2008-2009年中考数学压轴题精选-强烈推荐
2008年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准2008年中考数学压轴题精选
1．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB=，OB=ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2y ax bx c=++过点A E D，，．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O B P Q，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）存在符合条件的点P，点Q．理由如下：矩形ABOC的面积3AB BO==∴以O B P Q，，，为顶点的平行四边形面积为OB为此平行四边形一边，又3OB=OB∴边上的高为2，依题意设点P的坐标为(2)m，点P在抛物线2829y x x=--+上28229m∴-+=解得，1m=，28m=-1(02)P∴，，228P⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭以O B P Q，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB∴∥，PQ OB==∴当点1P的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，22)Q；x第26题图当点2P 的坐标为5328⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，时，点Q 的坐标分别为313328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，43328Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． 14分5、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7、（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？（3）过点N 作NP MB ⊥于点P EO MB ⊥ NP EO ∴∥ BNP BEO ∴△∽△ 7分BN NPBE EO∴= 8分 图14yxOA B MO 1由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= 9分 16(4)25S t t ∴=-2312(04)55S t t t =-+<< 10分2312(2)55S t =--+ 11分此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大 ∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125． 12分 11、抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ．由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，3==OC y ．∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方． 过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO．∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．∴点M的坐标为(2,M ． ……………………………12分综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为123((2,M M M -．12、（08四川达州23题）如图，将AOB △置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为(30)，，60ABO ∠=．（1）若AOB △的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标．（2）若点C 的坐标为(10)-，，试猜想过D C ，的直线与AOB △的外接圆的位置关系，并加以说明．（3）二次函数的图象经过点O 和A 求此函数的解析式．（3）依题意可设二次函数的解析式为 ： y=α（x －0）(x －3)由此得顶点坐标的横坐标为：x=a a 23-=23; 即顶点在OA 的垂直平分线上，作OA 的垂直平分线EF ，则得∠EFA ＝21∠B ＝300得到EF ＝3EA ＝323 可得一个顶点坐标为（23，323） 同理可得另一个顶点坐标为（23，321-） 分别将两顶点代入y=α（x －0）(x －3)可解得α的值分别为332-，932则得到二次函数的解析式是y=332-x(x －3)或y=932 x(x －3)14、（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5OA =，4OC =．（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D E，两点的坐标；（2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ，过点M 作AE 的平行线交DE 于点N ．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴， ∴在Rt ABE △中，5AE AO ==，4AB =．3BE ∴=．2CE ∴=．E ∴点坐标为（2，4）． 2分 在Rt DCE △中，222DC CE DE +=， 又DE OD =．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52CD =． D ∴点坐标为502⎛⎫⎪⎝⎭， 3分（2）如图①PM ED ∥，APM AED ∴△∽△． PM AP ED AE ∴=，又知AP t =，52ED =，5AE = 5522t tPM ∴=⨯=， 又5PE t =-．而显然四边形PMNE 为矩形．215(5)222PMNE t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+矩形 5分21525228PMNES t ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形，又5052<<∴当52t =时，PMNE S 矩形有最大值258． 6分 （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME MA =（如图①） 在Rt AED △中，ME MA =，PM AE ⊥，P ∴为AE 的中点，1522t AP AE ∴===．又PM ED ∥，M ∴为AD 的中点．过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ，则MF 是OAD △的中位线，1524MF OD ∴==，1522OF OA ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，AME △为等腰三角形．此时M 点坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 8分（ii）若以AE 为等腰三角形的腰，则5AMAE ==（如图②）在Rt AOD △中，AD ===过点M 作MF OA ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，APM AED ∴△∽△．AP AMAE AD∴=． 555AMAE t AP AD ⨯∴====12PM t ∴==．MF MP ∴==5OF OA AF OA AP =-=-=-∴当t =（05<<），此时M 点坐标为(5-．11分综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-．12分。
2008年全国中考数学压轴题精选（三）
2008年全国中考数学压轴题精选精析（三）27.（08山东滨州）23、（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.BDCA（2）结论应用：①如图2，点M 、N 在反比例函数y=)0(>k xk的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F. 试应用（1）中得到的结论证明：MN ∥EF.y xO NMF E②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断MN 与E 是否平行.yxO NM（08山东滨州23题解析）23．（1）证明：分别过点C 、D 作.CG AB DH AB ⊥⊥、 垂足为G 、H ，则090.CGA DHB ∠=∠=CG DHABC ABD ∴∴∴∴ 与的面积相等CG=DH四边形CGHD 为平行四边形AB CD.（2）①证明：连结MF ，NE设点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，∵点M ，N 在反比例函数()0ky k x= 的图象上， ∴11x y k =，22x y k =2,ME y NF x OF x ⊥⊥∴= 1轴，轴OE=y112211221122EFM EFN EFM EFN S x y k S x y k S S ∴====∴=由（1）中的结论可知：MN ∥EF 。
②MN ∥EF 。
31（08山东临沂）26．（本小题满分13分） 如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由; ⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
（08山东临沂26题解析）26．⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y ………1分 根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-,0339,03b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a∴抛物线的解析式为322++-=x x y ………………………………………2分 ⑵存在。
2008年数学中考试题分类汇编(压轴题)
