高中数学必修易错题精选(含部分答案)
(易错题)高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(含答案解析)
一、选择题1．“21x >”是“2x >”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞3．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y }，则（C U M ）∪N 等于（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3} D ．R4．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题 5．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}6．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④8．已知命题2:230p x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞9．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．已知在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则“113a =”是“数列{}n a 唯一”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若集合1|,6 A x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|,23n B x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,26p C x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B ，C 之间的关系是（ ）A ．ABC ==B ．AB C = C ．ABC D ．B CA12．在下列三个结论中，正确的有（ ） ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件. A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③二、填空题13．给出下列三种说法：①命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(q ⌝)”是假命题．②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3. ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中所有正确说法的序号为________________．14．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RAB =__________．15．已知1a ≤，集合{}2x a x a ≤≤-中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围为________.16．已知集合{}{}10|133xA aB x =-=，，，＜＜，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______.17．已知数集{}{},,,1,2,3,4a b c d =，且有下列说法：①1a =；②2>c ；③4d ≠，则满足(),,,a b c d 的数值有________组.18．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________. 19．已知集合{}{}22,1,A B a==，若{}0,1,2AB =,则实数a =________.20．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知集合()(){}10A x x a x a =-++≤，{3B x x =≤或}6x ≥. （1）当4a =时，求AB ；（2）当0a >时，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围. 22．已知集合411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈.（1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. 23．知2:8150p x x -+≤，(): q xx a a -+-≤>222100.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x ∈R 时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 25．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 26．已知集合121284x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，21log ,,328B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （1）若{}122C x m x m =+<≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围；（2）若{}61D x x m =>+，且()AB D =∅，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.2．C解析：C 【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题，分0x =和0x ≠两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“x R ∃∈，2410ax x +-≥”是真命题. 当0x =时，则有10-≥，不合乎题意；当0x ≠时，由2410ax x +-≥，可得214ax x ≥-，则有221414x a x x x-≥=-， 22141244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，等号成立， 所以，4a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是[)4,-+∞. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.3．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞， （C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.4．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确； 原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.5．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.6．B解析：B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩ ，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.7．B解析：B 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．8．B解析：B 【分析】解一元二次不等式化简命题p ，再利用集合间的基本关系，求得参数a 的取值范围. 【详解】由2:230p x x +->，知3x <-或1x >， 则p ⌝为31x -≤≤，q ⌝为x a ≤， p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1{|}3x x ≤≤-{|}x x a ≤∴1a ≥.故选：B. 【点睛】本题考查利用命题的充分不必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将充分不必要条件转化为真子集的关系.9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．C【分析】根据条件“在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项”求解数列{}n a ，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则2213(2)(1)(3)a a a +=++，22213134433a a a a a a ++=+++， 设{}n a 的公比为q ，则22222111114433a q a q a q a a q ++=+++，211430q q a -+-=（*），10a >，因为1114164(3)40a a ∆=--=+>，所以此方程一定有两不等实解，当等比数列{}n a 只有一解时，方程（*）的两解中一解为0q =需舍去，此时113a =； 若113a =，方程（*）有一个解是0q =，另一解4q =．数列{}n a 只有一解， 由上分析知113a =是数列{}n a 唯一的充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．11．B解析：B 【分析】分别将集合中的元素表示为61,6m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，31|,6t x x t Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭和31|,6p x x p Z +⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭即可得结果. 【详解】 ∵161|,,66m A x x m m Z x x m Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 13231|,|,|,2366n n t B x x n Z x x n Z x x t Z -+⎧⎫⎧⎫⎧⎫==-∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，131|,|,266p p C x x p Z x x p Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭显然A B C =，故选：B.本题主要考查集合间的包含关系的判断，考查集合的包含关系等基础知识，属于基础题.12．C解析：C 【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．①③【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R 使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈Rx2-x+1＞0则命题p 且¬q 为假命题此结论正确对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题故可得p 且¬q 为假命题②已知解析：①③ 【解析】试题分析：①若命题p ：存在x ∈R ，使得tanx=1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2-x+1＞0，则命题“p 且¬q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p 且¬q”为假命题.②已知直线l 1：ax+3y-1=0，l 2：x+by+1=0.则l 1⊥l 2的充要条件为ab ＝−3，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为a b ＝−3，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足a b＝−3，故本命题不对.③命题“若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x 2-3x+2≠0”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；考点：复合命题的真假；四种命题14．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题 解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<， 所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.15．【分析】首先分析出集合里面必有元素1再讨论集合为三种情况讨论求的取值范围【详解】所以集合里的元素一定有1集合有3个元素当集合是时有集合是空集；当集合是时有解得：；当集合是时有集合是空集；综上：的取值 解析：(]1,0-【分析】首先分析出集合里面必有元素1，再讨论集合为{}1,2,3，{}0,1,2，{}1,0,1- 三种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】1a ≤ ，21a ∴-≥ ，所以集合里的元素一定有1， 集合有3个元素，当集合是{}1,2,3时，有01324a a <≤⎧⎨≤-<⎩，集合是空集；当集合是{}0,1,2时，有10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩，解得：10a -<≤ ；当集合是{}1,0,1-时，有21122a a -<≤-⎧⎨≤-<⎩ ，集合是空集；综上：a 的取值范围是(]1,0- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，意在考查分类，转化，和计算求解能力，属于中档题型.16．或或【解析】【分析】由指数不等式的解法得由集合的运算及集合元素的互异性可得实数的取值范围是或或【详解】解:解不等式可得即又且则或或故答案为:或或【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算重点考查解析：1a <-或 10a -<<或1a ≥ 【解析】 【分析】由指数不等式的解法得{}|01B x x =<<，由集合的运算及集合元素的互异性可得实数a 的取值范围是1a <-或10a -<<或1a ≥. 【详解】解:解不等式133x <<可得01x <<,即{}|01B x x =<<, 又{}1,0,A a =-,且A B φ⋂=,则1a <-或10a -<<或1a ≥, 故答案为:1a <-或 10a -<<或1a ≥. 【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算，重点考查了集合元素的互异性，属基础题.17．【分析】列举出符合条件的数组即可【详解】则的取值可以是或①时即数组为；②时则或即数组为和因此符合题中条件的数组有组故答案为：【点睛】本题主要考查集合相等的应用根据条件进行分类讨论是解本题的关键考查分 解析：3【分析】列举出符合条件的数组(),,,a b c d 即可. 【详解】1a =，2>c ，4d ≠，则c 的取值可以是3或4.①3c =时，4b =，2d =，即数组为()1,4,3,2；②4c =时，则2b =，3d =或3b =，2d =，即数组为()1,2,4,3和()1,3,4,2. 因此，符合题中条件的数组(),,,a b c d 有3组，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查集合相等的应用，根据条件进行分类讨论是解本题的关键，考查分类讨论数学思想，属于中等题.18．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1 【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A ，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1，若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1，故答案为a=0或1．【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数． 19．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的 解析：0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得20a =，从而求得结果.详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ⋃，则A 或B 必然含有元素0，又由{}{}22,1,A B a ==，则有20a =，即0a =，故答案是0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答解析：[]2,1-【分析】解不等式()29x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<. :33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤．因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.故答案为：[]2,1-.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥；（2）(]0,3.【分析】（1）当4a =时，解出集合A ，计算A B ； （2）由集合法判断充要条件，转化为A B ⊆，进行计算. 【详解】解：（1）当4a =时，由不等式()()450-+≤x x ，得54x -≤≤，故{}54A x x =-≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥， 所以{4A B x x ⋃=≤或}6x ≥.（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，等价于A B ⊆，因为0a >，由不等式()()10x a x a -++≤，得{}1A x a x a =--≤≤， 又{3B x x =≤或}6x ≥，要使A B ⊆，则3a ≤或16a --≥，综合可得a 的取值范围为(]0,3.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．22．（1）()13A ,=-；（2）(][),35,-∞-+∞.【分析】 （1）解分式不等式411x >+可得集合A ； （2）由已知条件可得出A B ⊆，对a -和2a -的大小关系进行分类讨论，结合A B ⊆可得出实数a 所满足的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++， 所以()()130x x +-<，所以13x，故()13A ,=-； （2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<，由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.①当2a a -<-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<-，则1231a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得5a ≥；②当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；③当2a a =-，即1a =时，B =∅，不满足A B ⊆.综上可得，实数a 的取值范围为(][),35,-∞-+∞. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 23．（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）[)4,+∞.【分析】（Ⅰ）解不等式28150x x -+≤即得；（Ⅱ）再求出不等式()222 x x a a -+-≤>100的解，由充分不必要条件与集合包含的关系得出不等关系，可求得结论．【详解】（Ⅰ）若p 为真命题，解不等式28150x x -+≤得35x ≤≤，实数x 的取值范围是[]3,5.（Ⅱ）解不等式()222 x x a a -+-≤>100得11a x a -≤≤+， p 为q 成立的充分不必要条件，[]3,5∴是[]1,1a a -+的真子集.1315a a -≤⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时取到，得4a ≥. ∴实数a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．24．（1）{}3|m m ≤（2）254 （3）{}|24m m m <>或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，再求A 的非空真子集个数；（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆成立，只需12,215,m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m ≤≤. 综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{}3|m m ≤.（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，∴集合A 的非空真子集个数为822254-=.（3）∵x ∈R ，且{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，又不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，∴当B =∅，即121m m +>-，得2m <时，符合题意；当B ≠∅，即121m m +≤-，得2m ≥时，2,15,m m ≥⎧⎨+>⎩或2,212,m m ≥⎧⎨-<-⎩解得4m >. 综上，所求m 的取值范围是{}|24m m m <>或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．(1) 23x <<;(2) 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）p 为真时实数x 的取值范围是13x <<，q 为真时实数x 的取值范围是，然后求交集即可；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件即即q 是p 的充分不必要条件，易得：2a ≤且43a ≤.试题（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由()231x -<，得24x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是24x << 因为p q ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.（2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，所以，p 为真时实数x 的取值范围是3a x a <<.因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件所以2a ≤且43a ≤所以实数a 的取值范围为：4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 26．（1）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[)1,+∞ 【分析】结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合A 和集合B ；（1）由交集定义得到A B ，分别在C =∅和C ≠∅两种情况下构造不等式求得结果； （2）由并集定义得到A B ，根据交集结果可构造不等式求得结果.【详解】 {}[]12128272,74x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤=-⎨⎬⎩⎭ {}[]21log ,,32353,58B y y x x y y ⎧⎫⎡⎤==∈=-≤≤=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （1）[]2,5A B =-当C =∅时，122+≥-m m ，解得：3m ≤，满足()C A B ⊆⋂当C ≠∅时，12212225m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：732<≤m 综上所述：实数m 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）[]3,7A B =-()A B D =∅ 617m ∴+≥，解得：m 1≥∴实数m 的取值范围为[)1,+∞【点睛】本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.。
高一数学必修一易错题汇总
集合部分错题库1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)}3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a2}，若A B ，则实数a 的范围为A.［6，+∞)B.(6，+∞)C.(－∞，－1)D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0<x<6}的集合M 的个数为 A.2 B.4 C.6 D.85．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．)]([C A C B U ⋃⋂ B.)()(C B B A ⋃⋃⋃ C.)()(B C C A U ⋂⋃ D. )]([C A C B U ⋂⋃6.高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人.7.已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为8. 已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数（1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围9.判断如下集合A 与B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k ∈Z},B={x|x=2m+1,m ∈Z}; (2)A={x|x=2m,m ∈Z},B={x|x=4n,n ∈Z}.10.集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1}, (1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.函数概念部分错题库1、与函数32y x =-有相同图象的一个函数是（ ） A. 32y x =- B. 2y x x =-C.y =- D. y x =2、为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位C ．沿x 轴向左平移1个单位D ．沿x 轴向左平移12个单位3、若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是A ．[0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)(1,4]D ．(0,1)4、若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]35、已知函数f （x ）=221x x +，那么f （1）+f （2）+f （21）+f （3）+f （31）+f （4）+f （41）=_____.6、已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。
(易错题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a ba b+--的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．82．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,23．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．954．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．15．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．46．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．327．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,38．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<< C ．e 4e x x y -=+D．y =9．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭10．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<11．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a≤b12．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝二、填空题13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________.14．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的最大值是______.15．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______．16．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 17．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.18．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 19．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 20．某港口的水深y （米）随着时间t （小时）呈现周期性变化，经研究可用sincos66y a t b t c ππ=++来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则+a b的取值范围为_______．三、解答题21．已知函数2(1)()a x af x bx c-+=+（a ，b ，c 为常数）．（1）当1,0b c ==时，解关于x 的不等式()1f x >；（2）当0,2b c a =>=时，若()1f x <对于0x >恒成立，求实数b 的取值范围． 22．已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈.(1)若函数()f x 的最小值是()10f -=，且1c =，()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，求()()22F F +-的值；(2)若1,0a c ==，且()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立，试求b 的取值范围.23．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.24．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1．25．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 26．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝3，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），光线QR 经过ABC 的重心，若以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，建立平面直角坐标系．（1）AP 等于多少？（2）D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，求x ，y 所满足的不等式组，并求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b +--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时，等号成立，因此，411a ba b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 3．D解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242 x yzx+-=-，并理解z的几何意义，利用数形结合分析问题.4．C解析：C【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x=-，利用线性规划即可求解.