【优选整合】高中数学人教A版选修2-3第一章1.2.2《组合与组合数公式》
x 3! x 4! ∴x≥7 且 x∈N ,原方程可化 3· =5· , x 7!4! x 6!
*
则
3 x 3 4!
2
5 = ,即为(x-3)(x-6)=40. x6
∴x -9x-22=0,解之可得 x=11 或 x=-2.∴方程的根为 x=11.
5 (1) C10 =252,即共 252 种分法.
(2) C3 9 =84,这样的三位数共有 84 个.
2 (3) C10 =45,共需握手 45 次.
组合问题
【例 2】一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种 取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解:(1)从口袋的 8 个球中取出 3 个球,取法种数是
解:(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数,就是从 10
2 个不同元素中取出 2 个元素的组合数,即 C10 =
10 9 =45. 2 1
(2)可把问题分两类情况:
2 第 1 类,选出的 2 名是男教师有 C6 种方法;
第 2 类,选出的 2 名是女教师有 C2 4 种方法.
(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出,即
∴所有组合为 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.
7 2 5A 【例 2】(1)解方程 3C x = x 3 x4 ; 6 C (2)解不等式 C4 > n n .
x N 解:(1)由排列数和组合数公式知 2 x 4 , 0 x 7 x 3
1:(1)组合定义的特征是什么? (①形式特征:组合定义包含两个基本内容:一是 “取出元素”,二是“合成一组”; ②本质特征:n 个元素是不同的,取出的 m 个元素也 是不同的,且取出的 m 个元素与顺序无关) (2)组合与排列的相同点和不同点是什么? (相同点:都要从 “n 个不同元素中取出 m 个元素” ; 不同点:组合与元素的顺序无关,排列与元素的顺 序有关)
m m C A ( Am = · n n m )
nm C (3)结合组合的定义你能得出 Cm 与 的关系吗? n n
(从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下(n-m)个元素.因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下
nm C 的 n-m 个元素的每一个组合一一对应.所以 Cm = ) n n
8 7 6 C = =56. 3!
3 8
即从口袋内取出 3 个球,共有 56 种取法.
(2)从口袋内取出的 3 个球中有 1 个是黑球,于是还要从 7
76 个白球中再取出 2 个,取法种数是 C = =21. 2!
2 7
即取出含有 1 个黑球的 3 个球,共有 21 种取法. (3)由于所取出的 3 个球中不含黑球,也就是要从 7 个白球 中取出 3 个球,取法种数是
通过本节课的学习,你有什么收获? 1.学习了组合的定义及组合数公式; 2.能正确辨析组合与排列的异同,能正确应用组合 数的公式解决相关的计算或证明问题; 3.在学习过程中注意类比思想的应用,在问题解决 过程中注意培养抽象能力与建模能力.
作业：教材P27A组2、9
6 C (2)由 C4 > n n 得
n! n! 4! n 4 ! 6! n 6 ! ⇒ n 6,
2 n 9n 10 0, n 6,
1 n 10, ⇒ n 6.
又 n合数公式
2:由组合的定义知实例中①③为组合,如 何求解①③呢?
2:(1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示. (2)组合数公式①
m n n 1 n 2 n m 1 A m n Cn = m = ; m! Am
法,由于两种方法解决同一问题故等式成立) (2)若题目改为:一个口袋内装有大小相同的 n 个白球和 1 个 黑球,从中取出 m(m≤n,m、n∈N )个球,共有多少种取法?
m m 1 m C C C 类比(1)的结论你能得到 C m 与 , 的关系吗 ?( n 1 n 1 , n n
* m m 1 Cm C C = + (m ≤ n,m,n ∈ N )) n 1 n n *
【例 3】现有 10 名教师,其中男教师 6 名,女教师 4 名. (1)现要从中选 2 名去参加会议有多少种不同的选法? (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议,有多少种不同的 选法? (3)现要从中选出男、 女教师各 2 名去参加会议,有多少种不 同的选法? 名师导引:(1)第(1)问是组合问题吗?(是,可用组合数公式 求解) (2)第(2)问需分类还是分步来解决?(分两类,用分类加法 计数原理求解,每类又是组合问题,用组合数公式求解) (3)第(3)问怎么解决?(分两步,用分步乘法计数原理求解)
n! ②C = (m, n N* , 且m n) . m! n m!
m n
2:(1)类比“排列”与“排列数的区别”,分析 “组合”与“组合数”有何区别? (“组合”与“组合数”是两个不同的概念,一个组合是指 “从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组”, 它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指 “从 n 个不 同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数” ,它是一 个数) (2)排列数与组合数有怎样的关系?
