高一数学等比数列 练习题人教版
高一数学等差数列与等比数列检测试题 人教版
用心 爱心 专心 115号编辑 1高一数学等差数列与等比数列检测试题 人教版一、选择题1、设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2{}n a 是等比数列；②1{}n n a a +是等比数列； ③1{}na 是等比数列；④{lg ||}n a 是等比数列。
其中正确命题的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、{}n a 为等比数列，公比为q ，则数列123456789,,,a a a a a a a a a ++++++是（ ）A 、公比为3q 的等比数列B 、公比为6q 的等比数列C 、公比为3q 的等比数列D 、公比为6q 的等比数列 3、已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=，则有 （ ）A 、11010a a +>B 、11010a a +<C 、11010a a +=D 、5151a =4、若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边的长分别为 （ ） A 、5，8，11 B 、9，12，15 C 、10，13，16 D 、15，18，215、数列,,,,,()a a a a a R ∈必为 （ ）A 、等差非等比数列B 、等比非等差数列C 、既等差且等比数列D 、以上都不正确 6、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个 数列共有 A 、10项 B 、11项 C 、12项 D 、13项 （ ） 7、在等差数列{}n a 中，14a =，且1513,,a a a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） A 、31n a n =+ B 、3n a n =+ C 、31n a n =+或4n a = D 、3n a n =+或4n a = 8、数列2311,,,,,,,n a a a a -的前n 项的和为 （ ）A 、11na a-- B 、111n a a +-- C 、211n a a +-- D 、以上均不正确9、等差数列{}n a 中，1710342,21a a a a +=-=，则前10项的和10S 等于 （ ） A 、720 B 、257 C 、255 D 、不确定10、某人于2000年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄；2001年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a 元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都 按照同样的方法，在银行存款和取款；设银行一年定期储蓄利率r 不变，则到2005年 7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共有多少元？ （ ）A 、5(1)a r + B 、5[(1)(1)]a r r +++ C 、6[(1)(1)]a r r r +-+ D 、5[(1)]a r r r+-二、填充题11、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中的数列的特点，用适当的数填入表中空格内：年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱，毫米） 110 115 120 125130 135 145 舒张压7073757880838812、两个数列123,,,,x a a a y 与12,,,x b b y 都成等差数列，且x y ≠，则2121a ab b --=13、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q =14、等比数列{}n a 中，14,5a q ==，前n 项和为n S ，满足510n S >的最小自然数n 为 三、简答题15、设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且124,,a a a用心 爱心 专心 115号编辑 2成等比数列．（1）证明1a d =；（2）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．16、（1）在等差数列{}n a 中，16412,7a a a +==，求n a 及前n 项和n S ；（2）在等比数列{}n a 中，12166,128,126n n n a a a a S -+===，求,n q ．17、设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若首项132a =，公差1=d ，求满足22()k k S S =的正整数k ； （2）求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有22()k k S S =成立．用心 爱心 专心 115号编辑 3[参考答案]1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C CCBDDDDCC二、填充题11、140，85； 12、34； 13、3 ； 14、8 三、简答题15、（1）略；（2）2,2n d a n ==16、（1）21n a n =-，2n S n =；（2）当12,64n a a ==时，2,6q n ==；当164,2n a a ==时，1,62q n ==17、（1）当1,231==d a 时，n n n n n S n +=-+=2212)1(23，由2)(2k k S S =得，2224)21(21k k k k +=+ ，即0)141(3=-k k ，又0≠k ，所以4=k ．（2）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2k k S S =中分别取2,1=k 得⎩⎨⎧==224211)()(S S S S 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=211211)2122(2344d a d a a a ，由（1）得01=a 或11=a ．当01=a 时，代入（2）得：0=d 或6=d ；当0,01==d a 时，0,0==n n S a ，从而2)(2k k S S =成立；当6,01==d a 时，则)1(6-=n a n ，由183=S ，216,324)(923==S S 知，239)(S S ≠，故所得数列不符合题意；当11=a 时，0=d 或2=d ，当11=a ，0=d 时，n S a n n ==,1，从而2)(2k k S S =成立；当11=a ， 2=d 时，则2,12n S n a n n =-=，从而2)(2k k S S =成立，综上 共有3个满足条件的无穷等差数列； 0=n a 或1=n a 或12-=n a n ．另解：由2)(2k k S S =得22221111[(1)][(1)]22k a k d k a k d +-=+-，整理得 12222211111111()()()042242d d k da d k a a d d da -+-+-++-=对于一切正整数k 都成立，则有12212211110421*******d d da d a a d d da ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-++-=⎪⎩解之得：100d a =⎧⎨=⎩或101d a =⎧⎨=⎩或121d a =⎧⎨=⎩所以所有满足条件的数列为：0=n a 或1=n a 或12-=n a n ．。
高一数学_等比数列综合练习_精心整理_含答案版本
