个球中依次取出 k 个球的取法为 Aak b
第 i 人取得黑球取法为 b
其余的k-1个球的取法为
Aak
1 b
1
“第 i 人取出的球是黑球”的取法为
b
Aak
1 b
1
P
A
b
古典概率2
例1 同时掷两枚均匀硬币，分别求事件A ={两枚都出现正面}, B ={一枚出现反面} 和 C ={两枚都出现反面}的概率. 解 同时掷两枚硬币有 4 个等可能 个等可能的结果，即样本空间为 ={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)} 古典概型 又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点， 1 1 1 P ( A) ; P(B) 2 ; P (C ) . 4 4 2 4
1 2 1
从余下的4双中任取 2双
C 5C 4 C2 C 2
1 2 1 1
2 C5
2 1 1 2
C 5 C 4 C 2 C 2 C 5 13 P ( A) . 4 所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单 21 C 10
1 2
C 5 C 4 C 2 C 2 C5
1. 球编号
每个箱子只容纳一个球 N ( N 1)( N n 1) 每个箱子容纳的球数不限 N n
n 每个箱子只容纳一个球 CN 2. 球不编号 n 每个箱子容纳的球数不限 C N n1
课下可通过作业进一步掌握.
早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能 样本点的古典方法是不够的. 借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部 不过现在的“部分”和“全 分”比“全体”的方法来规定事件的概率. 几何的方法 体”所包含的样本点是无限的.
1
方法 2 A { 取的 4 只鞋子中没有成双的 }, 先从5双中任取4 双 在从这4双中各取 1只
1 1 C 4 C2 C1 C12C2 5 2
还有其它解法吗？
1 1 C 4 C2 C1 C12 C2 8 13 2 P( A) 1 P( A ) 1 5 1 . 4 21 21 C10
2020-2021学年数学北师大版必修3课件：3-2-1 古典概型的特征和概率计算公式
类型一 古典概型的判断
【例 1】 袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红 球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个 基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些 基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【思路探究】 由题目可获取以下主要信息：①袋中有大小 相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球．②每球有一个区别于其 他球的编号，现从中摸一球．解答本题可先确立概率模型以及它 是由哪些基本事件所构成，然后再判断该模型是否满足古典概型 的特点，进而确定是否为古典概型．
【解】 (1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故 共有 11 种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被 摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典 概型．
(2)因为此试验的所有基本事件共 6 个：(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古 典概型，两数之一是 2 的概率为 P＝36＝12.
类型二 基本事件的个数判断
【例 2】 一个口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白 球，2 个黑球，从中一次摸出 2 个球．
随机事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 的概率规定为
m
P(A)＝
n
.
[答一答] 利用古典概型计算公式求等可能事件概率的步骤是什么？
提示：第一步：“读”，即反复阅读题目，收集题目中的各 种信息；
第二步：“判”，判断试验是否为古典概型，若为古典概型， 则进行第三步；
第三步：“列”，列举出所有基本事件，并数出试验的基本 事件总数及所求事件包含的基本事件数；
《古典概型的概率计算公式》精品课件
解决上述疑问可以采用两种办法：
（1）亲自动手试验：
课前可以让学生准备好两枚骰子，在上课时让学生分组动手试验并分析试验结果
也可以让学生列表分析：
探究新知
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ZHONGSHUXUE
（2）计算机随机模拟.
教师可以用计算机软件给学生进行模拟演示.
结合前面自主探究中的经验分析：抛掷两枚均匀的骰子，其样本空间共有36个样本点，
上，让学生知道并不是所有的试验都是古典概型，通过思考交流这三个问题，让
学生清楚古典概型必须满足两个特征：有限性和等可能性.第3个问题学生容易出
错，可以通过用列表分析的方法理解每个样本点的出现是否具有等可能性，也可
通过模拟方法进行探究.
典例剖析
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
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概型的概率计
算公式
导入新课
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问题1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号为0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9的小球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个小球，观察这个
小球的号码.这个随机试验共有多少种可能的结果？这些结果出现的可能性相等吗？
对于一个随机事件A，我们经常用一个数()(0 ⩽ () ⩽ 1)来表示该事件发生的可能
性的大小，这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小，
是对随机事件统计规律性的数量刻画.
2.古典概型的概念和概率计算公式.
一般地，若试验E具有如下特征：
（1）有限性：试验E的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间；
概率论课件之古典概率
分别就上面两种方式求：
1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
第一章 概率论的基本概念
例3 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。 从袋中取球两次。 解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
例5. 从52张牌中抽出13张，求 （1）全是红桃的概率； （2）各4-4-4-1张的概率.
