特殊三角形(习题)

特殊三角形（习题）

➢例题示范

例1：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点E 在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=60°．

求证：△AEF是等边三角形．

【思路分析】

①读题标注：

60°

60°60°

F

E

D C

B

A

②梳理思路：

要证△AEF是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF是等腰三角形即可，考虑证AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等．

观察图形，连接AC，可以把线段AE和AF分别放在△ABE和

△ACF中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD 均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°，

∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．【过程书写】

证明：如图，连接AC．

∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD

∴△ABC和△DAC是等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60°

∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF

∵∠EAF=60°

∴∠2+∠3=60°

∴∠1=∠2

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴AE=AF

∴△AEF是等边三角形

➢巩固练习

1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，连接DE，

则∠BED的度数为________．F

E

D C

B

A

32

1 60°

60°60°

F

E

D C

B

A

D

E

C B

A

2. 如图，在△ABC 的外部，分别以AB ，AC 为直角边，点A 为直角顶点，作等

腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，CD 与BE 交于点P ，则∠BPC 的度数为________．

P

E

D

C B A

3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，DE 是线段AB 的垂直平分线，

交AB 于点D ，交AC 于点E ，若DE =2，则AC 的长是________．

E

D C

B A 4. 如图，在△AB

C 中，∠ACB =90°，

D 在BC 上，

E 为AB 的中点，AD ，CE 相

交于F ，且AD =DB ．若∠B =20°，则∠DFE 的度数为________．

F

E

D

C B

A

5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =15°，过C 作CD ⊥AB ，交BA 的

延长线于点D ．求证：AB =2CD ．

D

C

B

A

6. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高，

F 为BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ． 求证：∠FED =∠FDE ．

7. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC

的中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．

G F E

D C B A F E

D

A

➢思考小结

1.在做几何题目的时候，看到“直角+30°”，考虑30°角所对的直角边是

___________________；看到“直角+中点”，考虑直角三角形_____________________________；看到“等腰+一线”，考虑等腰三角形___________．

2.根据上面的思考方式研究等腰直角三角形的性质：

如图，在等腰直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，如果从等腰的角度出发，看到“等腰+高线”，考虑等腰三角形_________，所以得到AD=______；如果从直角的角度出发，看到“直角+中点”，考虑_____________________________，可以得到CD=______．

综上可得，对于图中的等腰直角三角形ABC我们可以得到：

CD =______=_______．

D

C

B

A

【参考答案】

1. 45°

2. 90°

3. 6

4. 60°

5.

证明：如图 ∵AB =AC ∴∠B =∠ACB ∵∠B =15° ∴∠ACB =15°

∵∠DAC 是△ABC 的一个外角， ∴∠DAC =∠B +∠ACB =15°+15° =30° ∵CD ⊥AB ∴∠D =90°

在Rt △ADC 中，∠D =90°，∠DAC =30°

∴CD =1

2AC

∴CD =1

2

AB

即AB =2CD 6. 证明：如图

∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90° ∵F 是BC 的中点

∴DF =12BC ，EF =1

2

BC

∴DF =EF ∴∠FED =∠FDE 7. 证明：如图，连接DE ．

∵AC=BC ，∠ACB=90° ∴∠A =45° ∵CD ⊥AB ∴∠ADC =90°，AD =

12

AB ∴CD =12

AB

∴AD =CD

∵E 为AC 中点

∴DE =1

2

AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°

∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE ∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3

在△AEF 和△DEG 中

123A EA ED ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

∴△AEF ≌△DEG （ASA ） ∴EG =EF 思考小结：

321G

F

E D

C

B

A