考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析】方法1： 811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a方法2： 812162264===a a q，∴13122811624610=⨯==q a a 方法3：{}n a 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=nS ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11-=n nqa a 及qq a S n n --=1)1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.【解析】⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a nn n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bd c c a b ；方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则 ⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为bc 2，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ； 方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为ca c c a ++22,2；方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【解题思路】可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ，由10765,,,,a a a a 成等比数列求解.【解析】由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n na ，求n S【解题思路】可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解.【解析】 212331)31(133331132-=--=+++++=-n n n na ，∴n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++= 即.432143--=n S n n 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和. 【解析】 n nn a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅= ，----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n nn n S -------------②①—②，得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n n n S63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n∴.33)1(1+⋅-=+n n n S【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.【新题导练】 1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23216545=++++=a a a a a a q ，∴131211a a a ++；2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .【解析】设这个常数为x ，则x x x +++100,50,20成等比数列，∴)100)(20()50(2x x x ++=+，解得45=x ，∴17418520545204550==++=q . 3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ；【解析】3,12433151612==⎩⎨⎧⇒====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a ， 当3,11==q a 时，636431)31(1=⇒=--=n S n n ； 当3,11-=-=q a 时，[]n S nn ⇒=+---=36431)3(11无整数解. 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .【解析】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q>时，31113S q q =++≥+=； 当公比0q<时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭， ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=nS ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .【解析】由0>na ，80=n S ，65602=n S ，知1≠q ，∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=qq a S q q a S n n n n∴81821122=⇒=--=n n nn n q q q S S ，∴1>q ,又 前n 项中的数值最大的项为: 5411==-n n q a a ，∴321=q a ，∴.133,21001001-=⇒==S q a 考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【解题思路】⑴证明数列{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列，常用：①定义法；②中项法.【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ⋅=，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n[])14232()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n nn n n b n a 32)213()1(321-=+--=+又)18(11+-=λb ，所以当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{}n b 不是等比数列； 当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列.【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；【解析】 121n n n a a a +=+，∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅，∴11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=， ∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列.考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=nS ，602=n S ，则=n S 3 .【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 【解析】{}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S .【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.【新题导练】 7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .【解析】{}n a 是等比数列，0>n a∴⇒=+⇒=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .考点4 等比数列与其它知识的综合【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=-⑴证明：当2b =时，{}12n na n --⋅是等比数列；⑵求{}n a 的通项公式【解题思路】由递推公式{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n=，主要利用：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn ，同时注意分类讨论思想.【解析】由题意知12a =，且 ()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-两式相减，得()()1121n n n n ba ab a ++--=-，即 12n n n a ba +=+ ①⑴当2b =时，由①知 122n n n a a +=+于是 ()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2=q 的等比数列。
人教版高中数学高一下册选择性必修第二册《等比数列的应用及性质》第二课时专项突破练习
