天津市南开区2020届高三下学期4月模拟考试数学试题(word版)
2019- 2020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试()
数学试题2020.04
第I卷
参考公式:
柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高｡
锥体的体积公式V锥体=1
3
Sh,其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高
如果事件A,B互斥,那么,P(A∪B)=P(A) +P(B)｡
如果事件A, B相互独立,那么P(AB) =P(A)·P(B)｡
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},集合S={1, 3, 5},T={3, 6},则
U
(S∪T)等于( ) .
(A) ∅(B) {1,3, 5, 6} (C) {2, 4, 7} (D) {2, 4, 6}
(2)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q的一个必要不充分条件是p,则实数a的取值范围是( )｡
(A) [1, +∞) (B) (-∞,1] (C) [-1, +∞)(D) (-∞,-3]
(3)为了调查学生的复习情况,高三某班的全体学生参加了一次在线测试;成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20, 40), [40, 60), [60, 80), [80,100].若成绩在[60, 80)的人数是16,则低于60分的人数是()
(A) 6 (B) 12 (C) 15 (D) 18
(4)函数
sin
()
3cos
x
e x
f x
x
+
=
+
的部分图象可能是( )
(5)若圆C 的圆心在第一象限,圆心到原点的距离为5,且与直线4x- 3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )｡
22()(1)(2)1A x y -+-=
22()(2)(1)1B x y -+-= 22()(1)(2)5C x y -+-=
22()(2)(1)5D x y -+-= (6)己知函数1()()2x x f x e e -=-,设212(0.31),(log 0.31),(2ln 2)a f b f c f ==-=n2),则a,b, c 的大小关系是( )｡
(A) a>c> b (B) a>b> c (C) b>c> a (D)b a>c
(7)已知函数f(x) =Acos(ωx+φ) (ω>0, -π<φ<0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为( )
5()()2cos()12
A f x x π=- ()()2cos(2)3
B f x x π=- 5()()2cos(2)6
C f x x π=-
5.()2cos(3)6D f x x π=- (8)已知点A 是抛物线2
4y x =与双曲线22
213x y b -=(b>0)的一个交点.若抛物线的焦点为F,且|AF|=4,则点A 到双曲线两条渐近线的距离之和为( )｡
()26A (B) 4 ()23C (D) 2
(9)已知函数2
32,0()1(1)2,0x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++⎩
＞,若方程f(x)=ax 有4个不同的实数根,则实数a 的取值范围是()
(A) (-1, 0) (B) (0, 1) (C) (0, 1] (D)(1, +∞)
第II 卷
二､填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分｡请
将答案填在题中横线上.
(10) 若212
i a i ->-(i 是虚数单位, a 是实数),则a=____ (11)二项式35()x x
的展开式中,常数项为_____ (12)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,D 是1CC 上一点,设四棱锥11D A ABB -的体积为1,V 三棱柱
111ABC A B C -的体积为V 2,则12:V V =______.
(13)甲､乙两名枪手进行射击比赛,每人各射击三次,甲三次射击命中率均为45
;乙第一次射击的命中率为7,8若第一次未射中,则乙进行第二次射击,射击的命中率为3,4
如果又未中,则乙进行第三次射击,射击的命中率为1.2
乙若射中,则不再继续射击｡则甲三次射击命中次数5的期望为_____,乙射中的概率为_____. (14)已知存在正数a,b 2
242log (1)ab b x +>-成立,则x 的取值范围____. (15)在平面四边形ABCD 中, AB=BC=2CD=2,∠ABC=60°,∠ADC=90°,若BE =,EF FG GC ==则2AE DC AE AF ⋅+⋅=____;若P 为边BC 上一动点,当PA PC ⋅取最小值时,则cos ∠PDC 的值为____.
三､解答题:(本大题共5个小题,共75分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算少骤)
(16) (本小题满分14分)
在△ABC 中,a, b,c 分别为三个内角A, B, C 的对边,若△ABC 的面积为
3323cos cos 0.a C A -= (1)求c 及cosA;
(II)求cos (2A-C)的值｡
(17) (本小题满分15分)
在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ，(1,AB AC AA AB ==⊥AC, p 为线段1BC 上一点.
(1)若1,BP PC =求PC 与1AA 所成角的余弦值;
(II)若12,BP PC =求PC 与平面11ABB A 所成角的大小;
(III)若二面角A|-AC-P 的大小为45°，求
1BP PC 的值｡
(18) (本小题满分15分)
已知数列{}n a 的前n 项和2.2
n n S n +=数列{}n b 满足:*11212,2()n n n b b b b n ++===∈N ( I)求数列{},{}n n a b 的通项公式;
(II)求
*21121)()(i i i i
n a b n b -=-∈∑N .
(19) (本小题满分15分) 已知点F 是椭圆22
22:1(x y C a a b
+=>b>0)的右焦点,过点F 的直线I 交椭圆于M,N 两点.当直线l 过C 的下顶点时, l 3,当直线l 垂直于C 的长轴时,△OMN 的面积为
3.2 (I)求椭圆C 的标准方程;
(II)当|MF| =2|FN|时, 求直线l 的方程;
(III) 若直线l 上存在点P 满足|PM|, |PF|, |PN|成等比数列,且点P 在椭圆外,证明:点P 在定直线上｡
(20) (本小题满分16分)
已知函数()n ,a f x axl x x =-其中a ∈R .
( I )若曲线y=f(x)在点(e, f(e))处的切线方程为x-y-e=0,其中e=2.71828…是自然对数的底数,求a 的值: (II)若函数f(x)是(1, +∞)内的减函数,求正数a 的取值范围;
(III)若方程f(x) =0无实数根,求实数a 的取值范围.。
天津市南开区2020届高三下学期4月模拟考试(一)数学试题
2019-2020学年度第二学期南开区高三年级模拟考试数学试题一、选择题1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,5S =，{}3,6T =，则() U S T U ð等于（ ） A ．∅B ．{}1,3,5,6C ．{}2,4,7D ．{}2,4,62．已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-3．为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.若成绩[)60,80的人数是16，则低于60分的人数是（ ）A ．6B ．12C ．15D ．184．函数()sin 3cos x e x f x x+=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若圆C 430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22121x y -+-=B ．()()22211x y -+-=C ．()()22125x y -+-=D ．()()22215x y -+-=6．已知函数()()12x xf x e e -=-，设()20.31a f =，12log 0.31b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2ln 2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+()0,0ωπϕ>-<<的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()52cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()52cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()52cos 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8．已知点A 是抛物线24y x =与双曲线()222103x y b b-=>的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且4AF =，则点A 到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A．B ．4C．D ．29．已知函数()()232,0112,0x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0-B ．()0,1C ．(]0,1D ．()1,+∞二、填空题 10．若212i a i ->-（i 是虚数单位，a 是实数），则a =______. 11．二项式5⎫-⎝的展开式中，常数项为______.12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 上一点，设四棱锥11D A ABB -的体积为1V，三棱柱111ABC A B C -的体积为2V ，则12:V V =______.13．甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击命中率为12.乙若射中，则不再继续射击.则甲三次射击命中次数5的期望为______，乙射中的概率为______.14．已知存在正数,a b使不等式()2log 123x a b>-+成立，则x 的取值范围______. 15．在平面四边形ABCD 中，22AB BC CD ===，60ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒，若BE EF FG GC ===u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AE DC AE AF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ______；若P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅u u u r u u u r取最小值时，则cos PDC ∠的值为______. 三、解答题16．在ABC △中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若ABC △的面积为2，1a b -=，cos cos 0C A -=.（1）求c 及cos A ； （2）求()cos 2A C -的值.17．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB AC AA ==，AB AC ⊥，p 为线段1BC 上一点. （1）若1BP PC =，求PC 与1AA 所成角的余弦值；（2）若1BP =，求PC 与平面11ABB A 所成角的大小； （3）若二面角A AC P --的大小为45︒，求1BPPC 的值.18．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=.数列{}n b 满足：122b b ==，()1*12n n n b b n N ++=∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求()*21121ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑.19．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于,M N 两点.当直线l 过C 的下顶点时，l，当直线l 垂直于C 的长轴时，OMN △的面积为32.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM ，PF ，PN 成等比数列，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上. 20．已知函数()ln af x ax x x =-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0x y e --=，其中 2.71828...e =是自然对数的底数，求a 的值；（2）若函数()f x 是()1,+∞内的减函数，求正数a 的取值范围； （3）若方程()0f x =无实数根，求实数a 的取值范围.2019-2020学年度第二学期南开区高三年级模拟考试数学试题参考答案一、选择题二、填空题 10．211．52-12．2:3 13．125，636414．()115．132三、解答题16．解：（1cos sin 0C c A -=cos sin sin 0A C C A -=，∵sin 0A >sin 0C C -=，即tan C = ∵0C π<<，∴3C π=.∴42ABC S ab ==△，即6ab =， 又1a b -=，解得3a =，2b =.由余弦定理得2222cos 7c a b ab C =+-=，解得c =从而222cos 2b c a A bc +-==.（2）由（1）得sin 14A =，∴sin 22sin cos A A A ==，213cos 22cos 114A A =-=-， ∴()cos 2cos2cos sin 2sin A C A C A C -=+13111427⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭.17．解：（1）解法1：∵在三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC P ， ∴1PCC ∠即为PC 与1AA 所成角. ∵1CC ⊥底面ABC ，∴1CC BC ⊥， ∵1BP PC =，∴11PCC BC C ∠=∠，不妨设1AB =，∵1AB AC AA ==，∴1BC∴11cos 3PCC PCC ∠=∠=. （1）解法2：如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AB =， 则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()10,1,1C . ∵1BP PC =，∴111,,222P ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴111,,222CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，又()10,0,1AA =u u u r，∴111cos ,3CP AA CP AA CP AA ⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴PC 与1AA.（2）设(),,P a b c，由1BP =u u u r u u u r，得())1,,,1,1a b c a b c -=---，解得1,2P，∴1,1CP =u u u r ，设PC 与平面11ABB A 所成角为α， ∵平面11ABB A 的法向量为()10,1,0n =，所以1111sin cos ,2n CP n CP n CP α⋅====⋅u u u r u u u r u u u r ， ∴30α=︒.（3）设()1,,BP BC λλλλ==-u u u r u u u u r，则()()()1,1,0,,1,1,CP CB BP λλλλλλ=+=-+-=--u u u r u u u r u u u r.