【详解】解：由2z x y=-得122zy x=-，作出x，y满足约束条件424x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线122zy x=-，由图象可知当直线122z y x =-过点C 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小， 420x x y =⎧⎨--=⎩，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-， 得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值． 【详解】令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．6．B解析：B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.7．C解析：C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.8．C解析：C 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x xy -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e xxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，时，等号成立，所以函数y =D项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.9．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()22332x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B.【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.10．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.11．C解析：C 【解析】试题分析：作差法化简a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0． 解：∵a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ， ∴a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0， ∴a≥b ， 故选C ．考点：不等式比较大小．12．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．二、填空题13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项解析：【分析】 先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由()()144x y --=， 得40xy x y --=， 又0x >，0y >， 得411y x+=，则()445529 41x y x yx y x yy xx y xy+⎛⎫+=+=++≥+⨯=⎪⎝⎭，当且仅当4x yy x=即3,6x y==时取等号.故答案为：9.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．2【分析】据题意由于MN为平面区域内的两个动点则不等式组表示的为三角形区域根据向量的数量积由于（当且仅当与共线同向时等号成立）从而求得最大值【详解】由作出可行域如图由条件可得由图知不等式组表示的为三解析：2【分析】据题意，由于M，N为平面区域401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a⋅≤（当且仅当MN与a共线同向时等号成立）从而求得最大值.【详解】由401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图由条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）， 即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交点(3,1)的距离.2=， 故答案为：2 【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题.15．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等 解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可． 【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--． 故答案为()2,1--． 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．16．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()31993336612b a a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤ 故答案为：(],12-∞ 【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.17．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知解析：9 【分析】 将已知等式变形为111a b+=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得. 【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b+=.又a ，b 为正数，所以1144(4)1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9. 故答案为：9 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.18．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）1111-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)st s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立． 2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题解析：22⎡-⎢⎣⎦【分析】由已知结合辅助角公式可求2294a b +=，然后结合基本不等式22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】由题意可知sincos666y a t b t c t c πππθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，（θ为辅助角）由题意可得3=，故2294a b +=， 由2229228a b a b ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22a b -≤+≤，故答案为22⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）见解析（2）1b >+. 【分析】（1）原不等式转化为()()10-+<x a x 然后利用分类讨论思想进行分类求解； （2）原不等式转化22(0)1x b x x +>>+ ，设()()222151214x t g x x t t t+===≤+-++-11b =⇒>. 【详解】（1）当1,0b c ==时，()()()21100f x x a x a x >⇔---<≠()()10x a x ⇔-+<，讨论：①当1a <-时，原不等式的解集为(),1a -； ②当1a =-时，原不等式的解集为φ； ③当10a -<≤时，原不等式的解集为()1,a -； ④当0a >时，原不等式的解集为()()1,00,a -⋃. （2）当,2b c a ==时，()2211x f x bx b +<⇔<+22(0)1x b x x +⇔>>+ 设()221x g x x +=+，令()=22t x t +>， 则()()2221515512254214x t g x t x t t t+===≤=+=+--++-，时取等号， 故512b >+. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用二次函数的性质，进行数形结合的讨论，难点在于对a 的分类讨论；由参变分离得到函数不等式区间D 上恒成立，一般有以下结论：min 1.():,()a f x x D a f x <∈<即可. max 2.():,()a f x x D a f x >∈>即可.22．(1) 8； (2)[]2,0-. 【分析】（1）根据函数()f x 的最小值是()10f -=且1c =，建立方程关系，求出a b 、的值，从而可求()()22F F +-的值；（2）将不等式()1f x ≤在区间(]0,1上恒成立等价于1b x x ≤-且1b x x ≥--恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论. 【详解】 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立. 又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2 ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]. 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 23．（1）1；（2）9. 【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值； （2）先求得141b a+=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值． 【详解】 （1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<，即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --， 又不等式的解集为{|02}x x <<， 所以2(2)2m --=，解得1m =； （2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=， 所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号， 所以+a b 的最小值为9． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 24．(1) m 34-＞；(2)见解析 【分析】（1）利用△＜0列不等式求出实数m 的取值范围；（2）讨论0＜a ＜1、a ＝0和a ＜0，分别求出对应不等式的解集． 【详解】（1）不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1化为（m 2+1）x 2﹣（2m ﹣1）x +1＞0， 由m 2+1＞0知，△＝（2m ﹣1）2﹣4（m 2+1）＜0， 化简得﹣4m ﹣3＜0，解得m 34-＞， 所以实数m 的取值范围是m 34-＞； （2）0＜a ＜1时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＞0，且1a＞1， 解得x ＜1或x 1a＞， 所以不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为﹣（x ﹣1）＞0， 解得x ＜1，所以不等式的解集为{x |x ＜1}；a ＜0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＜0，且1a＜1， 解得1a＜x ＜1，所以不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}．综上知，0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜1}； a ＜0时，不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题． 25．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽. 【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x米，因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．26．（1）||1AP =；（2）x ，y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为． 【分析】（1）建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由1P ，Q ，R ，2P 四点共线可得直线的方程，由于过ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值；（2）先求出,,RQ PR PQ 所在直线的方程，即得x ，y 所满足的不等式组，再利用数形结合求出D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围． 【详解】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示． 则(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ．设ABC ∆的重心为E ，则E 点坐标为(1,1)，设P 点坐标为(,0)m ，则P 点关于y 轴对称点1P 为(,0)m -， 因为直线BC 方程为30x y +-=， 所以P 点关于BC 的对称点2P 为(3,3)m -，根据光线反射原理，1P ，2P 均在QR 所在直线上，∴12E P E P k k =， 即113113mm -+=+-，解得，1m =或0m =．当0m =时，P 点与A 点重合，故舍去．∴1m =．所以||1AP =.（2）由（1）得2P 为(3,2)，又1(1,0)-P ，所以直线RQ 的方程为210x y -+=； 令210x y -+=中10,2x y =∴=，所以1(0,),2R 所以直线PR 的方程为210x y +-=； 联立直线BC 和RQ 的方程30210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得54(,)33Q ,所以直线PQ 的方程为220x y --=.D （x ，y ）是RPQ 内（不含边界）任意一点，所以x ，y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩. 直线2410x y ++=和直线PR 22351024+ 点Q 到直线2410x y ++=2254|2+4+1|293353024⨯⨯+所以D （x ，y ）到直线2x +4y +1＝0距离的取值范围为32955)1030，．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域，考查线性规划问题，考查解析法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
