八年级数学上册第2章课外资料：根号的由来(北师大版)
统编北师大版八年级数学上册优质课件 第2课时 平方根
（3）表示法不同：正数a的平方根表示为± a ，正 数a的算术平方根表示为 a . （4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为 相反数；正数的算术平方根只有一个.
例 求下列各数的平方根：
（1）64；（2）49 ；（3）0.0004；（4）（-25）2；（5）11； 121
解：（1）因为 82 =64 ，所以64的平方根是 8 ，即
25
55
平方等于0.64的数也有两个，即0.8和 -0.8.
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个x就叫a的平方根，也叫二次方根。
3和-3的平方都等于9，由定义可知3和-3都是9 的平方根，即9的平方根有两个3和-3，9的算 术平方根只有一个是3.
找出平方根和算术平方根的联系与区别：
1.求下列各数的平方根： 1.44，0，8，100，441，196，104 49
2.填空： （1）25的平方根是 5 ；
（2） 52 = 5 ； （3） 52 = 5 .
3.当a=5，b=12时，求 a2 b2 的值.
ɑ2 b2 = 52 122 = 169=13
课后作业
布置作业：教材P .29习题2.4 1、2、3、4 题。 完成练习册中本课时的习题。
（3）因为 0.022 =0.0004 ，所以0.0004的平方根是
±0.02，即 .0004= 0.02 ；
（1）64；（2）49 ；（3）0.0004；（4）（-25）2；（5）11； 121
（4）因为 252 =252 ，所以(-25)2的平方根是 ±25，即 252 = 25 ；
（5）11的平方根是 11 .
联系： （1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方 根是平方根的一种. （2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负 数才有. （3）0的平方根，算术平方根都是0.
初中数学北师大版八年级上册第二章实数第2节平方根(二).2平方根(二)
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，而算术平方根表示为
出示例1，探索求平方根的方法，教师示范（1），两名学生板演（2）（3），关注学困生的表现，适时进行点拨引导评价。
口算练习，指定学生抢答。引导学生发现并归纳不同类型的数平方根的特点。
板书课题
检查自学情况，展示相关问题的答案。板书平方根的概念、符号表示。引导学生对平方根的概念深度剖析。
分析开平方运算和平方运算的互逆关系
问题引发学生思考，产生探究学习的兴趣.
自学教科书相关内容，独立解决并口答问题1-3。列举事例理解概念，
配合教师检查，对照
完善答案。
复习平方运算的知识，提出问题,为本节课的学习做好知识的预备，并让学生体会知识之间的联系。
出示例2，求各式的值，指导学生先明确各式子的意义再计算，对学生的回答进行点拨评价。
引导学生展开讨论，从区别和联系两方面归纳总结。教师对学生的结论适时点评鼓励。
通过对例1的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言.
熟练口算，归纳平方根的性质
口答各式子的意义及计算结果，初步感受平方根与算术平方根的区别与联系。
形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并明白它们之间的互逆关系.
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
三、例题示范，应用新知
例1．求下列各数的平方根：
(1)81；(2) ；(3)0.49；
练习：口答下列各数的平方根：
教学环节
北师大版八年级数学上册课件.2平方根
第二章 实数
2.2.2 平方根
新课引入
1. 什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于a 则这个数叫做a的算 术平方根,表示为 a (a≥0）. 0的平方根是0，即 0 =0 .
新知探究
2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？
答：加、减、乘、除、乘方五种运算.加与减互逆；乘与除互逆.
课堂小测
4.若|a-9|+（b-4）²=0，则
b a
2 的平方根是___3_.
【解析】因为|a-9|和（b-4）²都是非负数，且|a-9|+
（b-4）²=0，所以|a-9|=0，（b-4）²=0，所以a=9,b=4，
b a
4 9
,其平方根为
2. 3
5.求下列各式中的x: (1) x²=16 (2) x²= 25
课堂小测
2.4的平方根是 （ B ）
A. 2 B. 2 C. 16 D. 16
【解析】4的平方根是 4 = 2.
3.一个数x的平方根等于m+1和m-3，则m= 1 ，x= 4 .
【解析】根据一个正数的平方根互为相反数，得m+1和 m-3互为相反数，即m+1+m-3=0，解得m=1，则m+1=2， m-3=-2，所以x=4.
49
解: (1)x 16 4.
(2)x 25 5 . 49 7
课堂小结
1.平方根的概念：若x2=a，则x叫做a的平方根，x= a .
