第二章行列式练习题
第二章行列式 练习题
在本节中，设12...12...n i i i n 是的一个排列，h(k)表示该排列中位于k 后面且比小的数的个数；q(k) 表示该排列中位于k 前面且比k 大的数的个数。 1. 求以下9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1;
解:1) 所求排列的逆序数为:
τ(134782695) =h(1)+h(3)+h(4)+h(7)+h(8)+h(2)+h(6)+h(9)+h(5)=0 +1+1+ 3 + 3 + 0 +1+1 = 10 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为:
τ(217986354) = h(2)+h(1)+h(7)+h(9)+h(8)+h(6)+h(3)+h(5)+h(4)1+ 0 + 4 + 5 + 4 + 3 + 0 +1 = 18 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为:
τ(987654321)=q(9)+q(8)+q(7)+q(6)+q(5)+q(4)+q(3)+q(2)+q(1)=0+1+2+3+4+5+6+7+8=9(91)
2-=36
所以此排列为偶排列. 2.选择i 与k 使
1) 1274i 56 k 9成偶排列; 2) 1i 25 k 4897成奇排列.
解: 1) 当i = 8, k = 3时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 8563 9)=10.
当i = 3, k = 8时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 3568 9)=1=3. 故当i = 3, k = 8时，该排列为偶排列. 2)当i = 3, k = 6时, 所求排列的逆序数为: τ(1i25k4897 )=τ(132564897 ) = 0+1 +0 + 1+ 1+ 0+1 +1 =5
故当i = 3, k = 6时的排列为奇排列.
3.写出把排列 12345 变成排列25341 的那些对换. 解: 12435(1,2)→21435(2,5)→25431(3,4)→25341.
4.决定排列n(n −1)…21的逆序数,并讨论它的奇偶性.
τ(n(n −1)…21)=q(n) +q(n -1) + …+q(3) +q(2)+q(1)=1+2+3+…+n -1=
(1)
2
n n -.故当n=4k,4k+1时，排列为偶排列；当n=4k+2,4k+3时，排列为奇排列. 5.如果排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序数为k ,排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序数是多少?
解法1: 因为在12n ⋅⋅⋅中，比x 大的数有n −x 个,而这n −x 个数会出现在这两个排列中x 的前面，所以在这两个排列中，与x 构成逆序的数一共有n −x 个，于是，两个排列的逆序总
数为12(1)
(12)2
n n n n x n x n x n n n --+-+⋅⋅⋅+-=⋅-++⋅⋅⋅+=
. 而排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序为k, 所以排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序为(1)
2n n --k.
解法2：首先看第4题，排列n(n −1)…21中任意两个元都构成一个逆序，所以其逆序总数为2
)
1(2
-=
n n C n . 再同时考虑两个排列12n x x x ⋅⋅⋅和11n n x x x -⋅⋅⋅，对于任意两个元xi 和xj, 它们在这两个排列中必构成且只构成一个逆序，事实上，若这两个数在12n x x x ⋅⋅⋅中不构成逆序，则必在11n n x x x -⋅⋅⋅中构成逆序，反之亦然，从而这两个排列的逆序数之和为2
)
1(2
-=
n n C n . 6.在6 阶行列式中,233142561465324314516625,a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号? 解：两者的符号均为“+”，因为
τ(234516)+τ(312645)=(1+1+1+1+0+0)+(2+0+0+2+0+0)=8. τ(341562)+τ(234165)=(2+2+0+1+1)+(1+1+1+0+1+0)=10. 7．写出4 阶行列式中所有带有负号并且因子a23的项。 解：所求的各项应是
−a11 a23 a32 a44，−a 12a23 a34 a 41，−a14 a23 a31 a42.8．按定义计算行列式：
(1)
n
1n 2
1- n
n n
n 0
10
20
1)3(,0
1020
10)
2(--
解：(1)考虑行列式的通项n
nj j j n j j j a a a 2211)
21()
1(τ-.,...,2,1,0n i a iji =≠ 于是的
1,...,1,21=-==n j n j n j ，所给行列式的展开式中只含有一个非零项 1
121n n n a a a -，它前面的符号为，所以2)
1()21)1(()1()1(---=-n n n n τ原行列式的值等于
!.)1(2)
1(n n n --
(2)所给行列式的展开式中只含有一个非零项112312n n n a a a a - ，它前面的符号为
，所以1)123()1()1(--=-n n τ原行列式的值等于!.)1(1n n --
(3)所给行列式的展开式中只含有一个非零项nn n n n a a a a 112211--- ，它前面的符号为
，所以2)1()1)2)(1(()1()1(----=-n n n n n τ原行列式的值等于!.)1(2)
1(n n n --
9．由行列式定义证明：.00
000000002
12121
5
4321
54321=e e d d c c b b b b b a a a a a 证明：考虑行列式展开的通项5544332211j j j j j a a a a a 中的554433j j j a a a ，这三个元素取自第
三，四和五行的不同的列，而这三行的五列元素中有三列全为零，所以554433j j j a a a 中至少
有一个元素为零，于是该行列式的任一项均为零。10．由行列式定义计算x
x x x x
x f 1111231
11
212)(-=
中x4与x3的系数，并说明理由。 解：含有x4的展开项只能是a11a22a33a44, 所以x4的系数为1。同理，含有x3的展开项只能是a12a21a33a 44, 所以x3的系数为-1。11. 由
01
111
11111= ，证明奇偶排列各占一半。
证明：由于行列式的每一个元素都是1，所以该行列式作为n!项的代数和，每一项都是n 个1的乘积，从而每一项都为正1或-1，即)21(2211)
21()1()
1(n j j j n nj j j n j j j a a a ττ-=-，且
当排列j1j2…jn 为奇排列时，该项等于-1，当排列j1j2…jn 为偶排列时，该项等于1。于是由0)
1(1
111
1111121)
21(=-=
∑n
j j j n j j j τ得奇偶排列各占一半.
12. 设1
1
211
1
2
222
1
1
211
1
21111)(-------=n n n n n n n a a a a a a a a a x x x x p
，其中a1,a2,…,an 是互不相同的数. 1）由行列式定义，说明P(x)是一个n −1次多项式；
2）由行列式性质，求P(x)的根.
