第六章方差分析(3)教材
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第6章方差分析精品PPT课件
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
第六章
电子工业出版社
1
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
主要内容
6.1 方差分析简介 6.2 单因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 协方差分析
电子工业出版社
2
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(1) 方差分析的概念
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
不同饲料的方差齐性检验结果
Test of Homogeneity of Variances 猪重
Levene Statistic df1 df2 Sig.
.024
➢ 第4步 给出显著性水平α，作出决策：如果相伴概率p值小 于显著性水平 ，则拒绝零假设；反之，认为控制变量不同水平 下各总体均值没有显著差异。
9
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
6.2.2 SPSS实例分析
【例6.1】用四种饲料喂猪，共19头分为四组，每一组用一 种饲料。一段时间后称重，猪体重增加数据如下表所示，比 较四种饲料对猪体重增加的作用有无不同。
➢ 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异
➢ 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
3
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(3) 方差分析常用术语
➢ 观测变量：也叫因变量，如上例中的作物产量；
➢ 控制变量：影响实验结果的自变量，也称因子，如上 例中的品种、施肥量等；
(2) 统计原理
单因素方差分析采用的统计推断方法是计算F统计量，进 行F检验。总的变异平方和记为SST，分解为两部分：一部分 是由控制变量引起的离差，记为SSA（组间Between Groups 离差平方和）；另一部分是由随机变量引起的离差，记为 SSE（组内Within Groups离差平方和）。于是有：
第六章
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1
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
主要内容
6.1 方差分析简介 6.2 单因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 协方差分析
电子工业出版社
2
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6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(1) 方差分析的概念
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
不同饲料的方差齐性检验结果
Test of Homogeneity of Variances 猪重
Levene Statistic df1 df2 Sig.
.024
➢ 第4步 给出显著性水平α，作出决策：如果相伴概率p值小 于显著性水平 ，则拒绝零假设；反之，认为控制变量不同水平 下各总体均值没有显著差异。
9
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6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
6.2.2 SPSS实例分析
【例6.1】用四种饲料喂猪，共19头分为四组，每一组用一 种饲料。一段时间后称重，猪体重增加数据如下表所示，比 较四种饲料对猪体重增加的作用有无不同。
➢ 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异
➢ 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
3
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6.1 方差分析简介
