回归课本专题二数列
回归课本专题答案
回归课本专题三：解析几何参考答案
一、练习 1. 2 x y 4 0 ；2.（-2，3） ；3.3 或-6 或
1 2 2 ；4. 74 ；5. ( x 4) ( y 1) 25 ； 3 1 ； 4
（2） 直线 AB 与 P 不能相切.因为 k AB b, kPB
b2 c 2 2b b c ， 如果直线 AB 与 P 1 c b ( c 1) 0 2 b
xn1 2 xn
故 数 列 {xn } 为 首 项 为 1 ， 公 比 为 － 2 的 等 比 数 列 所 以 ： xn (2) n1
11.
1 PF , O 半径为 a ,两圆 2
1 1 PF a PF ，所以两圆相切. 2 2
Байду номын сангаас
13 31 1 , ) ；14. ；15.（1，5） ， （5，9） ； 5 5 2 x2 y 2 x2 y 2 4 x2 y 2 10 1 ； 1 ； 21. 1 ； 22. 16. ； 17. 1 ； 18.17 ； 19.36 ； 20. 9 4 3 5 8 8 10 2 2 2 2 23. y 12 x ；24. x 8 y ；25. xy 2 ；26. y 4 x ；27. 2 y x 6 ；28.（-3，3）.
，∴
8 1 4 1 1 1 8 1 (1 n ) ≥ (1 ) 9 2 9 d1 d 2 dn 9 2
5.⑴ an 6n 5(n N * ) ；
⑵ m 的最小整数为 10.
b(b 2 c) 1 ，解得 c=0 或 2，与 0<c<1 矛盾，所以直线 AB 与 P 不能相切. b(c 1) x2 y 2 ２ . （ 1 ）设椭圆方程是 2 2 1(a b 0) . 直线 3x 2 y 0 与椭圆的一个交点的坐标是 a b 3c c 2 9c 2 a2 (c, ) 代 入 椭 圆 方 程 得 ： 2 2 1 ， 又 4, a 2 b 2 c 2， 可 解 得 2 a 4b c 2 2 x y 1. a 2, b 3, c 1 .所以椭圆方程为 4 3 3 （ 1， 0） （2）由（1）知，.直线 3x 2 y 0 与椭圆的一个交点的坐标是 (1, )，F ，则以 PF 为 2 3 2 9 3 3 2 直径的圆的方程是 ( x 1) ( y ) ，圆心坐标为 (1, ) ，半径为 .以椭圆长轴 4 16 4 4 5 3 为直径的圆的方程是 x2 y 2 4 ，圆心坐标为 (0, 0) ，半径为 2.圆心距为 2 ， 4 4
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回归课本专题二 数列 第1页回归课本专题二:数列一.数列的概念与通项公式 （一）求数列的通项公式1．观察法：通过观察数列中前几项与项数之间的关系归纳总结出第n 项n a 与项数n 之间的关系.例1.（1）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，则前2010行中每一行第一个数之和为 ． 2．公式法：利用等差、等比数列的通项公式或利用11n n n S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥直接写出所求数列的通项公式.例2.(1) 数列｛a n ｝中,已知2231,n n S n n a =++=求 (2) 数列｛a n ｝中,已知11a =,S n+1= 4n a +1，求数列{}n a 的通项公式. 3.叠加法：适用于递推关系为1()n n a a f n +-=型； 连乘法：适用于递推关系为1()n na f n a +=型； 构造新数列法：11;()n n n n n n a pa q a pab b ++=+=+为等差数列或等比数列；作商法（n n c a a a = 21型）；（有时可以考虑两边同取对数） 数学归纳法，先猜后证.例3.（1）已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________.（2）已知111,32n n a a a -==+，则n a ＝ .（3）数列｛a n ｝中,已知11a =,2)1(1++=+n n a n na ,则n a =________.（4）正项数列｛a n ｝中,已知11a =,0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n ，则n a =________.（5）数列｛a n ｝中,已知11a =,nnn a a a 211+=+，则n a =________.（6）数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+ ，求n a ＝ .（二）求数列{n a }的最大、最小项的方法（函数思想）：1.作差或作商：a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 ，⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 nn a a (a n >0)2.()n a f n =研究函数()f n 的增减性;3.令n x =,通过求导判断单调性. 例4.求数列中的最大或最小项：（1）22293n a n n =-+- （2）9(1)10n n nn a += （3）2156n n a n =+ （4）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值. 二.等差与等比数列 （一）判断和证明 1. )*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+-a anb n ⇔=+（一次）2S An Bn n ⇔=+（常数项为0的二次）；,,,a b A B =？ {}n a 等比2*111(2,)0n n n n n n a a a n n N aq a a -+-⎧=⋅≥∈⇔⇔=⎨≠⎩（q 常数，*2,n n N ≥∈）1;m ?n 1n na a qS m m q n -⇔=⋅⇔=-⋅=例5. (1)若{}n a 是等比数列，且3nn S r =+，则r ＝ .（2）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.（二）解决等差（等比）数列问题的常用方法： 1.基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想. 等差数列中a n =a 1+(n-1)d;S n =d n n na 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--=2)(1n a a n + 等比数列中a n = a 1 q n-1;当q=1,S n =na 1 当q ≠1,S n =qq a n --1)1(1=q qa a n --11等差三数为a-d,a,a+d ;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;等比三数可设a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (为什么？)(1) 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且5a ，8a ，13a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若25b =，则n b 等于 .2.利用等差（比）数列的性质： 等差数列中,（1） a n =a m + (n －m)d , nm a a d nm --=； (2)若，则；若2m n p +=，则2m n p a a a +=（3）任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.等比数列中，（1）n m n m a a q -=;（2）若，则;若2m n p +=，则2m n p a a a = ；（3）等比数列{}n a 的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列23243m m m m m m m S S S S S S S --- 、、、仍为等比数列.