解：1）因为所给行列式中只有第一行含有x ，所以由行列式的定义，其每一项的n 个因子中，至多有一个元是x 的方幂，而该方幂最高位n-1,事实上,含有xn−1的对应项的系数恰为
2
1
12
222
1
11111)1(-----+-n n n n n n a a a a a a
，所以P(x)是一个n −1次多项式。2）由行列式性质，当x 分别取a1,a2,…,an -1时，p(ai)=0,所以P(x)的根为a1,a2,…,an -1。13. 计算下面的行列式：
(1)
.
10294621
1327110
621
10443
113271010621
114431232711106211001000443100200032710010006217213424435431014327427246
55
52
1532321⨯-=-==
-=-=++-c c c c c c c ).(20
01)22(111)
22()()
2(331312321y x x
y
y x y x x y y x c c c c y
x
y
x x y x y y x r r r y
x
y
x x
y x y y x y x +-=--+-+-=-+++=
+++++
(3) 与(2)类似，该行列式的特点也是各行（列）元素之和相等，所以
.242
0002011163111311116)(3
1113111313121
61321=-=-=++r r r r r r r r
(4) 该行列式的特点是相邻两行元素相差1，所以，自后向前，后行减去钱行：
.1600
4
0401
111011
3
13111110)(1
1
3
131
311101
1
3
13103110
43210)(1
131131131
1
1
432132142143143243211
3123214321122334=-----+=+-----=++---=---=
+++-----=-r r r r r r r c c c c r r r r r r
(5)
2
23
41
24
32
1101010
00
110
00
111110011110011111
1111
1111
111y x y
x
xy
c c c c y y y x x
x r r r r y y x x =---=----=
--+-+(6)
.
06
212621262126212239
644129
64
41
2964412964412)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
23242
22214131222
2
22222
22222222=++++=
--++++++++++++-=--++++++++++++d d c c b b a a c c c c d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c d d d d c c c c b b b b a a a a
14. 证明
2
2
2
111
2
22
22
21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c
b =+++++++++ 证
明
：
1
233222
22
221
1111
111
213212
22
22
211111
12)(c c c c b a a c c b a b a a c c b a b a a c c b a c r r r b a a c c b b a a c c b b a a c c
b --++++++++++++=+++++++++++=左边.2
)(22
2
2
1113212
2
2
22111
11右边==++--++--++--++=c b a c b a c
b a
c c c c c c b a c b c b a c b c b a 15.算出下列行列式的全部代数余子式：
(1)
3
00
01
2001
2104
121-, (2)410123211-. 解：(1) A11=-6, A12=0, A13=0, A14=0, A21=-12, A22=6, A23=0, A24=0, A31=15, A32=-6, A33=-3, A34=0, A41=7, A42=0, A43=1, A44=-2.A11=7, A12=-12, A13=3, A21=6, A22=4, A23=-1, A31=-5, A32=5, A33=5.16.计算下面的行列式：
(1)11
101005
113214115113
2104
1105
1101
111
4212345
221311211
1112231
4131
2=---+=+------=-------=---r r r r r r r r r r
(2)
.1213123461334121
1023112140613
034121210231121222121131212232
10
1
1
21113112
1311
12113231421
-
=--=--+=+---=---r r r r c c c
(3)4
1
1
1
0003121560121604121
25
3
12
0031215
31121024
1210
5
3
12
121
33215
31121024
1210
43422524---+=----=---r r r r r
r r r = 483
2
129
3210
272229211
003202322
7711230
23022
7703
3604
121641
1121561
2164
1213
22
11
41432==----=------=-------=-----c c c c r r r r r r
(4)13
6021621011430
410211
022
20128
1
310322*********
3421
02220118
1
2
10
3
1
2
2101102
1
1
2321
10
2
1
102112523---=++---=---r r r r
.
8317101278317
2
1001
01257
8317
2
12
01
1
125283172
12
03312528117
2
12
0303
125022212
81241362162111434102212811
41312=-=--
=--=--
=---=+---=r r r
r r r 17. 计算下列行列式：
(1)
x
y
y x y x
y x
, 这是两条线型行列式，只需要按单个元素所在的行(或列)展开即
可，按单个元素y 所在的第一列展开，原行列式=.)1()
1(11
n n n n y x y
x
y
x
y y
x
y x y x
x
++-+=-+
(2)
01
11
1
212121121111
31
22
1
2221
212
11
1=----------=-----------a a a a a a a a a a a a b a b a b a r r r r r r b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n
n n n n n n n
n
(
当
(3)
n
i c x c m
x x x m x x x m x c c c m
x x x x m x x x x m x i i n n n n
k k n n n n , (21)
11]
)[()
(12
221
212
1
21
21=----=
+++---∑=
=])[(1m x n k k -∑=.)]()[(0
10
10
111-=--=--∑n n k k m m x m
m
(4) )!.2()2(2
000
01001111
000
12,...3,12
2
222
322222222212-⋅-=--==-n n n i r r n
i
(5) 各列加到第一列：
)!.1(2
1
)1(110
22
010322)1(1122
1
13211+⋅-=----+=
-----n n
n n
n n n
n n
n
18．证明：
(1)这是一个箭形行列式，由于
所以做如下变换，
1322111
11+-----
n n
c a c a c a c 使得出(1,1)位置的元外第一列的其它元素均为零: .)1
(0
00
1
1111
1111121102
1
102
1
0n n
i i
n
n
i i n
a a a a a a a a a a a a a a
∑
∑
==-=-=
(2) 这是一个Hessenberg 型矩阵，解法1：按第一列展开，得
,)1()1(111
11010111
2
210--+---+=--+=+----=
n n n n n n n xD a a xD a x a x
a x
a x a x D
于是：由,10-+=n n xD a D 得
.
1122102
22210221010n n n n n n n x x a x a x a a D x x a x a a D x xa a xD a D +++++=++++==++=+=-----
解法2 自后向前，第i+1行乘以x 加到第i 行，即
21121...,,,xr r xr r xr r n n n n +++---，
.