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(3) 方差分析常用术语
➢ 观测变量：也叫因变量，如上例中的作物产量；
➢ 控制变量：影响实验结果的自变量，也称因子，如上 例中的品种、施肥量等；
(2) 统计原理
单因素方差分析采用的统计推断方法是计算F统计量，进 行F检验。总的变异平方和记为SST，分解为两部分：一部分 是由控制变量引起的离差，记为SSA（组间Between Groups 离差平方和）；另一部分是由随机变量引起的离差，记为 SSE（组内Within Groups离差平方和）。于是有：
植物营养研究方法 第六章-3 方差分析
Sx
Sx
对前面例题进行q检验：
四种肥料玉米产量LSR值（q检验） P q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.00 4.13 31.02 42.70 3 3.65 4.78 37.74 49.43 4 4.05 5.19 41.88 53.66
四种肥料玉米产量差异显著性（q法）
字母标记法：
就是对没有显著差异的平均数标以相同字母，对有显著差异 的标以不同字母。 具体方法：首先是将欲比较的平均数按大小次序排列。然后 在最大的平均数上标上字母a(=0.05)或A(=0.01)；将该平 均数与以下平均数逐个相比，凡差异不显著者都标以字母a 或A，直至相差显著的平均数则标以字母b或B；再以标有b或 B的平均数为标准，与其上方比它大的平均数逐个相比，凡 相差不显著者一律标以字母b或B；再以标有b或B的最大平均 数为标准，与其下方未标记字母的平均数相比，凡相差不显 著者继续标以字母b或B，直至与之相差显著的平均数则标以 字母c或C，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最 小的平均数有了标记字母并与上面的平均数比较后为止。
对上例题的各组平均值作新复极差检验：
四种肥料玉米产量LSR值（SSR检验） P 2 3 4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
3.00 4.13 31.02 42.70
3.14 4.31 32. 47 44.57
3.24 4.42 33.50 45.70
四种肥料玉米产量差异显著性（SSR法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB B B
Sx
对前面例题进行q检验：
四种肥料玉米产量LSR值（q检验） P q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.00 4.13 31.02 42.70 3 3.65 4.78 37.74 49.43 4 4.05 5.19 41.88 53.66
四种肥料玉米产量差异显著性（q法）
字母标记法：
就是对没有显著差异的平均数标以相同字母，对有显著差异 的标以不同字母。 具体方法：首先是将欲比较的平均数按大小次序排列。然后 在最大的平均数上标上字母a(=0.05)或A(=0.01)；将该平 均数与以下平均数逐个相比，凡差异不显著者都标以字母a 或A，直至相差显著的平均数则标以字母b或B；再以标有b或 B的平均数为标准，与其上方比它大的平均数逐个相比，凡 相差不显著者一律标以字母b或B；再以标有b或B的最大平均 数为标准，与其下方未标记字母的平均数相比，凡相差不显 著者继续标以字母b或B，直至与之相差显著的平均数则标以 字母c或C，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最 小的平均数有了标记字母并与上面的平均数比较后为止。
对上例题的各组平均值作新复极差检验：
四种肥料玉米产量LSR值（SSR检验） P 2 3 4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
3.00 4.13 31.02 42.70
3.14 4.31 32. 47 44.57
3.24 4.42 33.50 45.70
四种肥料玉米产量差异显著性（SSR法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB B B
统计学第6章方差分析精品PPT课件
量 MSA，服从自由度为 r 1 的卡方分布；组内估计量 MSE ，服从自由度为 nT r 的卡方分布。
于是，当原假设为真时，可得服从 F 分布的统计量， 其分子自由度为 r 1，分母自由度为 nT r 。此 F 统计
量可充当检验统计量： F MSA MSE
★ 6.2.2 方差分析基本步骤
:
2 1
2 2
2 r
H1