解：
1 P ( A1 ) 13 C52
4 4 4 1 C13 C13 C13 C13 P ( A2 ) 13 C52
第一章 概率论的基本概念
例6. 20个黑白棋子，随机抽出10个，求 （1）10个一色（2）9个一色（3）8个一色 （4） 7个一色（5）6个一色（6）5个一色 的概率。 解：
3
P Ai Aj An
1 n!
1 1 n 1 1 P B P A1 A2 An 1 (1) 1 e 1 2! 3! n!
第一章 概率论的基本概念
例 9. n 个 不 可 分 辨 的 球 放 入 N 个 盒 子 中 (n N)，问没有一个盒子是空的概率是多少。 解：这是可重复的组合问题，“可重复”：盒子 可放多个球，“组合”：球不可分辨
P B P A1 A2 A3 P A1 P A1 P A1 P A1 A2 P A1 A3 P A2 A3 2 P A1 A2 A3 3
第一章 概率论的基本概念
例8：将编号为1,…,n 的n本书任意地排列 在书架上，求至少有一本书自左到右的 排列序号与它的编号相同的概率。
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一种基本且重要的概率模型。
理解古典概型的概率计算对于我们解决许多实际问题具有重要意义。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概型的概率计算方法，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义和特点古典概型是指试验中所有可能的结果都是有限的，并且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
其具有以下两个特点：1、有限性：试验的可能结果只有有限个。
2、等可能性：每个可能结果出现的概率相等。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型试验中，所有可能的结果共有 n 个，事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题解析例 1：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：袋子中球的总数为 5 ＋ 3 ＝ 8 个，红球有 5 个。
根据古典概型的概率计算公式，取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 5 ／ 8 。
例 2：抛掷一枚均匀的骰子，求掷出点数为奇数的概率。
解：抛掷一枚骰子，可能出现的点数有 1、2、3、4、5、6，共 6 种结果。
其中奇数点数为 1、3、5，共 3 种结果。
所以掷出点数为奇数的概率 P(掷出奇数) ＝ 3 ／ 6 ＝ 1 ／ 2 。
例 3：从 1、2、3、4、5 这 5 个数字中，任意抽取 2 个数字，求这2 个数字之和为 6 的概率。
解：从 5 个数字中任意抽取 2 个数字，共有 C(5, 2) ＝ 10 种组合方式。
其中和为 6 的组合有(1, 5)和(2, 4)，共 2 种。
所以概率 P(和为 6) ＝ 2 ／ 10 ＝ 1 ／ 5 。
四、常见的解题步骤1、明确试验的类型，判断是否为古典概型。
2、确定试验的所有可能结果总数 n 。
3、找出事件 A 包含的结果数 m 。
4、代入概率计算公式 P(A) ＝ m ／ n ，计算出概率。
五、易错点分析1、对试验的可能结果考虑不全面，导致计算结果错误。
古典概型概率公式
古典概型（二）教学设计姓名：***班级：1402学号：**********一、课题：人教A版必修3高中数学3.2.1古典概型二、课标要求：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数.三、教材分析：人教版：本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型，它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率准确值，同时古典概型也是后面学习其它概率的基础．在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，能解释生活中的一些问题，也有利于计算一些事件的概率，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位．本节教材主要是学习古典概型的概率公式，教学中学生已经通过生活中的实例与数学模型理解基本事件的概念和古典概型的两个特征，现在需通过具体的实例来推导古典概型下的概率公式，并通过当堂练习和典型例题加以引申，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型问题．北师大版：本节只是初步认识古典概型并归纳出概率计算公式，本节课之前并没有给出互斥事件的概率加法公式，而古典概型的概率计算公式是通过实例直接总结的.建立概率模型是在第2节中才抽象出来的，而互斥事件的概率加法公式是在第3节给出的.四、学情分析：认知分析：学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式，初步理解了古典概型，这几者形成了学生思维的“最近发展区”.能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强.五、教学目标：知识与技能：掌握古典概型的概率计算公式，体会化归的重要思想，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.过程与方法：进一步发展类比、归纳、猜想等合情推理能力；通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养应用能力.情感态度与价值观：培养勇于探索，善于发现的创新思想.树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，领会理论与实践对立统一的辨证思想.增强数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.六、教学重难点：教学重点：利用古典概型求解随机事件的概率.突破方法：反复运用概率的加法公式加强理解.教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．突破方法：利用列表和画出树状图的方式解决.七、教学理念：建构主义理论的支架式教学.建构主义的基本观点是个体通过同化与顺应两种形式来达到与周围环境的平衡；个体能用现有的图式去同化新信息时，他处于一种平衡的认知状态；而当现有图式不能同化新信息时，平衡即被破坏，而修改或创造新图式（顺应）的过程就是寻找新平衡的过程。
概率第3讲
定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为 古典概型.
