第6讲 抽屉原理一-完整版

第6讲抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考虑某些问题时需要利用最不利原则进行分析典型例题兴趣篇1．学校周末要组织4个班的同学去春游，有3个地点可供选择：游乐园、植物园和动物园，如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有2个班要去同一个地点．答案：见解析解析：设这4个班分别为一班、二班、三班和四班．先考虑一班、二班、三班，如果他们中有2个班去了相同的地点，那么已经满足题目的要求了．如果这3个班都去了不同的地点，也就是3个地点都有一个班去，那么剩下的四班只能去这3个地点中的一个，必然与前3个班中某一个班去的地点相同．由此可见，一定有2个班要去同一个地点．2．卡莉娅、墨莫和萱萱到小高家玩，小高拿出一些巧克力来招待他们，他们一数，共有19块巧克力．如果把这些巧克力分给他们3人，试说明：一定有人至少拿到7块巧克力，但不一定有人拿到8块．答案：见解析解析：如果每人分6块，那就只分了18块，还剩1块，这块巧克力无论给谁，都会使得这个人的巧克力变为7块，这就说明，一定有人至少拿到7块巧克力.如果让卡莉娅拿7块，墨莫和萱萱各拿6块，那么一共拿了19块．这样一来，每人拿到的巧克力就不到8块，这就说明，不一定有人拿到8块巧克力．3． -次聚会上，大家发现，有40人都是在同一年的10月出生的，试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的，但不一定有3个人在同一天出生．答案：见解析解析：先从40个人里抽出31个人，如果其中有2个人是在同一天出生，那么已经满足题目要求了．如果这31个人分别在10月的1日至31日出生，那么剩下的9个人里再抽出1个人，这个人必定会和之前的31个人中的某一个人在同一天出生，由此可见，他们甲一定有2个人是在同一天出生的．但是，可以是3 1个人分别在1日至31日出生．剩下的9个人分别在1日至9习出生，所以不一定有3个人在同一天出生。

4．任意1830人中，至少有多少人的生日在同一天？答案：5人解析：1830÷366 = 5．所以至少有5人的生日在同一天．5．有红、黄、蓝、绿4种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多．一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有2颗颜色相同？答案：5颗解析：方法一：如果取2颗珠子，它们可以是红色、黄色的珠子各一颗；如果取3颗，它们可以是红色、黄色和蓝色的珠子各1颗；如果取4颗，它们可以是红色、黄色、蓝色、绿色各1颗，而此时再取第5颗的时候就会发现，不管怎么取都会和前4颗珠子中的1颖颜色相同，由此可见，至少要取5颗，才能保证其中一定有2颗颜色相同，’方法二：从最不利的情况考虑——尽量取不同颜色的珠子，看能取几颗，因为只有4种颜色，所以可以取出4颗不同颜色的珠子．这时，再取1颗珠子就会出现2颗同色的珠子．由此可见，至少要取5颗，才能保证其中一定有2颗颜色相同．6．某校的小学生中，年龄最小的6岁，最大的13岁，从这个学校中至少选几个学生，才能保证其中一定有3个学生的年龄相同？答案：17个解析：从6岁到13岁，可能情况有：6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11岁、12岁、13岁共8种不同年龄．如果从最不利的情况考虑，就是尽量不出现3个年龄相同的学生，那么每种年龄的人数最多有2个，这样一来最多能选出2×8 =16个，使得其中没有3个学生的年龄相同，如果再多选1人，那么这个学生必然会与某2个学生的年龄相同．因此，至少要选出16十1=17个学生，才能保证其中有3个学生的年龄相同．7．有红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔各10支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有4支是同一种颜色的铅笔？答案：l3支解析：要拿到4支同一颜色的铅笔，最不利的情形应该是红、黄、蓝、绿4种颜色的铅笔都拿，而且每种都已拿3支，一共拿了4×3—12支．如果再多拿1支，那么这支铅笔必然会与之前拿出的某种颜色的3支铅笔同色．因此，至少要拿12+1= 13支铅笔，才能保证一定会拿到4支同色的铅笔．8．口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球，且每种颜色的球都有4个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？答案：13个解析：最不利的情猊应该是只剩1种颜色的球没有摸出．而其他3种颜色的球都被摸出来了．如果小华摸出的球中还差1种颜色，不妨假设缺红色，那么小华最多摸出了黄、蓝、绿各4个，一共有3×4=12个．如果再多摸1个球，这1个球必然是第4种颜色，那么小华就有了4种颜色的球。