2008年数学中考试题分类汇编压轴题（2008年芜湖市）如图，已知 (4,0)A ，(0,4)B ，现以A 点为位似中心，相似比为9:4，将OB 向右侧放大，B 点的对应点为C ． (1) 求C 点坐标及直线BC 的解析式;(2) 一抛物线经过B 、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;(3) 现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为P ．河北 周建杰 分类（2008年泰州市）29．已知二次函数y 1=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像经过三点（1，0），（－3，0），（0，－23）． （1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分） （2）若反比例函数y 2=x2（x ＞0）的图像与二次函数y 1=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像在第一象限内交于点A (x 0，y 0)，x 0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分） （3）若反比例函数y 2=xk（x ＞0，k ＞0）的图像与二次函数y 1=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像在第一象限内的交点A ，点A 的横坐标x 0满足2＜x 0＜3，试求实数k 的取值范围．（5分）（2008年南京市）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？（2008年巴中市）已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？第29题图（第28题）y（2008年自贡市）抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。
2008年全国中考数学压轴题精选4
2008年全国中考数学压轴题精选精析（四）39（08山西省卷）（本题答案暂缺）26．（本题14分）如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动。
点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<<t ）。
（1）求直线2l 的解析式。
（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式。
（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？40（08山西太原）29．（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． （3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出BE CD（08山西太原29题解析）29．解：（1）在1y x =+中，当0y =时，10x +=，1x ∴=-，点B 的坐标为(10)-，． ······················ 1分在334y x =-+中，当0y =时，33044x x -+=∴=，，点C 的坐标为（4，0）． · 2分 由题意，得1334y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得87157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ∴点A 的坐标为81577⎛⎫⎪⎝⎭，． ························· 3分（2）当C B D △为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D 的坐标为()x y ，．由（1），得(10)(40)B C -，，，，5BC ∴=． ①当11BD D C =时，过点1D 作11D M x ⊥轴，垂足为点1M ，则1112BM M C BC ==． 11553312222BM OM x ∴==-==，，．33153428y ∴=-⨯+=，点1D 的坐标为31528⎛⎫⎪⎝⎭，． ··············· 4分②当2BC BD =时，过点2D 作22D M x ⊥轴，垂足为点2M ，则2222222D M M B D B +=．21M B x =--，2223354D M x D B =-+=，，2223(1)354x x ⎛⎫∴--+-+= ⎪⎝⎭．解，得121245x x =-=，（舍去）．此时，312243455y ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭． ∴点2D 的坐标为122455⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ······················· 6分③当3CD BC =，或4CD BC =时，同理可得34(03)(83)D D -，，，． ······· 9分 由此可得点D 的坐标分别为12343151224(03)(83)2855D D D D ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，． 评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得1分，2个点的坐标得3分，3个点的坐标得5分，4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．（3）存在．以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形11AE OD为平行四边形时，1120BE CD =． ·············· 10分图（1）图（2）②当四边形21AD E O为平行四边形时，1210BE CD =·············· 11分 ③当四边形12AOD E为平行四边形时，2120BE CD =． ············· 12分 41（08陕西省卷）25、（本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
2008年中考精品：数学压轴题汇编(含解题过程,共69页)
如图，二次函数m x mx y +++=)14(412（m <4）的图象与x 轴相交于点A 、B 两点． （1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示）； （2）如果这个二次函数的图象与反比例函数xy 9=的图象相交于点C ，且 ∠BAC 的余弦值为4，求这个二次函数的解析式．解：（1）当时0=y ，0)14(412=+++m x mx ，………………………………（1分） 04)4(2=+++m x m x ，m x x -=-=21,4．……………………………（2分）∵4<m ，∴A （–4，0），B （m -，0）………………………………（4分） （2） 过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，cos ∠BAC 54==AC AD ,设AD =4k ,AC =5k , 则CD =3k . ……………………（5分） ∵OA =4,∴OD =4k –4, 点C (4k –4,3k ) . …………………………………（6分）∵点C 在反比例函数x y 9=的图象上，∴4493-=k k . ………………（7分） ,03442=--k k 23),(2121=-=k k 舍去. ……………………………（8分）∴C (2，29).……………………（1分） ∵点C 在二次函数的图象上，∴m m+++⨯=)14(2241292，………（1分） ∴,1=m ………………(10分) ∴二次函数的解析式为145412++=x x y . ……………………………（12分）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90o ，∠C ＝60°，AD ＝3cm ，BC ＝9cm ．⊙O 1的圆心O 1从点A 开始沿折线A —D —C 以1cm/s 的速度向点C 运动，⊙O 2的圆心O 2从点B 开始沿BA 边以3cm/s 的速度向点A 运动，⊙O 1半径为2cm ，⊙O 2的半径为4cm ，若O 1、O 2分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为t s（1）请求出⊙O 2与腰CD 相切时t 的值；（2）在0s ＜t ≤3s 范围内，当t 为何值时，⊙O 1与⊙O 2外切？解：（1）如图所示，设点O 2运动到点E 处时，⊙O 2与腰CD 相切． 过点E 作EF ⊥DC ，垂足为F ，则EF ＝4cm ．………………1分 方法一，作EG ∥BC ，交DC 于G ，作GH ⊥BC ，垂足为H ． 通过解直角三角形，求得EB ＝GH ＝3)3389(⨯-cm ．………………4分 所以t ＝（3389-）秒．………………6分 方法二，延长EA 、FD 交于点P ．通过相似三角形，也可求出EB 长． 方法三，连结ED 、EC ，根据面积关系，列出含有t 的方程，直接求t ． （2）由于0s<t ≤3s ，所以，点O 1在边AD 上．………………7分 如图所示，连结O 1O 2，则O 1O 2＝6cm ．………………8分由勾股定理得，2226)336(=-+t t ，即01892=+-t t ．………………10分 解得t 1＝3，t 2＝6（不合题意，舍去）．………………12分（第26题）所以，经过3秒，⊙O 1与⊙O 2外切．………………14分３．（本题满分12分）正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上一动点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，设PB =x ,△ADQ 的面积为y .（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.（3）画出这个函数的图象.（4）点P 是否存在这样的位置，使△APB 的面积是△ADQ 的面积的32，若存在，求出BP 的长，若不存在，说明理由.解:（1）画出图形，设QC =z ，由Rt △ABP ~Rt △PCQ ，x -44=z x ， z =4)4(x x -，①y =21×4×（4-z ）,② 第25题图（1）把①代入② y=21x 2-2x +8（0＜x ＜4）. B B26（2）y=21x 2-2x +8=21(x -2)2+6. ∴对称轴为x =2,顶点坐标为（2，6）.(3)如图所示 第25题图（2） (4)存在，由S △APB ＝32S △ADQ ，可得y ＝3x ， ∴21x 2—2x +8＝3x ， ∴x ＝2，x ＝8(舍去)，∴当P 为BC 的中点时，△P AB 的面积等于△ADQ 的面积的32.４．