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
P(A)=? P(A)=1/10 记 B={摸到红球} P(B)=?
2
1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
若三个事件两互斥，则和的概率为 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
例1.在所有的两位数10~99中任取一个数， 求这个数能被2或能被3整除的概率。
解：设A表示能被2整除，B表示能被3整除
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 45 30 15 0.667 90 90 90
P(B)=6/10
记 B={摸到红球} P(B)=6/10
静态
动态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率”
当我们要求“摸到红 球”的概率时，只要找出 它在静态时相应的比例.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由 n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则 定义事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ Ω中的样本点总数
由于将一颗骰子抛掷4次,共有 6 6 6 6 =1296种等可能结果, 而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有5 5 5 5=625种 因此
625 P( A) = =0.482 1296
P ( A) 1 P ( A ) =0.518
于是
例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率. 解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
古典概型的概率公式
古典概型的概率公式
古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它适用于具有有限的等可能结果的事件。
在这种情况下，我们可以使用古典概型的概率公式来计算事件发生的概率。
P(A)=n(A)/n(S)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中有利结果的个数，n(S)表示样本空间S中可能结果的总数。
步骤1：确定样本空间S
首先，我们需要确定事件的样本空间S，即所有可能的结果的集合。
在古典概型中，样本空间通常是有限的，且每个结果出现的概率相等。
步骤2：确定事件A中有利结果的个数n(A)
接下来，我们需要确定事件A中有利结果的个数n(A)。
有利结果是指满足事件A定义的结果。
例如，如果我们考虑掷一枚公平的六面骰子，事件A可以是“掷出一个偶数”，那么有利结果的个数n(A)就是3，因为偶数是2、4和6
步骤3：计算事件A发生的概率P(A)
最后，我们可以使用古典概型的概率公式来计算事件A发生的概率
P(A)。
概率P(A)等于有利结果的个数n(A)除以样本空间S中可能结果的总数n(S)。
这个公式可以理解为，事件A发生的概率等于事件A中每个可能结果的概率之和。
由于在古典概型中，每个结果出现的概率相等，所以我们可
以用有利结果的个数n(A)除以可能结果的总数n(S)来得到事件A发生的概率。
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所求的概率称为在事件A 发生的条件下 所求的概率称为 事件B 发生的条件概率。记为 P(B A) 记为 解 列表 木球 塑球 小计 白球 4 3 7 红球 2 1 3 小计 6 4 10
4 P(B A) = 7
kB A =4 = kAB P( AB) = nΩ A = 7 = kA P( A)
从而有
P( AB) P(B) 0.4 1 P(B A) = = = = P( A) P( A) 0.8 2
B⊂ A
例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率. 解 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”. A⊂ B B表示“2 张中至少有1张假钞”
3 2 3 （1） P( A A ) = P( A )P( A A ) = ⋅ = 2 ) = P( A A2 ∪ A A2 ) = P( A A2 ) + P( A A2 ) 1 1 1 1
2 3 3 2 3 = ⋅ + ⋅ = 5 4 5 4 5
（2）直接解更简单 P( A2 ) = 3/ 5 提问：第三次才取得一等品的概率, 是 P( A3 A A2 ) 还是 P( A A2 A3 ) ? 1 1
(3) P( A A2 A ) = P( A )P( A2 A )P( A A A2 ) 1 3 1 1 3 1
2 1 3 1 = ⋅ ⋅ = 5 4 3 10
P(B A) = 0.85 P( A∪B)
P(B) − P( AB) 解 由 P(B A) = 1− P( A) 0.93− P( AB) P( AB) = 0.862 即 0.85 = 0.08
故 P( A∪B) = P( A) + P(B) − P( AB) = 0.92 + 0.93− 0.862 = 0.988 解法二
例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的概率分 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ”出现的概 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的概率 哪个大？ 解 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ — 为事件 A 收到信号“不清” ”为事件 B2
P(Bi A), i = 0,1,2,3,4
结果如下表所示
i P( Bi ) 0 0.1 1.0 1 0.2 0.9 2 0.4 3 0.2 4 0.1
P( A Bi ) P(Bi A)
4 i=0
0.809 0.727 0.652
0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
P( A) = ∑P(Bi )P( ABi ) = 0.814
P A∪ B = P( A B) = P( A) ⋅ P(B A)
= P( A) ⋅ 1 − P ( B A) = 0.08⋅ 1− 0.85 = 0.012
(
)
[
]
P( A∪B) = 0.988
全概率公式与Bayes 公式 全概率公式与
B1 AB1 A AB2 B2
n n i=1 i=1
kAB
条件概率的计算方法
（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 （2） 其 他 概 型 用定义与有关公式
某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 例1 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为
P( A A2 ) P( A2 ) − P( A A2 ) 1 1 (4) P( A A2 ) = = 1 P( A2 ) P( A2 )
=1−
3 10 3 5
= 0.5
一般地 条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系 若 B⊂ A
P( AB) P(B) P(B A) = = ≥ P(B) P( A) P( A)
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4 则 BBj = Φ, i ≠ j, i, j = 0,1,2,3,4 i A 为一批产品通过检验 已知P( Bi )如表中所示，且 10 C100−i P( A Bi ) = 10 , i = 0,1,2,3,4 C100 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
) 则所求概率是 P(A B（而不是 P( A) ）.