)1()1(101010100122331101223311111
2
122
331212232110
1223311a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++=+++++--=+-++-+++-++++-+++++=
-----+-----------
这是一个三对角线型的行列式，按第一行展开，右端的行列式再按第一列展开，得到递推公
式：
.
)(1
1
01)(1
1
1211----+=+++-+=++++=
n n n n abD D b a b
a a
b b a ab b
a ab
ab
D b a b
a a
b b a ab b a ab b a D
由.
)1(.
:)2()1()2()
1(.)()()()(1
1111
12232221121n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n a n D b a b
a b a D a b b a a bD D b aD D a bD D b aD D b aD D b aD D b aD D abD D b a D +==--=-≠⎩
⎨⎧---=----=-=-=-=-=-=--+=++-----------，则有若得，于是若，得类似地，
，得
解法2：由n n n a bD D =--1递推：
.
)()(1
2
21
32
21
221211n
n n n n n n n n
n n n n n n n n n b a b
a
b ba
a bD a
b ba
a D
b ba a bD a b a bD a D +++++==+++=++=++=+=-----------
(4) αα
αααn D n cos cos 21
1cos 21
1
cos 21
1cos ==
证明：当n=1时，结论成立.
假设对于阶数小于等于n-1阶行列式结论均成立，即Dn-1=cos(n-，
Dn-2=cos(n-，
考虑n 阶的情形, 按第n 行展开：
-1-Dn---cos(n---cos[(n--
-- cos(n-- sin(n-
= cos(n-- sin(n-
(5) 对行列式做变换：r2-r1, r3-r1, …,rn -r1,可化为箭形行列式：
n n
n
n c a a c a a c a a c a a a a a a a a a a a 1
33
122
111
31
2113210
0000111111
1
1
1111111111
11++++---+=++++
n n
a a aa a a a a
32320
000
00111==，其中 .
)1
1()11(11321111
31211∑∑==+=+=+++++=n i i
n n i i n
a a a a a a a a a a a a a a a 原行列式，所以
19.用克拉默法则解下列方程：
(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+--=++-=++-4
333235233362324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
解：得D=D1=D2=D3=D4=-70,所以方程组有唯一解：x1=x2=x3=x4=1.
(2) D=324, D1=324, D2=648, D3=-324, D4=-648, 所以方程组有唯一解：x1=1, x2=2, x3=-1, x4=-2.
(3) D=24, D1=96, D2=-336, D3=-96, D4=168, D5=312, x1=4, x2=-14, x3=-4, x4=7, x5=13.
(4) D=665, D1=1507, D2=1145, D3=703, D4=395, D5=212, 所以方程组有唯一解：x1=665/1507, x2=-229/133, x3=37/35, x4=-79/133, x5=212/665.20．设a1,a2,… ,an 是数域P 中互不相同的数，b1 ,b2, …,bn 是数域P 中任一组给定的数，用克拉默法则证明：有唯一的数域P 上的多项式112210)(--+++=n n x c x c x c c x f
使得.,...,2,1,)(n i b a f i i ==
解：由i i b a f =)(得线性方程组：⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n
n n n n b
a c a c a c c
b a
c a c a c c b a c a c a c c 1122102
1
212222101
111212110...... ，其未知量即为
所求多项式f(x)的系数c1,c2,… ,cn -1, 其系数行列式D 为范德蒙行列式，由条件a1,a2,… ,an 互不相同，于是0)(1≠-=
≤<≤
n
i j j i a a D , 从而该方程组存在唯一的解，即所求多项式是唯
一的.21．设水银密度h 与温度t 的关系为h = a0+ a1 t + a2 t + a3 t2, 由实验测定得以下数据：
解：将t,h 的实验数据代入关系式h = a0+ a1 t + a2 t + a3 t2，当h=0时，得a0=13.6，所以得到线性方程组：⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++08.0270009003005.08000
4002008.01000
10010321321321a a a a a a a a a 其系数行列式
-5000, D2=1800, D3=-40, 方程组有唯一解：a1=-0.0042，a2=0.00015，a3=-0.0000033，所求关系式为 h = 13.6-0.0042 t + 0.00015 t -0.0000033 t2
再将t = 15,t = 40分别代入上式，其水银密度分别为 ht=15=13.56, ht= 40 = 13.48. 补充题
解法1考虑行列式的行指标和列指标，第i 行元素的行指标为i,而第j 列元素的列 指标为ij, 对行列式作列的交换，使得其列指标的顺序由原来n i i i 21的变为自然排列
12…n ，设经过k 次列的交换，完成上述过程，则k 与）
（n i i i 21τ有相同的奇偶性，即.)1(212222111211)21(212221212211nn n n n
n n i i i n ni ni ni n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ-=再考虑到奇偶排列各占一半，得.0)1(212222111211)21(212
1
2221
21221
121=-=∑∑
nn
n n n
n n i i i n
i i i n ni ni ni n i i i n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a
τ解法2. 在12…n 的全部n!个排列中，奇偶排列各占一半，且对于任一个排列n i i i 21，都
有一个排列n i i i 12与之对应，且
01
22122
21112121
2221
212211=+nn
ni ni n
i i n i i n ni ni ni n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，所以原式=0..证明：
)
()()()
()()()()()())()()]()[()((())
()()]()[
()(())
()()(()()()()
()()()
()()(1222111111
111111211111111121221121212222111211t a t a dt
d
t a t a t a dt d t a t a t a dt d
t a t a t a t a dt
d
t a t a t a t a t a dt d
t a t a t a t a t a dt
d
t a t a t a t a t a t a t a t a t a dt d nn nk n n k n k n k n nj k j k k kj k j k j n j j j n k n nj k j k k kj k j k j n
k n j j j n nj j j n j j j nn n n n n
∑∑∑∑
∑
∑
=++--=++--====
=
证明(1)
∑∑==+=+++++++++n i n
j ij nn
n n n n nn n n n n A x a a a a a a a a a x
a x a x a x a x a x a x a x a x a 11
21
2222111211212222111211.