（14分）函数y =-43x -12的图象分别交x 轴，y 轴于A ,C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标.（2）在x 轴上找出点B ，使△ACB~△AOC ，若抛物线经过A 、B 、C 三点，求出抛物线的解析式.（3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同的速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，设AP=m ，是否存在m 值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出所有的m 值；若不存在，请说明理由.解．（1）A （-16，0） C （0，-12） ··································································· 2分 （2）过C 作CB ⊥AC ，交x 轴于点B ，显然，点B 为所求， ······················ 3分 则OC2=OA ×OB 此时OB=9，可求得B （9，0） ·········································· 5分 此时经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为：y=121x2+127x-12 ·································································································· 8分（3）当PQ ∥BC 时，△APQ ~△ACB ······························································· 9分得AC AP =AB AQ ········································································································ 10分 ∴20m =2525m 解得m=9100 ············································································ 11分当PQ ⊥AB 时，△APQ ~△ACB ········································································· 12分得：AC AQ =AB AP ···································································································· 13分 ∴2025m -=25m 解得m=9125 ········································································ 14分5．（本题满分10分）如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标．（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上，求这个抛物线的解析式．（3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．解：（1）连结AD ，得OA=3，AD=23 ……………………1分 ∴OD =3， D(0，-3) ………………………………………………2分（2）由B (-3，0)，C (33，0)，D (0，-3)三点在抛物线c bx ax y ++=2上，……3分得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-=c c b a c b a 333270330 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==333231c b a ………………………………5分∴3332312--=x x y …………………………………………………………6分 （3）连结AP ，在Rt △APM 中，∠PMA==30º，AP=23 ∴AM =43， M (53，0) …………………………7分5333530tan =⋅=︒⋅=MO ONxx∴N (0，-5) ……………………………………………8分 直线MN 解析式为：533-=x y 抛物线顶点坐标为(3，-4) ………………………………9分∵45333533-=-⨯=-x ∴抛物线顶点在直线MN 上． ……………………………10分６、（12分）如图3.以A(0，3)为圆心的圆与x 轴相切于坐标点O,与y 轴相交于点B,弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E, 且∠BEO = 600 , AD 的延长线交x 轴于点C. （1)分别求点E, C 的坐标．(2)求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．(3)设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心, ME 为半径的圆与☉A 的位置关系，并说明理由．７、一个圆柱的一条母线为AB,BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的表面爬行到点C ．⑴如图①，如果底面周长为24cm,高为4cm,那么蚂蚁的最短行程是多少cm?⑵如图②，如果底面半径为rcm,高为hcm,那么你认为蚂蚁可能有哪几种行程较短的路径?试画出平面展开图说明路径(至少画两种不同的路径),不必说明理由．⑶通过计算比较②中各种路径的长度，你能得到什么一般性的结论？或者说，蚂蚁选择哪条路径可使行程最短？BB8、（12分）某企业有员工300人，生产A 种产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。
2008年全国中考数学压轴题精选(九)
2008年全国中考数学压轴题精选(十)92.（08某某资阳24题）24．（本小题满分12分）如图10，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD?如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（08某某资阳24题解答）(1) ∵以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC ， 又∵∠AOC= ∠COB=90°，∴ΔAOC ∽ ΔCOB ， ······························································ 1分 ∴OA OCOC OB=． 又∵A(–1，0)，B(9，0)， ∴19OCOC =，解得OC=3(负值舍去)． ∴C(0，–3)，························································································ 3分 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x –9)， ∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=13，∴二次函数的解析式为y=13(x+1)(x –9)，即y=13x 2–83x –3． ··········· 4分 (2) ∵AB 为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，图图10答案图∴OO′=4，O′(4，0)， ···························································· 5分 ∵点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ， ∴∠BCD=12∠BCE=12×90°=45°，连结O′D 交BC 于点M ，则∠BO′D =2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=12AB=5．∴D(4，–5)． ······································································ 6分 ∴设直线BD 的解析式为y=kx+b （k≠0） ∴90,4 5.k b k b +=⎧⎨+=-⎩··········································· 7分解得1,9.k b =⎧⎨=-⎩∴直线BD 的解析式为y=x –9. ······················ 8分 (3) 假设在抛物线上存在点P ，使得∠PDB=∠CBD ， 解法一：设射线DP 交⊙O′于点Q ，则BQ CD =． 分两种情况(如答案图1所示)：①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．∴把点C 、D 绕点O′逆时针旋转90°，使点D 与点B 重合，则点C 与点Q 1重合， 因此，点Q 1(7，–4)符合BQ CD =， ∵D(4，–5)，Q 1(7，–4)，∴用待定系数法可求出直线DQ 1解析式为y=13x –193． ················· 9分 解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得1194122941x y ⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩2294122941x y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∴点P 1坐标为941+，2941-+)，[坐标为941-，2941--)不符合题意，舍去]． ························································································ 10分 ②∵Q 1(7，–4)，∴点Q 1关于x 轴对称的点的坐标为Q 2(7，4)也符合BQ CD =．图10答案图∵D(4，–5)，Q 2(7，4)．∴用待定系数法可求出直线DQ 2解析式为y=3x –17． ··················· 11分解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，得1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩，∴点P 2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．