第2课时 等比数列的应用及性质学习目标 1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题. 3.理解等比数列的常用性质.4.掌握等比数列的判断及证明方法．知识点一 实际应用题常见的数列模型1．储蓄的复利公式：本金为a 元，每期利率为r ，存期为n 期，则本利和y ＝a (1＋r )n .2．总产值模型：基数为N ，平均增长率为p ，期数为n ， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p )n .知识点二 等比数列的常用性质设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．(3)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列．(4)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，{1a n}，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(5)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与{a n b n}也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成( )A ．64 B ．128 C ．256 D ．255答案 C解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256.2．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( )A ．{a n ＋b n }，{a n b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n b n }都不一定是等比数列答案 C解析 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．3．某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加( )A ．24% B ．32%C ．1.083－1 D ．1.084－1答案 C解析 设2018年储蓄量为a ，根据等比数列通项公式得2019年储蓄量为a (1＋0.08)＝1.08a ，2020年储蓄量为a (1＋0.08)(1＋0.08)＝1.082a ，2021年储蓄量为a (1＋0.08)(1＋0.08)(1＋0.08)＝1.083a ，所以2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加了1.083a －aa＝1.083－1.4．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )A.32 B.2 C ．2 D ．22答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2.一、数列的实际应用例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n (n ∈N *)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ，由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)，a 3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝13.5，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a 1·q n －1＝13.5×0.9n －1.∴n 年后车的价值为a n ＋1＝(13.5×0.9n )万元．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．反思感悟 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．跟踪训练1 有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升．答案 (1－1a)8(2－1a)解析 由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－1a为公比的等比数列，即：第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－1a(升)，第三次取出的为(1－1a)2升，…，第n次取出的纯酒精为(1－1a)n－1升，则第九次和第十次共取出纯酒精数量为a9＋a10＝(1－1a)8＋(1－1a)9＝(1－1a)8(2－1a)(升)．二、等比数列的性质及其应用例2 已知{a n}为等比数列．(1)等比数列{a n}满足a2a4＝12，求a1a23a5；(2)若a n>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解 (1)在等比数列{a n}中，∵a2a4＝1 2，∴a23＝a1a5＝a2a4＝1 2，∴a1a23a5＝1 4 .(2)由等比中项，化简条件得a26＋2a6a8＋a28＝49，即(a6＋a8)2＝49，∵a n>0，∴a6＋a8＝7.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3(a1a2.. (10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.反思感悟 利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．跟踪训练2 (1)公比为32的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7答案 B解析 因为a3a11＝16，所以a27＝16.又因为a n>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.答案 52解析 方法一 因为{a n}是等比数列，所以a1a7＝a24，a2a8＝a25，a3a9＝a26.所以a24·a25·a26＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.因为a n>0，所以a4a5a6＝52.方法二 因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝a2·a2＝a32＝5，所以a2＝1 3 5.因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝a38＝10，所以a8＝13 10.同理a 4a 5a 6＝a 35＝()()3111332233222528=510=50a a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭三、等比数列的判定与证明例3 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋n －4.(1)求a 1的值；(2)若b n ＝a n －1，试证明数列{b n }为等比数列．(1)解 因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3.(2)证明 因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1－4，S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1，所以a n －1＝2(a n －1－1)，又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1，且b 1＝a 1－1＝2≠0，所以数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为常数且不为零)或a na n －1＝q (n ≥2，且n ∈N *，q为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列．(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可．跟踪训练3 (1)已知各项均不为0的数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．证明 由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，①a 23＝a 2·a 4，②2a 4＝1a 3＋1a 5.③由③得2a 4＝a 3＋a 5a 3·a 5，∴a 4＝2a 3·a 5a 3＋a 5.④由①得a 2＝a 1＋a 32.⑤将④⑤代入②，得a 23＝a 1＋a 32·2a 3·a 5a 3＋a5.