2.平方根的个数：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没 有平方根. 3.平方与开平方之间是互逆关系. 4.求平方根的方法：求一个数的平方根就是转化为
寻找哪个数的平方等于这个数.
北师大版八年级数学上第二章 2 平方根 教学课件课件(33PPT)
1．解决问题
拼成的这个面积为 2 的大正方形的 边长应该是多少呢？
?
边长= 2
2 有多大呢？
1．解决问题
2 有多大呢？
2大于1而小于2
你是怎样判断出 2 大于1而小于2的？
因为 12 1 ，22 4 ，
而1<2 <4，
所以1 2 2．
你能不能得到 2 的更精确的范围？
1．解决问题
64
解：（1）因为 102 100 ， 所以100的算术平方根是10 ．
即 100=10 ．
3.例题解析
例1：求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；（2）49 ；（3）0.0001．
64
解：（2）因为
7 8
2
49 64
，
所以 49 的算术平方根是 7 ．
64
8
即 49 7 ．
64 8
3m，
则 x2 2 由算术平方根的定义，
得 x 2．
？
所以大正方形的边长为 2 dm．
2 有多大呢？
8.归纳小结
（1）什么是算术平方根？ 如何求一个正数的算术平方根？
（2） 什么数才有算术平方根？
9.布置作业 教科书41页 练习 第1、2题
6.1 平方根
……
1．解决问题
2
你以前见过这种数吗？ 2有多大呢？
2．用计算器求算术平方根
例1 用计算器求下列各式的值：
(1) 3136 ； (2) 2（精确到 0.001 ）．
解：(1) 依次按键 3136 ， 显示：56． ∴ 3136 56 ．
(2) 依次按键 2 ， 显示：1.414213562． ∴ 2 1.414 ．
北师版八年级数学上册第二章 实数7 二次根式
二次根式
乘、除法
运算
最后结果
加、减法
C. 2 2
D. 2
感悟新知
知识点 4 二次根式的乘除法
语言叙述
知4－讲
符号表示
a · b= ab ( a ≥
乘法 两个二次根式相乘，把被开
法则 方数相乘，根指数不变
0，b ≥ 0)
a
a
除法 两个二次根式相除，把被开
= (a≥0，
b
b
法则 方数相除，根指数不变
b ＞ 0)
感悟新知
知4－讲
法则
推广
9
9
9 3
122×(32＋中，正确的是(
A. ( － 6) 2= － 6
B.
4
9
3
=2
16
4
C. 21 ÷ 7 =3
D. 25a4 =5a2
D )
感悟新知
知识点 3 最简二次根式
概念
满足的条件
知3－讲
化简二次根式的一般方法
(1)如果被开方数是分数
(包括小数和分式)，先利
A. － 1
B.0
C.2
D.6
知1－练
例2
9
若y＝ x－3＋ 3－x＋2， 则xy＝________.
解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性“a ≥ 0，
a ≥ 0”进行解答.
知1－练
解：由二次根式的被开方数的非负性，
得 x － 3 ≥ 0，且3 － x ≥ 0，所以 x=3.
又因为y＝ x－3＋ 3－x ＋2，所以y＝2，
行运算 . 例如： m a ·n b =mn ab
感悟新知
知4－讲
特别提醒
北师大版八上数学2.2平方根知识精讲
知识点总结平方根1. 概念：若果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即如果x2=a，那么x叫做a的平方根，记作+-√a（a≧0）（有些同学容易弄混，所以直接可以理解为，一个非负数开平方出来，其中的正数就是算术平方根，例：+-√36=+-6，其中6就是算术平方根，+-6整体就是平方根）2. 平方根的性质：一、正数有两个平方根，它们互为相反数注意：一、根号下面的整体必须大于等于0（例子：√x-3（根号下x-3）中隐含着x-3≧0，）二、0的平方根是0三、负数没有平方根知识点汇总1基本概念1、平方根如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.a（a≥0）的平方根的符号表达为±√a(a≥0)，其中√a是a的算术平方根。
（根号电脑无法输入，此处仅为示意，请以授课中的根号表示方法为准）【要点诠释】当式子√a有意义时，a一定表示一个非负数，即√a≥0，a≥0。
平方根和算术平方根的区别2、区别：（1）定义不同；（2）结果不同；3、联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．【要点诠释】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 4.平方根的性质5.平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：今日练习11.计算的结果是：A．2B．±2C．-2D．4【参考答案】1.根据22=4，即可得出4的算术平方根.考点：算术平方根点评：此题考查了算术平方根。
注意：一个正数的算术平方根为正数.教学设计：为什么要学习平方根？首先是出于解决实际问题的需要。
北师版初中八年级上册数学精品教学课件 第二章 实数 2.7.1二次根式
40 = 4 × 10 = 2 10;
（3）
1.5 =
（4）
4 4
=
3 3
3
3
3× 2
6
=
=
=
;
2
2
2
2× 2
=
4× 3
3× 3
=
2 3
.