如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列.回归课本专题二 数列 第2页三.数列的求和：数列求和的常用方法：―――关键找通项公式，确定项数. 公式法: 等差数列的求和公式（三种形式），等比数列求和公式.分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含n(-1)因式，周期数列等等）倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：⑴1111111()(1)(1)11n n n n n n a a a a a a +++=-++++- (2)2211111()1211k k k k <=---+ 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- (3) !(1)!!n n n n ⋅=+- （4）<< 例8．求下列数列的前n 项和（1）a n =2n+3n ；（2）111112123123n++++=+++++++ . （3）求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+ ；四、练习1. (必修⑤P32.6（1）改编）已知数列{}n a 的通项公式295n a n n =-+，则这个数列中的最小项为 .2.(必修⑤P38.4) 一个直角三角形的长组成等差数列，则这个直角三角形的三边长的比为 .3.(必修⑤P39.8) 已知两个数列y a a a x ,,,,321与y b b x ,,,21都是等差数列，且y x ≠，则1212b b a a --的值为 .4.(必修⑤P40.12)1934年东印度（今孟加拉国）学者德拉姆（Sundaram ）发现了“正方形筛子”： 4 7 10 13 16 7 12 17 22 27 10 17 24 31 38 13 22 31 40 49 16 27 38 49 60则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是 .5. (必修⑤P45.练习3) 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为05的等差数列，且最小角是0120，则它是 边形.6.(必修⑤P45.7) 一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则公差d= .7.(必修⑤P45.12) 已知等差数列{}n a 中，1583,115a a a =-=，则前n 项和n S 的最小值为 .8.(必修⑤P46.13)观察： 1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1则第n 行的所有数的和为 .9.等差数列的通项公式的推导方法为 ；等差数列的求和公式的推导方法为 ；等比数列的通项公式的推导方法为 ；等比数列的求和公式的推导方法为 .10. 已知{a n }为递增数列，且对于任意正整数n ，a n+1>a n 恒成立，a n =－n 2+λn 恒成立， 则λ的取值范围是________11.(必修⑤P52.10) 已知}n a 是等差数列，且公差0≠d ，又931,,a a a 依次成等比数列，则642931a a a a a a ++++= .12.(必修⑤P52.13)设ABC ∆中角A,B,C 的对边分别为a,b,c.（1）若a,b,c 成等差数列，则可得到 ；（2）若a,b,c 成等比数列，则又可得到 .13.(必修⑤P58.6) 2311234n x x x nx -+++++= .14. (必修⑤P58阅读)13世纪意大利最杰出的数学家斐波那契由一对兔子繁殖问题得出一串数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233， ，人们为了纪念他，把这种数列称为n n n N -∈（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）则221222()n n n a a a ++-⋅= .15.(必修⑤P62.8)等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且118m a a -=，则其通项公式为 .16. (必修⑤P54例3) 数列12n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 . 17.(必修⑤P627改编)数列2143n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为 .18. 数列}{n a 的前n 项和=+⋅⋅⋅+++-+=255312,12a a a a n n s n 则 . 19.在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在n S 中最大的负数项为 .20.已知()1(1)()1f n f n f n -+=+(n ∈N*)，2)1(=f ，则=)2007(f _______.21.设1)1()(3+-=x x f ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4(f f f f +++++- 的值为： .22. 某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 ．回归课本专题二 数列 第3页23. 定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列}{n a 是等积数列，且21=a ，公积为5，则这个数列的前n 项和n S 的计算公式为： ． 五、 品味经典1.(必修⑤P59.8改编)设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，公比为q ，且396,,S S S 成等差数列. （1）求3q 的值；（2）若数列{}n b 满足122835,,b a b a b a ===，求证：285,,a a a 成等差数列；2.在数列{}n a 中，112,431,n n a a a n n N *+==-+∈. （1）证明：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）证明：不等式14n n S S +≤对任意n N *∈都成立.3.（08山东卷19) 将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足22nn n n b b S S -=1（n ≥2）.(Ⅰ)证明数列｛nS 1｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481-=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.4过曲线3:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于点),(222y x P ，过点2P 作曲线C 的切线l 2与曲线C 交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：),(111y x P ，2223331(,),(,),,(,),,1n n n P x y P x y P x y x = 已知.（1）求点P 2、P 3的坐标； （2）求数列}{n x 的通项公式；（3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ，求证：9411121>+++n d d d ．5.已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为nS ，点),(n S n (n ∈N*) 均在函数)(x f y =的图像上． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20mT n <对所有n ∈N*都成立的最小正整数m ；。
高考数学回归课本 数列