:
2 1
,
2 2
,,
2 r
不尽相等
Bartlett 方差齐性检验统计量是自由为 r 1的 2 统计量：
2
r j 1
nj
1 ln
sc2
s
s j
给定显著性水平
，检验中的拒绝准则为：
2
2
。应当注意，
Bartlett 检验结果只在样本数据具有正态性时有效。
6.3 方差相等性检验
种方法，称为最小显著性差异法，简称 LSD。LSD 的检验假设为：
H0 : i j H1 : i j
这里是针对问题中所涉及的总体的个数，提出了多次原假设。LSD 的检
验统计量是一个自由度为 nT r 的 t 统计量：t xi x j i j
M
SE
1 ni
1 nj
6.3 方差相等性检验
r 1
第六步：计算总体方差的组内估计
r
nj
1
s
2 j
MSE j1
nT r
第七步：计算 F 统计量的值。
F MSA MSE
第八步：编制方差分析表。
表 6.2
方差来源
平方和
自由度
组间
SSA
r 1
组内
SSE
nT r
于是，当原假设为真时，可得服从 F 分布的统计量， 其分子自由度为 r 1，分母自由度为 nT r 。此 F 统计
量可充当检验统计量： F MSA MSE
★ 6.2.2 方差分析基本步骤
:
2 1
2 2
2 r
H1
:
2 1
,
2 2
,,
2 r
不尽相等
Bartlett 方差齐性检验统计量是自由为 r 1的 2 统计量：
2
r j 1
nj
1 ln
sc2
s
s j
给定显著性水平
，检验中的拒绝准则为：
2
2
。应当注意，
Bartlett 检验结果只在样本数据具有正态性时有效。
6.3 方差相等性检验
种方法，称为最小显著性差异法，简称 LSD。LSD 的检验假设为：
H0 : i j H1 : i j
这里是针对问题中所涉及的总体的个数，提出了多次原假设。LSD 的检
验统计量是一个自由度为 nT r 的 t 统计量：t xi x j i j
M
SE
1 ni
1 nj
6.3 方差相等性检验
r 1
第六步：计算总体方差的组内估计
r
nj
1
s
2 j
MSE j1
nT r
第七步：计算 F 统计量的值。
F MSA MSE
第八步：编制方差分析表。
表 6.2
方差来源
平方和
自由度
组间
SSA
r 1
组内
SSE
nT r
第六章 方差分析3
6
b xi . x SS A
i 1
a
2
A因素平方和: A 因素各水平的平均数 与总平均数的离差平方和。反映了A因 素各水平的效应的差异。
a x. j x SSB
j 1
b
2
B因素平方和: B 因素各水平的平均数 与总平均数的离差平方和。反映了B因 素各水平的效应的差异。 误差平方和: 剔除了A因素和B 因素的影响后的影响因素。
15
• 2、列出方差分析表，进行F检验
表6-22 表6-21资料的方差分析表
变异来源 A 因素(品系) B 因素(剂量) 误差 总变异
平方和 6457.6667 6074.0000 543.3333 13075.0000
自由度 3 2 6 11
均方 2152.5556 3037.0000 90.5556
x.1
X1. X2. …… Xa. x..
x1. x2 . ...... xa .
x.2 ……
x.2
x.b
x.b
x..
……
各个字母的含义
3
资料模式：
xijl i j ijl
i 1， ......，a； 2， j 1， ......，b； 2， X ijl：因素A的第i个水平和因素B的第j个水平组合中的观察值；
17
• 3、多重比较 （1）不同品系的子宫平均重量比较 各品系平均数 多重比较表见表6-23。 表6-23 各品系子宫平均重量多重比较（q法）
品系 A1 A3 A2 A4 平均数 xi . 122.3 104.7 75.0 64.0
xi . -64.0
58.3** 40.7** 11.0
b xi . x SS A
i 1
a
2
A因素平方和: A 因素各水平的平均数 与总平均数的离差平方和。反映了A因 素各水平的效应的差异。
a x. j x SSB
j 1
b
2
B因素平方和: B 因素各水平的平均数 与总平均数的离差平方和。反映了B因 素各水平的效应的差异。 误差平方和: 剔除了A因素和B 因素的影响后的影响因素。
15
• 2、列出方差分析表，进行F检验
表6-22 表6-21资料的方差分析表
变异来源 A 因素(品系) B 因素(剂量) 误差 总变异
平方和 6457.6667 6074.0000 543.3333 13075.0000
自由度 3 2 6 11
均方 2152.5556 3037.0000 90.5556
x.1
X1. X2. …… Xa. x..
x1. x2 . ...... xa .
x.2 ……
x.2
x.b
x.b
x..