························································································ 12分 ∴符合条件的点P 有两个：P 1941+2941-+)，P 2(14，25)．解法二：分两种情况(如答案图2所示)： ①当DP 1∥CB 时，能使∠PDB=∠CBD ． ∵B(9，0)，C(0，–3)．∴用待定系数法可求出直线BC 解析式为y=13x –3． 又∵DP 1∥CB ，∴设直线DP 1的解析式为y=13x+n ．把D(4，–5)代入可求n= –193， ∴直线DP 1解析式为y=13x –193． ············· 9分 解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得1194122941x y ⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩2294122941x y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∴点P 1坐标为941+，2941-+)，[坐标为941-，2941--)不符合题意，舍去]． ························································································ 10分 ②在线段O′B 上取一点N ，使BN=DM 时，得ΔNBD ≌ΔMDB(SAS)，∴∠NDB=∠CBD ．由①知，直线BC 解析式为y=13x –3．取x=4，得y= –53，∴M(4，–53)，∴O′N=O′M=53，∴N(173，0)， 又∵D(4，–5)，图10答案∴直线DN 解析式为y=3x –17． ··············································· 11分解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，得1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩，∴点P 2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．························································································ 12分 ∴符合条件的点P 有两个：P 1941+2941-+)，P 2(14，25)．解法三：分两种情况(如答案图3所示)：①求点P 1坐标同解法二． ······················································ 10分 ②过C 点作BD 的平行线,交圆O′于G, 此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD ． 由(2)题知直线BD 的解析式为y=x –9, 又∵ C （0，–3）∴可求得CG 的解析式为y=x –3,设G （m,m –3），作GH ⊥x 轴交与x 轴与H ，连结O′G,在Rt △O′GH 中，利用勾股定理可得，m=７， 由D （4，–5）与G(7，4)可得，DG 的解析式为317y x =-， ···················································· 11分解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，得1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩，∴点P 2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]． ······· 12分 ∴符合条件的点P 有两个：P 1941+2941-+)，P 2(14，25)． 说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分.93.（08某某某某26题）26．（14分）（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠=； 如图2，BOC ∠=； 如图3，BOC ∠=．（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．①猜想：如图4，BOC ∠=（用含n 的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想．（08某某某某26题解答）（1）①证法一：ABD △与ACE △均为等边三角形， AD AB ∴=，AC AE = ································································ 2分 且60BAD CAE ∠=∠= ·································· 3分BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠ ········································· 4分 ABE ADC ∴△≌△． ····································· 5分 证法二：ABD △与ACE △均为等边三角形，AD AB ∴=，AC AE = ································································ 2分 且60BAD CAE ∠=∠= ································································ 3分 ADC ∴△可由ABE △绕着点A 按顺时针方向旋转60得到 ··················· 4分 ABE ADC ∴△≌△． ··································································· 5分②120，90，72． ················································· 8分（每空1分） （2）①360n············································································ 10分 ②证法一：依题意，知BAD ∠和CAE ∠都是正n 边形的内角，AB AD =，AE AC =，(2)180n BAD CAE n-∴∠=∠=BAD DAE CAE DAE ∴∠-∠=∠-∠，即BAE DAC ∠=∠． ··················· 11分 ABE ADC ∴△≌△． ·································································· 12分 ABE ADC ∴∠=∠，180ADC ODA ∠+∠=，180ABO ODA ∴∠+∠= ·· 13分 360ABO ODA DAB BOC ∠+∠+∠+∠=，180BOC DAB ∴∠+∠= (2)180360180180n BOC DAB n n-∴∠=-∠=-= ····························· 14分 证法二：同上可证ABE ADC △≌△． ··········································· 12分ABE ADC ∴∠=∠，如图，延长BA 交CO 于F ，180AFD ABE BOC ∠+∠+∠=，180AFD ADC DAF ∠+∠+∠= ······················· 13分 360180BOC DAF BAD n∴∠=∠=-∠=··········· 14分 证法三：同上可证ABE ADC △≌△． ··········································· 12分ABE ADC ∴∠=∠．180()BOC ABE ABC ACB ACD ∠=-∠+∠+∠+∠180()BOC ADC ABC ACB ACD ∴∠=-∠+∠+∠+∠180ABC ACB BAC ∠+∠=-∠，180ADC ACD DAC ∠+∠=-∠180(360)BOC BAC DAC ∴∠=--∠-∠ ········································· 13分即360180BOC BAD n∠=-∠=····················································· 14分 证法四：同上可证ABE ADC △≌△． ··········································· 12分AEB ACD ∴∠=∠．如图，连接CE ，BEC BOC OCE ∠=∠+∠AEB AEC BOC ACD ACE∴∠+∠=∠+∠-∠BOC AEC ACE∴∠=∠+∠． ························· 13分即360180BOC CAEn∠=-∠=······················ 14分注意：此题还有其它证法，可相应评分．94.（08某某某某23题）23．本题满分11分．如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使∆PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）（08某某某某23题解答）解：（1） DC∥AB，AD=DC=CB，∴∠CDB=∠CBD=∠DBA，分∠DAB=∠CBA，∴∠DAB=2∠DBA，··········· 1分∠DAB+∠DBA=90 ，∴∠DAB=60 ，分∠DBA=30 ， AB=4，∴DC=AD=2，···· 2分R t∆AOD，OA=1，OD=3，分∴A（-1，0），D（0，3），C（2，3）． ····························································· 4分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B （3，0），故可设所求为y =a （x +1）（x -3） ············································ 6分 将点D （0，3）的坐标代入上式得，a =33-． 