设平面ACP 的法向量为()2,,n a b c =，则()()()()()()22,,0,1,00,,,1,1,110,n AC x y z y n CP x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅--=-+-+=⎪⎩u u u r u u u r 取1z λ=-，得x λ=，即()2,0,1n λλ=-. 又平面1A AC 的法向量为()31,0,0n =， ∴2323cos 45n n n n ⋅︒==⋅，解得12λ=，∴11BPPC =. 18．解：（1）2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=， 1n =时，111a S ==，满足上式，∴n a n =.∵112n n n b b ++=，∴()122nn n b b n -=≥，∴()1122n n b b n +-=≥，∴{}n b 的奇数项和偶数项分别是2为首项，2为公比的等比数列，∴1222,2,.n n nn b n +⎧⎪=⎨⎪⎩,奇偶为数为数（2）2111112112222n n n ni ii i iii i i i i i a b i i b -====⎛⎫⎛⎫-=-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑， 设()()231123...10,1n n n M x x x n xnx x -=⋅+⋅+⋅++-+≠，①()2341123...1n n n xM x x x n x nx +=⋅+⋅+⋅++-+②①－②得()()231111...1n nn n n x x x M x x x x nxnx x++--=++++-=--，∴()()1211n n x nx n x M x ++--=-∴()()()11212212212212n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，1211112222222112nn in i n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭∑， 从而()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑. 19．解：（1）由题设：b c=232b c a =，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2234690t y ty ++-=， 有122634ty y t -+=+，①122934y y t -=+，②由2MF NF =，得122y y =-， ③联立①②③得，()22227293434t t t --=++，解得t =.20y ±-=.（3）设()00,P x y ，当直线l 与x 轴重合时，∵点P 在椭圆外，∴02x -，02x +同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x -+=-，解得052x =. 当直线l 与x 同不重合时，由（2）知，122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，∵10PM y =-，20PN y y =-，0PF =，∵点P 在椭圆外，∴10y y -，20y y -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()210200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即0229603434ty t t ---=++， 解得032y t =，代入直线l 的方程1x ty =+，得052x =.∴点P 在定直线52x =上.20．解：（1）()()1ln 1a f x a x ax-'=+-，由曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0x y e --=， 知()0e f e e --=，即()0af e ae e =-=，()121a f e a ae-'=-=，解得1a =.（2）若函数()f x 是()1,+∞内的减函数， 则()()1ln 10a f x a x ax -'=+-≤在()1,+∞恒成立.∵0a >，∴1ln 10a x x -+-≤在()1,+∞恒成立.令()1ln 1a g x x x-=+-，()()211a g x a x x-'=--， ①若01a <≤，()0g x '>，()g x 在()1,+∞单调递增，∴()()10g x g >=.②若12a <<，当1111,1a x a -⎛⎫⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()10g x g >=.③若2a ≥，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()10g x g <=.综上，2a ≥时，()f x 是()1,+∞内的减函数. （3）方程()0f x =⇔方程1ln 0a a x x --=.若1a =，则1x =是方程1ln 0a a x x --=的解，∴1a ≠.令1a t x-=，则11a x t-=，∴方程1ln 0a a x x --=⇔方程ln 1at t a =-.①若0a =，方程ln 1at t a =-无实数根. ②若0a ≠，1a ≠，方程ln 1a t t a =⇔-方程1ln a ta t-=. 令()ln t h t t =，()21ln th t t-'=， 当()0,t e ∈时，()0h t '>，当(),t e ∈+∞时，()0h t '<， 所以()h t 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ∴()()1h t h e e ≤=，∴()1,h t e ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭.若方程1ln a t a t -=无实数根，则11a a e->，解得0a <或1ea e >-，综上，0a ≤或1ea e >-.。
2024届天津市南开区高三下学期质量监测(一)数学试卷(含答案与解析)_2534
天津市南开区2024届高三下学期质量监测（一）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3、本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径.如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .对于事件A ，B ，()0P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{1,2,3}A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2. 若0b ≠，则“,,a b c 成等比数列”是“b =A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若a ＞1，则11a a +-的最小值是（ ） A. 2 B. aC.D. 34. 函数2221sin 2ln x y x x+=⋅的图象可能为（ ）的A. B.C. D.5. 已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，则（ ） A. a b c ＜＜B. c b a ＜＜C. b a c ＜＜D. b c a ＜＜6. 已知随机变量()()2~~6X N Y B p μσ,，,，且()()()142P X E X E Y ≥==，则p =（ ）A.16B.14C.13D.237. 关于函数π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中： ①π-为该函数一个周期； ②该函数图象关于直线π3x =对称； ③将该函数的图象向左平移π6个单位长度得到3cos 2y x =的图象： ④该函数在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AC BD ⊥，其外接球体积为36π，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积为（ ）A.53π6B.25π3C.65π9D.19π39. 已知O 为坐标原点，双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别是12F F ，，离心率为P 是C 的右支上异于顶点的一点，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足是M，MO =，则的的点P 到C 的两条渐近线距离之积为（ ） A.43B.23C. 2D. 4第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题2、本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. i 是虚数单位，复数43i 34iz -=+，则z 的虚部为______11.若6x ⎛+ ⎝的展开式中2x 的系数为160，则实数a 的值为__________. 12. 直线20mx y --=被圆()2214x y ++=截得的弦长的最小值为______13. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为______，第二次抽到3号球的概率为______ 14. 平面四边形ABCD 中，π23AB ABC AC AB =∠=⊥，，，E 为BC 的中点，用AB 和AE表示AC = ______；若2ED =，则AD AB ⋅的最小值为______15. 已知函数()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()3e xf xg x x +=-，若函数()()20242320242x h x f x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为______三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，. （1）求a 值： （2）求证：2A B =； （3）πcos 212B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，的的2224AB CD CD AB PD AD AP =====∥，，E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，点F 是棱PA 上一点.（1）证明：//PA 平面BDE （2）求点F 到平面BDE 的距离；（3）求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值.18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合，抛物线的准线被C. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MA MB ⋅为定值？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.19. 在正项等比数列{}n a 中，132420324a a a a +==，. （1）求{}n a 的通项公式：（2）已知函数()1f x x =++，数列{}n b 满足：()111n n b b f b n *+==∈N ，，.（i）求证：数列为等差数列，并求{}nb 的通项公式（ii ）设n n n c a b =-，证明：11117142n k kn c c +=+≤-∑，*n ∈N 20. 已知2a -，a 为函数()()2e xf x x mx n =++的极值点，直线l 过点()()()()2,2,A a f a B a f a --，，R a ∈（1）求()f x 的解析式及单调区间：（2）证明：直线l 与曲线()y f x =交于另一点C ： （3）若1AB n n n BC*<<+∈N ，，求n .（参考数据：ln 20.693=⋯，ln 5 1.609=⋅⋅⋅）参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{1,2,3}A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】先根据全集U 求出集合A 补集U A ð，再求U A ð与集合B 的并集()U A B ⋃ð． 【详解】由题得，{}0,4,U A = ð{}{}{}()0,42,40,2,4.U A B ∴⋃=⋃=ð故选C. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 2. 若0b ≠，则“,,a b c 成等比数列”是“b =的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论． 详解：由题意得，例如1,1,1a b c ==-=，此时,,a b c构成等比数列，而b =不成立，反之当0b ≠时，若b =，则2b cb ac a b=⇒=，所以,,a b c 构成等比数列， 所以当0b ≠时，,,a b c构成等比数列是b =故选B ．点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力． 3. 若a ＞1，则11a a +-的最小值是（ ） A. 2 B. aC.D. 3【答案】D的【解析】【分析】原式可化为111111a a a a +=-++--形式且a ＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a ＝2【详解】由a ＞1，有a －1＞0∴11111311a a a a +=-++≥+=--， 当且仅当1111a a -==-， 即a ＝2时取等号. 故选：D【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题4. 函数2221sin 2ln x y x x+=⋅的图象可能为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在π(0,)2上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.【详解】函数2221()sin 2ln x y f x x x+==⋅的定义域为{}|0x x ≠， 又22222()121()sin 2()ln sin 2ln ()()x x f x x x f x x x-++-=-⋅=-⋅=--， 因此函数2221sin 2ln x y x x+=⋅为奇函数，函数图象关于原点对称，BD 错误；当π(0,2x ∈时，sin 20x >，22221122x x x +=+>，则220ln 21x x+>，因此2221sin 2ln 0x x x +⋅>，C 错误，A 符合题意.故选：A5. 已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，则（ ） A. a b c ＜＜ B. c b a ＜＜C. b a c ＜＜D. b c a ＜＜【答案】A 【解析】【分析】由指数函数与对数函数的性质确定,,a b c 的范围，进而确定大小关系.【详解】由指数函数与对数函数的性质可得， 1.111222a --=<=，1114441111log log log 12234b =<=<=，22log 3log 21c =>=， 所以a b c <<， 故选：A.6. 已知随机变量()()2~~6X N Y B p μσ,，,，且()()()142P X E X E Y ≥==，则p =（ ）A.16 B.14C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的性质可得4μ=，即可根据二项分布的期望公式求解. 【详解】由()2~X Nμσ,，以及()142P X ≥=可得4μ=， 由于()()E X E Y =，故()()64E X p E Y ===，故23p =， 故选：D7. 关于函数π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中： ①π-为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线π3x =对称； ③将该函数的图象向左平移π6个单位长度得到3cos 2y x =的图象： ④该函数在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④C. ①②④D. ①③④【答案】C 【解析】【分析】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性代入验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断. 【详解】对于①，由周期公式可得2ππ2T ==，所以函数π3cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，所以()πZ,0k k k ∈≠，均是其周期.