专题跟踪训练4

专题跟踪训练(四)一、选择题1．(2018·甘肃兰州一诊)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＋a 7＝24，则S 9等于( )A ．36B ．72C ．144D ．288[解析] 解法一：因为{a n }是等差数列，又a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝24， 所以a 5＝8.S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝72，故选B. 解法二：不妨设等差数列{a n }的公差为0， 则由a 3＋a 5＋a 7＝24，得a 1＝a n ＝8，则S 9＝9a 1＝9×8＝72，故选B. [答案] B2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2[解析] 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A. [答案] A3．(2018·山西四校联考)P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF 1|－|PF 2|＝2×3＝6.要使|PM |－|PN |最大，需PM ，PN 分别过F 1、F 2点即可． ∴(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1) ＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝9，故选D. [答案] D4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)( )A.89π B.827π C.24(2－1)3π D.8(2－1)3π[解析]由三视图知该几何体是一个底面半径为r ＝1，母线长为l ＝3的圆锥，则圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝32－12＝2 2. 由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一个底面A 1B 1C 1D 1在圆锥的底面上，过平面AA 1C 1C 的轴截面如图所示，设正方体的棱长为x ，则有22x r ＝h －x h ，即x 2＝22－x 22，解得x ＝223，则原工件的材料利用率为V 正方体V 圆锥＝x 313πr 2h＝89π，故选A.[答案] A5．(2018·广东广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.14 B.716 C.12D.916[解析] 由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率，四个人抛，共有24＝16种不同的情况，其中有两个人同为正面且相邻需要站起来的有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，四个人都站起来有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率P ＝4＋4＋116＝916(转化为对立事件求解)，故没有相邻的两人站起来的概率P ＝1－916＝716，故选B.[答案] B6．(2018·湖南长沙模拟)若对任意的x ∈[0,1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得x ＋y 2e y －a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋1e ，e C ．(1，e]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1e ，e [解析] 方程x ＋y 2e y －a ＝0，即y 2e y ＝a －x ， 构造函数f (x )＝x 2e x (转化为函数) 则f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，当－1≤x <0时，f ′(x )<0，f (x )在[－1,0)上单调递减； 当0<x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1]上单调递增． 且f (－1)＝1e ，f (0)＝0，f (1)＝e ， 因为存在唯一的y ，所以f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e .g (x )＝a －x 在[0,1]上的值域为[a －1，a ]， 若对任意的x ∈[0,1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得x ＋y 2e y－a ＝0成立，等价于[a －1，a ]⊆⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，e ， 故a －1>1e 且a ≤e ，即1＋1e <a ≤e ，故选B. [答案] B 二、填空题7．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围为________．[解析] 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0f (1)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 8．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．[解析] 设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，当t ∈[－2,2]时，f (t )>0恒成立，则由⎩⎨⎧f (－2)>0f (2)>0，即⎩⎨⎧(log 2x )2－4log 2x ＋3>0(log 2x )2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8， 故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) 9.如图，已知三棱锥P －ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．[解析] 因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线． 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，由已知有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100x 2＋z 2＝136y 2＋z 2＝164，解得x ＝6，y ＝8，z ＝10， 从而知三棱锥P －ABC 的体积为V 三棱锥P －ABC ＝V 长方体AEBG －FPDC －V 三棱锥P －AEB －V 三棱锥C －ABG －V 三棱锥B －PDC －V 三棱锥A －FPC＝V 长方体AEBG －FPDC －4V 三棱锥P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160. [答案] 160 三、解答题10．(2018·广西南宁监测)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t＋k (x 2－1)x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．综上，存在点N (4,0)使x 轴平分∠ANB . 12．已知函数f (x )＝ln x －(x ＋1)． (1)求函数f (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)． [解] (1)∵f (x )＝ln x －(x ＋1)， ∴f ′(x )＝1x －1(x >0)． 令f ′(x )>0，解得0<x <1； 令f ′(x )<0，解得x >1.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝－2.(2)证明：由(1)知x ＝1是函数f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )≤f (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)，当且仅当t ＝0时等号成立． 取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·32·43·…·n ＋1n ＝ln(n ＋1)． 即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．。