函数与方程-课件PPT

(2)(2011 年 天 津 ) 对 实 数 a 和 b ， 定 义 运 算 “ ⊗ ”： a ⊗ b ＝
5．若函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是________．
解析：令 g(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，h(x)＝x＋a，分 0＜a＜1，a ＞1 两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数 f(x)＝ax－x－a 有两个不同的零点，则函数 g(x)，h(x)的图象有两个不 同的交点，根据画出的图象只有当 a＞1 时符合题目要求．
函数与方程
1． 的概念
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零
点．
2．函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与
＝f(x)有 零点．
x轴 有交点⇔函数 y
3．函数零点的判断
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且
答案：(1，＋∞)
热点考向一 确定函数的零点
(1)求 f(x)＝x3－2x2－x＋2 的零点；
(2)判定 f(x)＝1x－x，在(0，1)内是否有零点；
(3)判定 f(x)＝lnx＋2x－6 的零点个数；
(4)方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
【解析】 (1)∵f(x)＝x3－2x2－x＋2 ＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1) ＝(x－2)(x－1)(x＋1)， ∴f(x)＝x3－2x2－x＋2 的零点为－1、1、2. (2)令 f(x)＝1x－x＝0(x≠0)， ∴x2＝1， ∴x＝±1∉(0，1)，故 f(x)在(0，1)内无零点． (3)法一：画出函数 y＝lnx 与 y＝6－2x 的图象如图， 故 f(x)＝lnx＋2x－6 只有一个零点
有 f(a)·f(b)＜0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 c
∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与 x 轴的交点
第二步，求区间(a，b)的中点 x1； 第三步，计算 f(x1) ： ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点；
②若 f(a)·f(x1)＜0 ③若 f(x1)·f(b)＜0
，则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a，x1))； ，则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))；
第四步，判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近
点所在的区间为( )
A.－41，0 C.41，12
B.0，14 D.21，34
解析：因为 f14＝ ＋4×14－3＝
－2＜0，f21＝ ＋4×12
－3＝
－1＞0，所以 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为41，12.
答案：C
3．函数 f(x)＝
－(12)x 的零点个数为(
)
A．0
似值 a(或 b)；否则重复第二、三、四步．
1．(山东实验中学 2012 年高三第一次诊断性考试)函数 f(x)＝－
1x＋10g2x 的一个零点落在下列哪个区间(
)
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
答案：B
2．(2011 年课标全国)在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零
x1，x2
x1
无交点
零点个数
两个
1个
没有
5.二分法
(1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个 端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度 ε；
法二：由于 f(1)＝－4，f(e)＝2e－5＞0， ∴f(1)·f(e)＜0， ∴f(x)在(1，e)上有零点． 又 f(x)＝lnx＋2x－6 在(0，＋∞)上递增， ∴f(x)有唯一的零点． (4)设 f(x)＝2x－1＋x－5，由 f(2)·f(3)＝－2＜0，故 f(x)在(2，3)上 有零点，即方程 2x－1＋x＝5 在(2，3)内有解，所以选 C. 【答案】 C
B．1
C．2
D．3
解析：令 g(x)＝
，h(x)＝(12)x，则 f(x)的零点个数即为 g(x)
与 h(x)图象的交点个数．由 g(x)与 h(x)的图象可知，f(x)有 1 个零点．
答案：B
4．用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据如 下：
f(1.600 0)＝0.200 f(62 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得 f(x)＝3x－x－4 的一个零点的近似值(精确到 0.01) 为________． 答案：1.56
1．(1)判断方程 3x－x2＝0 的负实数根的个数，并说明理由． 解析：设 f(x)＝3x－x2，
∵f(－1)＝－23＜0，f(0)＝1＞0， 又∵函数 f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的， ∴函数 f(x)在(－1,0)内有零点． 又∵在(－∞，0)上，函数 y＝3x 递增，y＝x2 递减， ∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的， ∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点． 因此方程 3x－x2＝0 只有一个负实数根．
【点评】 (1)求函数的零点，即求方程的根，它是求零点的准 确值，因此必须利用解方程的方法求解．若是求近似解，则不必去 解方程，可利用二分法求解．
(2)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活 处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求 出时，可根据零点存在性定理；当用零点存在性定理也无法判断时 可画出图象判断．