∴a 3＝(a 1＋a 3)a 5a 3＋a 5，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5均不为0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列．(2)已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝1,2na ⎛⎫⎪⎝⎭求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．解 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝(12)3－n .而b n ＋1bn ＝(12)2－n(12)3－n＝(12)－1＝2.∴数列{b n }是首项为14，公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝14·2n －1＝2n －3.1．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32 B.23 C ．－23 D.23或－23答案 C解析 因为a 4＝a 2·q 2，所以q 2＝a 4a 2＝818＝49.又因为a 1<0，a 2>0，所以q<0.所以q＝－2 3 .2．在等比数列{a n}中，若a2a3a6a9a10＝32，则a29a12的值为( ) A．4 B．2 C．－2 D．－4答案 B解析 由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝a56＝32＝25，得a6＝2，则a29a12＝a6a12a12＝a6＝2.3．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( ) A．100 B．－100C．10 000 D．－10 000答案 C解析 ∵lg(a3a8a13)＝lg a38＝6，∴a38＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a28＝10 000.4．(多选)在等比数列{a n}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2 020－a2 021a2 018－a2 019等于( )A．－3 B．－1 C．1 D．9答案 CD解析 由3a1，12a3,2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1.∴a2 020－a2 021a2 018－a2 019＝a2 020(1－q)a2 018(1－q)＝a2 020a2 018＝q2＝9或1.5．某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为_____________万元．答案 a(1＋m%)19解析 设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是a n万元，则a n＋1＝a n＋a n m%，∴a n＋1a n＝1＋m%.∴数列{a n}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴a n＝a(1＋m%)n－1.∴2021年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．1．知识清单：(1)等比数列的实际应用．(2)等比数列的常用性质．(3)等比数列的判定和证明．2．方法归纳：方程和函数思想．3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．1．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 3＝19，则a 5等于( )A ．±181B ．－181 C.181 D ．±12答案 C解析 根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a1＝181.2．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝1，a 6a 7a 8＝64，则a 5等于( )A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．4答案 A解析 由等比数列的性质可得，a 2a 3a 4＝a 3＝1，a 6a 7a 8＝a 37＝64，∴a 3＝1，a 7＝4，∴a 25＝a 3a 7＝4，易知a 5与a 3和a 7同号，∴a 5＝2.3．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2·…·a 9)等于( )A ．38 B ．39 C ．9 D ．7答案 C解析 因为a 4a 8＝a 5a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2·…·a 9)＝log 3a 95＝log 339＝9.4．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A ．－13B ．－3 C.13 D ．3答案 B解析 因为a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.5．(多选)设{a n }是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是( )A ．{a 2n }是等比数列B ．{a n a n ＋1}是等比数列C.{1a n}是等比数列D ．{lg|a n |}是等比数列答案 ABC解析 由{a n }是等比数列可得a na n －1＝q (q 为定值，n >1)．A 中，a 2na2n －1＝(a n a n －1)2＝q 2为常数，故A 正确；B 中，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故B 正确；C 中，1a n 1an －1＝a n －1a n ＝1q 为常数，故C 正确；D 中，lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故D 错误．6．已知在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________.答案 3×2n －3解析 由已知得a 10＝a 3·q 7＝3·q 7＝384，所以q 7＝128＝27，故q ＝2.所以a n ＝a 3·q n －3＝3×2n －3.7．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，则a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝________.答案 π2解析 因为数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，所以a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝a 4a 2＋2a 24＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a3＋a5)2＝π2.8．在数列{a n}中，a2＝32，a3＝73，且b n＝na n＋1，若{b n}是等比数列，则数列{b n}的公比是________，a n＝________.答案 2 2n－1 n解析 因为在数列{a n}中，a2＝32，a3＝73，且数列{na n＋1}是等比数列，2a2＋1＝3＋1＝4,3a3＋1＝7＋1＝8，所以数列{na n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以na n＋1＝2n，解得a n＝2n－1 n.9．已知数列{a n}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．解 ∵{a n}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.①当a3＝4，a7＝16时，a7a3＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.②当a3＝16，a7＝4时，a7a3＝q4＝14，此时a11＝a3q8＝16×(14)2＝1.10．已知数列{a n}为等比数列．(1)若a n>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若数列{a n}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．解 (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a23＋2a3a5＋a25＝36，即(a3＋a5)2＝36，又∵a n>0，∴a3＋a5＝6.