特勒根定理ppt课件
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第8讲 电阻电路的分析-特勒根定理、互易定理
支路 1
(a) 2 3 1 2 2 3 4 2 2 5 1 4 -1 6 1 5 6 -2 1 -1 -3 7 2 8 -4
∑u i
k =1 6
6
(b)
k k
= −15 + 3 + 4 − 4 − 2 + 14 = 0
ˆi ∑u
k =1 6
k =1 6
k k
= −21 + 2 + 10 − 6 − 1 + 16 = 0
uS1
1 2 1' 2'
1.定理陈述 1.定理陈述
N
N
i22'
22 '
11'
S1
S2
^ i 11'
1
1'
N
2 ^S2 u 2'
S1
S2
22 '
11'
§2-12 互易定理
§2-12 互易定理
2.证明互易定理 2.证明互易定理
ˆ u22 ' u = 11' ˆS 2 iS1 i
⑵
1 1'
1
iS1
1'
N N
k k k =1
b
k k
=0
3 3 6 0
^ ^ 1 ' 2 ^ 1 ^ 5
^ ^ 4 2' ^ ^ 3 3' ^ 6 ^' 0
∑u i
k =1
k k
=0
证明： 证明： 设两个电路如图1 设两个电路如图1、图2
k =1
) ∑ uk ik = 0
b
(5)
1
图1 图2 对图1 对图1电路， 电路，应用KVL 应用KVL写出节点电压表示的各支路电压表示式 KVL写出节点电压表示的各支路电压表示式 对图2 对图2电路， 电路，应用KCL 应用KCL写出各节点电流代数和表示式 KCL写出各节点电流代数和表示式
电路(特勒根互易定理)
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
u2 u1 = iS1 iS 2
当
或 u1 i S 1 = u2 i S 2
时,u2 = u1
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iS1 = iS2
情况3 情况3
激励
图a 图b
电流源 电压源 响应 线性 电阻 网络 NR
图a 图b
电流 电压
a iS1 b
线性 电阻 网络 NR
c i2 d
a + u1 – b
c + – d uS2
(a)
(b)
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系: 则两个支路中电压电流在数值上有如下关系:
i2 u1 = i S 1 uS 2
当
或 u1 i S 1 = uS 2 i2
时,i2 = u1
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1. 互易定理
对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路, 对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路,在保持 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下, 电路将独立源置零后电路拓扑结构不变的条件下,当激励与 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变. 响应互换位置后,响应与激励的比值保持不变.
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情况1 情况1 a uS1 + – b
激励 线性 电阻 网络 NR
电压源
响应 线性 电阻 网络 NR
电流
c i2 d i1
a
c + – d uS2
(a)
b
(b)
则两个支路中电压电流有如下关系: 则两个支路中电压电流有如下关系:
当
uS1 = uS2
时,i2 = i1
特勒根与互易定理.ppt
0
以④节点作为电位参考点，则 ①、②、③节点的电位分别为 v1、v2、v3
i1 i4 i6 0 i2 i4 i5 0 i3 i5 i6 0
u1 v1, u2 v2 , u3 v3 ,
u4
v1
v2 , u5
v2
v3 , u6
v3
v1
对于任一具有nt = n+1个节点、b条支路的电路，其 支路电流、支路电压分别为( i1，i2 ，···，ib )、 ( u1，u2 ，···， ub )，且各支路电压与电流参考方 向相关联，则在任意时刻t，均有
b
ukik 0
k 1
该定理表明，在任意电路中，在任何瞬时t，各支路 吸收功率的代数和恒等于零。也就是说，电路中各独 立源供给功率的总和，等于其余各支路吸收功率的总 和，满足功率守恒。
注意：
（1）该定理要求u(或 uˆ )和i(或 iˆ)应分别满足KVL和KCL。
特勒根定理适用于任何（线性或非线性、有源或 无源、时变或非时变）集中参数网络。 特勒根定理只与考虑电路的联接形式，与元件特性 无关。
（2）每一个支路的电流、电压均取一致的参考方向。
（3）特勒根定理既可用于两个具有相同有向图的不同 网络，k Rkikiˆk
k 1
k 1
b
b
Rkiˆkik uˆkik
k 1
k 1
u11iˆ11 u22iˆ22 uˆ11i11 uˆ22i22
互易定理的第一种形式
因为 则 故
u11 us , u22 0 uˆ22 us , uˆ11 0
I2
2-7特勒根定理
b
有
∑u i
k =1
k k
=0
(2) 证明: 证明:
§27 特勒根定理
b
∑u i
k =1
k k
=0
令v4=0 支路电压用节 点电压表示 u1= - v1 u2= - v2
k =1
∑ uk ik = u1i1 + u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6
=-v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v-v2 )i4 +(v2-v )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 3 1
6
=v1(i1 +i4 i6) +v2(i2 i4 +i5) +v3(i3 i5 +i6 =0 )
§27 特勒根定理
将这一结论推广到任一具有n个节点, 条支路的 将这一结论推广到任一具有 个节点,b条支路的 个节点 b 电路, 电路,则有 这就是特勒根功率定理(Tellegen′s power theorem) ′ 这就是特勒根功率定理 的数学表达式.该定理表明, 的数学表达式.该定理表明,在任意集中参数电 路中, 在任何瞬时t, 路中 , 在任何瞬时 t , 各支路吸收功率之和恒等 于零.也就是说, 于零.也就是说,电路中各独立源供给功率的总 等于其余各支路吸收功率的总和. 和,等于其余各支路吸收功率的总和 条支路在t时刻吸收的功率 (3)物理意义 uk (t)ik (t) = 第k条支路在 时刻吸收的功率 )物理意义: 条支路在 表整个电路在t时刻各支路吸收功率之和守恒( 表整个电路在 时刻各支路吸收功率之和守恒(为 时刻各支路吸收功率之和守恒 又叫瞬时功率守恒定理. 瞬时功率守恒定理 零), 所以 又叫瞬时功率守恒定理.