3
课堂小结
定义
二
次
根
式
二次根式
的性质
最简二
次根式
被开方数不含分母
被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式
= ⋅ （a≥0，b≥0）
= （a≥0，b>0）
A. − 2
B.
12
含有能开得尽方的因式
C.
1
5
被开方数含有分母
D.
2
含有能开得尽方的因数
化简二次根式的一般方法
1.将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.
①若被开方数中含有带分数，
应先将带分数化为假分数.
2.化去根号下的分母
②若被开方数中含有小数，
应先将小数化为分数.
3.被开方数是多项式的要先进行因式分解.
± .
负数没有平方根.
学习目标
1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根
号下仅限于数)化为最简二次根式.
2.掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则.
3.会进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算，并
能解决简单的实际问题.
课堂导入
观察下列代数式: 5， 11， 7.2，
49
，
121
a可以是非负的数或单
将根指数2省略不写
北师大版八年级(上)数学 第二章 实数 2.2 平方根 讲义(无答案)
平方根平方根的有关概念、性质1、了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根；2、了解开发与乘法互为逆运算，会用开发运输求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.1．算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a=，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________.规定：0的算术平方根是_____.2. 平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果2x a=，那么______叫做_________的平方根.a的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________.求一个数a的平方根的运算，叫做_________.1、解算术平方根【例1】求下列各数的算术平方根（1）100 （2）0.0001练1.求下列各数的算术平方根（1）0.0025 （2）121练2.（2019春•________算术平方根的相反数是__________.2．利用计算器求算术平方根【例2练4.用计算器求下列各式的值.（1（2（精确到0.01）2．比较大小【例3】小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？12.练5.3．计算平方根【例4】求下列各数的平方根：（1）100 （2）0.25.的平方根是_______; 0的平方根是________.练7．11125练8．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______.【例5】求下列各式的值.（1（2）练9．练10．【例6.练11．一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是____________. 练12．若23270x-=，则x=____________.练13．已知a≥，那么2等于什么？1．（1）一个正数有_____个平方根，它们_________;（2）0的平方根是____________;（3）负数__________2．25的算术平方根是_________, ________是9是________.3．（1）若29x=，则x=__________;4（2）若22x=-，则x=__________．(2)4．要切一块面积为16cm2的正方形钢板，它的边长是多少?5.a满足_______；若有意义，则a满足_______1.计算：2.3.计算：.4．计算：5. 计算：.6．如果2x-有平方根，那么x的值为.7．x x的值为.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
根号的由来
现在，我们都习以为常地使用根号（如 等等），并感到它使用起来既简明又方便．那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？
古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根．印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka ．阿拉伯人用 表示 ．1840年前后，德国人用一个点“.”来表示平方根，两点“..”表示4次方根，三个点“...”表示立方根(稍细一些的点)，比如， .3、..3、...3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根．到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成“
”．1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写
4是2， 9是3，并用 8， 8表示 ， ．但是这种写法未得到普遍的认可与采纳． 与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R 来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q ，或“立方”的第一个字母c 来表示开的是多少次方．例如，现在的
，当时有人写成R.q.4352．现在的 ，用数学家邦别利（1526—1572年）的符号可以写成
R.c.?7p.R.q.14╜，其中“?╜”相当于今天用的括号，P 相当于今天用的加号（那时候，连加减号“+”“-”还没有通用）．
直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596—1650年）第一个使用了现今用的根号“ ”．在一本书中，笛卡尔写道：“如果想求
的平方根，就写作 ，如果想求 的立方根，则写作 abb b a c +-33.．” 这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现在的根号形式．
现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号
3,的使用，比如25的立方根用325表示．
5
4
由此可见，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数家们集体智慧的结晶，而不是某一个人凭空臆造出来的，不是从天上掉下来的．。