故①正确；对于②，当π3x =时，ππ3cos 23cos π333y ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭，所以π3x =是其对称轴，故②正确； 对于③，将函数π3cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移π6个单位得到ππ2π3cos 23cos 2633y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故③错误；对于④，ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，π2π20,33x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数的单调性可知，函数π3cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④正确. 综上，正确的有①②④. 故选：C.8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AC BD ⊥，其外接球体积为36π，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积为（ ）A.53π6B.25π3C.65π9D.19π3【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出底面为正方形，长方体外接球的直径即为长方体的体对角线且球心在体对角线的中点，由外接球的体积求出1AC ，从而求出底面边长，再利用向量法求出球心到平面11AB D 的距离，即可求出截面圆的半径，从而求出其面积.【详解】如图建立空间直角坐标，设AD a =、DC b =(),0a b >，则(),,0B a b ，(),0,0A a ，()10,,2C b ，()0,0,0D ， 所以(),,0DB a b = ，()1,,2AC a b =-，因为1AC BD ⊥，所以2210AC DB a b ⋅=-+=，所以a b =，即ABCD 为正方形，又长方体1111ABCD A B C D -的外接球的直径为长方体的体对角线长1AC ， 外接球的球心为体对角线的中点不妨设为O ，由外接球体积为36π，所以314π36π32AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得16AC =，又16AC ==，解得4a =（负值舍去）， 所以()4,0,0A ，()10,0,2D ，()14,4,2B ，()2,2,1O ，所以()14,0,2AD =- ，()10,4,2AB = ，()2,2,1AO =-，设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z = ，则11420420n AD x z n AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取()1,1,2n =- ，所以点O 到平面11AB D的距离n AO d n⋅=== ， 所以外接球被平面11AB D截得的截面圆的半径r == 所以截面圆的面积225ππ3S r ==， 即外接球被平面11AB D 截得图形面积为25π3. 故选：B9. 已知O 为坐标原点，双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别是12F F ，，离心率为P 是C 的右支上异于顶点的一点，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足是M ，MO =，则点P 到C 的两条渐近线距离之积为（ ） A.43B.23C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】延长2MF ，交1PF 于点N ,由已知PM 是12F PF ∠的平分线，且2PM NF ⊥，所以得到等腰三角形，所以2PN PF =,且点M 是2NF 中点，结合原点O 是12F F 中点，由中位线结合双曲线定义得到a =进而求出,b c ；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可.【详解】如图，延长2MF ，交1PF 于点N ,由已知PM 是12F PF ∠的平分线，且2PM NF ⊥， 所以2PN PF =,且点M 是2NF 中点.由原点O 是12F F 中点，可得112OM NF =()112PF PN =-()1212PFPF =-a =，又MO =，所以a =c a =，c =1b =. 设点(),P x y ，所以22221x y a b-=，即222222b x a y a b -=，所以点P 到两条渐近线距离之积为：22222b x a yc - 22223a b c ==.故选：B.【点睛】结论点睛：本题利用三线合一结合中位线、双曲线定义得出MO a =是关键，这个具有一般性，可以作为相应二级结论，最后双曲线上点到两条渐近线距离之积也具有一般性222a bc.第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题2、本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. i 是虚数单位，复数43i 34iz -=+，则z 的虚部为______【答案】45- 【解析】【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得复数z 得代数形式，从而得到其虚部. 【详解】()()()()534i 534i 43i 534i 34i34i 34i 34i 2555z ---=====-+++-. 所以复数z 的虚部为45-. 故答案为：45-. 11.若6x ⎛+ ⎝展开式中2x 的系数为160，则实数a 的值为__________.【答案】2 【解析】的的【分析】法一：可使用二项式展开式的通项公式，通过已知条件，使用待定系数法，求解出参数的值； 法二：可以将此二项式看成6个这样的式子乘在一起，两项x看看怎样组合，能得到2x ，即可完成等量关系的建立，从而完成参数的求解.【详解】法一：6x ⎛+ ⎝展开式第1r +项4666331666C C C rr rr r r r r r rr T x x a x a x ----+⎛=== ⎝4623r -=时，3r =，3323246C 20T a x a x ==，320160a ∴=，2a ∴=. 故答案为：2.法二：6x ⎛+ ⎝展开式中，要想凑出2x ，必须x也取三次方，于是算下系数就有3336C 20160a a ⋅==，2a =. 故答案为：2.12. 直线20mx y --=被圆()2214x y ++=截得的弦长的最小值为______【答案】【解析】【分析】求得圆的圆心C 和半径，求得直线恒过的定点P ，可得经过点P 与线段CP 垂直的弦的长度最短，由勾股定理计算即可．【详解】直线20mx y --=恒过定点(0,2)P -， 而圆22(1)4x y ++=的圆心为(0,1)C -，半径r 为2， 可得P 在圆C 内，经过点P 与线段CP 垂直的弦的长度最短，此时弦长为==．故答案为：13. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为______，第二次抽到3号球的概率为______ 【答案】 ①.12##0.5 ②.1148【解析】【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，第二次抽到3号球为事件B ，再利用全概率公式求解即可.【详解】根据题意，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为2142P ==. 记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =， 则有()112P A =，()()2314P A P A ==， 记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =， 则()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =， 记第二次抽到3号球为事件B ，()()()()112233P B P A B P A B P A B ∴=++()()()()()()111222333P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅1111111124444648=⨯+⨯+⨯=. 所以第二次抽到3号球的概率为1148. 故答案为：12；1148. 14. 平面四边形ABCD 中，π23AB ABC AC AB =∠=⊥，，，E 为BC 的中点，用AB 和AE表示AC = ______；若2ED =，则AD AB ⋅的最小值为______ 【答案】 ①. 2AE AB -②. 2-【解析】【分析】由向量的加减法运算求解第一个空，利用平面向量定理结合数量积运算律求解第二个空.【详解】因为2AE AB AC =+ ，故AC = 2AE AB -；π2,3AB ABC AC AB AEB =∠=⊥∴ ，，为等边三角形，则()AD AB AE ED AB AE AB ED AB ⋅=+⋅=⋅+⋅122cos 602ED AB =⨯⨯+⋅， 若2ED =，则D 在以E 为圆心的圆上且在直线AC 的左侧部分运动，ED AB ⋅方可取到最小，22cos ,ED AB ED AB ⋅=⨯ ，易知,πED AB = 时ED AB ⋅取得最小值4-， 故AD AB ⋅的最小值为242-=-.故答案为：2AE AB -；2-.15. 已知函数()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()3e xf xg x x +=-，若函数()()20242320242x h x f x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为______【答案】－1或12 【解析】【分析】由已知可得函数()2024h x +有唯一零点，证明函数()2024h x +为偶函数，结合偶函数的性质，根据条件列方程求λ的值. 【详解】因为函数()()20242320242x h x f x λλ-=---有唯一零点，所以函数()()2202432x h x f x λλ+=--有唯一零点，又()()f x f x -=，()()()()22202432322024xxh x f x f x h x λλλλ-∴-+=---=--=+，所以函数()2024h x +是偶函数，又函数()2024h x +有唯一零点， 则()2024h x +的零点为0，所以()21020f λλ--=，因为()g x 是R 上的奇函数，所以()00g =， 由()()001f g +=，解得()01f =，所以2210λλ+-=，解得1λ=-或12. 故答案为：1-或12.【点睛】关键点睛：解题关键是证明函数()2024h x +是偶函数，结合有唯一零点确定()2024h x +的零点为0，由此列式运算得解.三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，. （1）求a 的值： （2）求证：2A B =； （3）πcos 212B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值【答案】（1）（2）证明见解析 （3 【解析】【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解；（2）由6cos a B =可得2cos a b B =，利用正弦定理结合0πA <<，得证；（3）由（1）可求得cos ,sin B B ，根据二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再利用两角差的余弦公式求得结果；或由余弦定理求得cos ,sin A A ，结合2A B =，利用两角差的余弦公式运算得解. 【小问1详解】由6cos a B =及余弦定理，得22262a c b a ac+-=⋅，因为31b c ==，，所以212a a ==，. 【小问2详解】由6cos a B =及3b =，得2cos a b B =， 由正弦定理得sin 2sin cos sin 2A B B B ==， 因为0πA <<，所以2A B =或2πA B +=.若2πA B +=，则B C =，与题设矛盾，因此2A B =.【小问3详解】由（Ⅰ）得cos 6a B ===，因为0πB <<，所以sin B ===所以21sin 22sin cos cos 22cos 13B B B B B ===-=-， 所以ππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12666B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132⎛⎫=-=⎪⎝⎭.另解：因为2221cos ,sin 23b c a A A bc +-==-===， 所以ππππcos 2cos 2cos cos sin sin 12666B B A A ⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，2224AB CD CD AB PD AD AP =====∥，，E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，点F 是棱PA 上一点.（1）证明：//PA 平面BDE （2）求点F 到平面BDE 的距离；（3）求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的一个法向量为m，证明0PA m ⋅=即可； （2）利用向量法求点到面的距离； （3）利用向量法求面面角. 【小问1详解】因为CD ⊥平面PAD ，所以CD PD CD AD ⊥⊥，.因为2PD AD AP ===，，所以PD AD ⊥.故以点D 为坐标原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()2,0,02,2,00,4,00,0,2A B C P ，，，，440,,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()442,2,00,,33DB DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，设平面BDE 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00m DB m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22044033x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得1y =-，1z =，则()1,1,1m =- . 又()2,0,2PA =- ，可得0PA m ⋅=，因为PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE . 【小问2详解】 因为//PA 平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离等于点A 到平面BDE 的距离.()0,2,0AB = ，则点A 到平面BDE的距离为m AB m ⋅==【小问3详解】()()2,2,00,4,2BC PC =-=- ，，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220420x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，1y =，2z =，则()1,1,2n = . 设平面BDE 与平面PBC 的夹角为α，则cos cos ,m nm n m n α⋅====故平面BDE 与平面PBC. 18. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合，抛物线的准线被C. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MA MB ⋅为定值？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22=12x y +（2）M 存在，其坐标为5,04⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，进而可得椭圆焦点坐标以及长半轴a 与短半轴b 之间的等量关系，则椭圆方程可求；（2）分直线l 斜率为0和不为0两种情况讨论，通过联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理进行化简即可求得定值. 【小问1详解】抛物线的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，由题意得2222111=12a b a b-=+，， 解得2221a b ==，，所以椭圆C 的方程为22=12x y +.