有
∑u i
k =1
k k
=0
(2) 证明: 证明:
§27 特勒根定理
b
∑u i
k =1
k k
=0
令v4=0 支路电压用节 点电压表示 u1= - v1 u2= - v2
k =1
∑ uk ik = u1i1 + u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6
=-v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v-v2 )i4 +(v2-v )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 3 1
6
=v1(i1 +i4 i6) +v2(i2 i4 +i5) +v3(i3 i5 +i6 =0 )
§27 特勒根定理
将这一结论推广到任一具有n个节点, 条支路的 将这一结论推广到任一具有 个节点,b条支路的 个节点 b 电路, 电路,则有 这就是特勒根功率定理(Tellegen′s power theorem) ′ 这就是特勒根功率定理 的数学表达式.该定理表明, 的数学表达式.该定理表明,在任意集中参数电 路中, 在任何瞬时t, 路中 , 在任何瞬时 t , 各支路吸收功率之和恒等 于零.也就是说, 于零.也就是说,电路中各独立源供给功率的总 等于其余各支路吸收功率的总和. 和,等于其余各支路吸收功率的总和 条支路在t时刻吸收的功率 (3)物理意义 uk (t)ik (t) = 第k条支路在 时刻吸收的功率 )物理意义: 条支路在 表整个电路在t时刻各支路吸收功率之和守恒( 表整个电路在 时刻各支路吸收功率之和守恒(为 时刻各支路吸收功率之和守恒 又叫瞬时功率守恒定理. 瞬时功率守恒定理 零), 所以 又叫瞬时功率守恒定理.
特勒根与互易定理
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2A + –
+ 无源 4V 电阻 – 网络
b
1A + 2V –
3A +
(5 / 4)U 2
+ 无源 4.8V 电阻 – – 网络
+
U2
–
b
ˆ ˆ U1 ( I 1 ) U 2 I 2 Rk I k I k U 1 ( I1 ) U 2 I 2 Rk I k I k
un1 (i1 i2 i4 ) un 2 (i4 i5 i6 ) un 3 (i2 i3 i6 ) 0
2. 特勒根定理2
2
4
1 2 3 6
5
4 3
1 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路 的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不 同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方 向下，满足:
k 1
b
u
k 1
b
k
i k u1 i 1 u2 i 2 uk i k
k 3
b
u1 i 1 u2 i 2 Rk ik i k 0
bFra biblioteku
k 1
b
k k
i u1 i1 u 2 i2 u k ik
k 3
k 3 b
u1 i1 u 2 i2 Rk ik i k 0
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* 4.6
互易定理
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个 具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响 应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。 具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路 的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的 灵敏度分析和测量技术等方面。
第6章 特勒根定理
+
~ I1
~ I2
JS
若网络互易，必有
2010-11-4
~ V2 = V1
第6章 特勒根定理 7
互易定义2 端口网络互易） 二、 互易定义 （n端口网络互易） 端口网络互易
一个P端口时不变网络，或者一个 端元件， 一个 端口时不变网络，或者一个P+1端元件，如果存在 ： 端口时不变网络 端元件
k =1
则有： ∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b + ∆Z b ∆I b 上式略去二阶小量后，得
∆Vb = Z b ∆I b + ∆Z b I b
2010-11-4 第6章 特勒根定理 18
设网络N的伴随网络为 ~ ~ VbT I b − VbT I b = 0
T
~ N
则有：
网络N参数变化前的变量 网络N参数变化后的变量
2010-11-4 第6章 特勒根定理 16
交互互易定理在灵敏度分析中的应用 ~ 相互伴随， 若网络 N 和 N 相互伴随，
则对于非独立电源支路集合b，必有： 则对于非独立电源支路集合 ，必有：
l =1
~ ~ ∑ (Vl I l − Vl I l ) = 0
b
或写作矩阵形式
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
T~ Vb I b
~T − Vb I b = 0
=
T T I b (Z b
~ − Z b )I b = 0
上式恒为零，只有
Zb =
T Zb
