2021年概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式欧阳光明（2021.03.07）第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ；3、概率性率：)()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。

，号罐球取自设解：6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A 、B 独立。

(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p,q p A P =-=-1)( (0<p<1,p+q=1)相同条件独立重复n 次，称之为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。

伯努利定理：kn k k n p p C p n k b --=)1(),;( （k=0,1,2……）事件A 首次发生概率为：1)1(--k p p例：设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量X 只有两个可能的取值，且其分布为：p x X P p x X P -====1}{;}{21 （0<p<1）则称X 服从21x x 、处参数为p的两点分布。

其中期望E （X ）=p,D(X)=p(1-p)（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由kn k kn p p C k X P -==)-1(}{ （k=0,1,2……）给出，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为：X~b(n,p)（或B(n ，p) 其中∑===nk k X P 01}{，当n=1时为0—1分布。

其期望E （X ）=np ，方差D(X)=np(1-p)（3）泊松分布：若一个随机变量X 概率分布为：⋯=>==-2,1,00,!}{k k ek X P k，λλλ则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为：)(~)((~λπλX P X 或,其中∑∞===01}{k k X P .泊松定理：在n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n P ,如果∞→n 时，的常数）0(>→λλn nP ，则对任意给定的k ， 有λλ--∞→∞←=-=e k p p C p n k b kkn n k nk nn n !)1(),;(lim lim ，这表明，当n 很大时，p接近0或1时，有λλ--≈-e k p p C kkn n k nk n !)1(（np =λ）。

N ≥20，p ≤0.05时用泊松分布。

其期望方差相等，即：E(X)=D(X)=λ。

8、常用连续型分布（1）均匀分布：若连续随机变量X 的概率密度为{b x a a b x f <<-=),/(1,0)(其他则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。

其中⎰+∞∞=-1)(dx x f ，分布函数为：其期望E （X ）=2ba +，方差D(X)=12)(2a b -。

（2）指数分布：若随机变量的概率为0,00,)(>⎩⎨⎧>=-λλλ，其他x e x f x ，则称X 服从参数为λ的指数分布，简记为X~e(λ).其分布函数：,00,1)(>⎩⎨⎧>-=-λλ，其他，x e x F x其期望E(X)=λ1,方差D(X)=21λ.(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为+∞<<-∞=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ，则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ),其中μ和σ（σ>0）都是常数。

分布函数为：.,21)(222)(⎰∞---+∞<<-∞=xt x dt ex F σμσπ。

当时，1,0==σμ称为标准正态分布，概率密度函数为：,21)22x ex -=πϕ（分布函数为：.21)(22dt e x x t ⎰∞--=Φπ定理：设)1,0(~),,(~2N X Y N X σμσμ-=则其期望E(X)= μ,D(X)=2σ。

9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X 的所有可能取值确定因变量Y 的所有可能值，然后通过Y 的每一个可能的取值i y (i=1,2,……)来确定Y 的概率分布。

（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X 的分布函数)(x F X 或者概率密度)(x f X ，则随机变量Y=g(X)的分布函数}{})({}{)(Y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤=,其中})(|{y x g x C y ≤=，dxx f C X P y F yC X Y Y )(}{)(⎰=∈=，进而可通过Y 的分布函数)(y F Y ，求出Y 的密度函数。

例：设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<--=其他,011|,|1)(x x x f X ，求随机变量。

的分布函数和密度函数12+=X Y⎪⎩⎪⎨⎧<≤--==⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤==+-+=≤+=≤=≥---=-++=-=-≤≤--=≤+=≤=<<==≤+=≤=<<<<<-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞------其他所以，时，当时，得：当时那么当得：函数，则由的分布函数和概率密度分别是随机变量和解：设,021,111)'()(2,1,21),1(121,0)(,10|)|1(0}1{}{)(2y ),1(12)1()1(|)|1(11{}1{}{)(21,0)(}1{}{)(1,2111)()(1111-2111122y y y F x f y y y y y y F dx dx x dx y X P y Y P y F y y dx x dx x dx x y x y P y X P y Y P y y P y X P y Y P y F y y x Y y f y F Y X Y Y y y y y Y Y Y Y φ10、设随机变量X~N(),2σμ,Y=b aX +也服从正态分布.即))(,(~2σμa b a N b aX Y ++=。