【小问2详解】假设存在符合条件的点(),0M m ，设()()1122,,A x y B x y ，，的则()()1122,,MA x m y MB x m y =-=-，，()()()21212121212MA MB x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++，①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210t y ty ++-=，则1212222122t y y y y t t --+==++， 所以()()()22121212122221112t x x ty ty t y y t y y t -+=++=+++=+，()12122422x x t y y t +=++=+ 因此()222222412m t m m MA MB t -+-+⋅=+ ，若对于任意的t 值，上式为定值，则()2224122m m m -+=-，解得54m =，此时，716MA MB ⋅=- 为定值.②当直线l 斜率为0时，()225722416MA MB mm m ⎛⎫⋅=--=-=-=- ⎪⎝⎭综合①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为5,04⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点． 19. 在正项等比数列{}n a 中，132420324a a a a +==，. （1）求{}n a 的通项公式：（2）已知函数()1f x x =++，数列{}n b 满足：()111n n b b f b n *+==∈N ，，.（i）求证：数列为等差数列，并求{}nb的通项公式的（ii ）设n n n c a b =-，证明：11117142n k kn c c +=+≤-∑，*n ∈N 【答案】19. 123n n a -=⋅20. （i ）证明见解析，()2n b n n *=∈N ；（ii ）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据等比数列基本量运算求得1,a q ，求得结果； （2）（i ）由()1n n b f b +=()1Nn *=∈，得解；（ii ）当1n =时，易判断结论成立，当2n ≥时，先证明()()21231343212n n n n -⋅-+<⋅-+，借此将1k c 裂项，放缩证明()2121311223231k k k c k k -⎡⎤<⋅-⎢⎥⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦，再根据裂项相消法求和得证. 【小问1详解】因为正项等比数列{}n a 中，2243324a a a ==，所以318a =. 又因为1320a a +=，所以12a =，进而公比3q =，所以123n n a -=⋅.【小问2详解】（i ）因为())211f x x =++=，所以())211n n b f b +==+()1N n *-=∈，所以数列1=为首项，公差为1的等差数列.n =，即()2N n b n n *=∈.（ii ）1223n n n n c a b n -=-=⋅-.当1n =时，左式121132c c =+=，右式2713422c =-=，左式＝右式. 当2n ≥时，()()()212212231112323231k k k k k k c k k k --⋅-+==⋅-⎡⎤⋅-⋅⋅-+⎣⎦()()()2211223111432123231k k k k k k k k --⎡⎤⋅-+=⋅-⎢⎥⋅-+⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦下面先证明()()21231343212n n n n -⋅-+<⋅-+， ()()()()22113123212312243214321n n n n n n n n n n --⎛⎫⋅-+--- ⎪⋅-+⎝⎭=⋅-+⋅-+， 令()14321n n A n -⋅-=+，*N n ∈，()()()()122114321432124312310n n n n n n A A n n ------=⨯-+-⨯+-=⨯->-≥，1n n A A -∴>，*N n ∈，又11A =，0n A ∴>，即()143210n n -⋅-+>，又221130224n n n ⎛⎫--=--> ⎪⎝⎭， 所以()()()()2211312321231322432143212n n n n n n n n n n --⎛⎫⋅-+--- ⎪⋅-+⎝⎭=<⋅-+⋅-+. ()()()22112231111432123231k k k k k k c k k k --⎡⎤⋅-+∴=⋅-⎢⎥⋅-+⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦ ()212311223231k k k k -⎡⎤<-⎢⎥⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦. 所以()212221211311111223223323231nn n k k c n n -=⎡⎤<+-++-⎢⎥⋅-⋅-⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦∑ ()21213117311223242231n n c n +⎡⎤=+-=-⋅⎢⎥⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦. 即11117142n k k n c c +=+≤-∑. 综上：当N n *∈时，11117142n k k n c c +=+≤-∑ . 【点睛】关键点睛：本题第二问的（ii ）问，关键是先证明()()21231343212n n n n -⋅-+<⋅-+，借此将1k c 放大成一个能用裂项求和的形式得证.20. 已知2a -，a 为函数()()2e x f x x mx n =++的极值点，直线l 过点()()()()2,2,A a f a B a f a --，，R a ∈（1）求()f x 的解析式及单调区间：（2）证明：直线l 与曲线()y f x =交于另一点C ：（3）若1ABn n n BC *<<+∈N ，，求n .（参考数据：ln 20.693=⋯，ln 5 1.609=⋅⋅⋅）【答案】（1）()()222e x f x x ax a =-+，()f x 在(),2a ∞--，(),a ∞+单调递增，在()2,a a -单调递减（2）证明见解析（3）4 【解析】【分析】（1）根据极值点是导数对应方程的根列式求出,m n ，判断导数正负求出单调区间； （2）求出直线AB 的方程，与()y f x =联立，可得关于x 的方程，解方程即可得证； （3）由（2）得()020e2e x a a x --=，即()()00ln ln 22a x a x ---=-，由AB t BC =，可得02x a t =-，代入可得2ln 20t t+-=.设()2ln 2h x x x =+-，利用导数可得t 的取值范围，进而求得n 的值. 【小问1详解】因为()()()22e x f x x m x m n =++++'， 依题意有,2a a -是方程()220x m x m n ++++=的两根， 则()()2222m a m n a a -+=-+=-，，解得22m a n a =-=，，所以()()222e x f x x ax a =-+.当(),2x a ∞∈--与(),a ∞+时，()0f x '>；当()2,x a a ∈-时，()0f x '<；所以()f x 在(),2a ∞--，(),a ∞+单调递增，在()2,a a -单调递减.【小问2详解】直线AB 的方程为()()()()()22f a f a y f a x a a a ---=---，即()22e a y x a -=--.由()()()22e 2e x a y f x x a y x a -⎧==-⎪⎨=--⎪⎩，得()()2e 2e 0x a x a x a -⎡⎤--+=⎣⎦，①，显然x a =和2=-x a 为方程的①解.设()()2e 2e x a g x x a -=-+，则()()1e xg x x a =-+'，令()0g x '=得1x a =-， 当(),1x a ∞∈--时，()0g x '<；当()1x a ∞∈-+，时，()0g x '>， 所以()g x 在(),1a ∞--单调递减，在()1,a ∞-+单调递增.因为()()212e e 0a g a --=-<，()22e 0a g a -=>，()20g a -=,所以()g x 有且仅有2个零点02a x -，，其中()01,x a a ∈-，即直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ，且C 的横坐标为0x .【小问3详解】由（2）得()020e2e x a a x --=，即()()00ln ln 22a x a x ---=-， 设AB t BC =，则()022a a t a x a x --==--，所以02x a t =-，代入可得2ln 20t t +-=. 设()2ln 2h x x x =+-，则()22x h x x='-，令()0h x '=得2x =. 当()1,2x ∈时，()0h x '<；当()2,x ∞∈+时，()0h x '>.所以()h x 在()1,2单调递减，在()2,∞+单调递增.因为()10h =，()342ln 220.7 1.502h =-<⨯-<，()85ln 5 1.6 1.605h =->-=， 所以存在唯一的()4,5t ∈，使得()0h t =.所以2ln 20t t +-=，此时()()0222002e 2e e 2e a x a a t g x x a t---=-+=-+ ln 22222e e 2e e 20a t a t t t ---⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，45ABBC <<，所以4n =.【点睛】思路点睛：第三问，根据（2）可得()020e 2e x a a x --=，即()()00ln ln 22a x a x ---=-，设ABt BC =，根据,,A B C 在直线l 上，横坐标分别为02,,a a x -，可得()0022a a t a x a x --==--，解得02x a t =-，代入可得2ln 20t t +-=.令()2ln 2h x x x =+-，求导判断单调性，求出t 的范围，即45ABBC <<，求得n .。
天津市南开区2020年高考数学模拟试卷(4月份) 含解析
天津市南开区2020年高考模拟考试（4月份）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6} 2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．184．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝56．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．29．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．天津市南开区2020年高考模拟（4月份）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6}【分析】先算出S与T的并集，再算出S∪T关于U的补集即可．【解答】解：因为全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，所以：S∪T＝{1，3，5，6}；∴∁U（S∪T）＝{2，4，7}；故选：C．【点评】本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查．2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 【分析】先化简再判断充要性．【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＞0，解之得x＜﹣3或x＞1，且q的一个必要不充分条件是p，则a≥1，故选：A．【点评】本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题．3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．18【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．【解答】解：有直方图得成绩在[60，80）的频率为1﹣（0.005+0.010+0.015）×20＝0.4，又成绩在[60，80）的人数是16，∴总人数＝40，则低于60分的人数是40×0.015×20＝12，故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．4．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由f（0）＞0，函数不具有奇偶性，以及x＞0时，函数值大于0，结合选项即可得解．【解答】解：，则可排除A；又函数不具有奇偶性，则可排除C；当x＞0时，e x+sin x＞0，3+cos x＞0，则可排除B．故选：D．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5【分析】根据题意，设圆心C的坐标为（m，n），分析可得n＝r，由两点间距离公式可得m2+n2＝5，由直线圆相切的性质可得r＝，联立解可得m、n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C的坐标为（m，n），（m＞0，n＞0）由于圆C 与x轴相切，则圆C的半径n＝r，又由圆心到原点的距离为，则有m2+n2＝5，圆C与4x﹣3y＝0相切，则有r＝，即n2＝，解可得m＝2，n＝1，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1；故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】分析得函数f（x）为奇函数且在R上单调递减，通过化简比较0.312，log20.31，ln4的大小，根据函数的单调性，比较a，b，c的大小关系．【解答】解：函数f（x）＝，f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∵y＝e x在R上为增函数，∴f（x）在R上为减函数．a＝f（0.312），，c＝f（2ln2）＝f（ln4）．∵，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，需要熟练掌握常见函数的性质和图象，属基础题目．7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】先据图象的最高点与最低点求出A，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出T，进而求出ω的值，最后利用对应的观点结合范围求出φ的值．【解答】解：易知A＝2．，T＝π，∴．∴，∴，又﹣π＜φ＜0，k＝0时，φ＝符合题意．故f（x）＝2cos（2x﹣）．故选：C．【点评】本题考查了利用五点法作图根据图象求解析式，要注意最后求φ时的对应思想．属于中档题．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．2【分析】求出A的坐标，代入双曲线方程求出b，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且F A＝4，可得F（1，0），则A（3，±2），点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）一个交点，a＝，可得，解得b＝，则渐近线方程为y＝±x，不妨令A（3，2），则点A到这两条渐近线的距离之和d＝+＝2，故选：A．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．9．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）【分析】显然x＝0满足，然后当x≠0时，研究与y＝a产生三个根，显然在x＜0时一个，在x＞0时，一元二次方程有两个正根，问题可求解．【解答】解：由题意x＝0满足方程f（x）＝ax．①当x＜0时，只需有一个负根，即，解得0＜a＜1；②当x＞0时，只需x2﹣（a+1）x+a＝0有两个正根即可．方程可化为（x﹣1）（x﹣a）＝0，故两根为1，或a．由题意只需a＞0且a≠1．综合①②可知，当0＜a＜1时，方程f（x）＝ax有4个不同的实数根．故选：B．【点评】本题考查了函数零点个数的判断方法，本题是直接解方程进行判断．注意方程与不等式的相互应用．同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想解题的能力．