练习2—数列1，的一个通项公式是2．已知数列{}n a 中，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 项 3．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为4．)23lg(-与)23lg(+的等差中项为5．已知等差数列{}n a ，150a =，2d =-，0n S =，则n 等于6．已知等差数列{}n a 的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为7．等比数列{}n a 中，32a =，327=a ，那么它的公比q =8．等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于9．已知数列{}n a 的通项公式为212n n a -=,则数列{}n a 的前5项和5S =10．等比数列{}n a 中73=a ，前三项和213=S ，则公比q 的值为11．已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =12．已知数列{}n a 的通项公式为23n a n =-，则{}n a 的前n 项和=n S 。
13．数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则数列{}n a 的通项公式是 。
14．数列{}n a 的前n 项和n n S n +=22，则数列{}n a 的公差=d ；通项公式是 。
15．在等差数列{}n a 中，514a =，2931a a +=，则=n a ；5S =________。
16．在数列{}n a 中，3,1211-=-=-n n a a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ；=n S 。
17．命题p ：数列{}n a 是常数数列；命题q ：数列{}n a 既是等比数列又是等差数列；则p是q 的 条件。
(选填：“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中的一个)18．若,22,33k k k ++是等比数列的前3项，则第4项为 。
数列回归课本.
数列一、数列的概念：（1）按一定顺序排列的一列数称为数列．（2）注意几个概念：数列的项；项的序号；有穷数列；无穷数列；首项；通项公式． （3）数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．（4）给出前几项，写数列的通项公式．要注意结果不唯一．应掌握几种常见类型通项公式的写法．典例：：写一个数列通项公式，使它前四项为下列各数： 0，2，0，2；（5）注意n S 与n a 的关系：n n a a a S +++= 21，⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n nn ．典例：已知数列}{n a 满足12522++-=n n S n ，问}{n a 是否为等差数列？∵⎩⎨⎧≥-==)2(427)1(24n n n a n ，故}{n a 不是等差数列，只是从第二项开始能构成等差数列．（6）学会用函数的观点分析、解决数列问题： 典例：（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ；二、等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断：定义法1(n n a a d d +∈-=为常数,n N ）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥．（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-．从代数式子的结构特征来看：{}n a 是等差数列的充要条件是b n a a n +⋅=．当公差0d ≠时，1()n a dn a d =+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+． 从代数式子的结构特征来看：{}n a 是等差数列的充要条件是bn an S n +=2．当公差0d ≠时，前n 和21()22n d dS n a n =+-是关于n 的二次函数且常数项为0．典例：已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T ．（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=． （5）基本题型：等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，只要已知其中任意3个，便可求出其余2个，即知三求二，必须熟练掌握．（6）三数、四数成等差的设法：为减少运算量，要注意设元的技巧，典例：必要时，3个数成等差，可设为,,a d a a d -+（公差为d ）；4个数成等差，可设为3,,,3a d a d a d a d --++（公差为2d ）． 三、等差数列的性质：（1）若公差0d >，则为递增数列，若0d <，则为递减数列，若0d =，则为常数列． （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=．注意反之均不成立．特例：常数数列．（3）若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n ac 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{l o g }c na 是等差数列，（0c >且1c ≠）．（4）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S Sk k=+．典例：（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数．（2）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()nnA f nB =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--． 典例：设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nnb a ___________；（6）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和．常见解法有两种．法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈． 四、等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a aa a +-=(2)n ≥． （2）等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=．典例： 设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q ．（3）等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-11n a a qq -=-． 典例： 等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解．（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个典例：已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______．总结：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，只要已知其中的任意3个，便可求出其余2个，即知三求二；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，典例：必要时，3个数成等比，可设为,,aa aq q（公比为q ）；但4个数成等比时，不能设为33,,,aq aq qa q a ，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可以这样设，且公比为2q ．