所求抛物线的解析式为y =).3)(1(33-+-x x ··························· 7分 其对称轴L 为直线x =1． ··························································· 8分 （3）∆PDB 为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L 与DB 不平行，DB 的垂直平分线与L 仅有一个交点P 1，P 1D =P 1B ， ∆P 1DB 为等腰三角形； ······················································· 9分 ②因为以D 为圆心，DB 为半径的圆与直线L 有两个交点P 2、P 3，DB =DP 2，DB =DP 3，∆P 2DB ，∆P 3DB 为等腰三角形；③与②同理，L 上也有两个点P 4、P 5，使得BD =BP 4，BD =BP 5． ··· 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L 上，使∆PDB 为等腰三角形的点P 有5个．95.（08某某聊城25题）25．（本题满分12分）如图，把一X 长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．第25题（08某某聊城25题解答）（本题满分12分） 解：（1）设正方形的边长为x cm ，则(102)(82)48x x --=． ································································ 1分 即2980x x -+=．解得18x =（不合题意，舍去），21x =．∴剪去的正方形的边长为1cm ． ···················································· 3分（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分） （2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2， 则y 与x 的函数关系式为：2(102)2(82)y x x x x =-+-．即2836y x x =-+． ····································································· 5分改写为2981842y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当 2.25x =时，40.5y =最大．即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为2． ··········· 7分 （3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2． 若按图1所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：1022(82)22xy x x x -=-+． 即213169666y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当136x =时，1696y =最大． ··················· 9分 若按图2所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：822(102)22xy x x x -=-+． 图1第25题图2即2798633y x⎛⎫=--+⎪⎝⎭．∴当73x=时，983y=最大．·························································· 11分比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为73cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为983cm2．说明：解答题各小题只给了一种解答及评分说明，其他解法只要步骤合理，解答正确，均应给出相应分数．96.（08某某某某25题）25．我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给．．．定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．研究．．.例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）.请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：(1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条．．直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心．．．．．．．的两条．．直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）.请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，弦DE⊥AB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.（08某某某某25题解答）解：(1) 弦（图中线段AB ）、弧（图中的ACB 弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. （写对一个给1分，写对两个给2分）(2) 情形1 如图21，AB 为弦，CD 为垂直于弦AB 的直径. …………………………3分结论：（垂径定理的结论之一）. …………………………………………………………4分证明：略（对照课本的证明过程给分）. …………………………………………………7分情形2 如图22，AB 为弦，CD 为弦，且AB 与CD 在圆内相交于点P .结论：PD PC PB PA ⋅=⋅.证明：略.情形3 （图略）AB 为弦，CD 为弦，且m 与n 在圆外相交于点结论：PD PC PB PA ⋅=⋅.证明：略.情形4 如图23，AB 为弦，CD 为弦，且AB ∥CD . 结论： = .证明：略.（上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）(3) 若点C 和点E 重合，则由圆的对称性，知点C 和点D 关于直径AB 对称. …………………………………8分设x BAC =∠，则x BAD =∠，x ABC -︒=∠90.………………………………9分 又D 是的中点，所以ABC ACD CAD CAD ∠-︒=+∠=∠1802，m 第25题图21 ABC即)90(18022x x -︒-︒=⋅.………………………………………………………10分 解得︒=∠=30BAC x .……………………………………………………………11分 （若求得AC AB 23=或FB AF ⋅=3等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B 、C 是圆的十二等分点，然后说明）A第25题图3第25题图22 第25题图23 m。
2008年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)
1、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x2-x 1=5．（1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 解：3、（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形A B O C 的边B O 在x 轴的负半轴上，边O C 在y 轴的正半轴上，且1AB =，O B =A B O C 绕点O 按顺时针方向旋转60 后得到矩形E F O D ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形A B O C 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4、（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y =-x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使A B P △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线A C 上是否存在一点M ，使得M B F △的周长最小，（第1题图）xx第26题图x若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，O M 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式； （2）求切线O M 的函数解析式；7、（12分）30．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线B C 的解析式． （2）求A B C △的面积．（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？911、（08湖北十堰25题）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1415、（本小题10分）已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； （Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．16、（本小题满分8分）探索研究如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线P H 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．x。
2008年全国中考数学压轴题精选(含答案)