……
各个字母的含义
3
资料模式：
xijl i j ijl
i 1， ......，a； 2， j 1， ......，b； 2， X ijl：因素A的第i个水平和因素B的第j个水平组合中的观察值；
17
• 3、多重比较 （1）不同品系的子宫平均重量比较 各品系平均数 多重比较表见表6-23。 表6-23 各品系子宫平均重量多重比较（q法）
品系 A1 A3 A2 A4 平均数 xi . 122.3 104.7 75.0 64.0
xi . -64.0
58.3** 40.7** 11.0
数理统计CH方差分析pt课件
i1 j1 k 1 ab
原因AB旳互作效应
nij (xij xi x j x )2
i1 j1
ab
MSAB
SSAB
nij (xij xi x j x )2
i1 j1
(a 1)(b 1)
(a 1)(b 1)
2024/9/30
26
6.2 两向分组数据方差分析
平方和代表效应
(12)总离差平方和分解
x1b1
…
x1b,n1b
…
x2b1
…
x2b,n2b
…
…
A单向分组 …
xab1
…
xab,nab
2024/9/30
6
6.2 两向分组数据方差分析
(2)数据模式
➢各个处理(原因A与B旳水平组合)分别独立试
验，第i×j处理反复试验nij次取得nij个观察， 这nij个观察视作第i×j正态总体旳一种样本； ➢全部观察（整个样本）由a×b个独立正态总
互作效应假设 H13 : ij i j 不全为零
2024/9/30
14
6.2 两向分组数据方差分析
(6)统计假设
总效应分解成 各个原因效应
原因A效应假设 H01 :1 2 a 0
H11 : 1,2 ,
,
不全为零
a
原因B效应假设 H02 : 1 2 b 0 H12 : 1, 2 , , b不全为零
23
6.2 两向分组数据方差分析
(10)计算原因B平方和SSB
Var
x j
1
a
nij
Var
n2 j i1 k 1
xijk
2
n j
b
EH0 SSB
第六章 方差分析3——单因素随机区组设计
• 优点：既能较有效地将被试个体差异从误差变 异中分解出来；又能避免重复测量设计的顺序 效应。
• 缺点：区组的划分难度较大，同质性不好把握。
SPSS的数据格式
“分析”——“一般线性模型”——“单变量”
SPSS结果
结果分析
• 方差分析的结果表明，不同的教学方法会 对作文成绩产生显著影响。
实验结果
实验处理
教学方法
区组
1
2
15
10
区组1：优良
9
6
12
11
3
4
20
12
18
15
25
17
10
15
区组2：中等
18
19
12
12
25
20
30
15
18
18
2
6
10
6
区组3：一般
6
3
7
8
5
7
13
11
分析
• 这是一个单因素随机区组设计。 – 因变量：作文平均数提高的成绩。 – 自变量：教学方法，它有4个水平。 – 区组变量：不同的被试组，它有3个水平。 – 控制变量：自变量的呈现顺序。
• 区组效应显著表明区组设计是合理的。 • 进一步的多重比较发现，教学方法Ⅲ条件
下的作文成绩显著高于其它3种条件下的成 绩；教学方法Ⅳ条件下作文成绩显著高于 Ⅰ和Ⅱ条件下的成绩；教学方法Ⅰ和Ⅱ之 间的作文成绩不存在显著性差异。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方差分析——
单因素随机区组设计
举例
• 某教师为了研究四种不同的写作训练方法中， 哪种方法更有效，选择了36名高一学生。按 照前一学期历次作文成绩的平均分数将36名 学生划分为优良、中等、一般三个写作水平， 每个水平均有12名学生，而12名学生被随机 分到各实验处理。经一学期的写作训练后进 行写作能力测试，计算出每一学生的得分比 前一学期历次作文平均分提高的分数。结果 如下。
• 缺点：区组的划分难度较大，同质性不好把握。
SPSS的数据格式
“分析”——“一般线性模型”——“单变量”
SPSS结果
结果分析
• 方差分析的结果表明，不同的教学方法会 对作文成绩产生显著影响。
实验结果
实验处理
教学方法
区组
1
2
15
10
区组1：优良
9
6
12
11
3
4
20
12
18
15
25
17
10
15
区组2：中等
18
19
12
12
25
20
30
15
18
18
2
6
10
6
区组3：一般
6
3
7
8
5
7
13
11
分析
• 这是一个单因素随机区组设计。 – 因变量：作文平均数提高的成绩。 – 自变量：教学方法，它有4个水平。 – 区组变量：不同的被试组，它有3个水平。 – 控制变量：自变量的呈现顺序。
• 区组效应显著表明区组设计是合理的。 • 进一步的多重比较发现，教学方法Ⅲ条件
下的作文成绩显著高于其它3种条件下的成 绩；教学方法Ⅳ条件下作文成绩显著高于 Ⅰ和Ⅱ条件下的成绩；教学方法Ⅰ和Ⅱ之 间的作文成绩不存在显著性差异。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方差分析——
单因素随机区组设计
举例
• 某教师为了研究四种不同的写作训练方法中， 哪种方法更有效，选择了36名高一学生。按 照前一学期历次作文成绩的平均分数将36名 学生划分为优良、中等、一般三个写作水平， 每个水平均有12名学生，而12名学生被随机 分到各实验处理。经一学期的写作训练后进 行写作能力测试，计算出每一学生的得分比 前一学期历次作文平均分提高的分数。结果 如下。
chapter6方差分析PPT课件
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。
.