(易错题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的个数是（ ） ①()f x 的最小值为2-； ②点,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图象的一个对称中心； ③()f x 的最小正周期为π； ④()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A ．35B ．45-C ．3-D ．3．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-4．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（ ）．A ．函数1111sin sin 2sin3sin 4sin100234100y x x x x x =+++++不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； C ．若某声音甲对应函数近似为111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1()sin 22h x x =响度大； D ．若某声音甲对应函数近似为1()sin sin 22g x x x =+，则声音甲一定比纯音1()sin33h x x =更低沉．5．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（ ） A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[8,9)6．已知()()sin 6f x x a b x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，若()0f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．56B ．23C ．1D ．27．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论： ①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称； ③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根. 其中正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，具有以下性质：（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π； （2）6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数； （3）任取12,0,4x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+．同时满足上述性质的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．有以下四种变换方式：①向左平移12π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；②向左平移6π个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6π个单位长度； ④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位长度； 其中能将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象变为函数sin y x =图象的是（ ） A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．已知函数1,01()11sin ,14242x x f x x x π+≤≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩，若不等式2()()20f x af x -+<在[]0,4x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．23a <<C ．22a >D ．92a >11．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度D ．向左平移4π个单位长度12．已知定义在R 上的函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上有且仅有3个零点，其图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭和直线14x =-对称，给出下列结论：①1222f ⎛⎫=⎪⎝⎭；②函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点；③函数()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；④函数()f x 的最小正周期是2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.14．已知sin 78a =︒，cos10b =︒，tan55c =︒，则a ，b ，c 的大小关系为______. 15．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()f x ≥m 的取值范围为________．16．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.17．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确是________（填写序号） ①()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； ④将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象. 18．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④1212()()f x f x x x -->0；⑤1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.当()tan f x x =时，正确结论的序号为________．19．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．20．函数()()0,0,2(f x Asin x A πωϕωϕ=+>><)的部分图像如图所示.则()f x 的解析式是_____.三、解答题21．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 22．如图，在扇形OMN 中，半径10OM =，圆心角6MON π∠=，D 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .（1）用含θ的式子表示线段DC ，OB 的长； （2）求S 的最大值.23．已知函数()2sin()cos sin(2)(0)f x x x ωϕϕωϕω=+-+>在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.（1）求ω的取值范围；（2）当ω取最小正整数时，关于x 的方程211()()022f x f x --=在区间,6m π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有5个实数根，求m 的取值范围.24．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象.又()14g θ=求2114sin sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.25．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限．（1）求α，β的值．（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，求当它们从点A 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离． 26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式； （2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出()min f x 可判断①的正误；利用正弦型函数的对称性可判断②的正误；求出()f x 的最小正周期可判断③的正误；利用正弦型函数的单调性可判断④的正误. 【详解】 对于①，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()min 212f x ∴=⨯-=-，①正确；对于②，2sin 22sin 20121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，点,012π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的图象的一个对称中心，②错误； 对于③，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，③正确； 对于④，当,06x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2666x πππ-<+<，所以，函数()f x 在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. ④正确.因此，正确命题的序号为①③④. 故选：C.关键点点睛：对于正弦型函数基本性质的判断问题，一般将函数解析式化为()sin y A x b ωϕ=++或()cos y A x b ωϕ=++，将x ωϕ+视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质来求解.2．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．3．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题.4．B解析：B 【分析】A.结合奇偶性的定义判断即可B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明 【详解】 A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++()()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数B. ,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均为增函数故111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C. ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 4034g f h ππππππ=-=++=故声音甲的响度不一定比纯音1()sin 22h x x =响度大 D. ()11()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+- ()11()()sin sin 2sin 3023h g h ππππππ=-=+-=甲不一定比纯音1()sin33h x x =更低沉 故选：B 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.5．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=； 当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<.故选：A6．A解析：A 【分析】根据题意分析可得当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，从而可得506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解方程即可求解.【详解】当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，， 故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤时， 当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，0x a b --≥， 即506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以56a b +=. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的性质、不等式恒成立，考查了基本运算求解能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-，由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-==⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误； 对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误；对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.8．B解析：B 【分析】根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项． 【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π， 故()f x 的半周期为2π即周期为π，此时A B C D 各选项中的函数均满足． 因为6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，故()f x 图象的对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭， 对于D 中的函数，因为sin 2166ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 故,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称中心，故排除D ． 因为()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+等价于()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 故()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452336x πππ-≤-≤-，而sin y u =在45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数， 故4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2336x πππ-≤-≤，而sin y u =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数， 故sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为增函数，符合； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2272336x πππ≤+≤，而sin y u =在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数， 故2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；故选：B ． 【点睛】方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减”的原则来判断．9．A解析：A 【分析】直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换求出结果. 【详解】对于①：sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移12π个单位长度得到sin 2+=sin2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin y x =；故①正确；对于②：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到sin 2+=sin 2+666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；故②错误；对于③：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位长度，得到sin sin 66y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭；故③正确； 对于③：sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向右平移6π个单位长度，得到sin sin()663y x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭；故④错误； 故选：A 【点睛】关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a .10．D解析：D 【分析】这是一个复合函数的问题，通过换元()t f x = ，可知新元的范围，然后分离参数，转为求函数的最大值问题，进而计算可得结果. 【详解】由题可知当[]0,1x ∈时，有[]()11,2f x x =+∈，当4](1,x ∈时，0sin14xπ≤≤，即111()sin,12422x f x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 所以当[]0,4x ∈时，1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而问题转化为不等式220t at -+<在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即222t a t t t+>=+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2y t t =+ ，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设1212t t <<<()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=->， 所以2y t t =+在12t ⎡∈⎢⎣是单调递减函数，122t t <<<，()()()1212121212122220t t f t f t t t t t t t t t --=-+-=-<， 所以2y t t=+在2t ⎤∈⎦是单调递增函数， 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上先减后增，而2t t +在12t =时有最大值为92，所以92a >. 