1）互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N本身 2）交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构 造出伴随网络。（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是 互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原 网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵 取相应矩阵的转置即可）。因此伴随网络的选择非常容易。
课件：第3.4节 特勒根定理
电路
刘洪臣 哈尔滨工业大学电气及自动化学院
3.4 特勒根定理
基本要求：理解特勒根定理的内容、证明过程、物 理意义和普遍适用性。
1. 定理
uk ,ik
N
(a)
uk , ik
N
(b)
结 (1) 节点数与支路数分别相同； 构 (2) 节点与支路的连接关系也分别相同； 相 (3) 节点与支路的编号也相同；
b
因为 i i ukik
(un i un i )
k 1
所有支路
N
(a)
uk , ik
对于整个电路存在 un i
N
(b)
b
i 0 ukik 0 同样可以证明 第二种表达形式
k 1
3.4 特勒根定理
如果将特勒根定理用于一个电路N（即Nˊ也是N），便
得到
b
ukik 0
k 1
同 (4) 对应的支路具有相同的u，i 关联参考方向。
3.4 特勒根定理
特勒根定理: 电路N中各支路电压uk与电路 N 中对
应支路电流 i的k 乘积之和等于零，即
b
b
ukik 0 同样
ukik 0
k 1
k 1
uk ,ik
证明： ukik (un un )ik (un un )i
【例题3.20】图示电路中N为纯二端电阻网络，
在图(a)中 U1 4V, R2 2, I1 1A, I2 0.5A ；
在图(b)中 I1 2A, R2 4,U2 3.2V 求等效电阻 Ri 。
I1
I2
I1
I2
U1
N
R2 U2
U1
N
R2 勒根定理得 U1I1 U2I2 U1I1 U2I2
刘洪臣 哈尔滨工业大学电气及自动化学院
3.4 特勒根定理
基本要求：理解特勒根定理的内容、证明过程、物 理意义和普遍适用性。
1. 定理
uk ,ik
N
(a)
uk , ik
N
(b)
结 (1) 节点数与支路数分别相同； 构 (2) 节点与支路的连接关系也分别相同； 相 (3) 节点与支路的编号也相同；
b
因为 i i ukik
(un i un i )
k 1
所有支路
N
(a)
uk , ik
对于整个电路存在 un i
N
(b)
b
i 0 ukik 0 同样可以证明 第二种表达形式
k 1
3.4 特勒根定理
如果将特勒根定理用于一个电路N（即Nˊ也是N），便
得到
b
ukik 0
k 1
同 (4) 对应的支路具有相同的u，i 关联参考方向。
3.4 特勒根定理
特勒根定理: 电路N中各支路电压uk与电路 N 中对
应支路电流 i的k 乘积之和等于零，即
b
b
ukik 0 同样
ukik 0
k 1
k 1
uk ,ik
证明： ukik (un un )ik (un un )i
【例题3.20】图示电路中N为纯二端电阻网络，
在图(a)中 U1 4V, R2 2, I1 1A, I2 0.5A ；
在图(b)中 I1 2A, R2 4,U2 3.2V 求等效电阻 Ri 。
I1
I2
I1
I2
U1
N
R2 U2
U1
N
R2 勒根定理得 U1I1 U2I2 U1I1 U2I2
特勒根定理ppt课件
uˆ1i1 uˆ 2i2 uˆ k ik 0
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik 5
k3
证明： 设共有b条支路， u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rkik uˆ k Rk iˆk
( un3 un1 )i4 un2i5 un3i6
un1( i1 i2 i4 ) un2 ( i2 i3 i5 ) un3 ( i3 i4 i6 )
0
KCL：
能量守恒是特勒根定理1的特例
i1 i2 i4 0
二、特勒根定理2：
i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1：
对于一个n个结点，b条支路的网络，令向量i=(i1，i2…..，ib) 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定
支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
证明： 4
b
ukik 0
k 1
KCL：
①
②
③
2
3
15
6
0
i1 i2 i4 0 i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb ) uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有：
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0
即
uS i2
uˆ S iˆ1
特殊 uS uˆ S , 则 i2 iˆ1
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik 5
k3
证明： 设共有b条支路， u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rkik uˆ k Rk iˆk
( un3 un1 )i4 un2i5 un3i6
un1( i1 i2 i4 ) un2 ( i2 i3 i5 ) un3 ( i3 i4 i6 )
0
KCL：
能量守恒是特勒根定理1的特例