证明：
nn
n n n n n nn n n n n nn n n n n a a a x a a a x a a a x
xr r xr
r xr r x a x a x a x a x a x a x a x a x
a x
a x a x a x
a x a x a x
a x a x
a
21
22221
11211
1113122122221112112122221112111111...
0001111---=-=
--+++++++++=++++++++++
如上是一个n+1阶行列式，设其第一行的代数余子式记作A1,A2,…,An+1, 按第一行把该行列式展开，得原式=A0+A1+,…+An, 其中当k=12,3,…,n 时：)
()1()1()1(2111
131313132121
21211111111
111
23
22
1111
131313312121
22111111111
1nk k k nn
nk nk n n k k n k k n
k k k k k k nn nk nk n n
k k n k k n k k k k xA xA xA a a x a a a a x a a a a x a a a a x
a a c c c c c c c a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x
A +++=---=↔↔↔------=+-+-+-+--++--+-+-+-+-++
所以，∑∑==+=
n i n
j ij nn
n n n n A x a a a a a a a a a 11
21
2222111211.
原式
(2)1
11113
212
11111312121121123
22212
2111131212111nn
nn n n n n n
n n n n n n n n
n n n i n
j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ------------=
---------==
∑∑
证明：由(1)题，
∑∑==+=+++++++++n i n
j ij nn
n n n n nn n n n n A x a a a a a a a a a x
a x a x a x a x a x a x a x a x
a 11
21
2222111211212222111211.
在
上
式
左
端
，
作
c1-c2,
c2-c3,
…,
cn-1-cn:
∑∑==+=
+++++++++n i n
j ij nn
n n n
n nn n n n n A x a a a a a a a a a x
a x a x a x
a x a x
a x a x a x
a 1121
2222111211212222111211.
1
111111113212
1111131212
1121123
22212
2111131212
112
1
222211121113
21211111312121121123
22212
211113121211132121111113121211221123
22212211111312121113212
11111131212
11221123
22212
21111131212
1111
2
1
2222111211nn
nn n n n n n n n n n n n n n
n n nn
n n n
n nn
nn n n n n n n n n n n n n n
n n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n i n
j ij nn
n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x
a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a A x a a a a a a a a a ------------+=------------+------------=
+---+---+---+---=
+--------------------------------------==∑∑
所以
结论成立.
计算下列n 阶行列式： (1)
.2
)
1()1(2
)1()
1(0
101012)
1(,...,21111111112)1()(11111
111112)1(1
110
1110
11103
2
2)
1()(1
111111111
113
2112121114323211
2)
1(1
)
2)(1(11
1212112211+-=
+-=-----+==
+-----+=+++---+=---+=+++----=----------+
-----n n n n n n
n n n
i c c n n
n n c c c n n n
n n n n n n
n n c c c n n
n
n
r r r r r r n n n n n n n n n n n n n i n n n n n n
(2)
β
αβαβ
αα
α
α
αλβαβαβααβαβαβαβλβ
ααββ
ααββααβα
α
ααλβααββ
ααββααβα
βα
βαβλβ
αβαββααβα
βαβα
βλαα
α
α
λαβ
ββ
βα
ββββαββββαααααλ-----+--------=-------+---------=----------=-----0
000
000
0)1()(0000000000))(2(0
000
)(0
0000
000
0000
...1
2211
n b n b a b r r r r r r b
b b b n n n n .
)]()1()2([)()1)(())()(2(222-------+=---+---=n n n b n n n b n βααλβλαβααλβααβλ
(3)解法1：
a
x x
a a x x a a
x x a a a a a x r r r r r r x a
a a a a a x a a a a a x a a a a
a x n n n n ----------=------------
000000012211
令21121,...,,,dc c dc c dc c a
x a
x d n n n n +++-+=
---，得 a
x a x a x a
ad
a ad ad ad a d d d a d d d a x n n n ---++++++++++++---00
0000
000000)()(3
2212 ].
)()[(2
1
))()((21)()
1)()(()(21)()1(2)()()
1(1
1
)()()
1()()())(()(1121121121n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x d a a x a a x a x d d d d d a a x a x d d d a a x a x d d d a a a x a x ++-=--++-=--+-+-=---+-=++++---+-=++++-+-=+++++--=------- 解
法
2
由
a
x x
a a x x a a
x x a a a a a
x r r r r r r x a
a a a a a x a a a a a x a a a a a x n n n n ----------=------------
000000
012211
1
11
1
1
1)
()()
()1()
1()(----+-++-=+--+-=n n n n n n n a x a D a x a x a D a x D n 列展开，得按第
1
11111
22
11)()()()1()(00000 (000)
---+------+=---+=+--+--+---=---------n n n n n n n n n n a x a D a x x a a D a x D n a
x a
x a a x a x a a x a x a x c c c c c c x a
a a a a a x a a a a a x a a a
a
a
x
行展开按第
于是有.2)()()
()()()(1
111n
n n n n n n n n a x a x D a x a D a x D a x a D a x D ++-=⎩⎨⎧++-=--+=----，解之得
解法3：
]
)()[(21
00000
000002
1)(0000000
00222222
10000000002112211n n n n n n n a x a x a
x x a a x x a a x x a a x a x r r r a
x x a a x x a a x x a a a
a
a x a
x x a a x x a a
x x a a a a a x r r r r r r x a a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++-=---------+-=+++---------=----------=------------
解
法
4
由
a
x x
a a x x a a
x x a a a a a
x r r r r r r x a
a a a a a x a a a a a x a a a a a x n n n n ----------=------------
000000
012211按第一行展开：
]
)()[(2
1
])()[(21)()
)()()()()())(())]((()[(2
1
)()()()()()())(()()()()1()()()1()()()1())(()1()(1232211
232211
12324231n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x x a a x x a a x x a a x x a a x a x a x a x x a a a x x a a a x x a a a x x a a a x a a x x a a a x x a a a x x a a a x x a a a x x D -++=--+-=++-+++-++-++---++-=++-+++-++-++-+-=---+----++----+----+-=-----------+----
y
x y x y x y x y dy
y d d y d d y d d d y x dc c dc c dc c y
x z
x d y
x x
z y x y x x z y x x z y y y y x r r r r r r x
z
z z
z y x z z z y y x z z y y y x z y y y y x n n n n n n n n n n n ----+++++++++++=
-----=
--------=
-----------0
...0
0...00000...