五、等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a ⋅=⋅，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a ⋅=．注意：反之不成立，特例：常数数列． 典例：（1）等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比为整数，则10a =___；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++= ．（2）若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列．当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列．（3）若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列．（4） 当1q ≠时，b aq qaq q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征．典例： 若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则1a ＝ ．(5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶．（6）典例：果数列{}n a 既成等差又成等比，那么{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． 六、数列通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式． （2）已知n S 求n a ，用公差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥．⑶已知12()n a a a f n ⋅⋅⋅=，求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．典例：数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；（4）已知1()n n a a f n +-=求n a 用累加法．典例：已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________ ；（5）已知1()n na f n a +=求n a ，用累乘法． 典例：已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a ．（6）已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）．特别地：（Ⅰ）形典例：1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 典例：①已知111,32n n a a a -==+，求n a ；②已知111,32n n n a a a -==+，求n a ；（Ⅱ）形如：11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项．典例：①已知1111,31n n n a a a a --==+，求n a ；②已知数列满足1a =1=n a ；注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a （或n S ）的关系式，然后再求解．典例：数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a ；七、数列求和的常用方法：（1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；特别注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比是否可以为1，必要时需分类讨论；③常用结论：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=．典例：（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++ ＝_____ ； 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．典例：求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--（2） 倒序相加法：若和式中到首尾等距离的两项和有共性，则常可考虑倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）．典例：已知22()1x f x x=+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______；（4）错位相减法：典例：果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）．（5）裂项相消法：典例：果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++；③2211111()1211k k k k <=---+，21111(1)1k k k k k >=-++；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ． 典例：（1）求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ ；（2）在数列{}n a 中，11++=n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝ ；（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和． 典例：①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ⨯+，…前n 项和n S = ；②求和：111112123123n++++=+++++++ ；综合题例1：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122(n n a S n +=+∈N *）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T .跟进练习：数列{}n a 中112a =，前n 项和2(1)n n S n a n n =--，1n =，2，…． （1）证明：数列1{}n n S n+是等差数列；（2）求n S 关于n 的表达式； （3）设 3nn n b S =１，求数列{}n b 的前n 项和n T ．例2：已知{}n a 为递增的等比数列，且135{,,}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}a a a ⊆ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在等差数列{}n b ，使得12-13-2+++n n n a b a b a b ···+11+=2--2n n a b n 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出n b ；若不存在，说明理由。
2.2高中数学数列回归课本校本教材2(苏教版必修五)
高中数学回归课本校本教材17（一）基本计算 数列（二）1.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵作差法⑶作商法.⑷迭加法 ⑸迭乘法.⑹构造法(构造等差、等比数列) ⑺待定系数法；⑴公式法：①等差数列通项公式1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