(2)设等比数列{a n}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.由已知，得Error!∴Error!解得Error!若G是a5，a7的等比中项，则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962×(12)10＝9，∴a5，a7的等比中项为±3.11．设{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于( )A．2 B．－2C.12D．－12答案 D解析 因为{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，所以S n＝na1＋12n·(n－1)·(－1)，由S1，S2，S4成等比数列可知S2＝S1·S4，代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解得a1＝－1 2 .12．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15等于( ) A．±2 B．±4 C．2 D．4答案 C解析 ∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.13．在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．答案 －213解析 由于{a n}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213.14．已知等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，则a 1a 2a 3·…·a n 的最大值为________．答案 1 024解析 因为等比数列{a n }满足a 2a 5＝2a 3，且a 4，54，2a 7成等差数列，所以Error!解得a 1＝16，q ＝12，所以a n ＝16×(12)n －1＝25－n ，所以a 1a 2a 3·…·a n ＝24＋3＋2＋…＋(5－n )＝2922,n n-+所以当n ＝4或n ＝5时，a 1a 2a 3·…·a n 取最大值，且最大值为210＝1 024.15．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________.答案 23或32解析 ∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴Error!或Error!∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23.而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32.16．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：{a n －23}是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．(1)解 根据根与系数的关系，得Error!代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明 因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12(a n －23).若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0，可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0.所以数列{a n －23}是以12为公比的等比数列．(3)解 当a 1＝76时， a 1－23＝12，所以数列{a n －23}是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×(12)n －1＝(12)n ，所以a n ＝23＋(12)n ，n ∈N *即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋(12)n ，n ∈N *.。
高一下数学等比数列
高一下数学等比数列一．选择题（共21小题）1．已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5+b9等于（）A．2B．4C．8D．162．已知各项均不相等的等比数列{a n}，若3a2，2a3，a4成等差数列，设S n为数列{a n}的前n项和，则等于（）A．B．C．3D．13．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}满足a1＝1，q＝﹣3，则a5＝（）A．81B．﹣81C．243D．﹣2435．已知单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1B．q＜0C．q＞1D．0＜q＜16．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．10248．已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝（）A．B．﹣2C．2D．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，边a，b，c依次成等比数列，且b＝2，则S△ABC＝（）A．B．1C．2D．10．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a9+a5a6＝6，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．6B．5C．4D．1+log3511．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2，a1＝2，则a2020＝（）A．22019B．22020C．22021D．22021﹣212．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里13．在等比数列{a n}中，a1＝﹣16，a4＝8，则a7＝（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±214．已知等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于（）A．36B．216C．±36D．±21615．已知等比数列{a n}满足a n+1＜a n，a3＝1，2a12+a11＝a10，若{a n}的前n项和为S n，则S3为（）A．1或7B．﹣1C．7D．116．在等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2﹣5x+3＝0的两根，则log3a6＝（）A．1B．C．D．﹣117．已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a1＝1，a2+a3＝6a1，则a5＝（）A．4B．10C．16D．3218．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝1，S6＝9，则S9等于（）A．81B．17C．24D．7319．在等比数列{a n}中，已知a2a4a6＝8，则a3a5＝（）A．3B．5C．4D．220．等比数列{a n}的各项均为正数，且a6a7+a5a8＝18，则log3a1+log3a2+…log3a12＝（）A．12B．10C．8D．2+log3521．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足a72﹣a3﹣a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝（）A．2B．4C．8D．16二．填空题（共3小题）22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则cos（a2+a4）＝23．若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n﹣1+t，则t＝．24．正项等比数列{a n}其中a2•a5＝10，则lga3+lga4＝．三．解答题（共16小题）25．已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．26．在等比数列{a n}中，a1+a2＝6，a2+a3＝12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，且b2＝a2，b4＝a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．