【点睛】本题考查含参数的恒成立问题，运用到分离参数法求参数范围，还结合双勾函数的单调性求出最值， 同时考查学生的综合分析能力和数据处理能力.11．B解析：B 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据左右平移规律判断选项. 【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭， 即22ππωω=⇒=，当6x π=-时，22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭， 解得：2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3πϕ∴=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.12．B解析：B 【分析】由三角函数的图象与性质可得()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，代入即可判断①；令03,42()x k k Z ππππ+∈+=，化简即可判断②；令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+，化简即可判断③；由最小正周期的公式即可判断④. 【详解】∵函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，∴111,4k k Z ωϕπ+=∈，又函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，∴221,42k k Z ππωϕ-+=+∈，∴()1221k k ωπ=--⎡⎤⎣⎦，即(21),n n Z ωπ=∈-， ∵函数()sin()f x x ωϕ=+在[]1,2上有且仅有3个零点， ∴24,)201(ππωωω<>≤-，即24πωπ≤<，所以3ωπ=，()()sin 3f x x πϕ=+， ∵104f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴3,4k k Z πϕπ+=∈，又||2πϕ≤，∴4πϕ=，∴()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；对于①，3sin 24122f ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎛⎫==-⎪⎭⎝⎭，故①错误； 对于②，令03,42()x k k Z ππππ+∈+=，则01,31(2)Z k x k =+∈， 令101312k ≤+≤，则可取0,1,2k =， ∴0112x =，512，34，即函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点，故②正确； 对于③，令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+，则1212,43123k x k Z k -+≤≤∈+，当2k =-时，195,124⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为()f x 的一个递增区间， 而35195,,24124⎛⎫⎡⎤--⊆-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故③正确； 对于④，∵()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数的最小正周期2233T ππ==，故④错误. 综上所述，其中正确的结论的个数为2个. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域根据存在性和恒成立问题转化为求出a 的范围【详解】对于函数f （x ）当x≤0时f （x ）单调递增由﹣3≤t≤0可得f （t ）∈﹣43当x ＞0时f （x ）＝﹣x2+2x+3＝ 解析：(],2-∞【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()maxmaxf t ag s +≤求出a 的范围． 【详解】对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]，∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max maxf t ag s +≤∴a +4≤6，解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．【分析】同角三角函数关系知又由的区间单调性知根据的区间单调性知即可知的大小关系【详解】而∴故答案为：【点睛】本题考查了比较三角函数值的大小根据正弦函数正切函数的区间单调性及正弦函数的值域范围比较函数 解析：c b a >>【分析】同角三角函数关系知sin80b =︒，又由sin y x =的区间单调性知b a >，根据tan y x =的区间单调性知1c >，即可知a ，b ，c 的大小关系 【详解】cos10cos(9080)sin80sin 78b a =︒=︒-︒=︒>=︒，而tan55tan 451c =︒>︒=∴c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】本题考查了比较三角函数值的大小，根据正弦函数、正切函数的区间单调性及正弦函数的值域范围，比较函数值的大小15．【分析】由f （x+）＝2f （x ）得f （x ）＝2f （x ﹣）分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】解：∵∴∵当时∴当时当时当时作出函数的图象：令解得：或若存在使得则故答案为：【点睛】本题考查函数与解析：10[,)3π+∞ 【分析】由f （x +π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当0,x时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-．当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-．当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-．作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π， 若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥， 故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈， ∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．17．③【分析】先根据对称轴及最小正周期求得函数的解析式再结合正弦函数的图象与性质判断点是否在函数图象上求得函数的单调区间及对称中心判断选项由平移变换求得变化后的解析式并对比即可【详解】函数的最小正周期是解析：③ 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()()2sin 0,0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称，所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于①，当0x =时，()02sin 16f π==，()f x 的图象不过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以①不正确；对于②，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以②错误；对于③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以③正确；对于④，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以④错误.综上可知，正确的为③. 故答案为: ③. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题. 18．①④【分析】根据正切函数的周期判断①是否正确正切函数的奇偶性判断②是否正确由判断③是否正确由正切函数的单调性判断④是否正确由正切函数的图象判断⑤是否正确【详解】由于f(x)＝tanx 的周期为π故①正解析：①④ 【分析】根据正切函数()tan f x x =的周期判断①是否正确，正切函数的奇偶性判断②是否正确，由tan 00=判断③是否正确，由正切函数的单调性判断④是否正确，由正切函数的图象判断⑤是否正确. 【详解】由于f (x )＝tan x 的周期为π，故①正确； 函数f (x )＝tan x 为奇函数，故②不正确； f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的增函数，故④正确；⑤由函数f (x )＝tan x 的图象可知，设A =12()()2f x f x +，B =122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭故函数在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故⑤不正确． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查了正切函数的图象和性质，属于中档题.19．【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值可得结合图象求得该函数的最小正周期可得出再将点代入函数解析式求出的值即可求得该函数的解析式【详解】由图象可知从题图中可以看出从时是函数的半个周期则又得取所以解析：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈ 【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min2y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，可得出2Tπω=，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴==，max min202y y b +==，从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28T ππω∴==. 又10228k πϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z πϕπ=+∈，取34πϕ=， 所以310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x ∈． 故答案为：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈． 【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由图像对应横坐标可求再将代入可进一步求解由图像过点可求进而求解【详解】由解得又函数过所以解得又图像过可得解得故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式属于中档题解析：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【分析】由34T 图像对应横坐标可求ω，再将6x π=代入可进一步求解ϕ，由图像过()0,1点可求A ，进而求解 【详解】由1132312644T πππω-==⋅，解得2ω=，又函数过()max ,6f x π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以63A f Asin ππϕ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭=，解得6π=ϕ，又图像过()0,1可得()106f Asin π==，解得2A =，故()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭故答案为：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，属于中档题三、解答题21．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间；（3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值. 【详解】（1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；OB θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）max 100S =-【分析】（1）在Rt DCO 和Rt ABO 中利用三角函数的定义可表示出,DC OB ；（2）求出BC 后可得矩形面积S ，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值． 【详解】解：（1）在Rt DCO 中，10OD =，∴10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又Rt ABO 中，6AOB π∠=，10sin AB DC θ==，∴OB θ==，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）在Rt DOC 中，10cos OC θ=，∴10(cos )BC OC OB θθ=-=，∴100sin (cos )S AB BC θθθ=⋅=-11cos 2100sin 2100sin 2223θπθθ-⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵06πθ<<，∴22333πππθ<+<，∴当232ππθ+=即12πθ=时，max 100S =-【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，最后利用正弦函数性质求得结论．23．（1）9(0,1],52⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦；（2）1923,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）先根据两角和的正弦公式将()f x 进行化简，再根据0>ω以及()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出ω的取值范围； （2）根据（1）中ω的取值范围，写出()f x 的解析式，再根据211()()022f x f x --=得出()1f x =或1()2f x =-，再结合在区间,6m π⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有5个实数根，即可求出m 的取值范围. 【详解】（1）()2sin()cos sin(2)f x x x ωϕϕωϕ=+-+2sin()cos sin()cos cos()sin x x x ωϕϕωϕϕωϕϕ=+-+-+ sin()cos cos()sin x x ωϕϕωϕϕ=+-+sin x ω=，()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2 32222kk ωπππωπππ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，k Z∈，解得：36142k kω-+≤≤+，k∈Z又0ω>，∴01ω<≤或952ω≤≤，即ω的取值范围为9(0,1],52⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）知[]21111,()()()1()0222f x f x f x f xω⎡⎤=--=-+=⎢⎥⎣⎦，解得：()1f x=或1()2f x=-，故在区间,6mπ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，sin1x=或1sin2x=-时恰有5个实数根，5个实数根分别为2π，76π，116π，52π，196π.1sin62π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，192366mππ∴<≤，即m的取值范围为1923,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.24．