组合概念的理解
【例 1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合 A={a,b,c,d},则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多 少个? (2)某铁路线上有 4 个车站,则这条铁路线上共需准备多少种 车票? (3)从 7 本不同的书中取出 5 本给某个同学; (4)3 人去干 5 种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法; (5)把 3 本相同的书分给 5 个学生,每人最多得一本,有几种分配 方法.
4 4 此时有选派方法 C5 · C6 =75(种);
第 2 类:选派的 4 名钳工中有 1 名“多面手”.此时有选派方法
3 4 C1 C C · · 2 5 5 =100(种);
第 3 类:选派的 4 名钳工中有 2 名“多面手”,此时有选派方法
2 4 C2 C C · · 2 5 4 =10(种);
一、组合
1:①③的共同特征是什么? (取出的元素不同且无需排序)
1:(1)一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2)如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的 顺序如何,都是相同组合,只有当两个组合中的元素至 少有一个不同时,才是不同的组合.
2 根据分类加法计数原理,共有 C6 + C2 4 =15+6=21(种)不同选法. 2 (3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C6 种,从 4 名女教师中选 2
名的选法有 C2 4 种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法
2 C6 × C2 4 =
65 43 × =90(种), 2 1 2 1
765 C = =35. 3!
3 7
即取出不含黑球的 3 个球,共有 35 种取法.
(1)由(1)(2)(3)问的结果你能得到怎样的等
3 2 式关系?你能对它作出解释吗?( C8 = C7 + C3 7 ,从口袋内的 8 个 3 球中取出 3 个球有 C8 种不同取法,也可分为两类解决:一类含 2 1 个黑球,有 C7 种不同取法,另一类不含黑球,有 C3 7 种不同取
区分排列与组合问题的标志是:事件是 否与顺序有关,与顺序有关则是排列问题,否则是组合 问题.
变式训练 1 1:判断下列问题是否为组合问题?并求出相 应结果. (1)10 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 共有多少种分法? (2)从 1,2,3,„,9 九个数字中任取 3 个,由小到大排列, 构成一个三位数,这样的三位数共有多少个? (3)10 人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需 握手多少次? 解:(1)、(2)、(3)都是组合问题.
计数原理
1.2.2 组合与组合数公式
1.理解组合的定义,正确认识组合与排列的区别 与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数 公式,能运用组合数公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
【实例】下列问题中是排列问题的是
.
①从全班 50 人中选出 7 人组成班委会; ②从全班 50 人中选出 7 人分别担任班委中的 7 个不同的职务; ③从 1,2,5,11,19 这五个数中取出两个数可得多少个不同的真 分数; ④从 1,2,5,11,19 这五个数中取出两个数可得多少个不同的差. 解析:①与顺序无关不是排列问题,②④选取元素不同且与顺序 有关是排列问题.③中任取出的两个数是不等的,只能确定唯一 一个真分数,与顺序无关,不是排列问题. 答案:②④
解:(1)因为集合 A 的任一含 3 个元素的子集与元素顺序无 关,故它是组合问题. (2)因为一种火车票与起点、终点顺序有关.如:甲→乙和 乙→甲的车票不同,故它是排列问题. (3)从 7 本不同的书中,取出 5 本给某个同学,在每种取法 中取出的 5 本并不考虑书的顺序,故它是组合问题. (4)因为一种分工方法就是从 5 种不同的工作中,每次取出 3 种,按一定顺序分给 3 人去干,故它是排列问题. (5)因为 3 本书是相同的,把 3 本书无论分给哪三人不需考 虑顺序,故它是组合问题. 所以组合问题有(1),(3),(5).排列问题有(2),(4).
由分类加法计数原理,不同的选派方法共有 75+100+10=185(种).