27．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}前n项和为T n，证明：≤T n＜1．28．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝30，S7＝56；各项均为正数的等比数列{b n}满足b1b2＝，b2b3＝．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．29．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n＝2a n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，b1＝3a1，b n+1＝b n+3，n∈N*，求数列{a n+b n}的前n项和T n．30．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n＝S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．31．设递增等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．32．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．33．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a3＝8，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．34．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足：，且3a3是a4，a5的等差中项．（1）求a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．35．在公差不为零的等差数列{a n}中，若首项a1＝1，a4是a2与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．36．已知{a n}是公差不为0的等差数列，满足a3＝7，且a1、a2、a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．37．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）记b n＝a n+1，求证：{b n}为等比数列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设c n＝（n+1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．38．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．39．（1）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，求{a n}的通项a n；（2）等比数列{a n}中，a5﹣a1＝15，a4﹣a2＝6，求公比q．40．在等比数列{a n}中a2＝3，a5＝81．（1）求a n；（2）设b n＝log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．高一下数学等比数列参考答案一．选择题（共21小题）1．C；2．A；3．A；4．A；5．D；6．C；7．B；8．D；9．D；10．B；11．B；12．B；13．A；14．B；15．C；16．B；17．C；18．D；19．C；20．A；21．B；二．填空题（共3小题）22．；23．；24．1；。
高一数学等比数列试题答案及解析
高一数学等比数列试题答案及解析1.已知是等比数列，且，，那么的值等于（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】由于是等比数列，，，又.故选A.【考点】等比中项.2.在各项都为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，前三项和为21，则( )．A．33B．72C．84D．189【答案】C【解析】由,故选C.【考点】等比数列性质.3.在等比数列中，已知前n项和=，则的值为（）A．－1B．1C．5D．-5【答案】D【解析】当=1时，===，当≥2时，==-=，∵是等比数列，∴公比为5，∴==5，解得=-5.【考点】等比数列定义；数列前n项和与第n项关系4.已知等比数列公比，若，，则 .【答案】42【解析】因为所以【考点】等比数列的有关运算5.已知数列{an }的前n项和为Sn，满足an¹ 0，，．（1）求证：；（2）设，求数列{bn }的前n项和Tn．【答案】（1）见解析（2）Tn=【解析】（1）由，变形为，然后利用累加法可证得结果. （2）由，．两式相减得，即，然后利用等差等比数列的前n项和公式即可求得结果.试题解析：（1）证明：∵，an¹ 0，∴．则，，…，（n≥2，）．以上各式相加，得．∵，∴．∴（n≥2，）．∵n = 1时上式也成立，∴（）．（2）∵，∴．两式相减，得．即．则．= =．【考点】递推关系式；累加法求和；等差等比数列的前n项和公式.6.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记该数列为，并设该等比数列的公比为，则有，所以所以，故选C.【考点】等比数列的通项公式.7.等比数列满足，则公比__________.【答案】【解析】设公比为，根据等比数列的通项公式可得，，两式相除可得.【考点】等比数列的通项公式.8.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．23B．21C．19D．17【答案】D【解析】法一：设公比为，则依题意有，所以，所以，选D；法二：依题意可知，所以，所以，选D．【考点】等比数列的通项及其前项和公式．9.在等比数列中，如果，那么等于（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】∵，∴，故选D．【考点】等比数列的性质．10.设成等比数列，其公比为2，则的值为( ) A．B．C．D．1【答案】A【解析】因为成等比数列，其公比为2，所以.因此.【考点】等比数列11.设,则等于 ( )【答案】C【解析】因为为一个以为首项,为公比等比数列前项的和,所以选C.【考点】等比数列求和12.已知等比数列中，则 ( )A．6B．﹣6C．±6D．18【答案】C【解析】因为，在等比数列中，如果，，那么，。
高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必
第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。
等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版
第二章 数列2.4等比数列测试题知识点一： 等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b ，…，b 一定为等比数列；③等比数列{a n }中，若公比q ＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.123.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列知识点二: 等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 26．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )A.52B.1－52C.25D.5－12 7.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.10．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.11．数列{a n }为等比数列，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.知识点三: 等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＞a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)．(1)判断{a n }是何种数列，并给出证明；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·…·b 20.18．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．20．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】。