；②等比数列通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=如首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤）如已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于 100⑵作差法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。
如数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+，求n a （答：{114,12,2n n n a n +==≥）⑶作商法已知12()n a a a f n =求na ：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
如,11=a 对所有的2n ≥都有2123n a a a a n =，则35a a +=______（答：6116）⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法；⑸累乘法：1()n na f n a +=求na ；⑹构造法（构造等差、等比数列），递推式为11n n n a qa q ++=+（q 为常数）时，可以将数列两边同时除以1n q +，得111n n n na a qq ++-=如已知111,32n n n a a a -==+，求n a （答：11532n n n a -+=⨯-）；如已知1111,31n n n a a a a --==+，求na （答：132n a n =-）； ⑺待定系数法：①若1n n a pa q+=+,设1()n n a p a λλ++=+；②若1n n a pa qn d+=++，1(1)()n n a a n b q a an b ++++=++；③11n n n a pa q ++=+（p q ≠），设11()n n n n a q p a q λλ+++=+；1.已知数列{a n }满足a 1=1,且a n+1 =3n a +2,求n a 。
XX文科数学回归教材 6数列 教学资料
XX文科数学回归教材 6数列教学资料本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址新课标——回归教材数列、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集的特殊函数数列的通项公式也就是相应函数的解析式.典例:1)已知,则在数列的最大项为;2)数列的通项为,则与的大小关系为;3)数列的通项为,若递增,则实数的取值范围;4)一给定函数的图象在下列图中,并且对任意,由关系式得到的数列满足,则该函数的图象是ABcD2.等差数列的有关概念:等差数列的判断方法:①定义法、②等差中项法.典例:设是等差数列,求证:以bn=为通项公式的数列为等差数列.等差数列的通项:或.典例:1)等差数列中,,,则通项;2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是;等差数列的前和:,.典例:1)数列中,,,,则-3,=;2)已知数列的前n项和,求数列的前项和（答:）.等差中项:若成等差数列,则A叫做与的等差中项,且.提醒:等差数列的公式中,涉及到5个元素:其中称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2.为减少运算量,要注意设元的技巧:如奇数个数成等差,可设为…,…（公差为）;偶数个数成等差,可设为…,,…（公差为2）3.等差数列的性质:当公差时,等差数列的①通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;所以,1)若公差,则为递增等差数列;2)若公差,则为递减等差数列,3)若公差,则为常数列.②前和是关于的二次函数且常数项为0.提醒:若时,不是等差数列,但从第二项起为等差数列.当时,则有,特别地,当时,则有.典例:1)等差数列中,,则＝27;2)在等差数列中,,且,是其前项和,则A.都小于0,都大于0B.都小于0,都大于0 c.都小于0,都大于0D.都小于0,都大于0若,是等差数列,则、、、,…也成等差数列,而成等比数列;若是等比数列,且,则是等差数列.典例:等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为225;等差数列中,项数为偶数时,;项数为奇数时,,;.典例:1)在等差数列中,S11＝22,则＝2;2)项数为奇数的等差数列中,,求此数列的中间项与项数.若等差数列,的前和分别为,则.典例:若{},{}是等差数列,它们前项和分别为,,若,则.等差数列的前项和的最值求法:法一:由解析式结合二次函数图象求解;法二:具体操作如下①当时,可求的最大值;第一,若时,显然;若时,设前项和最大,则应满足;特别地,当时,则;②当时,可求的最小值;第一,若时,显然;若时,设前项和最小,则应满足;特别地,当时,则;典例:1)等差数列中,,,则数列前13项和最大,最大值为69.2)若是等差数列,首项,,则使前n项和成立的最大正整数n是4006;4.等比数列的有关概念:等比数列的判断方法:①定义法,其中;②等比中项法或.注:是数列等比的必要不充分条件.典例:1)一个等比数列{}共有项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则为;2)数列中,且=1,若,求证:数列是等比数列.等比数列的通项:或.典例:数列等比,,,,求和公比.等比数列的前和:当时,;当时,.典例:1)等比数列中,,,求（答:44）;2)已知等比,其成等差数列,则公比.特别提醒:等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比是否为1时,要对分和两种情形讨论求解.（4）等比中项:若成等比数列,那么A叫做与的等比中项.提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个.典例:两个正数的等差中项为,等比中项为,则A与B的大小关系为.提醒:等比数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,…（公比为）;但偶数个数成等比时,不能设为…,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为.典例:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数.5.等比数列的性质:当时,则有,特别地,当时,则有.典例:1)在等比数列中,,公比q是整数,则=512;2)等比数列中,若,则.若是等比数列,则、、成等比数列;若成等比数列,则、成等比数列;若是等比数列,且公比,则数列,…也是等比数列.注:当,且为偶数时,数列,…是常数数列0,它不是等比数列.典例:1)已知且,设数列满足,且,则;2)在等比数列中,为其前n项和,若,则的值为40.若,则为递增数列;若,则为递减数列;若,则为递减数列;若,则为递增数列;若,则为摆动数列;若,则为常数列.当时,,这里,但,这是等比数列前项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列.典例:1)若是等比数列,且其前项和满足:,则＝-1.2)等比数列前项和等差数列前项和则-1..典例:1)设等比数列的公比为,若成等差数列,则的值-2.2)在等比数列中,公比,设前项和为.若,则的大小关系是A.B.c.D.不确定数列等比,当项数为偶数时,;项数为奇数时,.如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列.提醒:故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.典例:设数列的前项和为,关于数列有下列三个命题:①若,则既是等差数列又是等比数列;②若,则是等差数列;③若,则是等比数列.这些命题中,真命题的序号是②③.6.数列的通项求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.