人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合1》ppt课件
第一章
1.2
1.2.2
第1课时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3． 从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组 的组合数相同吗？为什么？ 4．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组
m 合数 Cn ＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元
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组合数公式
思维导航 2．组合的本质是取出的 m 个元素不讲究顺序，也就是说 元素没有位置的要求，因此这 m 个元素的全排列数只对应组合
m 数中的一个， 由此你能得出求 Cn 的计算公式吗？你能不用列举
数数的方法求出前面 3 个问题中的票价种数、积的个数、线段 条数吗？
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1.2.2
第1课时
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牛刀小试 1．C2 n＝10，则 n 的值为( A．10 C．3
[答案] B
) B．5 D．4
nn－1 [解析] 由题意得 2 ＝10， 解得 n＝5 或 n＝－4(舍去)，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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2．从 9 名学生中选出 3名参加“希望英语”口语比赛，有
( )种不同选法．( A．504 C．84 [答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C3 9＝ 9×8×7 ＝84 种选法． 3×2×1
高中数学人教A版高二选修2-3教学案：1.2.2_第一课时_组合与组合数公式_Word版含解析
1．2．2组合第一课时组合与组合数公式预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝________．答案：120组合的概念[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明[典例] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1．[解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)证明：m C m n＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n 进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．[活学活用]1．计算：C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466． 2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40． ∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．简单的组合问题[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． [活学活用]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84． 2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1 320个解析：选A C 312＝220，故选A ．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________．解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0．解得－2<n <5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7．(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！．即19－x>3x ，∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A∵C 4n >C 6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9． ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5．答案：{5}6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C 58．(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23．故不同买法种数为C 58＋C 48·C 23＝266． 答案：2667．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91．8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？ 解：(1)显然映射f 是一一对应的，故不同的映射f 共有A 44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A 中每一个元素的象都有3种可能，只有把A 中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f 有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C 24A 22＋C 24A 22＋C 24＝31个．。
高二下学期数学人教A版选修2-3第一章1.2.2组合与组合数课件
思考一：ab与ba是相同的排列还是相同的组合？
思考二：两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？
• 元素相同 • 元素排列顺序相同
• 元素相同
2.组合与排列的区分和联系
排列：从n个元素种取出m(m≤n)个 元素，按照一定的顺序排成 一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列
组合：从n个元素种取出m(m≤n) 个元素，并成一组，叫做 从n个不同元素中取出m个 元素的一个组合
简单的组合问题
跟踪训练
2.由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳 舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从 中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多 少种不同的选法？
组合数公式、性质的应用
例2 计算下列各式的值
1 3C83 2C52
2 C43 C53 C63 ... C130
3
C 5n n
C 9n n1
组合数公式、性质的应用
跟踪训练
C C 1.解方程： 3 n6 18
4n2 18
组合数公式、性质的应用
跟踪训练
C 2.证明： m1 n
C m1 n
5 有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、
1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共
有___1_8____种．
简单的组合问题
例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同 的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少 种不同的选法？
2Cnm
C m1 n2
自我检测
1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
人教版高中数学选修2-3 第一章计数原理 组合与组合数公式 教学课件
备注 ①n，m∈N*且 m≤n.②规定 C0n＝ 1
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
1．组合概念的理解 (1)组合的定义中包含两个基本内容：一是 “提取元 素”；二是“合成一组”，因此，组合要完成“一件事件” 是“取出m个元素后再不管顺序地并成一组”． (2)同排列的要求一样，组合也要求n个元素是不同的， 被取出的m个元素也互不相同． (3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺 序如何，都是相同的组合．只有当两个组合中的元素不完全 相同时，才是不同的组合．
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
【错因】 一是转化不等价． x＝y或x＋y＝n，
事实上 Cxn＝Cyn⇔n≥x，n≥y， x，y∈N*；
二是最后得出的结果没检验，出现根的取舍错误．解有关 组合数的方程，其方法是利用组合数公式或性质转化为不含组 合数的代数方程，再解这个方程，最后的结果要进行检验．应 注意：①组合数的隐含条件；②转化的等价性．
答案： D
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
3．正六边形的顶点和中心共7个点，以其中的三个点为 顶点能组成的三角形个数为________．
解析： C37－3＝32
答案： 32
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
4．(1)解方程 Cx28＝C32x8－8； (2)解不等式 Cn4＞Cn6.
[问题3] 一个小组有6名学生，现抽调4人参加数学竞 赛，所抽出的4人有无顺序？
[提示] 没有．
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
一、组合 一般地，从n个 不同元 素 中 _取__出__m__(m__≤_n_)个__元__素__合__成____ _一__组___，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 二、组合数 1．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_所__有__不__同___ _组__合__的__个__数___，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数．用符号 Cmn 表示．
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2组合(1)
一般地,怎么求 C
m n
?
试利用排列与组合的联系求 C
m n
.