因此，至少要摸出12+1—13个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有．9．一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红桃、草花和方块4种花色的牌各13张．那么：(1)至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？(2)至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？(3)至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？答案：（1) 42张(2) 44张(3) 19张解析：(1)要使摸出的牌中没有黑桃，那么，最多能摸出其他3种花色全部的牌及2张王牌，一共13×3+2===41张．此时只要再多摸出1张牌，这张牌必然是黑桃．因此，至少要摸出42张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃．(2)要使摸出的牌中红桃少于3张，最多只能摸l出2张红桃和其他所有的牌，共2+13×3+2=43张．因此，至少要摸出44张牌，才能保证在摸出的牌中至少有3张牌是红桃．(3)要使摸出的牌中没有5张同一花色的牌，最多只能摸出每种花色各4张牌，以及2张王牌，一共4×4+2=18张，因此，至少要摸出19张牌，才能保证在摸出的牌中至少有5张牌是同一花色的．10．圆桌周围恰好有12把椅子，现在已经有一些人在桌边就座，当再有一人人座时，就必须和已就座的某个人相邻．问：已就座的最少有多少人？答案：4人解析：由题意，每人最多“控制”自己的椅子和旁边的2杷椅子，所以最少需要12÷(1+2)=4人．把12把椅子按顺时针方向标上1号，2号，…，12号．当1、4、7、10号这四把椅子上坐人，即可满足．题意，因此已就座的最少有4人．拓展篇1．红领巾小学今年入学的一年级新生申有370人是在同一年出生的．试说明：他们中一定有2个人是在同一天出生的，答案：见解析解析：考虑这一些人，他们中要么有2人的生日相同，要么生日都不相同，如果所有人的生日都不相同，那么一年366天最多能选出366个人生日不同，他们正好在366天中每天都有一个人生日．那么，这时还剩下370-366=4个人，他们的生日只能与前面某个1人的生日相同．所以这370个人中一定有2个人的生日相同．2．某公司决定派95名员工去8个不同的城市进行市场调查，是不是一定有12人会去同一个城市？“一定有13人去同一个城市”这个说法正确吗？答案：是；不正确解析：方法一：假如每个城市不到12人去，那么每个．城市最多去11人．8×11= 88人，还不到95人，这不可能．因此，一定会有12人去同一个城市．类似地，假如没有13人去同一个城市，那每个城市最多去12人．8×12=96人，比95人还多1人，这说明没有矛盾，只要往其中的7个城市派12人．最后；一个城市派11人，就正好派出95人．所以不一定有13人去同一个城市．方法二：派95人去8个不同的城市，平均一下应该是95÷8=11……7．这说明即使每个城市派11人还不够，还得再派出7人，无论把这7人怎么派出去，都会使得某个城市的人数多于11人，因此一定可以’找到12人被派往同一个城市．至于是否一定有13人去同一个城市，同样由95÷8=11……7可知，只要先给每个城市派出11人，然后把剩下的7人再派到7个不同城市，就只有12人被派往同一个城市了．这样就找不到13人去同一个城市了，所以不一定有13人去同一个城市．3．任意40个人中，至少有几个人属于同一个生肖？答案：4个解析：生肖有12种，为了不至于让某种生肖的人太多，应该让每一种生肖的人数比较接近，也就是尽量让这40个人平均分配到12个生肖中去．把生肖相同的人归为同一类，40个人分成12类，40÷12=3…4，这说明每一类至少有3个人，还剩，4个人再分，就一定会有某一类至少增加1个人．因此一定会有3+1=4个人被归为同一类，也就是说至少有4个人属于同一个生肖.4． -个盒子内有4个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放”（没有放到格子外的），那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有2枚棋子放在同一格内？答案：5枚解析：方法一：放2枚显然不能保证，3枚也不行，如果放4枚，恰好一个格子1枚，同样没有2枚棋子放在同一格内．但如果此时放入第5枚棋子，那就一定，会与其他4枚中的某一枚同一格．这就说明，放5枚棋子可以保证有2枚棋子在同一格内．方法二：如果不存在2枚棋子同一格，那么每个格子最多放1枚．因为只有4个格子，所以最多只能放4枚．此时只要再多放1枚，无论放在哪一格，都将．出现2枚棋子在同一格内．因此至少要放4+1=5枚棋子才能满足要求．5．一个鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？答案：21条解析：“至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种酌鱼”，就是说如果少捞1条鱼，可能所有品种的鱼都不到5条，那么最不利的情况是捞了5种鱼，但每种鱼都只捞了4条，这时共捞出5×4=20条鱼。

在最不利情形下，只要再捞1条就能满足有5条相同品种的鱼，因此捞出20+1= 21条鱼即可．6．小高把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保证其中有3次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）答案：11次解析：每次摸出4枚棋子，这4枚棋子的颜色有以下5种情况：4枚全白，1黑3白，2黑2白，3黑1白，4枚全黑．如图所示：要求有3次摸出的情况相同，那最不利的情形就是每种情况只摸出过2次，这样正好摸10次．只要再摸1次就可以满足题意．由此可见，至少要摸11次．7．在一个盒子里装着形状相同的3种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有20个．现在闭着眼睛从盒子里拿果冻，请问：(1)至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？(2)至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？答案：（l) 41个(2) 21个解析：(1)要保证拿出的果冻中有牛奶口味的，最不利的情况应该是：拿完了其他口味的果冻，但是始终没有牛奶口味的，此时共拿了20+20=40个．在这种最不利的情况下，只要再多拿1个，这个果冻必然是牛奶口味的．因此至少需要拿41个果冻，才能保证一定有牛奶口味的．(2)拿出的果冻至少有两种口味，反面情况是：所有的果冻口味都相同，那么最不利的情况是：把某一种口味的果冻拿完，还没有出现其他的口味，则最多能拿20个．利用最不利原剐，至少要拿出20+1=21个果冻，才能保证有两种口味。