典例:已知数列试写出其一个通项公式:.⑵已知求,用作差法:.典例:1)已知的前项和满足,求.（答:）;2)数列满足,求.（答:）⑶已知求,用作商法:.典例:数列中,对所有的都有,则.⑷若求用累加法:典例:已知数列满足,,则=.⑸已知求,用累乘法:.典例:已知数列中,,前项和,若,求（答:）⑹已知递推关系求,用构造法..形如、的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.典例:1)已知,求;2)已知,求;形如的递推数列都可以用倒数法求通项.典例:1)已知,求;2)已知数列满足=1,,求注意:用求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗？（,当时,）;一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解.典例:数列满足,求7.数列求和的常用方法:公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式.③其它常用公式:;;.,.典例:1)等比数列的前项和,则＝;2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即”逢2进1”,如表示二进制数,将它转换成十进制形式是,那么将二进制转换成十进制数是.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.典例:求（答:）并项法求和:将数列的每两项并到一起后,再求和,这种方法常适用于摆动数列的求和.典例:求（答:;先分奇偶性讨论）倒序相加法:将一个数列倒过来排序,它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易于求和..典例:已知,则＝错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法.典例:1)设为等比数列,,已知,.①求数列的首项和公比;②求数列的通项公式.（答:）2)若,数列满足.①求证:数列是等比数列;②令,求函数在点处的导数,并比较与的大小..裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:①;②;③,;④;⑤;⑥.⑦典例:1)求和:;2)在数列中,,且Sｎ＝９,则n＝99;通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和.典例:1)求数列1×4,2×5,3×6,…,,…前项和=）;2)求和.8.“分期付款”、“森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄本利和计算模型:若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为:.;②复利问题:按揭贷款的分期等额还款模型:若贷款元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为,那么每期等额还款元应满足:.典例:1)从XX年到XX年期间,甲每年6月1日都到银行存入元的一年定期储蓄.若年利率为保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期,到XX年6月1日,甲去银行不再存款,而是将每年所有的存款的本息全部取回,则取回的金额是A.B.c.D.2)陈老师购买安居工程集资房,单价为1000元/,一次性国家财政补贴28800元,学校补贴14400元,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款,即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计,应等于个人负担的购买房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和,每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次,再过一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年复利一次计算,那么每年付款多少元?【解】由题知余款额为元;设每期付款为元,依题意得,所以元.。
回归教材 数列、不等式
①当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)· d＝dn＋a1－d nn－1 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和 Sn＝na1＋ 2 d d 2 d ＝2n ＋(a1－2)n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.
②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差 d<0，则为递减等差数列； 若公差d＝0，则为常数列. ③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时， 则有am＋an＝2ap. ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列. [ 问题 1] S30为( 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 S10 ＝ 12 ， S20 ＝17 ，则 ) B.20 C.25 D.30
例4
数列最值问题忽略n的限制 9 n 已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋2)(10) (n∈N*)，则数列{an}的
)
易错点4
最大项是(
A.第 6 项或第 7 项 C.第 8 项或第 9 项
√
B.第 7 项或第 8 项 D.第 7 项
易错分析
求解数列{an}的前n项和Sn的最值，无论是利用 Sn还是利用
)
√
D.1 830
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
n 4.已知数列{an}的通项公式为 an＝log3 (n∈N*)，设其前 n 项和为 Sn， n＋1 则使 Sn＜－4 成立的最小自然数 n 为( )
A.83
解析
B.82
n ∵an＝log3 ＝log3n－log3(n＋1)， n＋1
√
C.81
D.80
回归教材数列2
高三数学回归教材---数列21.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且较大的三份之和的71是较小的两份之和，问最小1份为（ ）（必修5p67） A. 35 B. 310 C. 65 D. 611 2. 等比数列{}n a 的各项均为正数， ,187465=+a a a a =+++1032313log ...log log a a a 则A. 12B. 10C. 8D. 5log 23+ （必修5p68）3.等比数列{}n a 的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A,B,C,则（ ） （必修5p68）A. A+B=CB. B 2 =A+CC. A+B-C=B 2D. A 2+B 2=A(B+C)4.=+⋅⋅⋅+++2222321n ；（必修5p58）5. 在等比数列{}n a 中，==-=-32415,6,15a a a a a 则 （必修5p53）6.在小于100的正整数中共有多少个数被7除余2？求这些数的和. （必修5p46）7.求和：12321-+⋅⋅⋅+++n nxx x .（必修5p61）8.有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和. （必修5p46）9. 设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．10.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．高三数学周过关121.