0000...00...)1()
1()
(,,...,, 0
0...00000...
000...
0......)
4(3212211211
22
11
上式则，且作令∑-=-----------+-=--------+-=----+-=++++---+-=+++++--==++++-=1
11121121121.
)())()()()()()()(1)()()1()()()1(1
1
)()()]
1([)())(()(n k k n k n
n n n n
n n n n n n n n n n n y x z x y y x y x y x z x y x z x y
y x y x d z y y x y y x y x d d d d d y
y x y x d d d y y x y x d d d y x y x 解法2
y
x x z y x y x x z y x x z y
y y y
x r r r
r r
r x z z z z y x z z z y y x z z y y y x z y y y y x
n n n n --------=-----...0000 (000)
0 0
00...0 (12211)
直接按第一行展开，得
)
)()
(()(])()()())(()[()()()()())(()(1
1132211
32211k
n k k
n n
n n n n n n n n n n z x y x y y x z x y x z x y x z x y x y y x z x y y x z x y y x z x y y x x D ∑-=-------------+-=-++--+--+-+-=-++--+--+-=
n n
n n n n n n n
n
x x x x x x x x x x x x D
2
1
2122122221
2
1
111)5(---=
考虑到
范德蒙行列式
∏≤<≤--------=n
i j j i n n
n n n n n n n n n n
n
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1212
1
1112112222212
1
)())()((1111
，
若把该行列式按第n+1列展开，则(-1)2n+1D 就是xn-1的系数。
上式左边=A1n+1+xA2n+1+x2A3n+1+…+xn -1Ann+1+xnAn+1n+1. 上式右边=∏≤<≤---+++++-n
i j j i n n n n n
x x x x x x
x x x x 1211
21)(])1()([ .
由左边=右边，以及多项式相等的概念知，同次项系数对应相等，得
.)()(121∏≤<≤-+++=n
i j j i n x x x x x D
计算f(x+1)-f(x), 其中
1
11
3121
1
3
2321
110
3
3
1
0002100001)(+-+++--=
n n n n n n n n
n
n x C C C n
x C C C n x x x x f
解
：
.
)!1(110
1
00
3
31000021000001)1(111113310
03
3
1
2100021100001)1(1
)1(11)1(0
3
3
1
)1(00021
)1(00001)()1(11
1
312
11
32111122111312
11
122132
2
1
111
3121
1
3
23322n n n n n n n n n n
n
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
n
n x n x
C C C C n C C C n
x
C x C x C x n C C C n x C x C nx C C C n x x x x x C C C n x x C C C n x x x x x x x f x f +=+==++++++++++++++=-+-+--+-+-+=
-++-+++-+--++-+++---++-+++-
最后一步作了：cn+1-c1-xc2-x2c3-…-xn-1cn..
如图表示是一电路网络，每条线上标出的数字是电阻，E 点接地由X,Y,Z,V 点通入电流，强度皆为100安培，求出四点的电位（用克希霍夫）.X 1/2 Y 1/6 1/7 1 1/3 E
1/5 1/8 V 1/4 Z
解：由条件知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-=++-100
1001001008437326
21541I I I I I I I I I I I I ， (1)
由R
V
I =
，K 点的电位用VK 表示，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-=-=-=v x z v y
z x y V V I V V I V V I V V I 4321)(4)(3)(2 ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧====v
z y
x
V I V I V I V I 58768765，代入(1)得方程组
行列式练习题1
第二章 行列式练习题（1） 一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分） 1．排列217986354必定经过奇数次对换变为123456789． 2．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 3．排列 121n n j j j j -与排列1 21n n j j j j -的奇偶性相反 （ ） 4． 1122 1 2 12334434 34 a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+ ++ （×） 5．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 6．若矩阵 A 经过初等变换化为矩阵 B ，则A B =． （×） 7．把三级行列式的第一行减去第二行的2倍，同时把第一行的3倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：11112 12 12 222212121 3 33 3 3 3 222333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---=+++ （ ） 8．设 A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A =-； （×） 9．设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （√ ） 10．设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解； （×） 11． 设D= 11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a a a a ,D 1=121 21 2 111222n n n k k k k k k nk nk nk a a a a a a a a a ,其中12n k k k 是1、2、3、……、n 的一个排列， 则 () () 12 1 1n k k k D D τ=- （ ） 二、填空题（每小题2分，共20分） 1．排列(1) 321n n -的逆序数为 (1) 2 n n -，当n 是 时为奇排列；当n 是 时为偶排列． 2．12345i i i i i 的逆序数为6，则54321i i i 的逆序数是 。 3．排列135…（2n-1）246…(2n)的逆序数为 ，排列 (2k)1(2k-1)2…(k+1)k 的逆序数为 ； 4．排列12435作三个对换 、 、 变为排列25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数τ（12435）具有相同的奇偶性。 5．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为 负 ． 6．① 3000003000______;003000007311194 =②0 00 _______;000 a e b f g c h d =③123 123123a a a b b b c c c ++++++=+++ ；④2 22 1 11ωωωωωω = ；
(2021年整理)线性代数1-2章精选练习题
线性代数1-2章精选练习题 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线性代数1-2章精选练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为线性代数1-2章精选练习题的全部内容。
第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 （ ）。 (A) 24315 (B ） 14325 (C ） 41523 （D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ )。 (A ）k (B ）k n - (C) k n -2 ! （D)k n n --2) 1( 3。 n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项。 （A ） 0 （B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n 4．=0 001001001001000( )。 （A) 0 (B)1- (C ） 1 (D ） 2 5. =0 001100000100100（ ）。 (A) 0 （B ）1- （C ） 1 （D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）。 （A) 0 (B)1- （C) 1 (D ） 2 7。 若2 1 33 32 31 232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 (D ） 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11 ,则 =21 11 2212ka a ka a ( )。
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 00 000010 0200 1 00 -= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23 232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 3231312322212113 1211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 22 913 251323 2213 2 1 1 x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8171160451530169144 3 1 2 ----- 2．d c b a 1001100 110 1 --- 3．a b b b a b b b a D n = 4.
