数值分析课程设计报告(95分)

数值分析课程设计报告

设计题1、2、3、5

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目录

[设计题一] (3)

1.1问题分析与设计思路 (3)

1.2程序清单 (4)

1.4 结果分析 (5)

1.5设计总结 (6)

[设计题二] (6)

2.1问题分析与设计思路 (7)

2.2程序清单 (7)

2.3 运行结果 (9)

2.4结果分析与设计总结 (9)

[设计题三] (10)

3.1问题分析与设计思路 (10)

3.2程序清单 (10)

3.3 运行结果 (12)

3.4结果分析与设计总结 (13)

[设计题五] (13)

4.1问题分析与设计思路 (14)

4.2程序清单 (15)

4.3 运行结果 (20)

4.4结果分析 (21)

【数值分析课程设计总结】 (22)

11121112

31

111121n n H n n

n n ?? ? ? ? ?=+ ? ? ?

?+-??

[设计题一]

设计实验验证Hilbert 矩阵的病态性。

1.1问题分析与设计思路

在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题，而且病态矩阵问题还未有很好的解决方法，尤其是长方形、大型矩阵。目前主要有Tikhonov 、奇异值截断、奇异值修正等方

法。

求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵就是病态矩阵。解线性方程组Ax =b 时，若对于系数矩阵A 及右端项b 的小扰动δA 、δb ,方程组(A +δA )χ=b +δb 的解χ与原方程组Ax =b 的解差别很大，则称矩阵A 为病态矩阵。方程组的近似解χ一般都不可能恰好使剩余r=b -A χ为零，这时χ亦可看作小扰动问题A χ=b -r(即δA =0，δb =-r)的解,所以当A 为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。

因此，设计思路如下：

令x0=（1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b ，然后再用高斯消去法球解Hx=b ，得到近似解x ，然后利用标准差：

比较x与x0之间的误差。截图是取了几个n（程序中设置为1至30）去计算，看一下随着n的增大误差的变化情况。

1.2程序清单

共两个文件

qm1.m

gauss_liezhu1.m （在qm1.m中调用此程序）

qm1.m

gauss_liezhu1.m

1.4 结果分析

N=14

按照N 的递增顺序取了9个误差数据，制成散点折线图如上所示。

由此可以看出，此矩阵求解方程组时对数据的小扰动很敏感

实验验证Hilbert 矩阵的病态性成立。

1.5设计总结

（1）认识什么事矩阵的病态性

（2）令x0=（1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b ，然后再用高斯消去法球解Hx=b ，得到近似解x ，然后利用标准差公式

比较x 与x0之间的误差。

（3）取几个点进行误差记录 （4）绘制误差的散点图，形象分析

[设计题二]

1225年，达芬奇研究了方程3

2

210200x x x ++-=并得到它的一个近似根

=+=1()

- (0, 1, 2,)(2.1)

'()

n n n n

f x x x n f x *1.368808107x =。没有人知道他用什么方法得到它。设计两种方法去计算，并比较这两

种方法。

2.1问题分析与设计思路

f (x )=0的根(或f (x )的零点)，当f (x )复杂时，很难求，需要找到有效简单

的近似方法去求： （1）二分法理论: f (x )∈C[a,b],单调,f (a )f (b )<0，f (x )=0在(a,b)中有惟一根。 （2）迭代法

（3）牛顿（Newton ）法

针对本题，采用了两种方法。第一种方法是二分法，得到的近似根与精确解的误差小于

。第二种方法是用牛顿迭代法。

二分法

优点：条件和方法简单(只要求f (x )连续即可)，方法收敛；缺点：收敛速度慢，不易求偶数重根（如图）.

Newton 迭代法迭代公式

2.2程序清单

二分法程序：erfen.m

Newton 迭代法程序： qm2_2.m

nanewtom.m (在qm2_2.m 中调用)

二分法Newton迭代法

2.3 运行结果

二分法：

Newton迭代法

2.4结果分析与设计总结

通过二分法与Newton迭代法得出的答案相同。

（1）确定求方程近似根的三种方法

（2）翻书了解编程步骤

（3）总结本章重点知识：

1.熟悉区间二分法；

2.熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；

3.熟悉Newton迭代法及其几何意义;

4.熟悉收敛阶的定义；

5.熟悉Newton迭代法的收敛阶;

[设计题三]

某飞机头部的光滑外形曲线的型值点坐标由下表给出:

i0 x142 1462 1841 i

y 6 272 275 i

．．．

800处的函数值y及一阶、二阶导数值y’，y”。绘出模拟曲线的图形。

3.1问题分析与设计思路

曲线拟合的一般步骤

（一）绘制散点图，选择合适的曲线类型一般根据资料性质结合专业知识便

可确定资料的曲线类型，不能确定时，可在方格坐标纸上绘制散点图，根据散点的分布，选择接近的、合适的曲线类型。（二）进行变量变换，使变换后的两个变量呈直线关系。

（三）按最小二乘法原理求线性方程和方差分析

（四）将直线化方程转换为关于原变量X、Y的函数表达式

此题用三次样条插值

三次样条函数定义:函数S(x)∈C2[a,b] ，且在每个小区间[ xj,xj+1 ]上是三次多项式，其中 a =x0

3.2程序清单

text5.m

csfitf.m (function 文件)

daos1.m(function文件)

daos2.m(function文件)

daos1.m文件

Csfitf.m文件

daos2.m文件

text5.m文件3.3 运行结果

3.4结果分析与设计总结

用三次样条插值拟合出的曲线及计算结果如上图所示。

实际计算是还需要引入边界条件才能完成计算。边界通常有自然边界（边界点的导数为0），夹持边界（边界点导数给定），非扭结边界（使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）。Matlab把非扭结边界条件作为默认的边界条件。

[设计题五]

给定单摆方程初值问题

..

s i n ,(0),'(0)0

g

l

θθθθθ=-==

其中g=9.8,l=25. (1) 取初始偏离角度0100.1745θ== (2) 取初始偏离角度0

300.5236θ== 其精确解为0()c

o s ,g

t t l

θθωω==。分别对上述两种情况按照下列方法求出其数值解，比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。 （方案I ）欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1； （方案II ）改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1； （方案III ）四阶经典龙格—库塔法，步长h = 0.1。

4.1问题分析与设计思路

令，则可以将 改写为：

然后改写欧拉法、改进的欧拉法即龙格库塔公式。 欧拉法：

改进的欧拉法：

龙格库塔法：

4.2程序清单euler.m

euler_gai.m

f5_2.m

orig6.m

R-K.m

text_1.m text_1_2.m text_2.m text_2_2.m text_3.m text_3_2.m

4.3 运行结果

欧

拉