2008年全国中考数学压轴题精选(八)71.（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线P H 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线P H 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AO H Q C H ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△． ························································································ （1分） O H C H ∴=，即H 为AQ 的中点．····································································· （2分）法二：(01)A ，，(01)B -，，O A O B ∴=． ························································· （1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·············································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ························································································· （3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ··················································· （4分）②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114P Q m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在R t APG △中，x2114AP m PQ====+=．∴平行四边形APQR为菱形． ··············································································（6分）（3）设直线P R为y kx b=+，由O H C H=，得22mH⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m⎛⎫⎪⎝⎭，代入得：221.4mk bkm b m⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，221.4mkb m⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P R为2124my x m=-．························（7分）设直线P R与抛物线的公共点为214x x⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线P R关系式得：2211424mx x m-+=，21()04x m-=，解得x m=．得公共点为214m m⎛⎫⎪⎝⎭，．所以直线P H与抛物线214y x=只有一个公共点P． ············································（8分）72（08黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点(30)C-，，点A B，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足10OA-=．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线C B运动，连结A P．设A B P△的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A B P，，为顶点的三角形与A O B△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．x（08黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）10O A -=230OB ∴-=，10O A -= ·················································································· （1分）O B ∴=，1O A =点A ，点B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上(10)(0A B ∴，， ······························································································· （2分） （2）求得90ABC ∠= ························································································· （3分）(0(t t S t t ⎧<⎪=⎨->⎪⎩ ≤（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）························································ （6分） （3）1(30)P -，；21P ⎛- ⎝；31P ⎛ ⎝；4(3P （每个1分，计4分） ·····························································································································（10分） 注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分．73（08海南省卷24题）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（08海南省卷24题解析）（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a .∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x xy -=241. （6分）（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BGCG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)，∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. （3） 存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b . 将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得 1,21-==b k .∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -241)，∴21x -1=x x -241. ………………………………（13分）解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y .∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)74.（08广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.（08广东东莞22题解析）解：（1）…………………………1分等腰；…………………………2分（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对)所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分（3）由题意知，FP ∥AE ， ∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°，∴ ∠PFB ＝∠2＝30°,∴ FP ＝BP .…………………………6分过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则F K B K ==∵ AF ＝t ，AB ＝8， ∴ FB ＝8－t ，1(8)2B K t =-.在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)26PK BK t t =⋅∠=-︒=-. ……………………7分∴ △FBP 的面积11(8))226S FB PK t t =⋅⋅=⋅--，∴ S 与t 之间的函数关系式为： 2(8)12S t =-，或24123S t t =-+分DCE图9 图10t 的取值范围为：08t ≤<. …………………………………………………………9分75（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，O A B C 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，5O A =，4O C =．（1）在O C 边上取一点D ，将纸片沿A D 翻折，使点O 落在B C 边上的点E 处，求D E ，两点的坐标； （2）如图19-2，若A E 上有一动点P （不与A E ，重合）自A 点沿A E 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（05t <<），过P 点作E D 的平行线交A D 于点M ，过点M 作A E 的平行线交D E 于点N ．求四边形P M N E 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分） 解：（1）依题意可知，折痕A D 是四边形O A E D 的对称轴，∴在R t A B E △中，5AE AO ==，4A B =．3BE ∴===．2C E ∴=．E ∴点坐标为（2，4）．································································································ 2分 在R t D C E △中，222DC CE DE +=， 又D E O D = ．222(4)2OD OD ∴-+= ． 解得：52C D =．D ∴点坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，···································································································· 3分 （2）如图①PM ED ∥，A P M A E D ∴△∽△．P M A PE DA E ∴=，又知A P t =，52E D =，5A E =5522t tP M ∴=⨯=， 又5P E t =- ．而显然四边形P M N E 为矩形．