线性代数1_2章精选练习题
线性代数1_2章精选练习题 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2 ! (D)k n n 2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n 4． 001001001001 000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 001100000100 100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221
131211 a a a a a a a a a D ，则 32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若 a a a a a 22 2112 11，则 21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2 , 则 x ( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 111113263478 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2 23 5 1
行列式的例题
行列式的例题 一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明 2 2 2 1112 22 22 21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得 2 2222 111112 22 22 11111 b a a c c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左 2 222 11112 2 22 1111 b a a c b a a c b a a c a a c b a a c b a a c b +++++++= 222111222111 b a c b a c b a c a c b a c b a c b += 2 2 2 1112 2 2111 a c b a c b a c b a c b a c b a c b += 2 2 2 1112a c b a c b a c b ==右 2．计算n 阶行列式 n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++= 2 1 22 2121211 1 解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ， 当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2） 当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 01 1 1 131 31 31 2121 212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n n n 综上所述
行列式练习题及答案
第1章行列式 (作业1) 一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，那么排列1 3 …)12(-n 2 4 …)2(n 的逆序数为，排列1 3 …)12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为. 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为. 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= 〔〕. 〔A 〕! n 〔B 〕!)1(2) 1(n n n --〔C 〕!) 1(2) 2)(1(n n n ---〔D 〕!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 232 3 21 01)(= 中，3x 的系数是〔〕. 〔A 〕1 〔B 〕-1 〔C 〕2 〔D 〕3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有〔〕个. 〔A 〕4；〔B 〕2；〔C 〕6；〔D 〕8. 三、请按以下不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、假设n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，那么此行列式的值等于多少？说明理由. 第1章行列式 (作业2) 一、填空题
1．假设D=._____324324324,133 323131 2322212113 1211111333231232221 1312 11 =---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 22 9132 5 1 3 232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1．817116045153016 9144 3 1 2 ----- 2．d c b a 100 1 100 1 1 001--- 3．a b b b a b b b a D n = 4.1 11 113 2 1 3211211211211 n n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ---+=
行列式练习题答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0000000010 020001000 -= （ ）. （A ）! n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,1333231312322212113 1211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 1 4 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
《高代与解几》第二章 行列式专题练习参考答案
第二章 行列式专题练习—参考答案 一、选择题 1.D ， 2.D ， 3.C ， 4.AD, 5.A; 6.BC ， 7.D ， 8.C ， 9.C ，10.D; 11.D ，12.B ，13.B ，14.B ， 15.C 二、填空题 1、 1 ; 2． 13 ; 3． 负 ; 4． 2 , 1 ; 5. -3 ; 6．1, x x =±= 7． 5 ; 8. -6 9. 0 ， -66 10. 2≠ 11. 0≠; 12. 16 ; 13.24-; 三、计算题 1．5； 2．18； ３．)(233y x +-； ４．1； ５．!)1(1n n -- ６．11,212 ) 1() 1(n n n n n a a a --- ； 7． 0 8． 3 2 1 4 214314324321 321421431432111110 =1 2 3 12101210111110 ------=4 4 04001210111110 ---= 400 04001210111110 ---==160 9. 3 1 1 1 131111311113=3 1 1 1 1311113111116∙ =20 0200002011116∙ =.48263=⨯ 10. 方法1： a 1 1a 1001a 1001a ---21r r ↔= a a a a 1 110001011 ---21r ar += a a a a a 1 1100100112 --+- 32r r ↔= a a a a a 1 010110011 2 -+--3 22)1(r r a ++= a a a a a a 1 1200110011 2 3 -++--
行列式课后练习及答案
4.珈＞0,2 k 1 =00«=二 答案：C 第二讲w 阶行列式课后作业 a \\ a \2 1•写出〃阶行列式D=①I ①2 a n\ a n2 答 IAl=q ・iA 】+色人2+•••+©A” 7 = 12…/ 或I Al= a Xj A {j + a 2j A 2j+--+ a nj A nj ,丿=12…川 答案：行列式课后练习(mooc) 第一讲行列式概念的引进课后作业 1 4 31 1 -5 2 1 = _______ : 3 6 1| (A) 80 (B) -80 (C) 40 (D) -40 答案：B 1 0 0 2.-5 2 3 =卫. 3 3 5 (A) -1 (B) 1 (C) 2 (D)-2 k 2 3.若行列式D=-\ k 0 k (A)0 或(B)l 或2 (0 2^3 (D)3 酗 答案：B (A) 0 (B) 1 (O 2 (D)3 阿勺定义. a nn
第三讲特殊行列式的计算课后练习 1・2= 0・・・0 解：按第一行展开 a n-l "-I 0 0 3 K-l 陽-2 -・•- -・D = a・d] +(—1)叫•bi 2/i n Ci d\n Cl £ 4L1 C； L1 d,i 0 d n50 第一个行列式按第（2/7 -1）行展开，第二个行列式按第1列展开得 D»= D“2 - b“c” Dg =（a“d,T”c; J£>2“-2 ••• D»= M-b n c n）D2tl_2 =（a”d” 一仇c“）（％伉_1 —E L G L JP Z=••• n =（。0厂也）（如九-如心J••…（qd】-如J = J7（qa -如）第四讲行列式的性质课后练习 1.写岀行列式的性质。略 2 a A + a A +- • •+ a A =i=j 2.0 = 4() a 2 b2 0 0 =(a a 一bb )(a a -b b) 1 4 1 4 2 3 2 3 3•计算D =
行列式练习题及答案
第1章 行列式 (作业1) 一、填空题 1．设自然数从小到大为标准顺序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由概念计算行列式n n 0000000010 02000 1000 -= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =概念式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列.
