人教版高一数学必修5--第二章数列总结

人教版高一数学必修５第二章数列总结
1、数列的基本概念
（１)定义:按照一定的次序排列的一列数叫做数列.
(2）通项公式：如果数列{ａｎ}的第n 项ａn 与ｎ之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.
(3)递推公式:如果已知数列{ａｎ}的第一项(或前几项),且任何一项ａn 与它前一项a n -1(或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．
２、主要公式
(１)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n =错误!.
（２)等差数列
a n =a 1+（ｎ－1）d ＝a m +(n －m )d .
S n ＝＼f(１,2)n (ａ１+ａn )，S n ＝na １+1
2ｎ(n －1)d .
A ＝错误!(等差中项)． (3)等比数列
a n =a 1ｑｎ－
1，ａn ＝ａm ·q n -m . S n =错误!.
G ＝±错误!（等比中项).
3．主要性质
(1)若ｍ+n ＝p ＋q (ｍ、n 、p 、q ∈Ｎ*),
在等差数列{ａｎ｝中有：ａm ＋a ｎ=ａｐ＋a ｑ; 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a ｐ·a q .
(２)等差(比）数列依次k 项之和仍然成等差(比)．
专题一 数列的通项公式的求法
1．观察法根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式． (1)１,1,错误!,错误!，错误!,…； 2．定义法
等差数列{a n }是递增数列,前n 项和为S n ,且a 1，a 3，a 9成等比数列，S ５＝ａ错误!.求数列{a ｎ}的通项公式. 3．前ｎ项和法
(1）已知数列｛a n }的前n 项和S n =n 2+3n ＋1，求通项a n ; (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2,求通项a n ． 4．累加法
已知｛a ｎ}中,a １=1，且a n ＋１-a ｎ=３ｎ
（ｎ∈Ｎ*),求通项a n . 5.累乘法
已知数列｛a n },a 1＝错误!,前ｎ项和S n 与ａn 的关系是Ｓn ＝n (2n -1）a n ,求通项ａn ． 6.辅助数列法
已知数列{a n }满足a 1=1，ａn ＋１＝3a ｎ+2（n ∈Ｎ＊
).求数列{a ｎ}的通项公式.
7.倒数法
已知数列{a n}中,ａ1=1，aｎ＋1＝＼ｆ（aｎ，a n＋1)（ｎ∈N＊)．求通项ａn.
专题二数列的前ｎ项和的求法
1.分组转化求和法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解.
求和：Ｓn=1错误!+2错误!+3错误!+…＋（n+错误!).
2.裂项求和法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项，常见的拆项公式有：
(1)错误!＝错误!·(错误!-错误!);
(2)若{ａn}为等差数列,公差为d，
则错误!=错误!(错误!-错误!）;
(3)错误!=错误!－错误!等．
3.错位相减法
若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n bｎ}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n bｎ}的各项乘以等比数列{b n}的公比q,然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
已知数列｛aｎ}中,a1=３，点（a n,aｎ＋1)在直线y＝ｘ＋２上.
(1)求数列{a n｝的通项公式;
(2)若bｎ＝aｎ·３n，求数列{ｂn｝的前n项和T n.
4.分段求和法
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和.
已知数列{ａｎ｝的前n项和为S n,且a n+S n=１(n∈N*).
(1）求数列｛a n}的通项公式;
(2）若数列{ｂn}满足ｂn=3+loｇ４a n,设T n＝｜b１|＋|b２|＋…+|b n|,求Tｎ.
附注:常用结论
1）1＋2＋３+..．+n =
2) 1+3＋５+．..+(2ｎ-1）=
３)
三、等差、等比数列的对比
(1)判断数列的常用方法
看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2(）
③(为常数）.
看数列是不是等比数列有以下四种方法:
①
②（,)
③(为非零常数)．
④正数列｛}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
等差数列等比数列
定义
公式
1．
2．
1．
２.
性质
１．，
称为与的等差中项
2.若（、、、
)，则
3．,，成等差数列
4．
１．,
称为与的等比中项
2．若（、、、)，
则
3.，,成等比数列
4. ，
(3)在等差数列{｝中,有关Sn 的最值问题：
1),时,有最大值；,时，有最小值;
2)最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（);②若已知，则最
值时的值()可如下确定或。