是一道中档题．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0且实部大于求解a值．【解答】解：∵＞，∴，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为﹣．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1＝•（）5﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•••x；令＝0⇒r＝3；∴展开式中，常数项为：（﹣1）3••＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝2：3．【分析】设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出．【解答】解：设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．【分析】甲击中的次数X～B（3，），由此能求出甲三次射击命中次数的期望，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出乙射中的概率．【解答】解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为，则甲击中的次数X～B（3，），∴甲三次射击命中次数的期望为E（X）＝3×＝，乙第一次射击的命中率为，第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则乙射中的概率为：P＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围（1﹣，1）．【分析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式＝≤＝，求出的最大值，转化成解对数不等式log2（1﹣x）＜，进而解出x．【解答】解：∵＝≤＝，由于a＞0，b＞0，则2a+3b＞0，∴≤，当且仅当2b＝2a+3b时，∴有最大值，＞＞＞＞＞又存在正数a，b使不等式成立，则log2（1﹣x）＜，即0＜1﹣x＜2，∴1﹣＜x＜1．故答案为：（1﹣，1）．【点评】本题考查均值不等式的应用，对数不等式的解法，和存在性问题，属于中档题．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．【分析】根据题意可知△ABC是等边三角形，△ADC是有一个内角为60°的直角三角形．又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．【解答】解：∵平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，∴△ABC是边长为2的等边三角，在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝1，所以∠ACD＝60°．又＝＝＝，∴E，F，G是BC边的四等分点．如图建立坐标系：则：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），D（），E（﹣），F（0，0），G（）．所以2•+•＝2（）•（）+（）•（0，）＝．再设P（x，0），∴•＝•（1﹣x，0）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣．（﹣1≤x≤1）显然x＝时，•最小，此时P（）．∴＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法．同时考查学生运用转化思想、数形结合思想、函数思想等的解题能力．属于中档题．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式结合sin A≠0可求tan C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值，利用三角形的面积公式可求ab的值，结合已知可求a，b的值，根据余弦定理即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可得sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a cos C﹣c sin A＝0，∴sin A cos C﹣sin C sin A＝0，∵sin A≠0，∴cos C﹣sin C＝0，即tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∴S△ABC＝ab＝，解得ab＝6，又a﹣b＝1，解得a＝3，b＝2，又余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝7，解得c＝，∴cos A＝＝，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，∴cos（2A﹣C）＝cos2A cos C+sin2A sin C＝（﹣）×+＝﹣．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与AA1所成角的余弦值．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得P（，2﹣，2﹣），从而＝（，1﹣，2﹣），求出平面ABB1A1的法向量，由此能求出PC与平面ABB1A1所成角的大小．（Ⅲ）求出平面ACP的法向量和平面A1AC的法向量，利用同量法能求出当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时的值．【解答】解：（Ⅰ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），∵BP＝PC1，∴P（），∴＝（），＝（0，0，1），设PC与AA1所成角为θ，则PC与AA1所成角的余弦值为：cosθ＝＝．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得（a﹣1，b，c）＝（﹣a，1﹣b，1﹣c），解得P（，2﹣，2﹣），∴＝（，1﹣，2﹣），设PC与平面ABB1A1所成角为α，∵平面ABB1A1的法向量为＝（0，1，0），∴sinα＝＝＝，∴PC与平面ABB1A1所成角的大小为30°．（Ⅲ）设＝＝（﹣λ，λ，λ），则＝＝（1，﹣1，0）+（﹣λ，λ，λ），＝（1﹣λ，λ﹣1，λ），设平面ACP的法向量＝（a，b，c），则，取z＝λ﹣1，得＝（λ，0，λ﹣1），平面A1AC的法向量＝（1，0，0），∵二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，∴cos45°＝＝，解得．∴当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时，＝1．【点评】本题考查民面直线所成角的余弦值、线面角的大小、满足二面角的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．【分析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列{a n}的通项公式，再根据递推关系式求出数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）先根据a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；然后利用错位相减求和法分别求和，整理即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n；n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以：a n＝n；∵b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1；∴b n b n﹣1＝2n（n≥2）；∴b n+1＝2b n﹣1，（n≥2）；∴数列{b n}的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列；∴b n＝．（Ⅱ）∵a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；设M＝1•x+2•x2+3•x3+…+（n﹣1）•x n﹣1+n•x n，（x≠0，1）①∴xM＝1•x2+2•x3+…+（n﹣1）•x n+n•x n+1；②①﹣②得（1﹣x）M＝x+x2+x3+…+x n﹣n•x n+1＝﹣n•x n+1；∴M＝；∴i•2i＝＝（n﹣1）•2n+1+2；＝＝2﹣；∴a i（b2i﹣1﹣）＝（n﹣1）•2n+1+．【点评】本题主要考查数列递推公式的应用以及错位相减求和的应用，计算量较大，学生易错．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．【分析】（Ⅰ）根据题意得：＝，，及a2＝b2+c2，解得a，b，进而可得椭圆得方程．（Ⅱ）分两种情况：当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得y1+y2，y1y2，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2，组成方程组解得t，进而可得直线l得方程．（Ⅲ）设P（x0，y0），分两种情况讨论，当直线l与x轴重合时，当直线l与x轴不重合时，由|PM|•|PN|＝|PF|2，解得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【解答】解：（Ⅰ）由题设：＝，，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，有y1+y2＝①，y1y2＝②，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2③，联立①②③得＝，解得t＝±．所以直线l的方程为x±2y﹣＝0．（Ⅲ）设P（x0，y0）当直线l与x轴重合时，因为点p在椭圆外，所以x0+2，x0﹣2同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（x0+2）（x0﹣2）＝（x0﹣1）2，解得x0＝，当直线l与x轴不重合时，由（Ⅱ）知y1+y2＝，y1y2＝，因为|PM|＝，|PN|＝，|PF|＝，因为点p在椭圆外，所以y1﹣y0，y2﹣y0同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝y02，解得x0＝，整理得y1y2﹣y0（y1+y2）＝0，即，解得y0＝，代入直线l方程x＝ty+1，得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【点评】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，然后根据导数的几何意义及已知切线方程即可求解；（II）结合导数与单调性的关系可转化为f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，结合函数的性质可求；（III）结合导数及函数的性质，进行合理的转化后结合导数可求．【解答】解：（I）f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1，由曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0可得e﹣f（e）﹣e＝0即f（e）＝ae﹣e a＝0，f′（e）＝2a﹣ae a﹣1＝1，故a＝1，（II）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，则f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，令g（x）＝lnx+1﹣x a﹣1，则，①0＜a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，②若1＜a＜2，当x，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）＝0，③a≥2时，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝9综上，a≥2时，满足题意；（III）由f（x）＝0可得alnx﹣x a﹣1＝0，若a＝1，则x＝1是方程alnx﹣x a﹣1＝0的根，故a≠1，令t＝x a﹣1，则＝x，原方程可化为，①a＝0时，没有实根，②a≠0，a≠1时，方程可化为，令h（t）＝，则，当t∈（0，e）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（e，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以h（t）≤h（e）＝，若没有实根，则，解可得a＜0或a＞，综上a≤0或a＞【点评】本题综合考查了导数的几何意义，导数与单调性，导数与零点的综合应用，属于综合性试题．。
2020年天津市高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)
2020年天津市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={x|x2+x-2=0}，B={0，-2}，则B∩（∁U A）=（）A. {0，1}B. {-2，0}C. {-1，-2}D. {0}2.设x∈R，则“|x-2|＜1”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x-y的最大值为（）A. 16B. 0C. -2D. 不存在4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A. 21B. 58C. 141D. 3185.抛物线y2=ax（a＞0）的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则a的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 26.函数y=sin（2x+）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（-，0）中心对称（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移7.已知定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有，若，b=log23，c=e ln4，则下面结论正确的是（）A. f（a）＜f（b）＜f（c）B. f（c）＜f（a）＜f（b）C. f（c）＜f（b）＜f（a）D. f（a）＜f（c）＜f（b）8.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F．若∠BAD=60°，则=（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.设复数，则=______．10.已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为______．11.已知直线l：y=kx（k＞0）为圆的切线，则k为______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＞0，则不等式的解集是______．13.已知a＞1，b＞1，若log a2+log b16=3，则log2（ab）的最小值为______．14.已知函数f（x）=，若方程有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．cos（π-B）=，c=1，a sin B=c sin A．（Ⅰ）求边a的值；（Ⅱ）求cos（2B+）的值．16.点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势．某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠10元或者16元代金券一张，中奖率分别为和，每人限点一餐，且100%中奖．现有A公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃．（Ⅰ）求这四人中至多一人抽到16元代金券的概率；（Ⅱ）这四人中抽到10元、16元代金券的人数分别用X、Y表示，记ξ=XY，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．（1）若M为PC的中点，求证：DM∥平面PAB；（2）求证：平面PAB⊥平面PBC；（3）求AC与平面PBC所成角的大小．18.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T2n；（Ⅲ）若对于∀n∈N*，恒成立，求λ范围．19.