11、联合概率分布(1)离散型联合分布：1i=∑∑jijP(2)连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量（X ，Y ）的密度函数1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求(),(),(),(),cov(,)f x f y E X E Y X Y ，XY ρ，D(X+Y). 解：①当0≤x ≤2时由dyx f X ）y x (8/1[)(x+=⎰，得：x f X 4/11/8x x (2+=），当x<0或x>2时，由00)(02=+=⎰⎰∞-∞dy dy x f X ，所以，*欧阳光明*创编 2021.03.07同理可求得:{2y 0,4/11/8y 02)(≤≤+=y Y y f ，其他；② E(X)=7/6dx x (2=⎰）X xf ,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。

③因为E(XY)=4/3.y)dx dy 1/8x y(x ),(x y 22022=+=⎰⎰⎰⎰dxdy y x f所以，cov （X,Y ）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)2=-1/36。

④3611)67()y ()]([)()(2202222=-=-=⎰⎰dxdy x f x X E X E X D ，同理得D(Y)=3611,所以，XY ρ=111)()(),cov(-=Y D X D Y X⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=9512、条件分布：若的条件分布函数发生条件下，为在称X A A x F A P A x X P A x X P A x F )|(,}{},{}|{)|(≤=≤=13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y ≤y},且P{Y ≤y}>0,则：)(),(}{},{}|(y F y x F y Y P y Y x X P y Y x F Y =≤≤≤=≤，设随机变量（X,Y ）的联合分布概率为F （x,y ），边缘分布概率为)()(y F x F Y X 、，若对于任意x 、y 有：}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤，即：)()(),(y F x F y x F Y X =，则称X 和Y 独立。

14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y ）的概率密度为),(y x f ,边缘概率密度函数为)()(y f x f Y X 、，则对于一切使)(x f X >0的x,定义在X=x 的条件下Y 的条件密度函数为：)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =，同理得到定义在Y=y 条件下X 的条件概率密度函数为：)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =，若),(y x f =)()(y f x f Y X 几乎处处成立，则称X,Y 相互独立。

例：设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为：⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()2(y x ce y x f y x ，求（1）确定常数c ；（2）X,Y的边缘概率密度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)P{Y ≤X}; (5)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ；（6）P{X<2|Y<1}.1)1()1,2(1}P{Y 1}Y 2,P{X 1}Y |2P{X 1)()6(.00,02)|(2)(),()|(0,0)5(;3122(2X}P{Y )4(.,00,0),1)(1(),(,00),(0,0)1)(1(22(2),(0,0)3(.,00,)(,2)(0,00,2)(22)(0,00,0,2),(2)2(2,121),()1(402|2|3020x 0)2(2002)2(02)2(0)2(22)2(0)2(020)2(0------∞+-∞++--------+---∞++---+-∞++-+∞-+∞+∞+-+∞+∞-==<<<=<<∴-==>⎩⎨⎧>=∴==>>=-==≤⎩⎨⎧>>--=∴==≤≤--=-==>>⎩⎨⎧>=∴==>⎩⎨⎧>=∴==>⎩⎨⎧>>===∴====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e F F e dy e y F y x e y xf e y f y x f y x f y x dx e e dxdy e y x e e y x F dxdy y x F y x e e dx e e dxdy e y x F y x y e y f e dx e y f y x e x f e dy e x f x y x e y x f c c c dx e c dxdy ce dxdy y x f Y yyy Y x Y X xY Y X x x y x y x xyy x y x xyxx y x y Y yy x Y x X xy x X y x x y x ，其它，，时，当其它时，当时，当其它时，，当其它时，，则：当其它得到：由由解：15、数学期望：（1）离散型：ii i p x X E ∑∞==1)(（2）连续型：⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期望。