2，则此行列式的值等于多少？说明理由. 四、若n阶行列式中，等于零的元素个数大于n n
第1章 行列式 (作业2) 一、填空题 1．若D=._____324324324,1333231312322212113 1211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913251323 2213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169 1 4 4312----- 2． d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n =
行列式练习题及答案
第1章行列式(作业1) 一、填空题 1.设自然数从小到大为标准次序，则排列 1 3…(2n 1)2 4…(2n)的逆序数为 排列1 3…(2n 1) (2n) (2n 2)…2的逆序数为 ^ 1 .由定义计算行列式 2 .各项以列标为标准顺序排列; 3 .各项行列标均以任意顺序排列 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于 n 2 n ,则此行列式的值等于多少？说明理由 2 .在6阶行列式中， 3 .所有n 元排列中, 二、选择题 a 23 a 42a 31a 56 a 14a 65这项的符号为 奇排列的个数共 个. (A) n! (B) 2.在函数 f (x) (A) 1 1 (B) n 1 0 n(n 1) 1 -1 0 0 1) n 中, 3.四阶行列式的展开式中含有因子 (A) 4; (B) 2; (Q n (n 1)(n 2) (1) 2 3 的系数是( (C) 2 (D) a 32的项，共有( (C) 6; (D) n! (D) ( 1)n(n 1)n! )个. 8. 1. 、请按下列不同要求准确写出 各项以行标为标准顺序排列; n 阶行列式D det(a j )定义式:
第1章行列式（作业2） 2 1 3 4 a 1 0 0 1 . 4 1 9 16 2 . 1 b 1 0 30 15 45 60 0 1 c 1 11 7 1 8 0 0 1 d a b b a 3, D n a〔i a12 a13 1.若D二a2i a22 a23 a31 a32 a33 1 1 2 2.方程 1 2 X2 2 2 3 1 二、计算是2 5 3 1 、填空题 3 5 4 a11 2a11 3a12 a13 1,则D1 4a21 2a21 3 a22 a23 4a31 2a31 3 a32 a33 3 =0的根为
行列式练习题
行列式练习题 1._______ =---------= a a a a a a a a a D 11 1100011000110001 提示：a c b a c b a c b a 类似三对角线行列式 主要用递推法，注意到本题除首末 两行外其余行元素和相等且等于0，故将其加到第1列，得到： a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------+-------= = --------= +11 011001000111 00 110011001110 11000110001000011 5) )(( 5 4 3 2 52 22 1 3233 1 4344 1 54511111a a a a a D a a D a a D D a a D D a a D D -+-+-=+-=--+=--+=--+=+++代入得： 把把这三个等式相加，并 那么) )((,) )((,))((2.______,0 1 1 1 1 101111101111101 11110== A A 则 提示：行列和相等行列式，将各行加到第一行提取公因式，然后，将第一行乘－1加到其余各行。
) 1() 1(1 01000001000001011111) 1(0 1 1 1 1 101111101111101 11111) 1(1 --=-----=-=-n n n D n 3.计算 a a a a a a a a a D k 212212122 2 2 2 = 提示：先用1、2、3阶行列式估计结果然后用归纳法证明： k k a k D a a a a a D a a a a D a D )1(,410120 12,3212, 232 2 32 2 21+===== =推测 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D k 21221201 12122121222 2 2 2 1 22 2 2 2 2 +-+=)( n k k k k k a n A a k a k a ka a D a aD )()())(()(111222 2 1 221+=+=--=-=----所以： 4.计算行列式n n n n a x a a a a x a a a a x D +++= 2 1 2 121 提示：本题用第一行乘-1加到各行，将它变成“爪形”行列式，“断其一爪”求解。
行列式练习题及答案
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准顺序，那么排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由概念计算行列式n n 0 000010 0200 01000 -= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 23232101)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按以下不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =概念式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、假设n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，那么此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．假设D=._____324324324,133 32 3131 2322212113 12 111113332 31 232221 131211 =---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2913 2 5 1 3232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 7 11 60 451530169144312 ----- 2． d c b a 10 1 10011001--- 3．a b b b a b b b a D n =
线性代数2章精选练习题
2 、单项选择题 第一章行列式 1.下列排列是5阶偶排列的是（）. (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2•如果n 阶排列j 1j 2 j n 的逆序数是k,则排列j n j 2j 1的逆序数是（）. 3. 4. 5. (A) k (B) n! k (C) I (D) n(n 1) k 2 n 阶行列式的展开式中含 a^a 22的项共有（ (A) 0 (B) (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ). (A) 0 (B) (C) (D) 2 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ). (A) 0 (B) (C) (D) 2 6.在函数 f(x) 2x 1 3 0 1 2 3 1 中x 3项的系数是（ ). (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 a 11 a 12 a 13 2，则 2a n a 13 a 11 2a i2 7.若D a 21 a 22 a 23 D 1 2a 21 a 23 a 21 2a 22 a 31 a 32 a 33 2a 31 a 33 a 31 2a 32 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 8.若 a 11 a i2 则 厲 2 ka 2 2 ( ). a , a 21 a 22 *1ka 21 ( 0 ).