已知椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，过右焦点F2且垂直于长轴的直线交椭圆于G，H两点，|GH|=3，△F1GH的周长为8．过A点作直线l交椭圆于第一象限的M点，直线MF2交椭圆于另一点N，直线NB与直线l交于点P；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若△AMN的面积为，求直线MN的方程；（Ⅲ）证明：点P在定直线上．20.已知函数f（x）=2ln x-x2．（Ⅰ）求f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=m在内恰有一个交点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），AB中点为C（x0，0），求证：g'（x0）≠0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：解一元二次方程x2+x-2=0得：x=-2或x=1，即A=，∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，故选：D．由一元二次方程的解法得：A=，由集合的交、并、补运算得：∁U A=，又B={0，-2}，则B∩（∁U A）=，得解．本题考查了一元二次方程的解法及集合的交、并、补运算，属简单题．2.答案：A解析：由|x-2|＜1知，1＜x＜3．故A={x|1＜x＜3}．由＞0，知x＞1或x＜-2．故B={x|x＞1或x＜-2}．因为A⊆B，所以答案为充分不必要条件．故选：A．分别解出不等式解集，借助数轴找出包含关系．本题考查了集合的子集关系与充分必要条件的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由z=-2x-y得y=-2x-z，平移直线y=-2x-z，由图象知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=-2x-z的截距最小，此时z最大；由，解得A（-1，2），所以z的最大值为-2×（-1）-2=0．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=-2x-y的最大值．本题主要考查了简单的线性规划应用问题，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解答此类问题的基本方法．4.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1不满足条件k＞5，执行循环体，S=1，k=2不满足条件k＞5，执行循环体，S=6，k=3不满足条件k＞5，执行循环体，S=21，k=4不满足条件k＞5，执行循环体，S=58，k=5不满足条件k＞5，执行循环体，S=141，k=6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为141．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：A解析：【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．【解答】解：抛物线y2=ax的准线为x=-，双曲线C：-=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（-，a），（-，-a），即有三角形的面积为••a=2，解得a=8，故选：A．6.答案：B解析：解：假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到：y=sin（2x+2ρ+）关于点（-，0）中心对称∴将x=-代入得到：sin（-+2ρ+）=sin（+2ρ）=0∴+2ρ=kπ，∴ρ=-+，当k=0时，ρ=-故选：B．先假设将函数y=sin（2x+）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=-代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质--对称性，属于基础题．7.答案：C解析：解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），则函数f（x）关于直线x=3对称，c=e ln4=4，f（c）=f（4）=f（2），又由对任意x1，x2∈（0，3）都有，则函数f（x）在（0，3）上为减函数，若=，b=log23，则有0＜a＜1＜b＜2，则f（c）＜f（b）＜f（a），故选：C．根据题意，由f（3-x）=f（3+x）分析可得函数f（x）关于直线x=3对称，据此可得f（c）=f（4）=f（2）；由函数单调性的定义可得函数f（x）在（0，3）上为减函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性以及对称性的应用，注意结合函数的单调性进行分析，属于基础题．8.答案：B解析：解：设=λ+（1-λ），又=+=+，且存在实数t使得=t，∴λ+（1-λ）=+t，∴，∴，∴=+，∴=-=+，∴•=（-）•=（+-）•=（+-）•（+）=（+--）•（+）=（-）•（+）=2-2-•=×4-×4-×=故选：B．取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.答案：2解析：解：∵=，∴，则z+=2．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：解析：解：∵正方体的内切球体积为36π，设内切球的半径为r，则，得r=3，即内切球的半径为3，∵正方体的内切球的直径与正方体的边长相等为6，∴正方体的体对角线长为．故答案为：．由正方体的内切球的体积求得球的半径，得到正方体的边长，从而求得正方体的体对角线长．本题考查正方体的内切球，考查空间想象能力，考查计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：根据题意，圆的圆心为（，0），半径r=1，若直线l：y=kx（k＞0）即kx-y=0与圆相切，则有=1，解可得：k=±，又由k＞0，则k=，故答案为：．根据题意，求出圆C的圆心与半径，结合直线与圆相切的性质可得=1，解可得k的值，结合k的范围分析即可得答案．本题考查直线与圆相切的性质以及圆的切线方程的计算，属于基础题．12.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：解：依题意，f（1）=0由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数又由g（-x）===g（x），得函数g（x）在R上为偶函数∴函数g（x）在（-∞，0）上为减函数且g（1）=0，g（-1）=0由图可知＞0的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．先由xf'（x）-f（x）＞0，得函数g（x）=在（0，+∞）上为增函数，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）在R上为偶函数，从而画出函数的示意图，数形结合解不等式即可．本题综合考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题．13.答案：3解析：解：∵log a2+log b16=3；∴；又a＞1，b＞1；∴log2a＞0，log2b＞0；∴log2（ab）=log2a+log2b==；∴log2（ab）的最小值为3．故答案为：3．根据log a2+log b16=3即可得出，从而得出log2（ab）=（log2a+log2b）=，根据基本不等式即可求出log2（ab）的最小值．考查对数的运算，对数的换底公式，以及基本不等式的应用．14.答案：解析：解：设t=f（x），则方程方程可化为：t2+at+=0，设此方程有两根t=t1，t=t2，有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由已知有：当x＞0时，f（x）=x lnx，则f′（x）=ln x+1，当0时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，）为减函数，在（，+∞）为增函数，则其图象如图所示：当y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，则x1，x2∈（-，0），得，解得：，故答案为：（，）由方程的根与函数零点的相互转化得：有八个不等的实数根等价于y=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点个数之和为8，由利用导数研究函数的单调性及最值可作函数t=f（x）的图象，结合二次方程的区间根问题列不等式组得，求解即可，本题考查了方程的根与函数零点的相互转化、利用导数研究函数的单调性及最值，二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．15.答案：解：（Ⅰ）由cos（π-B）=，得cos B=-，………………………………（1分）∵c=1，由a sin B=c sin A，得ab=ca，∴b=，……………………（3分）由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得3a2+4a-15=0，解得a=，或a=-3，（舍）∴a=．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵由cos B=-，得sin B=，………………………………………………（7分）∴sin2B=2sin B cosB=-，cos2B=2cos2B-1=-，………………………………………………（10分）∴cos（2B+）=cos2B cos-sin2B sin=．…………………………（13分）解析：（Ⅰ）由已知利用诱导公式可求cos B的值，利用正弦定理化简已知等式可求b 的值，根据余弦定理即可解得a的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B 的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可计算得解cos（2B+）的值．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：（本题13分）（Ⅰ）解：设“四人中恰有i人获赠16元代金券”为事件A i，其中i=0，1，2，3，4．则由P（A i）=………………………（2分）得．（5分）（Ⅱ）解：随机变量ξ的所有可能取值为0，3，4．………………………（6 分），（8分），…（10分），………（11分）ξ034Pξ的数学期望．………（13分）解析：（Ⅰ）设“这4人中恰有i人抽到16元代金券”为事件A i，由此利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率．（Ⅱ）由已知ξ可取0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列与数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17.答案：证明：（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，则MN∥BC且，又AD∥BC且，所以MN∥AD且MN=AD，所以四边形DMNA为平行四边形，所以DM∥AN，因为DM⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，所以DM∥平面PAB．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD,得BC⊥PA，因为BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．解：（Ⅲ）由PA=AB且N为PB中点推出AN⊥PB，由（Ⅱ）知BC⊥平面PAB，AN平面PAB,则AN⊥BC，又PB∩BC=B，所以AN⊥平面PBC，所以∠ACN即为所求．，，所以AC与平面PBC所成角的大小为30°．解析：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）取PB中点N，连接MN和NA，推导出四边形DMNA为平行四边形，DM∥AN，由此能证明DM∥面PAB；（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥PA，得到BC⊥面PAB，由此能证明面PAB⊥面PBC；（Ⅲ）由AN⊥PB，AN⊥BC，得AN⊥面PBC，∠ACN即为所求．由此能求出AC与面PBC 所成角的大小．18.答案：解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为2，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，解得a1=1，a n=2n-1．（Ⅱ）由于a n=2n-1．所以：．（Ⅲ）由于：，故：λ2-2λ-2≥1；∴λ≥3或λ≤-1．解析：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用列想想效法求出数列的和．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，再利用放缩法和函数的恒成立问题的应用求出参数的范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.答案：解：（Ⅰ），解得：；所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k （x-1），联立得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，△=144（k2+1）＞0，；∴；A（-2，0）到MN直线kx-y-k=0的距离为，∴；当k=-1时，MN直线方程过F2（1，0）直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN方程为x-y-1=0．②当直线MN斜率k不存在时，（舍）．综上：直线MN方程为：x-y-1=0证明（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立：，∵同理设BNy=k2（x-2）（k2＞0），可得，所以MN的方程为：，以及MN方程过F2（1，0），将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，∵k1k2＞0，∴k2=3k1．又因为AM与NB交于P点，即，，将k2=3k1代入得x P=4，所以点P在定直线x=4上MN方程为x-y-1=0解析：（Ⅰ）由题意可得，解得：，即可求出椭圆的方程，（Ⅱ）当直线MN斜率k存在时：设MN方程为y=k（x-1），根据韦达定理和弦长公式和点到直线的距离，即可表示三角形的面积，即可求出k的值，可得直线方程，（Ⅲ）设AM：y=k1（x+2）（k1＞0），与椭圆联立，求出点M的左边，同理求出点N 的坐标，将F2，M，N坐标代入可得：（4k1k2+3）•（k2-3k1）=0，即可求证点P在定直线上．本题考查椭圆的标准方程的简单几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，考查了弦长公式，考查计算能力，属于难题．20.答案：解：（Ⅰ），则f'（2）=-3，且切点坐标为（2，2ln2-4），所以所求切线方程为：3x+y-2-2ln2=0；（Ⅱ）（-1舍去），所以f（x）在为增函数，在（1，e）为减函数，∴，f（1）=-1，f（e）=2-e2；所以；（Ⅲ）证明：g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，则有，①-②得：，∴，由④得，∴；即；即⑤；令，，则在0＜t＜1上增函数．u（t）＜u（1）=0．∴⑤式不成立，故与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．解析：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的极值点和极值，单调性、区间端点处的函数值，结合条件艰苦端点所求范围；（Ⅲ）求得g（x）=2ln x-x2-nx，，假设g'（x0）=0，由方程的根的定义和中点坐标公式，作差，化简整理，构造函数，即可得到矛盾，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数方程转化思想和反证法的运用，考查化简运算能力，属于综合题．。
2020届天津市南开区高三下学期一模考试数学(理)试题(解析版)
由 SF=2FE 得 F( , , ) 平面
平面 SBC
Ⅱ.设 （x1，y1，z1）是平面 SBD 的一个法向量，
由于
，则有
令
，则
，即
。
设直线 SA 与平面 SBD 所成的角为 ，而
为锐角
而
（II）
，
，
，又
，
【点睛】
本题考查三角恒等变换中两角和差的余弦公式、利用正弦定理和余弦定理解三角形的问
题，属于基础题.
