专升本高等数学课件知识归纳大全
完整版)专升本高等数学知识点汇总
完整版)专升本高等数学知识点汇总常用的高等数学知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0.3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0.4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0.二、函数的性质1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D：1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。
2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。
三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(0,1)点。
4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数：1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
四、极限一、求极限的方法：1、代入法：将x的值代入函数中求得对应的y值。
改写后的文章：高等数学中常用的知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
专转本高数知识点整理
专转本高数知识点整理一、函数。
1. 函数的概念。
- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。
如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。
- 函数的两要素：定义域和对应法则。
2. 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。
- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。
- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
3. 反函数。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。
如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。
习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。
二、极限。
1. 极限的定义。
- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。
- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。
专升本数学连续ppt课件
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
专升本高等数学课件 第一章
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量.
[说明] 通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
• 隐函数：函数 y 与自变量 x 的对应法则用一个方程 F(x, y) 0
表示的函数，如x2 y2 1 0 .
二、函数的性质
1．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时, (1) 若恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3、函数的表示法
解析法：用解析表达式表示函数关系
表格法：用列表的方法来表示函数关系
图示法：用平面直角坐标系上的曲线来 表示函数关系
几个特殊的函数举例
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
专升本-高数一-PPT课件
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
专升本高等数学课件知识归纳大全
1 x 2 1 （D）
1 cos x
2
(ex 1)sinx
（09）
x0 当 时，下列四组函数中为等价
无穷小的是 （ B ）
（A）
x2与 2 x
（B）
（C） 1cosx与x2 （D）
sin x与x
tan 2x与x
4.等价无穷小代换定理(教材P27）
定理
当xx0,~,~,lx ixm 0 存在 ,
1e1 x2
（模A） eg
f(x)xx (2 x 2 x1 ),求 f(x)的 间 断 点 并 判 别 其 类 型 。
f (x)tanxx,x[4,54],
求f (x)的间断点并判别其类型。
(三)闭区间上连续函数的性质
定理1 f(x ) C [a ,b ] 存 在 f(x )m a x ,f(x )m in
(3) lim f ( x) f ( x0 ) x x0
左连续limf (x) f (x0) xx0
右连续limf (x) f (x0) xx0
(二)间断点分类
第一类（
(1)可去间断点 (2)可去间断点 (3)跳跃间断点
第二类（ (4)无穷间断点 (5)振荡间断点
f(x0都存0在)， 的间f断(点x0 ）0)
至 少 有 一 个 不 超 过 ab的 正 根
（模C）
设 f ( x ) 0, 在 [a , b ]连 续 ,
令 F ( x )
x
f (t)dt
x
1
dt
a
b f (t)
求 证 ：1 .F ( x ) 2
2 .方 程 F ( x ) 0 在 ( a , b )内
有且仅有一个实根。
专升本 高数 PPT课件
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
专升本高数必修知识点总结
专升本高数必修知识点总结一、极限和导数1.1 极限极限是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点或在无穷远处的值，是微积分的基础和核心概念。
极限的概念是指：当自变量趋于某个确定的数时，函数的值逐渐地接近于一个确定的常数。
常见的极限有以下几种类型：常数极限、无穷大极限、无穷小极限、复合函数的极限。
常数极限：当x趋于a时，常数函数f(x)=c常数c称为极限。
无穷大极限：当x趋于无穷大时，函数f(x)趋于无穷大。
无穷小极限：当x趋于a时，函数f(x)趋于0。
复合函数的极限：由复合函数的连续性推论而来。
1.2 导数导数是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，是描述函数变化的一种重要工具。
导数的概念是指：在数学上，对于给定的函数f(x)，如果它在某一点x处有导数f'(x)，那么函数f(x)在这一点x处一定是可导的，而且这一点导数f'(x)就是函数f(x)在这一点的切线的斜率。
导数的性质包括了常数函数的导数、求和函数的导数、乘积函数的导数、商函数的导数、复合函数的导数和反函数的导数等。
那么如何求导数呢？求导数的方法主要有以下几种：利用极限定义、利用基本导数公式、利用导数的四则运算法则、利用导数的公式、利用导数的运算法则、利用导函数或利用微分等。
1.3 高数应用极限和导数的概念在高数中有着广泛的应用，比如在求解极限问题时，常使用洛必达法则、夹逼定理等方法；在求导数中，常使用链式法则、隐函数求导、参数方程求导等方法。
极限和导数也广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理和社会科学等领域，是高数中一个非常重要的知识点。
二、积分2.1 定积分定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间上的总体量，是微积分的另一个核心概念。
定积分的概念是指：它是由无限小矩形面积的极限求和而得到的，用来描述曲线与x轴之间的面积，表示了曲线在某一区间上的总体量。
定积分的性质包括了常数函数的定积分、基本初等函数的定积分、积分中值定理、负积分、定积分的加法性、定积分的乘法性等。
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(六）初等函数－－由基本初等函数（１）经 过有限次的和,差,积,商运算，（２）有限次 的复合运算，（３）且可用一个公式表示的 函数.