（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（2）1116.【分析】（1）由顶点及周期可得1A =，2ω=，再由sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得6π=ϕ，从而得解；（2）根据条件得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合诱导公式和同角三角函数关系可得解. 【详解】（1）由图可知1A =， 由311341264T πππ=-=，得2T ππω==，所以2ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+， 因为sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，则2,6k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以6π=ϕ， ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（2）由题意，()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()14g θ=，得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 221143sin sin sin[2()]sin [()]63662πππππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111sin()cos ()sin()1sin ()1666641616ππππθθθθ=-+++=-++-+=-+-=.【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤：(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.25．（1）3607α⎛⎫= ⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）45πcm .【分析】（1）根据题中条件，先设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，0180αβ︒︒<<<，列出不等式求解，得出k 和m 的值，即可得出结果；（2）先设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒，根据题中条件求出t ，根据弧长的计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得，14α与14β都是360的整数倍， 不妨设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈，则()1807k k Z α=⋅∈，()1807mm Z β=⋅∈， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，所以902180902180αβ⎧<<⎨<<⎩，即()()29018018072901801807k k Z m m Z ⎧<⋅<∈⎪⎪⎨⎪<⋅<∈⎪⎩，所以()()77427742k k Z m m Z ⎧<<∈⎪⎪⎨⎪<<∈⎪⎩， 因为0180αβ︒︒<<<，所以k m <，所以2k =，3m =， 即3607α⎛⎫=⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒， 则()360t αβ+=，即36054036077t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得145t =， 所以红蚂蚁爬过的角度为144t α=， 因为圆的半径为1cm ， 所以红蚂蚁爬过的距离为1444213605ππ⋅⋅=cm . 【点睛】 关键点点睛：求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到14α与14β都是360的整数倍，利用题中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解.26．（1）()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ=，又314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求出函数表达式. （2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+，由余弦函数图像可得答案. （3）先根据图象变换求出()g x 的解析式，再根据余弦型函数的单调减区间求解即可.【详解】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ= 所以()()cos f x x πφ=+，又当1534424x +==时，314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即33cos 144f πφ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则324k k Z πφππ+=+∈， 所以124k k Z φππ=+∈，， 所以()cos 2cos 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+cos 14x ππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：cos 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()1cos 26g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由122,26k x k k Z πππππ≤+≤+∈ 1544,33k x k k Z -≤≤+∈所以()g x 的单调递减区间为：154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。
(易错题)高中数学必修第二册第二单元《复数》检测(包含答案解析)
一、选择题1．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．22．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ）ABC ．2D ．44．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－C ．12i －D ．12i5．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i -- B ．12-+ C ．122i + D ．122- 6．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 7．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-18．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,89．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．110．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2i C ．12-D ．2i -11．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．22B ．12C ．2D ．212．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．若132i ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 16．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i 为虚数单位），且22z =，则实数a =________．17．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________.18．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．19．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____20．若复数 z =21ii-,则3z i + =__________ 三、解答题21．已知复数1z i =-. （1）设25341z z ω=+-+，求ω的值； （2332a ≥+的实数a 的取值范围. 22．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z 2．（I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11mz n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 23．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.24．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．4，23i -，0，12i 23-+，5+，7i ．25．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数 （2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -. 【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.2．B解析：B 【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.3．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案． 【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ， 所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =， 所以(0,2)AB OB OA =-=，则202AB AB ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.5．C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.6．B解析：B 【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 8．A解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤， 因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.9．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项.本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-，则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+，所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以2z ==.. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题解析：二 【分析】先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案. 【详解】 由()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.故答案为：二. 【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及解析：-1 【分析】先把122ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可. 【详解】解：复数122ω=+对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=，所以arg 3z π=，所以1cos isin 2233i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：-1. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.16．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题解析：0 【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==后解得实数a 的值. 【详解】解：∵ ()14i z a i +=+， ∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴ z ==解得：0a =， 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.17．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值. 【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-， 故12z z -.. 【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.18．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性解析：-2 【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=， ∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+．∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=，∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=， ∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.19．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．20．【解析】分析：先化简复数z 再求再求 的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值. 详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-||z =三、解答题21．（1）5i ；（2）1(2,][1,)6-+∞.【分析】 （1）将复数1z i =-代入25341z z ω=+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误；（2）将复数1z i =-≥，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.【详解】（1）1z i =-.()()255314311211i i i i ω∴=++-=+---+ ()()()512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=；（2|1|a a i +-≥3≥， 即()2231220a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，整理得26710a a -+≥且2a >-，解得126a -<≤或1a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.22．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z i z i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11m z n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z ，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--，则有(1)1m i n i i +--=+-+，∴12112m n m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题. 23．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．24．见解析【分析】形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部，据此可得到各个复数的实部和虚部；(,)a bi a b R +∈，若0b =，则a bi +为实数，若0b ≠，则a bi +是虚数，若0,0a b =≠，则a bi +为纯虚数.【详解】4，23i -，0，1122-+i ，5+，7i 的实部分别是4，2，0，12-，5，0；4，23i -，0，1122-+i ，5+，7i 的虚部分别是0，3-，0，127． 其中，4，0是实数；23i -，1122-+i ，5，7i 是虚数； 7i 是纯虚数．【点睛】该题主要考查的是复数的基本概念，解答该题的关键是熟悉复数的概念.25．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）214i --（2）552i -【详解】 （1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。