16．现有长分别为 、 、 的钢管各 3 根（每根钢管的质地均匀、粗细相同且富
有不同的编号），从中随机抽取 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，
），
再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.
【解析】由已知得 求得结果. 【详解】 由
，将
变为
，利用基本不等式
又 均为正实数，则
当且仅当
时取最小值
本题正确结果： 【点睛】 本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，关键在于能够通过已知条件将所求式子凑 出乘积为定值的形式.
14．设函数
，若函数
离你单之和的取值范围是_____．
有三个零点，则这三个
的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件 第 5 页 共 19 页
得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方 程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
8．如图，在 中，
，
， 为 上一点，且满足
，
若
的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A．
第 12 页 共 19 页
（III）在线段 上是否存在点 ，使二面角 长；若不存在，请说明理由.
2020年6月天津市南开中学2020届高三毕业班高考模拟考试数学答案解析
天津市南开中学
2020届高三毕业班下学期高考模拟考试
数学试题参考答案解析
2020年6月
第一部分
1. D【解析】因为 ，
所以 ．
2. A
3. C
4. C
5. D
【解析】由图可知 最小正周期为 ；又可推得图中 的一个最低点为 ,一个最高点为 ,所以 的单调递减区间为 , ．
6. A【解析】由题意 ,
则直线 的方程为 ．
令 ，得点 的横坐标 ．
又 ，从而 ．
同理， ．
由 得 ．
则 ， ．
所以
又 ，
所以 ．
解得 ，所以直线 经过定点 ．
20. （1） ，则 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递增．
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减．
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 的方程为 ．
依题意， ， ．
于是 与抛物线 切于点 ，
如图，过 作 于 ，连接 ．
∴ 是 在平面 内的射影，
∴ ，
∴ 为二面角 的平面角．
在 中， ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
方法二：
过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ， ， ．
∵ ，
∴
∵ 共线，
∴
由①、②，解得 ， ， ，
∴ 点的坐标为 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ 为二面角 的平面角．
∵ ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
18. （1） 设数列 的公差为 ，
令 ，得 ，所以
令 ，得 ，所以
天津市南开区2024届高三上学期阶段性质量监测数学试题(二)(解析版)
天津市南开区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】{}{12}0,1B x x =∈-<<=Z ∣，{}1,0,1,2,3U =-{}U 1,2,3B ∴=-ð又{}0,1,2A = ∴()U A B = ð{}2故选：C2.函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案.【详解】因为2()sin 12xf x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xxx f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B.33223322sin(10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.3.“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（）A.0.02B.0.2C.0.04D.0.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05a a ，则0.1100.45100.05200.61a a a ++++=+=，解得0.020a =.故选：A.5.设0.40.40.3log ,log 022,.3a b c ===，则（）A.a c b <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log ,o lo 1122log 0.4l g 0.g a b ====，由2log y x =在()0,∞+上单调递增，0.40.3>，得220.40.30>log log >，所以22110log 0.4log 0.3<<，即0.40.30log l 2og 2<<，于是有0a b <<，由0.40.30c =>，得0a b c <<<，所以a b c <<.故选：D.6.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A.16B.16-C.6D.6-【答案】D 【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果.【详解】当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121aa a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-.故选：D.7.已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（）A.13B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】易证AB ⊥平面1CDO ，然后由11--=+ABCD A CDO B CDO V V V 求解.【详解】解：如图所示：连接11CO DO ，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=，所以AB ⊥平面1CDO ，所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯= CDO S AB ，故选：D8.设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A.17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==【答案】C 【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得ω，再由5π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f π2π12k ϕ=--，结合||πϕ<，求得ϕ值，即可得解．【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，可得π42T >，因为π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5ππ3π4884=+=T ，则3πT =，且0ω>，所以2π23T ω==，即2()3ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，由5π25π838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得5ππ2π122ϕ-=+k ，k ∈Z ，则π2π12k ϕ=--，k ∈Z ，且π<ϕ，可得0k =，π12ϕ=-，所以23ω=，π12ϕ=-.故选：C ．9.已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（）A.22163x y -= B.22136x y -= C.2218y x -= D.2218x y -=【答案】B 【解析】【分析】设点P 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PF a =，22PF a =，在12PF F △中，根据大边对大角可知12PF F ∠为最小角，进而根据余弦定理求得a ，再得到b ，即可得到答案.【详解】设点P 为双曲线右支上一点，则12PF PF >，因为122PF PF a -=，且126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，由题，因为1226F F c ==，则2242c a a a>⎧⎨>⎩，所以12PF F ∠为最小角，故126PF F π∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理可得，()()()22242232422a c a a c+-=⋅⋅，解得a =所以b ，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得()()12221i ⋅=++-z z a a ，进而结合题意可得210a -=，运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()()1212i i 221i ⋅=+-=++-z z a a a ，若12z z ⋅是实数，则210a -=，解得12a =.故答案为：12.11.6⎛⎫展开式中，3x 的系数等于________．【答案】15【解析】【详解】⎛⎫6的通项为T r ＋1＝C 6r⎛⎫6－r ⎛ ⎝r ＝C 6r (－1)r x6－32ry 32r －3，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 62(－1)2＝15.12.直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C ：()2229x y -+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x －y ＋1＝0的距离d ==则4MN ===．故答案为:4.13.设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.【答案】0.82##4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A =“甲乘汽车前往某目的地”，事件2A =“甲乘动车前往某目的地”，事件B =“甲正点到达目的地”.()()()()()11220.40.70.60.90.82P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.8214.在ABC 中，1,90AC BC C ∠===，则CA CB +=__________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且3PC =，则PA PB ⋅ 的取值范围是__________.【答案】①.②.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA CB + ；设33cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得()1sin 3PA PB θϕ⋅=-+ ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以C 为坐标原点，,AC BC 分别为,x y 轴所在直线，建立平面直角坐标系，则()(()1,0,,0,0A B C ，可得()(1,0,CA CB == ，则(CA CB +=，所以CA CB +==；因为3PC =，设cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得1cos,sin,cos sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33331cos cos sin sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+--⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11sin cos sin3333θθθϕ⎛⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭，其中cos,sin33ϕϕ==，因为()[]sin1,1θϕ+∈-，所以()124sin,333PA PBθϕ⎡⎤⋅=-+∈-⎢⎥⎣⎦.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()()1221,1,log1,1,x xf xx x-⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m=有三个不等的实根，则实数m的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x=--的零点个数是__________.【答案】①.(]1,2②.4【解析】【分析】作出()f x大致图象，结合图象可得实数m的取值范围；令()f x t=，将问题转化为()322f t t=+，根据图象分析得()122f t t=+有两个零点为10t=，()21,2t∈，从而考虑()1f x t=与()2f x t=根的个数即可求解.【详解】作出()f x大致图象如下：若方程()f x m=有三个不等的实根，由图象可得实数m的取值范围是(]1,2；令()f x t=，则()3202f t t--=，可得()322f t t=+，且()302f =，结合图象可知方程()322f t t =+的一个根10t =，另一个根()21,2t ∈，当10t =时，()f x 与1y t =的图象有1个交点，所以()1f x t =有1个实根，当()21,2t ∈时，()f x 与2y t =的图象有3个交点，所以()2f x t =有3个实根，综上所述：()g x 共有4个零点.故答案为：(]1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)2222sin ac B a c b =+-，2a c =.（1）求角B 的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.【答案】（1）π3B =（2）π4A =（3）28【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得5π12=C ，代入结合降幂公式分析求解.【小问1详解】因为)2222sin ac B a c b =+-，由余弦定理可得2sin cos =ac B B ，则tan B =.又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为2a c +=，由正弦定理可得sin 2sin A B C =，即π2sin 2sin π33A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 2A A A +=+，则cos 2A =.因为0πA <<，所以π4A =.【小问3详解】由（1）（2）可得()5ππ12=-+=C A B ，则2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -5π5π1cos sin ππππ66sin cos cos sin 432432-=⋅⋅-⋅3111222222228+=⨯-=.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11AB 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.【答案】（1）（i ）23；（ii）3（2）,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i ）求出直线EF 的方向向量和平面A 1BC 1的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii ）分别求出平面A 1BC 1和平面AC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF 和直线A 1C 1的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若E 为棱11A B 的中点，则()()2,1,2,1,2,0E F ，()()()112,2,0,2,0,2,0,2,2B A C .所以()()()1112,2,0,0,2,2,1,1,2A C BA FE =-=-=- .（i ）设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A C n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n = .设EF 与平面11A BC 所成角为α，则有sin cos ,3n FE n FE n FEα⋅==== .故直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为23.（ii ）易知平面AC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面PDC 和平面EAC 的夹角为β，则有||cos |cos ,|||||3m n m n m n β⋅=〈〉== .故平面11A BC 和平面AC的夹角的余弦值为3.【小问2详解】设直线EF 与11A C 所成角为(),2,,2(02)E m m θ<<，则()1,2,2FE m =- .所以111111cos cos ,A C FE A C FE A C FE θ⋅====因为02m <<，所以952m m +>，即1211954m m <-<+-1<，所以102102<，即102cos 102θ<<.