2 ( AB) = P(A) = C5 /C2 P 20
所以
P(B) = (C + C C ) / C
2 5 1 5 1 15
2 20
P(A B) = P(AB) / P(B)
= C /(C + C C ) =10/ 85 = 0.118
2 5 2 20 1 5 1 15
P(Bi )P( ABi ) P(Bi A) = , i = 0,1,2,3,4 P( A)
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的 经验 得到的，它是事件 A 的原因 称 P(Bi A) i = 0,1,2,3,4 为后验概率，它是 得到了信息 — A 发生, 再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正 本例中，i 较小时，P(Bi A) ≥ P(Bi ) i 较大时，P(Bi A) ≤ P(Bi )
第三讲 古典概率的计算(二)
教学目的： 教学目的 1. 三个公式； 2.讲解古典概型的公式计算. 教学内容： 教学内容 第一章，§ 1.5、1.6、1.7。
条件概率与乘法公式 引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中 有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料球. 现从袋中任取1球, 假设每个球 被取到的可能性相同. 若已知取到的球是 白球, 问它是木球的概率是多少？ 古典概型 设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
条件概率也是概率, 故具有概率的性质： 条件概率也是概率, 故具有概率的性质： 非负性 归一性 可列可加性
P(B A) ≥ 0 P(Ω A) =1 ∞ ∞ P∪Bi A = ∑P(Bi A) i=1 i=1
P(B1 ∪B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1B2 A)
Bn ABn
∪Bi = Ω
i=1
n
Bi Bj =Φ
Ω
A = ∪ABi
i=1
n
( ABi )( ABj ) = Φ
P( A) = ∑P( ABi )= ∑P(Bi ) ⋅ P( A Bi ) 全概率公式
P( ABk ) P(Bk )P( ABk ) P(Bk A)= = n P( A) ∑P(Bi )P( ABi )
i=1
Bayes公式
例5 每100件产品为一批, 已知每批产品中 次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为
i P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验, 若发现有不合格产品,则认为这批产品不 合格，否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
条件概率 无条件概率
例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率. 解 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 已知 P( A) = 0.92 P( B) = 0.93 求
例3 盒中有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率. 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
P(B A) =1− P(B A) P(B1 − B2 A) = P(B1 A) − P(B1B2 A)
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式 乘法公式
P( AB) = P( A)P(B A) (P( A) > 0) P( AB) = P(B)P( A B) (P(B) > 0)
推广
P( A A2 ⋯An ) = P( A )P( A2 A )⋯P( An A A2 ⋯An−1 ) 1 1 1 1 (P( A A2 ⋯An−1) > 0) 1
P(B2 )P( AB2 ) 1 P(B2 A) = = P( A) 4
可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ • ”的可能性大
作业 P 34-35 习题一 22 29 23 31 25 26
第三周 问题 17世纪,法国的 Chevalies De Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌 注押到 “至少出现一次双六” 比把赌注 押到“完全不出现双六”有利. 但他本人 找不出原因. 后来请当时著名的法国数 学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 . 这问题是如何解决的呢?
已知： A ⊂ B1 + B2 , B1B2 = ∅
P(B1) = 0.6, P(B2 ) = 0.4
P( A B1) = 0.2, P( AB2 ) = 0.1 P( A) = P(B )P( AB ) + P(B2 )P( AB2 ) 1 1
= 0.16 P(B )P( AB ) 3 1 1 P(B A) = = , 1 P( A) 4
4 kAB nΩ 4 /10 P( AB) P(B A) = = = = = kA 7 kA 7 /10 P( A) nΩ