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且较大的三份之和的71是较小的两份之和，问最小1份为（ ）（必修5p67）A A. 35 B. 310 C. 65 D. 611 2. 等比数列{}n a 的各项均为正数，,187465=+a a a a =+++1032313log ...log log a a a 则 BA. 12B. 10C. 8D. 5log 23+ （必修5p68）3.等比数列{}n a 的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A,B,C,则（ ） D （必修5p68）A. A+B=CB. B 2 =A+CC. A+B-C=B 2D. A 2+B 2=A(B+C)4.=+⋅⋅⋅+++2222321n ；（必修5p58）6)12)(1(n ++n n 5. 在等比数列{}n a 中，==-=-32415,6,15a a a a a 则 （必修5p53）4±6.在小于100的正整数中共有多少个数被7除余2？求这些数的和. （必修5p46） 14,6657.求和：12321-+⋅⋅⋅+++n nx x x .（必修5p61）8.有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和. （必修5p46） 14729. 设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．9. （1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；（2）由（1）可知，2(21)2n nn a n ⋅=+⋅ 231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-， 即1(21)22n n S n +=-⋅+.10.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 10（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15，则89153b b b ====，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100，则64651006b b b ====，即有37个6. 所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.。
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回归课本专题二 数列 第1页回归课本专题二:数列一.数列的概念与通项公式 （一）求数列的通项公式1．观察法：通过观察数列中前几项与项数之间的关系归纳总结出第n 项n a 与项数n 之间的关系.例1.（1）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，则前2010行中每一行第一个数之和为 ． 2．公式法：利用等差、等比数列的通项公式或利用11n n n S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥直接写出所求数列的通项公式.例2.(1) 数列｛a n ｝中,已知2231,n n S n n a =++=求 (2) 数列｛a n ｝中,已知11a =,S n+1= 4n a +1，求数列{}n a 的通项公式. 3.叠加法：适用于递推关系为1()n n a a f n +-=型； 连乘法：适用于递推关系为1()n na f n a +=型； 构造新数列法：11;()n n n n n n a pa q a pab b ++=+=+为等差数列或等比数列；作商法（n n c a a a = 21型）；（有时可以考虑两边同取对数） 数学归纳法，先猜后证.例3.（1）已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________.（2）已知111,32n n a a a -==+，则n a ＝ .（3）数列｛a n ｝中,已知11a =,2)1(1++=+n n a n na ,则n a =________.（4）正项数列｛a n ｝中,已知11a =,0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n ，则n a =________.（5）数列｛a n ｝中,已知11a =,nnn a a a 211+=+，则n a =________.（6）数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+ ，求n a ＝ .（二）求数列{n a }的最大、最小项的方法（函数思想）：1.作差或作商：a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 ，⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 nn a a (a n >0)2.()n a f n =研究函数()f n 的增减性;3.令n x =,通过求导判断单调性. 例4.求数列中的最大或最小项：（1）22293n a n n =-+- （2）9(1)10n n nn a += （3）2156n n a n =+ （4）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值. 二.等差与等比数列 （一）判断和证明 1. )*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+-a anb n ⇔=+（一次）2S An Bn n ⇔=+（常数项为0的二次）；,,,a b A B =？ {}n a 等比2*111(2,)0n n n n n n a a a n n N aq a a -+-⎧=⋅≥∈⇔⇔=⎨≠⎩（q 常数，*2,n n N ≥∈）1;m ?n 1n na a qS m m q n -⇔=⋅⇔=-⋅=例5. (1)若{}n a 是等比数列，且3nn S r =+，则r ＝ .（2）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.（二）解决等差（等比）数列问题的常用方法： 1.基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想. 等差数列中a n =a 1+(n-1)d;S n =d n n na 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--=2)(1n a a n + 等比数列中a n = a 1 q n-1;当q=1,S n =na 1 当q ≠1,S n =qq a n --1)1(1=q qa a n --11等差三数为a-d,a,a+d ;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;等比三数可设a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (为什么？)(1) 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且5a ，8a ，13a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若25b =，则n b 等于 .2.利用等差（比）数列的性质： 等差数列中,（1） a n =a m + (n －m)d , nm a a d nm --=； (2)若，则；若2m n p +=，则2m n p a a a +=（3）任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.等比数列中，（1）n m n m a a q -=;（2）若，则;若2m n p +=，则2m n p a a a = ；（3）等比数列{}n a 的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列23243m m m m m m m S S S S S S S --- 、、、仍为等比数列.