一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元
素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不n 同元素中取出 个m元素的组
合数第2步．C，nm求每一个组合中m 个元素的全排列数 Anm ．
根据分步计∴数C原nm理，得AA到mnmm：.Anm
排列 一般地说，从 n个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况）， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取 出 m个元素的一个排列。
思考：排列与组合的有什么区别和联系？
对比概念
组合数定义
共同点:都是与“从n个不同元素中任取 m个元素”有关的. 不同点:对于所取出的元素，排列还要“把所取元 素按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“把 所取元素并成一组无顺序要求”． 联系:排列可以看成由两步来完成的事情: 第一步:从n个不同元素中任取m个元素(组合);
C
m1 n
m1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
C
n!
m.
m !(n m) ! n
得证.
4.解不等式：C8m1 3C8m
解：不等式可化为
8！
＞ 38!
(m 1)!(9 m)! m !(8 m)!
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
思考
前面我们研究了排列问题，许多计数问题可归 结为排列问题来处理. 思考下面的问题： 问题 1.有 5 本不同的书 ⑴取出 3 本分给甲、乙、丙三人每人 1 本，有几种
高中数学人教A版选修2-3教学案1.2.2 第一课时 组合与组合数公式 Word版含解析
．．组合第一课时组合与组合数公式预习课本～，思考并完成以下问题．组合的概念是什么？．什么是组合数？组合数公式是怎样的？．组合数有怎样的性质？．组合的概念)个元素从个不同的元素中取出(≤，叫做从个不同元素中取出个元素的一个合成一组组合．．组合数的概念、公式、性质[点睛] 排列与组合的联系与区别联系：二者都是从个不同的元素中取(≥)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()从，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是．( )()从中任取两个数相乘可得个积．( )()与是同一个组合．( )()＝××＝．( )答案：()× ()√ ()√ ()×．＝，则的值为( )． ． ． ．答案：．从名学生中选出名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( )．种 ．种 ．种．种答案：．计算＋＋＝．答案：错误!组合的概念[典例] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：()设集合＝{，，，，}，则集合的子集中含有个元素的有多少个？ ()某铁路线上有个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ ()人去干种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ ()把本相同的书分给个学生，每人最多得本，有几种分配方法？ [解] ()因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．()因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．()因为分工方法是从种不同的工作中取出种，按一定次序分给个人去干，故是排列问题． ()因为本书是相同的，无论把本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]。
人教新课标A版高二数学《选修2-3》1.2.2 组合
19 21 ，∴ ≤n≤ . 2 2
－n 3n 28 30 2 1 ∴C38 3n ＋C21＋n＝C30＋C31＝C30＋C31＝466.
课堂练习 2.把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分
到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 9 种 . 3.从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有
排列 bac bca bad bda cad cda
cbd cdb
cab cba dab dba dac dca dbc dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
概念讲解
组合数公式:
C
m n
Am n(n 1)(n 2) (n m 1) n Am m! m
Cm n
n! m !(n m)!
n ! m Cn m !(n m) !
典例分析 等分组与不等分组问题 例1.6本不同的书，按下列条件各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本；
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本.
第一章 计数原理
1.2.2 组合
问题引入 问题1：枣庄——蚌埠的高铁即将开通请思
考一下需要设定几种计费方案呢？
枣庄西站记为——a号站 徐州东站记为——b号站 宿州东站记为——c号站
蚌埠南站记为——d号站
列举出所有的计费方案：
a b c d b b c d caBiblioteka ad问题归纳
从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素合成一组有多少种不同的组？ 只“取”不排
高中数学1.2.2组合第1课时组合与组合数公式人教A版选修2_3
【解】 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是 从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即 C210＝120××19＝ 45(种). (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理，共有 C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同的选 法.
2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会跳舞，5 个人 只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
解：对 3 个既会唱歌又会跳舞的人进行分类： 第一类：若 3 人都不参加，共有 C03C45C45＝25(种)； 第二类：若 3 人都跳舞或都唱歌，共有 2C33C15C45＝50(种)； 第三类：若 3 人中有两人唱歌或跳舞，共有 2C23C25C45＝300(种)； 第四类：若 3 人中有一人唱歌或跳舞，共有 2C13C35C45＝300(种)；
判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)把 5 本不同的书分给 5 个学生，每人一本； (2)从 7 本不同的书中取出 5 本给某个同学； (3)10 个人互相写一封信，共写了几封信； (4)10 个人互相通一次电话，共通了几次电话.
解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它 是排列问题. (2)从 7 本不同的书中，取出 5 本给某个同学，在每种取法中取出 的 5 本并不考虑书的顺序，故它是组合问题. (3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排 列问题. (4)因为互通电话一次没有顺序之分．故它是组合问题.