215(5)222P M N E t S PM PE t t t ∴==⨯-=-+矩形·························································· 5分21525228PM N ES t ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭四边形，又5052<< ∴当52t =时，PM N E S 矩形有最大值258． ········································································ 6分x（3）（i ）若以A E 为等腰三角形的底，则M E M A =（如图①） 在R t AED △中，M E M A =，PM AE ⊥ ，P ∴为A E 的中点，1522t A P A E ∴===．又PM ED ∥，M ∴为A D 的中点．过点M 作M F O A ⊥，垂足为F ，则M F 是O AD △的中位线，1524M F O D ∴==，1522O F O A ==，∴当52t =时，5052⎛⎫<< ⎪⎝⎭，A M E △为等腰三角形． 此时M 点坐标为5524⎛⎫⎪⎝⎭，．··························································································· 8分（ii ）若以A E 为等腰三角形的腰，则5A M A E ==（如图②） 在R t A O D △中，AD ===过点M 作M F O A ⊥，垂足为F ．PM ED ∥，A P M A E D ∴△∽△． A P A M A E A D∴=．55AM AE t AP AD⨯∴====12P M t ∴==．M F M P ∴==5O F O A AF O A AP =-=-=-，∴当t =（05<<），此时M点坐标为(5-． ·························· 11分 综合（i ）（ii ）可知，52t =或t =A M E ，，为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为5524⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(5-． ·······················································································12分76.（08天津市卷26题）（本小题10分） 已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．x（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ．∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ··············································· 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31． ······································· 3分①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ．此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ································· 4分 ②当31<c 时，11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，cc y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤． ··············································································· 6分（Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． ············································································································ 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ····························· 8分 又该抛物线的对称轴ab x 3-=，由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2， ∴32331<-<ab ．又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ············································10分77（08湖北宜昌25题）如图1，已知四边形OABC 中的三个顶点坐标为O (0，0)，A (0，n )，C (m ，0)．动点P 从点O 出发依次沿线段OA ，AB ，BC 向点C 移动，设移动路程为z ，△OPC 的面积S 随着z 的变化而变化的图象如图2所示．m ，n 是常数， m ＞1，n ＞0．（1）请你确定n 的值和点B 的坐标；（2）当动点P 是经过点O ，C 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点，且在双曲线y ＝115x上时，求这时四边形OABC 的面积．（08湖北宜昌25题解析）解：(1) 从图中可知，当P从O 向A 运动时，△POC 的面积S ＝12mz ， z 由0逐步增大到2,则S 由0逐步增大到m ，故OA ＝2，n ＝2 . (1分) 同理，AB ＝1，故点B 的坐标是(1，2).(2分) (2)解法一：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0),∴c ＝0，b ＝－am ，(3分) ∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标为(2m，－14 am 2).(4分)如图1，设经过点O ，C ，P 的抛物线为l. 当P 在OA 上运动时，O ,P 都在y 轴上， 这时P ,O ,C 三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线l 不存在, 故不存在m 的值..① 当点P 与C 重合时，双曲线y ＝115x不可能经过P ,故也不存在m 的值.②(5分)(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 当P 在AB 上运动时，即当0<x 0≤1时，y 0＝2，(第25题)抛物线l 的顶点为P (2m ，2).∵P 在双曲线y ＝115x上，可得 m ＝115，∵115>2,与 x 0＝2m ≤1不合，舍去.(6分)③容易求得直线BC 的解析式是：2211myx mm=---，(7分)当P 在BC 上运动，设P 的坐标为 (x 0,y 0)，当P 是顶点时 x 0＝2m ，故得y 0＝02211m x mm---＝1m m -，顶点P 为(2m ，1m m -)，∵1< x 0＝2m <m ，∴m>2，又∵P 在双曲线y ＝115x上，于是，2m ×1mm -＝115，化简后得5m 2－22m ＋22＝0,解得110m =210m =分)2,2220,>∴-<2222,10m -∴=<与题意2<x 0＝2m <m 不合,舍去.④(9分)故由①②③④，满足条件的只有一个值：2210m +=.这时四边形OABC 的面积＝1(1)22m +⨯＝165+.(10分)(2)解法二：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点O (0，0)，C (m ，0) ∴c ＝0，b ＝－am ，(3分)∴抛物线为y ＝ax 2－amx ，顶点坐标P 为(m 2 ，－14 am 2). (4分)∵m ＞1，∴m 2 ＞0，且m2≠m ，∴P 不在边OA 上且不与C 重合. (5分)∵P 在双曲线y ＝115x 上，∴m 2 ×(－ 14 am 2)＝115 即a ＝－ 885m 3 ..①当1＜m ≤2时，12 ＜m2≤1，如图2,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，此时点P 在线段AB 上，且纵坐标为2， ∴－14 am 2＝2，即a ＝－8m 2 .而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3＝－8m 2 ，m ＝115＞2，而1＜m ≤2，不合题意，舍去.(6分)11 ②当m ≥2时，m 2＞1，如图3,分别过B ，P 作x 轴的垂线，M ，N 为垂足，ON ＞OM ， 此时点P 在线段CB 上，易证Rt △BMC ∽Rt △PNC ，∴BM ∶PN ＝MC ∶NC ，即: 2∶PN ＝(m －1)∶m 2 ，∴PN ＝m m －1(7分) 而P 的纵坐标为－ 14 am 2，∴m m －1 ＝－ 14 am 2，即a ＝4m(1－m)而a ＝－885m 3 ，∴－ 885m 3 ＝4m(1－m)化简得：5m 2－22m ＋22＝0.解得：m ＝ 11±11 5，(8分) 但m ≥2，所以m ＝11－115 舍去，(9分)取m ＝ 11＋115 .由以上,这时四边形OABC 的面积为：12(AB ＋OC ) ×OA ＝12 (1＋m ) ×2＝16＋115 . (10分)12 由A 、B 两点可知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线的方程式为y=a(x-1)^2+b ，代入B 、C 坐标可解得a=-1,b=9,抛物线解析式为y=-(x-1)^2+9=-x^2+2x+8,顶点D 的坐标为（1，9）由C 、D 坐标可求出直线CD 的解析式为x-y+8=0，线段OB 的垂直平分线为x=2,设存在P(2,m)令P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离，那么有√(4+m^2)=|2-m+8|/√2，m^2+20m-92=0,解得m=-10±8√3形如y=a(x+b)^2+c 的抛物线沿其对称轴平移时,a 与b 均不变，只有c 变可得到F(4,12),抛物线最多可向下平移到与直线CD:y=x+8相切为止，此时两者只有一个交点，联立y=-(x-1)^2+b 与y=x+8消去y ,得到x^2-x+9-b=0只有一个根，求出b=9-1/4=35/4，向下最多平移四分之一个单位长度向上平移最多可至抛物线过E 点，即(-8,0)在y=-(x-1)^2+b 上，解得b=81，向上最多可平移(81-9=)72个单位长度27．