24
某B水iosta产tisti研cs 究所为了比较四种不同配合饲料 对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼 20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一 个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。
.
25
Biostatistics
这是一个单因素试验，处理数k=4，重复数 n=5。各项平方和及自由度计算如下：
(xij xi.)分别eij是μ、（μi-.
14
Biostatistics
告诉我们：
（ 每个观或x测ij 值 都i)，包故含k处nx理i个j 效观xi.应测（值μ的i-总μ或变异可）x分i.，解与为x.误处. 差理
间的变异和处理内的变异两部分。
.
在单因素试验结果的方差分析中，无效假设
为H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设为HA：各μi不 全相等，或H0 ：2 =0,H A2 : ≠0；
F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否
显著大于处理内(误差)均方。
如果结论是肯定的，我们将否定H0；反之，不 否定H0。
.
33
Biostatistics
次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，
即
k
SSt n (xi.x..)2
i1
.
18
式B中ios，tatisticsk n (为xij 各 xi处.)2 理内离均差平方和之和，
i1 j1
反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方
和或误差平方和，记为SSe，即
于是有
kn
SSe
(xij xi.)2
Biostatistics
第六章 方差分析 analysis of variance（ANOVA）
【大学课件】方差分析 (Analysis of Variance,ANOVA)
组间变异 组内变“变异”之间的关系
离均差平方和分解：
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
=n-1 =k-1
=n-k
组内变异 SS 组内：
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
ppt课件
9
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSE
• Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10 周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组） 12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？
例 6.1 三组大鼠 GSH 值（mg/gprot）
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSTR
+
• Commonly referred to as:
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
§2. Two-way analysis of variance 双因素方差分析
离均差平方和分解：
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
=n-1 =k-1
=n-k
组内变异 SS 组内：
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
ppt课件
9
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSE
• Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10 周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组） 12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？
例 6.1 三组大鼠 GSH 值（mg/gprot）
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSTR
+
• Commonly referred to as:
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
§2. Two-way analysis of variance 双因素方差分析
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(xij x )2
xi2j C
i1 j1
i1 j1
A因素平方和
a
SSA b (xi
i 1
x
)2 1 b
a
xi2 C
i 1
B因素平方和
SSB
b
a (x
j 1
j x
)2
1 a
b
x
2 j
C
j 1
误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB
总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe= dfT - dfA – dfB
16.1222 2.3182 3
5 287.0222
B因素（田间管理方法） 141.4444
2
70.7222
误差
161.2223 10
16.1222