高一数学易错试题及答案
高一数学易错试题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)=2x^2+3x-5，下列说法正确的是（）A. 函数在x=-1处有最小值B. 函数在x=-1处有最大值C. 函数在x=-1处无极值D. 函数在x=-1处取得最小值答案：A2. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于（）A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {4}答案：B二、填空题1. 若直线y=2x+1与直线y=-x+4平行，则它们的斜率之比为______。
答案：12. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的导数是______。
答案：3x^2-6x+4三、解答题1. 已知等差数列{an}的前三项依次为a1, a2, a3，且a1+a3=10，a2=6，求数列的通项公式。
答案：设等差数列的公差为d，则有a1+a1+2d=10，a1+d=6。
解得a1=4，d=2。
因此，数列的通项公式为an=4+2(n-1)=2n+2。
2. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数在区间[1,3]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴为x=2，且函数开口向上。
在区间[1,3]上，函数在x=1处取得最小值f(1)=0，在x=3处取得最大值f(3)=2。
四、证明题1. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。
答案：由题意知，a^2+b^2=c^2，根据勾股定理的逆定理，若三角形的三边满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是直角三角形，其中角C为直角。
因此，三角形ABC是直角三角形。
(完整)高一数学必修一易错题集锦答案
高一数学必修一易错题集锦答案1. 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1},注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2}3 。
已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个)解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。
4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围．解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a--1111∈A ⇒111---a a∈A ，即1－a 1∈A⑷由⑶知a∈A 时，a -11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a -11②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.7 设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a ab b b bc c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩8.已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤ 10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x x x =+，求()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x +(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥）（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x +=与 1()2()f x f ax x +=联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a axx -.点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y xx y 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+--点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-=1(0),1(1)u x x x u u =+≥=-≥,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =，得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数1()(1)1xf x x x -=++.解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111xx x -≥⇒-<≤+即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log22++-x x ＝－)(x f ∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数14函数y=245x x --的单调增区间是_________. 解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--15已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x<6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x ＋1)；(2)|lg |10x y =.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22x x x x y这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时，lgx ＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)= 21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x xx x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++由f (x )=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)＋f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是解题的焦点.19已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b =∴18log 5b =∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b ab a b a aa a++++=====+-++20知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜221已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32）(2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =-当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.22已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”. 解：14212+-⋅++a a ax x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0,∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(x x +-,当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(x x +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法.23若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x -=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）点评：幂函数13y x -=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132a a +>-，从而导致解题错误.24 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) = 12-a a(x －x 1)(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x xx t t t ∈--=∴--==--,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a aa x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且f(x)在R 上都是增函数.)1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f 又上是增函数是奇函数且在.211111111122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会.25已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 解：设()f x 的最小值为()g a（1）当22a-<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a-∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤226已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内又(0)f ＝1＞0∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者②1(1)02f m =-且0<<1得m 不存在综上所得，m ＜－227.是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.28已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.解：设F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +，则方程 ()f x ＝121[()()]2f x f x + ①与方程 F （x ）＝0 ② 等价 ∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121[()()]4f x f x -，又12()()f x f x ≠∴F （x 1）·F （x 2）＜0故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数()f x ＝32242x x x --+，计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令()f x ＝32242x x x --+∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 (2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 (1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0 (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0， (2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.32242x x x --+221(21)2(21)2()(2)212()(2)(2)2x x x x x x x x =---=--=-所以32242x x x --+＝0有三个根：12,22-30设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程0)(=-x x f 的两个根21,x x ，满足0<21x x <a1<. （1）当),0(1x x ∈时，证明1)(x x f x <<；（2）设函数2()(0),f x ax bx c a =++>的图像关于直线0x x =对称，证明：210x x <. 分析：（1）用作差比较法证明不等式1)(x x f x <<；（2）函数2()(0),f x ax bx c a =++>图像关于直线0x x =对称，实际直线0x x =就是二次函数的对称轴，即abx 20-=，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设))(()()(21x x x x a x x f x F --=-= 当),0(1x x ∈时，由于21x x <，∴0))((21>--x x x x ，又0>a ∴))(()()(21x x x x a x x f x F --=-=>0即)(x f x <)1)(()1)(()()]([)(2121111ax x x ax ax x x x F x x x F x x x f x -->-+-=--=+-=-∵0<21x x x <<a1<.∴01,021>->-ax x x ∴0)(1>-x f x 综合得1)(x x f x << （2）依题意知a b x 20-=，又ab x x 121--=+ ∴aax ax a x x a a bx 2121)(221210-+=-+=-=∵,012<-ax ∴22110x a ax x =<点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即ab x 20-= 31已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. (1)求证：-3<c ≤-1,b ≥0.(2)若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明 分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1<<b c 和方程01)(=+x f 有实根.及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号. (1)证明：由0)1(=f ，得1+2b+c=0,解得21+-=c b ，又1<<b c ， 1c c >+->21解得313-<<-c ， 又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122=+++c bx x 有实根， 故0)1(442≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由21+-=c b ，得b ≥0. （2）c bx x x f ++=2)(2=)1)(()1(2--=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c<m<1（如图） ∴c —4<m —4<—3<c. ∴)4(-m f 的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.32定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<.