■名师点拨 对组合概念的三点说明
(1)组合的特点 组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的，即 从 n 个不同的元素中进行 m 次不放回地取出．
2017-2018学年高二数学人教A版选修2-3文档：第1章 1-2
1.2.2组合第1课时组合与组合数公式1．理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点) 2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)[基础·初探]教材整理1组合与组合数的概念阅读教材P21～P22上面倒数第一行，完成下列问题．1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )【解析】 (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√ 由组合数的定义可知正确．(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题． (4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 教材整理2 组合数公式及性质阅读教材P 22探究～P 25探究与发现，完成下列问题． 组合数公式及其性质(1)公式：C m n ＝A mnA m m ＝n ！m ！(n －m )！.(2)性质：C m n ＝C n －m n _，C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1. (3)规定：C 0n ＝1.1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C 23＝3×22＝3.【答案】 32．C 26＝________，C 1718＝________.【解析】C 26＝6×52＝15，C 1718＝C 118＝18.【答案】 15 183．方程C x 14＝C 2x －414的解为________．【解析】由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎨⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6. 【答案】 4或64．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________.【导学号：29472019】【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C 24＝6. 【答案】 6[小组合作型]组合的概念(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ ③2017年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？(2)已知A ，B ，C ，D ，E 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合． 【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】 (1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． ②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.1．区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作法，这样做直观、明了、清楚，以防重复和遗漏．[再练一题]1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．【解】(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．(2)可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd .组合数公式的应用(1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( )A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100 C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1.【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明． 【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100. 【答案】 D (2)由组合数定义知： ⎩⎨⎧0≤5－n ≤n ，0≤9－n ≤n ＋1，所以4≤n ≤5，又因为n ∈N *， 所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式C m n ＝A mnA m m＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．2．涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！(n －m )！计算．3．计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算．[再练一题]2．求等式C5n－1＋C3n－3C3n－3＝195中的n值.【导学号：29472020】【解】原方程可变形为C5n－1C3n－3＋1＝195，C5n－1＝145C3n－3，即(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)(n－5)5！＝145·(n－3)(n－4)(n－5)3！，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．[探究共研型]组合的性质探究1试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×4 2＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有C m n＝C n－mn.探究2从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？【提示】共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．探究3在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C 610＝C 59＋C 69.一般地：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .(1)计算：C 9799＋C 9899＋C 99100＝________；(2)若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合是________．【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．【自主解答】 (1)C 9799＋C 9899＋C 99100＝C 98100＋C 99100＝C 99101＝C 2101＝101×1002×1＝5050.(2)由C 4n >C 6n ，得n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，所以n 2－9n －10<0，得－1<n <10，因为n ∈N *且n ≥6，所以n ＝6,7,8,9，所以n 的取值集合为{6,7,8,9}．【答案】 (1)5 050 (2){6,7,8,9}1．性质“C m n ＝C n －mn ”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．[再练一题]3．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．【解析】(1)原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.【答案】0(2)根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.1．下列四个问题属于组合问题的是()A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员【解析】A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．【答案】 C2．下列计算结果为21的是()A．A24＋C26B．C77C．A27D．C27【解析】C27＝7×62×1＝21.【答案】 D3．C58＋C68的值为________．【解析】C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次.【导学号：29472021】【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．【答案】155．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．【解】由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·n！5！(n－5)！＝n！4！(n－4)！＋n！6！(n－6)！，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.。
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2《组合》课件(2)(新选修2-3)
已知
C
4 n
=
C
6 n
，求
C
9 n+
2
的值.
C9 n+2
=
C
9 12
=
C
3 12
=
220
例2
已知
C
2 n+
3
=
C2 n+1
+
C
2 n
+
C
1 n+
1(n
?
2)
求n的值.
n＝4
例3
计算：C
2 2
+
C
2 3
+
C
2 4
+
L
+
C
2 20
1330
例4 化简下列各式：
(1)
C
m n+
C
m n
1
-
C n- m+1 n C n- m n
+ 1)(n - m ) 2)L 2 ?1
可得什么结论？
C
m n
=
m+1 (n - m )
C
m n
+
1
思考4：由
C
m n
=
n-
m m
+
1 ?n(n - 1)(n - 2)L (n - m + (m - 1)(m - 2)L 2 ?1
2)
可得什么结论？
C
m n
=
n-
m m
+
1C
m n
-
1
理论迁移
例1
=
C
m n
+