总变异 13075.0000 17
F值
17.80** 4.39*
F捡验结果表明： 不同地块和不同田间管理方法对草莓的产量 均有显著或极显著影响，有必要进一步对 A、B 两因素不同水平的平均产量进行多重比较。
862 852 ) 106414.2222
SSA
1 b
xi2 C
1 (2212 2722 3
1435.1111
2532 ) 106414.2222
SSB
1 a
x2j C
1 (4422 4592 4832 ) 106414.2222 6
141.4444
SSe SST SSA SSB 1737.7778 1435.1111141.4444 161.2223
对于A、B 两个试验因素的全部ab个水平 组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验 共有 ab 个观测值，其数据模式如 表5-17 所 示。
A因素
A1 A2
……
Ai
……
Aa
合计x j 平均x j
表5-17两因素单个观测值试验数据模式。
B1
B2
B因素
…… Bj
……
Bb
合计xi
x11
x12
……
x1j
……
x1b
x1
x21
x22
……
x2j
……
x2b
x2
…… …… …… …… …… ……
……
xi1
xi2
……
xij
……
xib
xi
…… …… …… …… …… ……
……
xa1
xa2
……
xaj
……
xab
xa
x1
x 2 …… x j …… x b
x
x1
x 2 …… x j …… x b
平均xi
x1 x2
……
xi
……
第三节 两因素完全随机设计 试验资料的方差分析
一、两因素交叉分组试验资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素 ，A因素分a 个水平，B因素分b个水平。
所谓交叉分组是指A因素每个水平与 B 因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形 成ab个水平组合即处理，试验因素 A、B在 试验中处于平等地位 。
(一) 两因素单个观测值试验资料的 方差分析
=(a-1)(b-1)
【例5-5】 为了研究不同的田间管理 方法对草莓产量的影响， 选择了 6个不同 的地块，每个地块分成 3 个小区，随机安 排3种田间管理方法，所得结果见表5-18， 试作方差分析。
表5-18 各品系草莓不同管理措施的产量(kg/区)
x 地块
田间管理方法（B）
合计
（A） B1(化学控制) B2(集成虫害管理) B3(改良集成虫害管理)
dfT ab 1 63 1 17 dfA a 1 6 1 5 dfB b 1 3 1 2 dfe dfT dfA dfe 17 5 2 10
2、列出方差分析表，进行F 检验
表5-19 表5-18资料的方差分析表
变异来源
SS
df
MS
A因素（地块） 1435.1111
26.67** 21.00** 17.00** 11.67*
6.34
20.33** 14.66** 10.66*
5.33
15.00** 9.33*
5.33
9.33*
4.00
5.67
在两因素单个观测值试验情况下，A因素 每一水平的重复数恰为B因素的水平数b，故 A因素的标准误为：
Sxi
MSe b
76.89
这是个两因素单个观测值试验结果。A
因素有 6 个水平，即 a = 6；B 因素有3个水 平， 即b=3；共有a×b=6×3=18个观测值。
1、计算各项平方和与自由度
C x2 13842 106414.2222 ab 6 3
SST
xi2j C
(712 732
1737.7778
3、 多重比较
(1) 不同地块的草莓平均产量比较 ，采用q法(见表5-20)。
表5-20 各地块草莓平均产量多重比较（q法）
地块 A2 A6 A4 A1 A3
平均数 xi
90.67 84.33 79.00 73.67 69.67
xi -64.00 xi -69.67 xi -73.67 xi -79.00 xi -84.33
xa x
b
x i xij j 1
n
x j xij i 1
ab
x xij i1 j1
xi
1 b
b
xij
j 1
x
j
1 a
a i 1
xij
x
1 ab
a i 1
b
xij
j 1
两因素单个观测值试验的数学模型为：
xij i j ij
(i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b)
两因素及随机误差的作用 。
因此全部ab 个观测值的总变异可以分解 为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异及试
验误差三部分。
平方和与自由度的分解式如下：
SST SSA SSB SSe dfT dfA dfB dfe
各项平方和与自由度的计算公式为
矫正数
C x2 ab
总平方和
ab
abBiblioteka SST iA1 A2 A3 A4 A5 A6 合计 x j
平均 x j
71 90 59 75 65 82 442 73.67
73 90 70 80 60 86 459 76.50
77 92 80 82 67 85 483 80.50
221 272 209 237 192 253
x =1384
平均 xi
73.67 90.67 69.67 79.00 64.00 84.33
式中
μ为总平均数；
αi，βj分别为Ai、Bj的效应:
αi=μi-μ，βj=μj-μ
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，
且Σαi=0,Σβj=0; εij 为随机误差 ，相互独立 ，且服从
N (0，σ2)。
两因素交叉分组单个观测值的试验资料，
A因素的每个水平有b次重复，B 因素的每个 水平有a次重复，每个观测值同时受到A、B