非初等函数举例:
（1）y x x2 x3 xn ...
(2) y x x x
(3)
y
a
sin(x 1) x 1
,
x
1
ex 1, x 1
二.极限
lim f (x0 ) xx0
f (x) f (x0 ) x x0
3.左右导数
Th.... f (x)在x0可导 f(x0 ) f(x0 )存在
4.可导与连续的关系
Th.... f (x)在x0可导 f (x)在x0连续
（10）f (x) x 在x 0处是( ),
A.可导但不连续;B.不连续且不可导; C.连续且可导;D.连续但不可导
1.定义
2.分解标准-----分解到每一步都是基本初等函 数的和,差,积,商为止.
3.复合函数定义域求法 ① f (x)的定义域为[0,1),求f (1 1 )的定义域
ln x
② f (x)的定义域为[0,2], 求f ( 1 )的定义域
1 x2
注意：并非任何两个函数都可以复合
y u
ln u x2
(2)lim f (x0 )存在 x x0
(3)lim f (x) f (x0 ) x x0
3.左右连续
左连续lim f (x) f (x0 ) x x0
右连续lim f (x) f (x0 ) x x0
(二)间断点分类
第一类（ f (x0 0)，f (x0 0) 都存在的间断点）
(1)可去间断点 f (x0 0) f (x0 0)；f (x0 )不存在
4 y
ln( x 2
4)无意义
（03） f (x 1) x2 ,则f (x) [ 1 ]
x x4 1
x2 2
（07）f (x) 1 x ,则f 1( 1 ) [ x ]
1 x
1 x 2 x
（08）f (1) x ,则f 1(x) [1 x]
x 1 x
x
(五)基本初等函数
常用的有六类14个
周期函数 y sin x cos x ,求周期T 32
y Asin(x ) B
（08） f (x) 2x2 ex2 , 1 x 2 是（ D ）
（A） 偶函数 （B） 奇函数 （C）单调增函数 （D）非单调函数 （07） f (x), g(x),(x) 均为奇函数，
则下列为偶函数的是 （ ） （A） f (x)g(x)(x) （B）f (x) g(x) (x)
③(03)当n
,
sin
n
1
2
是(B)
( A)与 3 等价的无穷小；(B)与 3 同阶但非等价的无穷小;
2n 5
2n 5
(C)比 3 高ห้องสมุดไป่ตู้的无穷小;(D)无穷大 2n 5
（07）当 x 0 时，下列函数中能成为
x2
的等价无穷小的是（ D ）
1 cos x
（A） cos x 1 （B） 2
（C） 1 x2 1 （D） (ex 1) sin x
（08）下列函数中，定义域为 [1,1)
的函数是（ ）
（A） y 1 1 x2 （B） y 1 x2
x
（C） y 1 lg 1 x
2 1 x
（D）
y 1 x 1 x
（模C） f [(x)] 1 cos x,(x) sin x
2 则f (x) (.....)