2022年高中数学第二章数列4等比数列第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．等比数列{a n}中，a1＝4，a2＝8，则公比等于( )A．1 B．2C．4D．8[答案] B[解析] ∵a1＝4，a2＝8，∴公比q＝＝2.2．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( ) A．3 B．4C．5 D．6[答案] B[解析] ·()n－1＝，∴()n－1＝＝()3∴n＝4.3．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )A．64B．81C．128D．243[答案] A[解析] ∵{a n}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.4．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( ) A． B．C．D．2[答案] B[解析] 设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q＝，故a1＝＝＝，故选B．5．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝±3，ac＝9[答案] B[解析] 由条件知，∵，∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3，故选B．6．已知{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，a n>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( )A．m>kB．m＝kC．m<kD．m与k的大小随q的值而变化[答案] C[解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)＝(q－1)·a4·(1－q2)＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵a n>0，q≠1)．二、填空题7．已知等比数列{a n}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项a n＝__________.[答案] 3·2n－3[解析] ∵，∴∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝，∴a n＝a1q n－1＝3·2n－3.8．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是________．[答案] －[解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.三、解答题9．若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．[解析] ∵a,2a＋2,3a＋3成等比数列，∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，故应舍去．当a＝－4时满足题意，∴a＝－4.10．已知：数列{a n}的首项a1＝5，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{a n＋1}是等比数列．[证明] 由已知S n＋1＝2S n＋n＋5(n∈N*)．当n≥2时，S n＝2S n－1＋n＋4.两式相减得S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)＋1，即a n＋1＝2a n＋1，从而a n＋1＋1＝2(a n＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a2＋a1＝2a1＋6.又∵a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有a n＋1＋1＝2(a n＋1)，n∈N*.又∵a1＝5，a1＋1≠0.从而＝2，即数列{a n＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )A． B．C．D．或[答案] C[解析] ∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{a n}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.∴＝＝＝.2．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{b n}的连续三项，则数列{b n}的公比为( )A．B．4C．2D．[答案] C[解析] ∵a1、a3、a7为等比数列{b n}中的连续三项，∴a＝a1·a7，设{a n}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝＝＝2，故选C．3．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( ) A．16B．27C．36D．81[答案] B[解析] 设公比为q，由题意，得，∴q2＝9，∵a n>0，∴q＝3.∴a1＝，∴a4＝a1q3＝，a5＝a1q4＝，∴a4＋a5＝＋＝＝27.4．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log a x，log b x，log x( )cA．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列[答案] C[解析] ＋＝log x a＋log x c＝log x(ac)＝log x b2＝2log x b＝∴，，成等差数列．二、填空题5．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．[答案] 648[解析] 设公比为q，则8q6＝5 832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.6．在等比数列{a n}中，a n>0，且a n＋2＝a n＋a n＋1，则数列的公比q＝________.[答案] [解析] ∵a n＋2＝a n＋a n＋1，∴q2a n＝a n＋qa n.∵a n>0，∴q2－q－1＝0，q>0，解得q＝，或q＝(舍去)．三、解答题7．等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.[解析] (1)设{a n}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{b n}的公差为d，则有解得从而b n＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴数列{b n}的前n项和S n＝＝6n2－22n.8．在各项均为负数的数列{a n}中，已知2a n＝3a n＋1，且a2·a5＝，证明{a n}是等比数列，并求出通项公式．[证明] ∵2a n＝3a n＋1，∴＝，故数列{a n}是公比q＝的等比数列．又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝，即a·()5＝()3.由于数列各项均为负数，则a1＝－.∴a n＝－×()n－1＝－()n－2.。