i1 i2 i4 0
二、特勒根定理2：
i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1：
对于一个n个结点，b条支路的网络，令向量i=(i1，i2…..，ib) 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定
支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
证明： 4
b
ukik 0
k 1
KCL：
①
②
③
2
3
15
6
0
i1 i2 i4 0 i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb ) uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有：
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0
即
uS i2
uˆ S iˆ1
特殊 uS uˆ S , 则 i2 iˆ1
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( un3 un1 )i4 un2i5 un3i6
un1( i1 i2 i4 ) un2 ( i2 i3 i5 ) un3 ( i3 i4 i6 )
0
KCL：
能量守恒是特勒根定理1的特例
i1 i2 i4 0
二、特勒Байду номын сангаас定理2：
i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
k 1
3
KCL、KVL和特勒根定理合称为拓扑约束，适 用于任何集总电路
例4-8 已知如图 , 求电流 ix 。
i1
+ 10V-
R
1A ix
N
-
R
5V
+
Nˆ
i2
解： 设电流 i1和 i2 ，方向如图所示。
b
10 ( ix ) 0 i2 ukiˆk 0
由特勒根定理2，得：
3b
0 (i1 ) (5) 1 uˆ k ik 0
– d
a + uˆ 1 iˆ1
– b
线性 电阻 网络
N
iˆ2 c +
+
uˆ S uˆ 2 –– d
证明：
(a)
(b)
设共有b条支路， u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rk ik uˆ k Rk iˆk
k3 b
如果有两个网络N和 Nˆ ，它们由不同的二端元件构成，它
们的拓扑图完全相同，它们的支路电流和支路电压向量分
别用i ( i1 ,i2 ,...........,ib )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb )
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
支路电压与结 点电压关系：
u1 un1 u2 un1 un2
u3 un2 un3
u4 un3 un1
u5 un2
u6 un3
1
6
uk ik u1i1 u2i2 u3i3 u4i4 u5i5 u6i6
k 1
un1i1 ( un1 un2 )i2 ( un2 un3 )i3
2.6 特勒根定理
一、特勒根定理1：
对于一个n个结点，b条支路的网络，令向量i=(i1，i2…..，ib) 和u=(u1，u2…..，ub)分别表示支路电流和支路电压，并规定
支路电压和支路电流为关联参考方向，有：
证明： 4
b
ukik 0
k 1
KCL：
①
②
③
2
3
15
6
0
i1 i2 i4 0 i2 i3 i5 0 i3 i4 i6 0
3
ukiˆk ik Rkiˆk ikuˆk
10ix 5 ix 0.5A
4
互易定理证明
对于一个线性电阻网络，若电路只有一个激励，则激励与响 应互换位置时，其激励和响应的比值保持不变。
一、第一种形式:电压源激励，电流为响应
a i1 +
u1 uS+ ––
b
线性 电阻 网络
N
c + u2 i2
uˆ1i1 uˆ 2i2 uˆ k ik 0
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik 5
k3
证明： 设共有b条支路， u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
b
u1iˆ1 u2iˆ2 uk iˆk 0
uk Rkik uˆ k Rk iˆk
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向则有：
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0
k 1
证明与前同2
二、特勒根定理2：
如果有两个网络N和 Nˆ ，它们由不同的二端元件构成，它们 的拓扑图完全相同，它们的支路电流和支路电压向量分别用
i ( i1 ,i2 ,...........,ib )
k3 b
uˆ1i1 uˆ 2i2 uˆ k ik 0
uk iˆk Rk ik iˆk ( Rk iˆk )ik uˆ k ik
k3
u1iˆ1 u2iˆ2 uˆ1i1 uˆ 2i2
由 u1 uS , u2 0;uˆ1 0, uˆ 2 uˆ S
uS iˆ1 uˆ S i2
u ( u1 ,u2 ,...........,ub )
iˆ ( iˆ1 ,iˆ2 ,...........,iˆb ) uˆ ( uˆ1 ,uˆ 2 ,...........,uˆ b ) 来表示
并规定所有支路电压和支路电流为关联参考方向, 则有：
b
ukiˆk 0
k 1
b
uˆ kik 0
即
uS i2
uˆ S iˆ1
特殊 uS uˆ S , 则 i2 iˆ1
6