如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列.回归课本专题二 数列 第2页三.数列的求和：数列求和的常用方法：―――关键找通项公式，确定项数. 公式法: 等差数列的求和公式（三种形式），等比数列求和公式.分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含n(-1)因式，周期数列等等）倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：⑴1111111()(1)(1)11n n n n n n a a a a a a +++=-++++- (2)2211111()1211k k k k <=---+ 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- (3) !(1)!!n n n n ⋅=+- （4）<< 例8．求下列数列的前n 项和（1）a n =2n+3n ；（2）111112123123n++++=+++++++ . （3）求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+ ；四、练习1. (必修⑤P32.6（1）改编）已知数列{}n a 的通项公式295n a n n =-+，则这个数列中的最小项为 .2.(必修⑤P38.4) 一个直角三角形的长组成等差数列，则这个直角三角形的三边长的比为 .3.(必修⑤P39.8) 已知两个数列y a a a x ,,,,321与y b b x ,,,21都是等差数列，且y x ≠，则1212b b a a --的值为 .4.(必修⑤P40.12)1934年东印度（今孟加拉国）学者德拉姆（Sundaram ）发现了“正方形筛子”： 4 7 10 13 16 7 12 17 22 27 10 17 24 31 38 13 22 31 40 49 16 27 38 49 60则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是 .5. (必修⑤P45.练习3) 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为05的等差数列，且最小角是0120，则它是 边形.6.(必修⑤P45.7) 一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则公差d= .7.(必修⑤P45.12) 已知等差数列{}n a 中，1583,115a a a =-=，则前n 项和n S 的最小值为 .8.(必修⑤P46.13)观察： 1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1则第n 行的所有数的和为 .9.等差数列的通项公式的推导方法为 ；等差数列的求和公式的推导方法为 ；等比数列的通项公式的推导方法为 ；等比数列的求和公式的推导方法为 .10. 已知{a n }为递增数列，且对于任意正整数n ，a n+1>a n 恒成立，a n =－n 2+λn 恒成立， 则λ的取值范围是________11.(必修⑤P52.10) 已知}n a 是等差数列，且公差0≠d ，又931,,a a a 依次成等比数列，则642931a a a a a a ++++= .12.(必修⑤P52.13)设ABC ∆中角A,B,C 的对边分别为a,b,c.（1）若a,b,c 成等差数列，则可得到 ；（2）若a,b,c 成等比数列，则又可得到 .13.(必修⑤P58.6) 2311234n x x x nx -+++++= .14. (必修⑤P58阅读)13世纪意大利最杰出的数学家斐波那契由一对兔子繁殖问题得出一串数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233， ，人们为了纪念他，把这种数列称为n n n N -∈（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）则221222()n n n a a a ++-⋅= .15.(必修⑤P62.8)等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且118m a a -=，则其通项公式为 .16. (必修⑤P54例3) 数列12n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 . 17.(必修⑤P627改编)数列2143n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为 .18. 数列}{n a 的前n 项和=+⋅⋅⋅+++-+=255312,12a a a a n n s n 则 . 19.在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在n S 中最大的负数项为 .20.已知()1(1)()1f n f n f n -+=+(n ∈N*)，2)1(=f ，则=)2007(f _______.21.设1)1()(3+-=x x f ，利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4(f f f f +++++- 的值为： .22. 某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 ．回归课本专题二 数列 第3页23. 定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列}{n a 是等积数列，且21=a ，公积为5，则这个数列的前n 项和n S 的计算公式为： ． 五、 品味经典1.(必修⑤P59.8改编)设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，公比为q ，且396,,S S S 成等差数列. （1）求3q 的值；（2）若数列{}n b 满足122835,,b a b a b a ===，求证：285,,a a a 成等差数列；2.在数列{}n a 中，112,431,n n a a a n n N *+==-+∈. （1）证明：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）证明：不等式14n n S S +≤对任意n N *∈都成立.3.（08山东卷19) 将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足22nn n n b b S S -=1（n ≥2）.(Ⅰ)证明数列｛nS 1｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481-=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和.4过曲线3:x y C =上的点),(111y x P 作曲线C 的切线l 1与曲线C 交于点),(222y x P ，过点2P 作曲线C 的切线l 2与曲线C 交于点),(333y x P ，依此类推，可得到点列：),(111y x P ，2223331(,),(,),,(,),,1n n n P x y P x y P x y x = 已知.（1）求点P 2、P 3的坐标； （2）求数列}{n x 的通项公式；（3）记点n P 到直线)(211+++n n n P P l 即直线的距离为n d ，求证：9411121>+++n d d d ．5.已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为nS ，点),(n S n (n ∈N*) 均在函数)(x f y =的图像上． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列}{n b 的前n 项和，求使得20mT n <对所有n ∈N*都成立的最小正整数m ；。