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高一数学等比数列 练习题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等比数列{}n a 中，122a a +=,3450a a +=，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．等比数列{}n a 中， 0>n a ，443=a a ，则622212log log log a a a +++ 值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．等比数列,45,10,}{6431=+=+a a a a a n 中则数列}{n a 的通项公式为（ ）A ．nn a -=42B ．42-=n n aC ．32-=n n aD ．nn a -=324．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）A ．–4B ．–6C ．–8D ．–10 5．等比数列{}n a 中29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为 （ ）A ．81B ．120C ．140D ．1926．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:37．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65， 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）A ． S 1B ．S 2C ． S 3D ． S 48．已知()1f x bx =+为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()g n =1(0)[(1)],(1)n f g n n =-≥⎧⎨⎩, 设()()()1n a g n g n n N +=--∈，则数列{}n a 为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄， 若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将 所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）A ．7(1)a p +B ．8(1)a p +C ．7[(1)(1)]ap p p+-+D ．()()811ap p p +-+⎡⎤⎣⎦10．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则c b a ++的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411．已知等比数列1},{32=>a a a n ，则使不等式0)1()1()1(2211≥-++-+-nn a a a a a a 成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，设前n 项和为n S ，则2224x S S =+，246()y S S S =+的大小关系是（ ）A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．不确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． 13．等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n，则n a =_______.14．已知数列前n 项和S n ＝2n－1，则此数列的奇数项的前n 项的和是________15．已知等比数列{}n a 及等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 . 16．如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠）三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．已知数列}{,}{n n b a 满足22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a .(12分) （1）求证：数列{b n +2}是公比为2的等比数列； （2）求n a .18．已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(31,*∈-=N n a S S n n n (12分) （1）求21,a a ；（2）求证数列{}n a 是等比数列.19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）.证明：(12分) （1）数列{nS n}是等比数列； （2）S n ＋1＝4a n .20．已知数列}{n a 满足：n n n a a a 21,2111=-=-且. (12分) （1）求432,a a a ，; （2）求数列}{n a 的通项n a .21．已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a (12分)（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.22．甲、乙、丙3人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球. (14分) （1）若经过5次传球后,球仍回到甲手中，则不同的传球方式有多少种？ （2）设第n 次传球后，球回到甲手中不同的传球方式有a n 种，求a n参考答案一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．D 10．A 11.B 12.B 二、填空题 13. 12-n . 14.)12(312-n. 15. 978. 16. 0. 三、解答题17. （1）由2242222211=++=+++=++n n n n n n b b b b b b 得, }2{+∴n b 是公比为2的等比数列.（2）由（1）可知22.22.224211111-=--=∴=⋅=+++++-n n n n n n n n a a b b 则.令n =1，2，…n －1，则22,22,221323212-=--=--=--n n n a a a a a a ， 各式相加得)2222(32n n a ++++= n n n n n 222222)1(211-=+--=--++.18. (1)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ，∴=1a 21-，又)1(3122-=a S , 即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)当n>1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n na a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列. 19. （1）由a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S,∴21212=S S .又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列 .（2） 由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n S n S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n Sn =4a n (n 2≥).又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20.（1）234a =，278a =，31516a =. （2）21212a a -=，32312a a -=，43412a a -=，……nn n a a 211=--，以上等式相加得 n n a a 212121321+++=- ，则n n a 2121212132++++= =211)211(21--n =n 211-. 21.（1）设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n =（2）令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x所以 .12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x时, )1(242+=+++=n n n S n综上可得当1=x时,)1(+=n n S n ；当1≠x 时，.12)1()1(212xnx x x x S n n n----=+22． (1) 采用列表法由1可知总的传球方式有25＝32种，回到甲手中的有10种.（2）设第n 次传球后，球回到甲手中的方式总数为a n ，球没有回到在甲手中的方式总数为n a '，球在甲手中的概率为nnn n n a a p p 2)(==，球不在甲手中的概率为nnn n na a p p 2)('='='n 次传球后，球在甲手中的方式总数为a n ，就等于n-1次传球后，球不在甲手中的方式总数为1-'n a ，∴n a =1-'na , 212222211111------='='='==n n nn n n nn n n p p p a a p ,显然01=a ，则01=p ，由于21212111+-=-=--n n n p p p , )31(21311--=-∴-n n p p ，显然{}31-n p 是首项为31311-=-p ，公比为 21-的等比数列，1)21(3131---=-n n p ，12.3)1(31--+=n n n p .+∈-+==∴N n p a nn n nn ,3)1.(22.2.。