（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-，把(08)C ，代入得1a =-．228y x x ∴=-++2(1)9x =--+， 顶点(19)D ， ··········································································································· （2分） （2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，，由(08)(19)C D ，，，求得直线C D 的解析式为8y x =+，它与x 轴的夹角为45 ，设O B 的中垂线交C D 于H ，则(210)H ，． 则10PH t =-，点P 到C D的距离为2d PH t ==-．又PO == ··············································································· （4分）t ∴=-．平方并整理得：220920t t +-=10t =-±∴存在满足条件的点P ，P的坐标为(210-±，． ········································· （6分） （3）由上求得(80)(412)E F -，，，．①若抛物线向上平移，可设解析式为228y x x =-+++13 当8x =-时，72y m =-+．当4x =时，y m =．720m ∴-+≤或12m ≤．072m ∴<≤． ······················ （8分）②若抛物线向下移，可设解析式为228(0)y x x m m =-++->．由2288y x x m y x ⎧=-++-⎨=+⎩，有20x x m -+=．140m ∴=-≥△，104m ∴<≤．∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移14个单位长．····························（10分）6、解：（1）（-4,-2） ……（2分） （-m ,－k'm ）或 （－m , km - ） ……（只要写出一种表示方法就得2分）（2）① 由勾股定理OA=OB=∴OA=OB同理可得OP=OQ ，所以四边形APBQ 一定是平行四边形. ……（2分） ②四边形APBQ 可能是矩形 ……（1分） m,n 应满足的条件是mn=k ……（1分） 四边形APBQ 不可能是正方形 ……（1分） 理由：点A,P 不可能达到坐标轴,即∠POA ≠900. ……（1分）25.⑴213222y x x =-++；⑵43k =；⑶M （3，2），N （1，3）。
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R ，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动．设 BQ = x ， QR = y ．
（1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； （2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点 P ，使 △PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值； 若不存在，请说明理由．
8. (2008 浙江义乌 )如图 1 所示， 直角梯形 OABC 的顶点 A、 C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半 轴上.过点 B、 C 作直线 l ． 将直线 l 平移， 平移后的直线 l 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E． （1）将直线 l 向右平移，设平移距离 CD 为 t (t ≥ 0)，直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积 （图中阴影部份）为 s ， s 关于 t 的函数图象如图 2 所示， OM 为线段，MN 为抛物 线的一部分，NQ 为射线， N 点横坐标为 4． ①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积； ②当 2 < t < 4 时，求 S 关于 t 的函数解析式； （ 2）在第（ 1）题的条件下，当直线 l 向左或向右平移时（包括 l 与直线 BC 重合），在 直线 . . AB . . 上是否存在点 P，使 ∆PDE 为等腰直角三角形? 若存在，请直接写出所有满 足条件的点 P 的坐标 ;若不存在，请说明理由．
A M O P B P 图 3 C B
图
A N M O
A N
M
O
N
D
2
C B
图 1
C
5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=
k (k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在 x
；若 ；
第一象限.试解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为 点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为
A x B Q O
图2
6. （2008浙江金华） 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点 A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP 绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式； （2）当点P运动到点（ 3 ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点
b 4ac − b 2 , 4a ⎝ 2a
⎛
⎞ ⎟ ⎟） ⎠
. 2. （ 08 浙江衢州）已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所
示，四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(10，0)，B(8， 2 3 )，C(0， 2 3 )，点 T 在线段 OA 上(不与线段端点重合 )， 将纸片折叠， 使点 A 落在射线 AB 上(记为点 A′)，折痕经过点 T，折痕 TP 与射线 AB 交于点 P，设点 T 的横坐标为 t，折叠 后纸片重叠部分(图中的阴影部分 )的面积为 S； (1)求∠OAB 的度数，并求当点 A′在线段 AB 上时，S 关于 t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求 t 的取值范围； (3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时 t 的值；若不存在，请 说明理由.
2008-2009 年中考数学压轴题精选
1.（2008 年四川省宜宾市） 已知: 如图,抛物线 y=-x 2+bx+c 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A（-1，0）、 B（0，3）两点，其 顶点为 D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线 y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 ⎜ ⎜−
（2）将原题中正方形改为矩形（如图 4—6），且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a ≠ b，
k > 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说 明理由．
（3）在第(2)题图 5 中，连结 DG 、 BE ，且 a=3，b=2， k=
1 ，求 BE 2 + DG 2 的值． 2
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=
k (k>0)于P，Q两点，点P在第一 x
象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形； ②设点A.P的横坐标分别为m，n，
四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能， 直接写出mn应满足的条件； 若不可能，ຫໍສະໝຸດ 说明理由.y P A O B
图1
A R D B P E C
H Q
4.（08 山东省日照市）在△ABC 中，∠A＝90° ，AB＝4，AC＝ 3，M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合），过 M 点作 MN∥ BC 交 AC 于点 N．以 MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接 矩形 AMPN．令 AM＝x． （1）用含 x 的代数式表示△ＭNP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？ （3）在动点 M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
y B C O T A x T A x y B
C O
3. （ 08 浙江温州）如图，在 Rt△ ABC 中， ∠A = 90� ， AB = 6 ， AC = 8 ， D，E 分别是
边 AB，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ ⊥ BC 于 Q ，过点 Q 作 QR ∥ BA 交 AC 于
P，使ΔOPD的面积等于 请说明理由.
3 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在， 4
7.(2008 浙江义乌 )如图 1，四边形 ABCD 是正方形， G 是 CD 边上的一个动点 (点 G 与 C、 D 不重合 )，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG ，连结 BG，DE ．我们探究下列 图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度 α ， 得到如图 2、如图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否 仍然成立,并选取图 2 证明你的判断．