(二)函数特性 1.单调性 2.奇偶性 f (x) f (x) f (x)为偶函数
（07） f (x)
1
x
,求f (x)的间断点并判别其类型。
1 e1x2
（模A）
f (x)
x2 x
,求f (x)的间断点并判别其类型。
x (x2 1)
eg
f
(x)
x tan
x
,
x
[
4
,5
4
],
求f (x)的间断点并判别其类型。
(三)闭区间上连续函数的性质
定理1 f (x) C[a,b] 存在f (x)max , f (x)min 定理2 f (x) C[a,b] f (x)在[a,b]有界
xx0
xx0
xx0
x x0
结论 当x 0,有sin x ~ x, tan x ~ x,
arcsin x ~ x, arctanx ~ x,
e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,
1 cosx ~ 1 x2 , n 1 x 1 ~ 1 x
2
n
例题(等价无穷小代换)
lim ex ex 2x
① 当x x0 (x ), (x) 0, (x) 0,
则 (x) (x) 0
② 当x x0 (x ), (x) 0, (x) 0,
则 (x) (x) 0
③
f (x) M ,当x x0 (x ), (x) 0
则 (x) f (x) 0
④ lim f (x) A f (x) A x x0 (当x x0, 0)
①
x0
sin 3 x
lim ln(1 4x2 )
②
x0 sin x 2
lim tan x sin x 1
③
x
sin 3 x
2
四.连续与间断
(一)连续 Def 1...lim y 0
1.
x0
Def 2...lim f (x) f (x0 )
x x0
2.连续三要素 (1) f (x0 )存在
(2)可去间断点 f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ) (3)跳跃间断点 f (x0 0) f (x0 0)
第二类（ f (x0 0)，f (x0 0) 至少一个不存在的间断点）
(4)无穷间断点 lim f (x)
(5)振荡间断点
x x0
lim f (x)不定
x x0
)
,
求y
.
(10) f (2x) ln x，求 df (x)
dx
⑤（04）
y x2 a2 a arccos a , (x a 0)]....求dy x
(10)计算题
f (x) ex，g(x)=cosx, y=f( dg ),求 dy
dx dx
5.隐函数求导 显函数----- y f (x) 隐函数----- F(x, y) 0
（模C）
设f (x) 0,在[a,b]连续,
令F(x)
x
f (t)dt
x
1 dt
a
b f (t)
求证：1.F(x) 2
2.方程F (x) 0在(a,b)内
有且仅有一个实根。
第二章导数与微分
一.导数的概念 1.定义
lim f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
2.几何意义
(1) 2
lim ①
x2
sin(x 2) x2 4
(1) 4
lim ② (06)
(1
1 )x4
1
(e 4 )
x
4x
lim ③ (03)
(t b)t e.则b (1)
t t b
2
k
④ (09) lim(1 5x) x e10.则k (2) x0
2.其他
① lim 举例 x
an x n an1x n1 a1x a0 bm x m bm1x m1 b1x b0
, 称当x c 0, 称当x
x0，是较低阶的无穷小 x0，与是同阶无穷小
特别，c 1, 称当x x0 , ~ （等价）
例题(阶比较)
① (05（)当Ax）的x0,高阶 , 都无是穷无小（;穷B小）,则的当同x 阶无x0,穷 小是（A）
（C）的等价无穷小（; D）不是无穷小
② 当x 0, 1 ax2 1 ~ sin2 x,求a
0,,nnmm
an
,n
m
bm
②
lim
sin
x
1
x0 x e x
lim2x 1
③ x 2x 1
lim ④
[(1 1 )(1 1 )(1 1 )]
n
22
32
n2
3.罗必塔法则
" 0"," ", 0
"0 • "," ", "1 " , " 0 " , "00 "
三.无穷小.无穷大
1.定义 2.性质
① xe y ye x y 4 , 求y
② y tan(x y)....求.y..y
③
(06)...xy ln x ln y 1...求 dy dx
④ (07)... ln( x y) xy 2 sin x....求... dy
（C）f (x) g(x)(x) （D）f (x)[g(x) (x)]
（07） f (x)在[1,1]连续，
则
1
[ f (x)
f (x)]dx （.....)
1
eg
f
(x)
1 x
在(0,+)............(有界，无界）
在(0,1]............(有界，无界）
在[1,+)............(有界，无界）
★ 函数定义，极限，连续， 可导，可微的关系
二.求导数归纳
1.基本导数公式
lim f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
lim f (x0 ) xx0