). 2,5,1, X , 二、填空题 1. 2n 阶排列24 (2n)13 (2n 1)的逆序数是 _________ 2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 41a 65a 13a 26所带的符号是 3. 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是 4. 若一个n 阶行列式中至少有n 2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于 9. (A) ka (B) ka (C) 已知4阶行列式中第 1行元依次是 k 2a (D) k 2a 4,0,1,3,第3行元的余子式依次为 (A) 0 (B) (C) (D) 2 10.若 D 则D 中第一行元的代数余子式的和为(). (A) 1 (B) (C) (D) 11.若 D ,则D 中第四行元的余子式的和为 ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) kx 3 X 1 X 2 12 k :于下列选项中哪个值时， 齐次线性方程组 X 1 kx 2 X 3 0有非零解 kx 1 X 2 X 3 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 3 2 2 5
线性代数2章精选练习题
第一章行列式 一、单项选择题 1. 下列排列是5阶偶排列的是( (A) 24315 (B) 14325 2. 如果n 阶排列j 1j 2 j n 的逆序数是k,贝U 排列j n ). (C) 41523 (D)24351 j 2j 1的逆序数是( ). (A)k (B)n (C)》k (D)咛 k 3. n 阶行列式的展开式中含 a 11a 22的项共有( )项. 4. 5. 6. (A) 0 (B)n (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ). (A) 0 0 1 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1 0 0 0 0 0 1 0 ). (B) (C) 1 (D) 2 在函数f(x) 2x 1 1 2 3 1 3项的系数是( ). (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 a 11 a 12 a 13 中，则D 1 2a 11 a 13 a 11 2a 12 7.若D a 21 a 22 a 23 2a 21 a 23 a 21 2a 22 ( ) a 31 a 32 a 33 2a 31 a 33 a 31 2a 32 (C) 2 (A) 4 (B) (D) 2 4 2 0 3 0 x 0 8.若 a 11 a 21 *12 a 22 a ，则 厲 2 *11 ka 22 ka 21 ). (A)ka (B) ka (C)k 2a (D) k 2a 9.已知4阶行列式中第1行元依次是 4,0,1,3,第3行元的余子式依次为
2,5,1, x ,则 x ( ). 5. 行列式 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 2 6 •行列式 0 0 0 n 二、填空题 1. 2n 阶排列24 (2n)13 (2n 1)的逆序数是 __________ 2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 41a 65a 13a 26所带的符- 号是 3. __________________________________________ 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是 ___________________________________________ . 4. 若一个n 阶行列式中至少有n 2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于 (A) 0 10.若 D (A) 1 11.若 D 8 6 1 4 7 2 1 3 (B) 4 3 1 7 3 3 1 1 5 (C) 3 (D) 2 ,则D 中第一行元的代数余子式的和为 ). 3 1 0 5 (B) 4 1 0 (C) 3 (D)0 0 1 0 2 ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)0 X 2 kx 3 0 12. k 等于 :下列选项中哪个值时， 齐次线性方程组 kx 2 X 3 0有非零解 kx 1 X 2 X 3 ( 1 3 2 ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)0 0 0
行列式练习题及答案
行列式练习题及答案
06.2版 第1章 第 2 页 共 21 页 第1章 行列式 (作业1) 一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，65 1456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 000000001002000 1000 -= （ ）. （A ）!n （B ） ! )1(2 ) 1(n n n -- （C ） ! ) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ） ! )1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 2 32 3 2101)(=中，3 x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ） 3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32 a 的项，共有
06.2版 第1章 第 3 页 共 21 页 （ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2 ，则此行列式的值等于多少？说明理由.
06.2版 第1章 第 4 页 共 21 页 第1章 行列式 (作业2) 一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 23222121 13 121111133 32 31 232221 131211 =---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2 913 2 51323 2 213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 8 1 71160451530169144312----- 2．d c b a 100 1 100 1 1001---
行列式 练习题
例1. 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -⋅= 101a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a -- 1n c c += 1 1 1 a a a +- =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a - +1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 01 (1) 0n n a a +-- 最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a - =2 n a -- n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次． n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a - =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ．
例2. 计算n 阶行列式： 11 21221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠ ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 1211212212 1 00 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++ 升阶 213111 n r r r r r r +---= 121211001001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 111211 1210000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1121(1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= + =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例3.计算n 阶行列式： 1 21111111 1 1n n a a D a ++= + 其中120n a a a ≠ ． 方法1 化为上三角行列式 n D 12,,i r r i n -== 1 12 1 111 n a a a a a +-- 112,,j j a c c a j n +== 2 1 1 00 n b a a
第二章行列式练习题
第二章行列式 练习题 在本节中，设12...12...n i i i n 是的一个排列，h(k)表示该排列中位于k 后面且比小的数的个数；q(k) 表示该排列中位于k 前面且比k 大的数的个数。 1. 求以下9 级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3) 9 8 7 6 5 4 3 2 1; 解:1) 所求排列的逆序数为: τ(134782695) =h(1)+h(3)+h(4)+h(7)+h(8)+h(2)+h(6)+h(9)+h(5)=0 +1+1+ 3 + 3 + 0 +1+1 = 10 所以此排列为偶排列. 2) 所求排列的逆序数为: τ(217986354) = h(2)+h(1)+h(7)+h(9)+h(8)+h(6)+h(3)+h(5)+h(4)1+ 0 + 4 + 5 + 4 + 3 + 0 +1 = 18 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为: τ(987654321)=q(9)+q(8)+q(7)+q(6)+q(5)+q(4)+q(3)+q(2)+q(1)=0+1+2+3+4+5+6+7+8=9(91) 2-=36 所以此排列为偶排列. 2.选择i 与k 使 1) 1274i 56 k 9成偶排列; 2) 1i 25 k 4897成奇排列. 解: 1) 当i = 8, k = 3时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 8563 9)=10. 当i = 3, k = 8时, 所求排列的逆序数为: τ(1274 i56k 9)=τ(1274 3568 9)=1=3. 故当i = 3, k = 8时，该排列为偶排列. 2)当i = 3, k = 6时, 所求排列的逆序数为: τ(1i25k4897 )=τ(132564897 ) = 0+1 +0 + 1+ 1+ 0+1 +1 =5 故当i = 3, k = 6时的排列为奇排列. 3.写出把排列 12345 变成排列25341 的那些对换. 解: 12435(1,2)→21435(2,5)→25431(3,4)→25341. 4.决定排列n(n −1)…21的逆序数,并讨论它的奇偶性. τ(n(n −1)…21)=q(n) +q(n -1) + …+q(3) +q(2)+q(1)=1+2+3+…+n -1= (1) 2 n n -.故当n=4k,4k+1时，排列为偶排列；当n=4k+2,4k+3时，排列为奇排列. 5.如果排列12n x x x ⋅⋅⋅的逆序数为k ,排列11n n x x x -⋅⋅⋅的逆序数是多少? 解法1: 因为在12n ⋅⋅⋅中，比x 大的数有n −x 个,而这n −x 个数会出现在这两个排列中x 的前面，所以在这两个排列中，与x 构成逆序的数一共有n −x 个，于是，两个排列的逆序总