故直线EF 与11A C所成角余弦值的取值范围为,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点226,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出AC BD +，利用二次函数可得答案.【小问1详解】因为椭圆E 的左焦点坐标为()1,0-，所以右焦点坐标为()1,0,1c =.又椭圆E经过点2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以24,a b ====所以椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，7AC BD +=.②当直线AC 的斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程()()11221,,,,x ty A x y C x y =+，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2212134t AC t +=+.设直线BD 的方程为11x y t =-+，同理得()2212134t BD t +=+，所以()()()22228413434t AC BD t t ++=++，设21m t =+，则1m >，则()()22284848448113141711491224m AC BD m m m m m +===≥+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，所以2m =时，AC BD +有最小值487.综上，AC BD +的最小值是487.19.已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ；（3）设数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）2nn a =（2）证明见解析，11n S n =+（3）3λ≤.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用n a 与n S 的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由1232,12a a a =+=，得22212q q +=，解得2q =，所以2n n a =.【小问2详解】当2n ≥时，10n n n S S b -+=，所以()110n n n n S S S S --+-=，整理得1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S b ==为首项，1为公差的等差数列.所以11n n S =+，即11n S n =+.【小问3详解】由（1）､（2）知()12n n n a n S =+⋅，所以()1231223242212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，①()23412223242212,n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①-②得()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅ 12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.由()29n n T n a λ≤+得()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即922n nλ≤+，因为9322n n +≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.20.已知函数()()ln ,a f x x x g x x x =-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x x f x g x x++<.【答案】（1）1（2）()2ln3,∞-+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的极大值点为1x =，由(1)0g '=可得1a =，经检验可确定1a =；（2）先求得()f x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，然后分1k >-和1k <-两种情况可得k 的取值范围；21(0)2x x >和21ln e 2x x x x -<-即可证令()（3）所证不等式即为x ln x -e x <cos x -1，通过证明cos x -1>-得结果.【小问1详解】110f x x'=-=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞单调递减，故函数()f x 的极大值点为1x =.令()210a g x x=-='，由题意可得()110g a '=-=，解得1a =，经验证符合题意，故实数a 的值为1.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()1,3单调递减，又()()111,11,3ln33e e f f f ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，且1ln3311e-<--<-，所以当1,3e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min ()11,()3ln33f x f f x f ==-==-，若不等式()()12f x f x k -≤恒成立，则()max min ()()1ln332ln3≥-=---=-k f x f x ，所以k 的取值范围为()2ln3,∞-+.【小问3详解】所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-.先证：21cos 1(0)2x x x ->->，即证21cos 102x x +->在()0,∞+上恒成立，设()()21cos 1,sin 2h x x x h x x x =+-='-+，设()()'=d x h x ，因为()cos 10'=-+>d x x 在()0,∞+上恒成立，所以()h x '在()0,∞+单调递增，则()()00h x h ''>=，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()00h x h >=，所以21cos 1(0)2x x x >->.再证：21ln e 2x x x x -<-，即证2ln e 12x x x x <-.设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -'==，当()0,e x ∈时，()()0,m x m x '>单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,m x m x '<单调递减，所以()()1e em x m <=.设()()()232e e 1,2x x x x x x x ϕϕ-=-='，当()0,2x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()2e 1242x ϕϕ>=-.所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x <<-<-，即2ln e 12x x x x <-.综上，ln e cos 1x x x x -<-，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明ln e cos 1x x x x -<-转化为证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-.。
2020届天津市南开区2017级高三下学期二模考试数学试卷参考答案
当 k=0 时，可得 m=0， 综上，m∈[0， 1 )．
2 （ⅱ）依题意有|QF1|=|QA|=|QB|，且 F1(–1，0)，
…………11 分
∴由
(
x
m)2 x2
y2 2y
(m 2 2，
1)2，消去
y，得
x2–4mx2–4m=0，
…………12 分
∴x1，x2 也是此方程的两个根．
∴x1+x2=4m=
i 1
pq p2n1
2n1
(1)i1 p q 2n1i i1 ] 2m–1
i 1
[1 ( q )2m1 ] 2n–1＞[1 ( q )2n1 ] 2m–1
p
p
[1
(
q
)2
1
m1]2m1
＞[1
(
q
1
)2n1]2n1
p
p
1 ln[1 ( q )2m1]＞ 1 ln[1 ( q )2n1]．
2m 1
p
2n 1
南开区高三年级模拟考试(二)参考答案 第 4 页（共 8 页） 2020届天津市南开区2017级高三下学期二模考试数学试卷
解得 d=2，q=2 或 d= 1 ，q=5， 2
由于{an}是各项都为整数的等差数列，所以 d=2，q=2． ………………4 分
从而 an=2n–1，bn=2n–1． （Ⅱ）∵log2bn=n–1，
（10）(0，2]； （11）2； （12）4；
（13）3，1；（第一个空 2 分，第二个空 3 分） （14）4；
（15）[0，2]，(–∞，–1]∪(3，+∞)．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——02 函数的概念与基本初等函数I(教师
专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天， 则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-， 所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦， 当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i m ip p p +->+， 所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+， 所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13．【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是 ▲ ． 【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=，0.20110()()133b <=<=，1131222c <=<=，∴a <b <c ，故选A ．4．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-， 得()()112211f x x f x x --<--， 即()()12F x F x <， 所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->， 所以11x ->，2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()e xf x x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x <时，ππx xx y x -==-；当0x >时，ππx x x y x ==，πx y =为R 上的增函数，πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩，解得103a <≤，即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，重点考查了运算能力，属基础题.8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为 A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，1 03a≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln||cos ()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022x x <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞，故选C.13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e (2)b f -=，1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，因为(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递减； 因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π，所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出()f x -的表达式，再利用奇偶性得出()f x 的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型. 17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为A ．(222,0⎤-⎦B ．(232,0⎤-⎦C ．222,0⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集， 所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象，如图：直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -，当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时，方程()10f x kx k -++=有一个实数解，可得2(1)1x k x =--，即210x kx k -++=，由24(1)0k k ∆=-+=，可得2k =-2k =+（舍去）， 故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+,即1294a a -+≤+,解得2a ≥,故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.19．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称，所以B 正确；又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确.故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =， ()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1(1)122f f -===. 故答案为：2【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=.故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩， 所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z ， 解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2nk 的前n 项和为________. 【答案】()41n n + 【解析】当02x ≤<时，()y f x ==()2211x y -+=，0y ≥； 当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故()2244211n k n n n ==++-，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41n n +. 【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.。
华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评数学(理)试题及答案
机密★启用前华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评理科数学本试题卷共4页.23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝#试顺利★注意事项：1 .答短前.先将fl己的姓名■准考iE弓域可在答距长上.并将准琴江号条形研财在答恩K上的指定位2.逸押IS的作答：侦小应燃目的答案愫勺涂黑・耳在试K上的区域均无效.3.填空*和解答题的作答：用签字笔宜接答在容愆卡上酉应的答题IK域内.写在试题尝,草SI纸和答W卡上的菲答题区域均无效.4.选考也的作答■先把所送趣口的醴号在答粗N上指定的位置用2B松宅涂SL答宝珂在答履卞上对应的谷（SH域内" 。
在武!»■・草棉舐和答的|?上的曹咨IS风域均无效.5 .考试培束后.崎将谷曜卡上交.-、选择题：本题共12小越，每小越5分，共60分，在每小题纶出的四个选项中，只有一项是符合题目萋求的。
1.已W?»r»l+4-.则r •iA.OB.1C.72D.22.设«^A-{xlx＞3}-B-Ullog＞（x-a»0|.Wa=3 是8UA 的A .充分不必要条件 B.2要不充分条件C充妾条件 D.既不充分又K必要条件3.i殳等是数列修」的前〃顼和为S..已知七5s,+., 30.岫S«A.85B.97C.100D.1754.槐晋时期的数学家弟薇首创常剧术.为计算圈周率建星『严密的戒论即完脊的算法.所时割倒术.就是以间内按正多边形的而枳.来无限逼近同血枳.对澈形容他的利同术说,•割之弥细.所失弥少.割之又割.以至丁木讨刮.则勺网合体.而尤所失矣...比；I企一1盘内■一内按正I二边形•将loottSTM机撤入间盘内.发现只右I粒豆子不在正十.边形内.据此实羚估计网周宇的近似值为A-T R 16r22C T n T5.已tU^=lg2.>»-ln3.c ~ log,3•则A.《rVz VyB.Vy<rC.x<y<t\lz<T<y6 .执行如图所示程序也图.设输出教据构成集合人•从集合人中任取一个兀素m,则事件“函敢fM）=/+”rr在［0・+c＞上是增雨数”的借率为理科教学忒题第1页（共4贞〉7 .设/(x).g(r)分别为定义在-5 I的奇函牧和偶函数.日/(”+g(«r) = 2e，cgr(e为自然对数的底j = /(x)-«(x)的图象大致为&某病。