（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论； （3）设()()()(){}()({}22,1,,21,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数()f x .解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==.得：()()()110f f f =⋅.因为()10f ≠，所以，()01f =.（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <.在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-.由于210x x ->，所以()2110f x x >->.为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=. ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-.又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >. ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦. ∴ 函数()f x 在R 上单调递减.（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子.()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()210f ax y f -==，即20ax y -+=.由A B ⋂=∅，所以，直线20ax y -+=与圆面221x y +<无公共点.所以，2211a ≥+.解得 11a -≤≤.（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值.解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数（2）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f .若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤. （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f .综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(x f x f =-代入有1||1||)(22+-+=+--+-a x x a x x ，即||||a x a x -=+可得，当0=a 时，||||a x a x -=+，函数)()(x f x f =-函数为偶函数. 通过)()(x f x f -=-可得 1||1||)(22----=+--+-a x x a x x 化得 ||||222a x a x x -++=+此式不管0=a 还是0≠a 都不恒成立，所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月130元. （1）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解：（1）设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则()4010060013200S q p m =-⨯--.124584060q p81又由图可知：()()2140, 405882 5881p p q p p -+≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩. 所以，()()()()()()21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩ 由已知，当52p =时，0S =，即()()214040100600132000p p m -+-⨯--=，解得50m =.即此时该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润()()()()()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩. 当4058p ≤≤时，求得55p =时，S 取最大值7800元. 当5881p <≤时，求得61p =时，S 取最大值6900元. 综上，当55p =时，S 有最大值7800元.设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有 1278002680002000000n ⨯--≥. 解得5n ≥.所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题. （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.。
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必修2易错填空题集锦2011-10-261. 下列四个命题：① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线；③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变；④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。
其中错误的说法有 ①、② 、④。
2. 有下列四个命题：① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行；③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。
其中正确的命题是 ②、③ 。
（写出所有正确命题的序号）3. 以下四个命题：① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等；② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β；③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β；④ α、β为两斜相交平面，面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直.其中正确命题的序号是 ④4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是：①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。
上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。
（写出所有正确结论的序号）5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥⊂，有下列命题：①//l m αβ⇒⊥ ；②//;l m αβ⊥⇒； ③//.l m αβ⇒⊥其中正确的命题是 ① ③ 。
（写出所有正确命题的序号）6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,//n m n αβ=I ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；（3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4）若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥其中所有正确命题的序号是 （2）（4）7. 已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题：①若α∥β，β∥γ，则α∥γ，②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ，③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ；④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ．其中正确的命题有 . ①②④8. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥；③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。
其中正确命题的序号是 ②④9. 如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列命题中，其中真命题是①②④① 过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ② 过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③ 过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ④ 过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行. 10. 若∠ABC 和∠A ′B ′C ′的两边分别对应平行，且∠ABC=45°，则∠A ′B ′C ′= 。
45°或135°11. 若,m l 是两条异面直线，则过m 且与l 平行的平面有1 个。
12.若点P 是两条异面直线a ，b 外一点，则过P 且与a ，b 都平行的平面个数是 0,1 个 13.若直线l 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线l 垂直的直线有 无数 条。
14.四面体中，是直角三角形的面最多 4 个 15.与空间四边形四个顶点距离相等的平面共有 7 个。
16. 已知点A 、B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到平面α的距离是 。
5cm 或1cm17. 平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是 平行、相交18. 正三角形ABC 的边长为a ，沿高AD 把△ABC 折起，使得∠BDC=90°，则B 到AC 的距离为 。
19.自二面角的一个面上一点分别引另一个平面和公共棱的垂线度。
它们的长分别为和10，则二面角的大小为 60︒20. 已知正方形ABCD 所在的平面与正方形ABEF 所在的平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为.421. 沿对角线AC 将正方形ABCD 折成直二面角后，AB 与CD 所在的直线所成角的大小是 60° 。
22. 已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 一定是 菱形。
23.二面角内的一点到两个半平面的距离分别为、4，到棱的距离为则该二面角的大小为75︒。
24. 有一山坡，倾斜角是300，山坡上有条小路和斜坡底线成角600。
沿这条小路向上走80m 时，地面相对升高。
25. 已知二面角l αβ--的大小为600，m ，n 为异面直线，且,,m n αβ⊥⊥则m ，n 所成角的大小为 600 。
26.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为 90︒27. 以一张长、宽分别为8cm和4cm 的矩形硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此正四棱柱的对角线长为B 11MA BCA 1B 1C 128. 四面体S-ABC 的三组对棱分别相等，且长度依次为25,13,5，则该四面体外接球的表面积 29π 。
29. 如图，已知棱锥P-ABC 的侧面是全等的等腰直角三角形，∠APB =∠BPC =∠CP A =90︒,P A =PB =PC =a ，M 是AB 的中点。
一只小虫从点M 沿侧面爬到C 点，则小虫爬行的最短路程 10a 。
30. 如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=AC=BC=a ，∠A 1AC=∠C 1CB=60°，二面角A-CC 1-B 的大小为90°，此斜棱柱的侧面积为 21(623)2a 。
31. （2010高考）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱1,,AB AD AA , 所成的角都相等，这样的直线L 可以作 4 条。
32. （2010高考）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 （6233. 若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为33a ππ. 34. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为6的正方形，//EF AB ,3=EF ,且EF 与平面ABCD 的距离为4，则该多面体的体积为 60 .35. 如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ．36. 直线()0232=++-t y x t 不经过第二象限，则t 的取值范围是 230≤≤t ． 37. 直线13kx y k -+=，当k 变化时，所有直线都通过一个定点，则这个定点的坐标是 （3,1） 。
M P C BA38. 当m= -1 时，直线1:(1)0l mx y m +-+=与2:20l x my m +-=互相平行。
39. 过点()4,2-且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有３ 条40. 过点()2,5A ，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为03=--y x 或 052=-y x ．41. 直线xcos α+ysin α+1=0,α)2,0(π∈的倾斜角为2π+α42. 已知θ∈R ，则直线|sin |10x θ+=的倾斜角的取值范围是000,30⎡⎤⎣⎦ .43. 已知432,4322211=-=-y x y x ，则过点()()2211,,,y x B y x A 的直线l 的方程是432=-y x ．44. 已知直线l 过点P （-1,0），且与以A （2,3），B （3,0）为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 [0,1] 。
45. 若平行于直线2510x y +-=的直线l 与坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为 。
25100x y +±=46. 直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是[)(]2,00,2⋃-47. 过点P(2,1)，作直线l 交x,y 正半轴于A,B 两点，当|PA|·|PB|取得最小值时，则直线l 的方程为x+y-3=048. 若直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是 (]{1,1-⋃49. 从点P （x ,5）作圆()()22231x y -+-=50. 设圆()()22235x y R -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径R 的取值范围是 ()4,6 。
51. 若圆2221:24O x y mx m +++=与圆222:20O x y x ++=相交，则m 的取值范围是—（-2,0）∪（2,4） 。
52. 已知半径为1的动圆与圆()()225716x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ：()()()()2222579,5725.x y x y -++=-++= 53. 已知点00(,)M x y ，圆C ：222(0)x y a a +=>，直线l ：200x x y y a +=（1）若点M 在圆C 外，则直线l 与圆C 的位置关系是 相交 ；（2）若点M 在圆C 上，则直线l 与圆C 的位置关系是 相切 ；（3）若点M 在圆C 内，则直线l 与圆C 的位置关系是 相离 。
54. 与圆()2221x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 。
55. 已知点(1,0)A ，直线1l ：240,x y +-=， 2l ：3410,x y +-=l :220x y ++=。
①点A 关于直线l 的对称点的坐标是 ；②直线l 关于点A 对称的直线的方程是 ；③直线1l 关于直线l 对称的直线的方程是 ；④直线2l 关于直线l 对称的直线的方程是 。
56. 如果直线l 将圆()()22125x y -+-=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是[0,2]；57. 已知(1,0),(0,2)A B -，点P 是圆()22:11C x y -+=上任意一点，则△PAB 面积的最小值是 。