整数整除的概念和性质
整除法则的原理及应用
整除法则的原理及应用1. 原理介绍整除法则是数学中的一个重要概念，用于判断一个数能否整除另一个数，或者得到余数。
以下是整除法则的原理：1.余数概念：对于两个整数a和b，如果存在一个整数q使得a=q*b+r，其中r是小于b的非负整数，则称b能够整除a，a被b整除，q是商，r是余数。
2.整除符号：如果b能够整除a，则可以表示为b|a。
3.整除性质：–如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c；–如果a能够整除b，且b能够整除a，则a等于b或者a等于-b；–如果a能够整除b，且a能够整除c，则a能够整除b+c和b-c；–如果a能够整除b和c，则a能够整除b+c和b-c。
2. 应用案例整除法则在数学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：2.1 判断能否整除整除法则可以用于判断一个数能否整除另一个数。
通过计算余数，我们可以判断两个数之间是否存在整除关系。
例如，我们可以使用整除法则来判断一个数是否是偶数或者奇数，因为偶数能够被2整除，而奇数不能。
2.2 素数判断素数是只能被1和自身整除的正整数。
整除法则可以用于判断一个数是否是素数。
如果一个数只能被1和自身整除，那么它一定是素数。
通过这个原理，我们可以编写一个程序来判断一个数是否是素数。
2.3 最大公约数和最小公倍数计算整除法则可以用于计算两个数的最大公约数和最小公倍数。
最大公约数是能够整除两个数的最大正整数，最小公倍数是能够被两个数整除的最小正整数。
通过应用整除法则，我们可以快速计算出最大公约数和最小公倍数。
2.4 分解质因数整除法则是分解质因数的基础原理之一。
分解质因数是将一个数表示为几个质数的乘积的过程。
通过多次使用整除法则，我们可以将一个数逐步分解为一组质因数的乘积。
2.5 约分和化简分数在分数运算中，整除法则可以用于约分和化简分数。
通过将分子和分母同时除以它们的最大公约数，我们可以将一个分数化简为最简形式。
这可以简化分数的计算和比较。
七年级整除知识点
七年级整除知识点整除是小学数学中的一个基础概念，也是七年级数学学习中的一项重要知识点。
下面将通过几个方面来介绍七年级整除知识点。
一、整数的概念和分类整数是由零和自然数组成的数集。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零既不是正整数也不是负整数，但它是整数的一部分。
二、整除的定义对于两个正整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=bc，则称a能被b整除，b能除尽a，也可以说b是a的因数，a是b的倍数。
记作：b|a，读做“b整除a”。
三、判断整除的方法1. 用因数分解法来判断整除，即将被除数分解成若干个质因数的乘积，如果除数也能分解成一样的质因数，那么它就能整除被除数。
例如：90能否被3整除？90=2×3×3×5，3=3×1，因此3整除90。
2. 直接带入法。
如果除数b乘上某个数k等于被除数a，即a=kb，那么b就能整除a，k是除数b除以被除数a得出的商。
例如：24能否被3整除？24÷3=8，因为商8是整数，所以3整除24。
四、整除的性质1. 若a整除b，b整除c，则a整除c。
（除法传递律）2. 若a整除b，b整除a，则a=b或a=-b。
（除法反演、约数定义）五、最大公约数和最小公倍数1. 最大公约数两个数a和b的公约数是同时能够整除它们的数，最大公约数是指所有公约数中最大的那个数。
例如：20和30的公约数有1、2、5、10，其中最大的是10，因此20和30的最大公约数是10。
2. 最小公倍数两个数a和b的公倍数是它们的倍数，最小公倍数是指所有公倍数中最小的那个数。
例如：6和8的公倍数有24、48、72，其中最小的是24，因此6和8的最小公倍数是24。
在日常生活中，我们可以使用最大公约数和最小公倍数的知识来解决一些实际问题，例如求两个数的比例、化简分数等。
六、练习题1. 36能否被2整除？4能否被2整除？2. 求24和32的最大公约数和最小公倍数。
整除的概念函数
整除的概念函数整除是指一个数能被另一个数整除，即在除法运算中，被除数能够被除数整除并得到一个整数的运算关系。
这个概念在数学中具有重要的意义，应用广泛。
首先，我们来介绍一下整除的定义。
对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b ×c，那么我们就说a能够被b整除，也可以说b能够整除a。
在这个定义中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
整除可以看作是倍数关系的一种特殊形式，即a是b的倍数。
整除运算具有以下几个重要的性质：1. 传递性：如果a能够被b整除，而b能够被c整除，那么a一定能够被c整除。
这是因为根据整除的定义，存在整数m和n使得a = b ×m，b = c ×n，所以a = c ×(m ×n)，即a能够被c整除。
2. 相等关系：自然数中，除以自身的结果总是1。
即对于任何自然数n，n整除n的结果是1。
3. 0与任何整数的整除关系：对于任何整数n，0能够整除n，即0 ×n = 0。
这是因为任何数乘以0都等于0。
4. 整除与除法的关系：如果a能够被b整除，那么a除以b的结果一定是整数。
这是因为存在整数c使得a = b ×c，所以a÷b = c，是一个整数。
5. 整除与取模运算的关系：对于任意正整数a和正整数b，a除以b的余数等于a减去a能够被b整除的最大整数倍数后的剩余部分。
这可以用取模运算的形式表示为a mod b = a - b ×(a÷b)。
如果a能够被b整除，那么a mod b = 0。
整除除了有这些基本的性质外，还有其他一些重要的应用：1. 素数与除数：素数是只能被1和本身整除的正整数。
要判断一个数是不是素数，只需要将其除以小于等于其平方根的素数进行整除运算，如果能够整除，则不是素数。
这是因为如果一个数不是素数，那么它一定可以被某个素数整除。
2. 因数分解：因数分解是将一个数表示成若干个素数的乘积的过程。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
数的整除性质
数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。
在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。
一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。
这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。
例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。
2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。
例如，5能够整除5。
3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。
例如，1能够整除8。
4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。
例如，任何数都能够整除0。
5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。
例如，任何数都能够被1整除。
6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。
例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。
7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。
例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。
三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。
最大公因数可以通过求解数的因数来得到。
例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。
最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。
2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。
3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。
四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。
质数和整除有着密切的关系。
1. 质数只能被1和自身整除。
2. 任何一个数都可以被质数整除。
整除的性13质
整除定义：整除就是若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．注意a or b作除数的其一为0则不叫整除整除的性质：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a 能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；(3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．整除与除尽的区别与联系整除与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除有下列基本性质：①若a|b，a|c，则a|b±c。
（b>c）②若a|b，则对任意c（0除外），a|bc。
③对任意a，±1|a，±a|a。
④若a|b，b|a，则|a|=|b|。
对任意整数a，b，b>0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≢r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。
若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。
当d≣0时，d是a，b公因数中最大者。
若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。
累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。
又称欧几里得算法。
整除的规律：整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中的一个重要概念，它描述了一个数能否被另一个数整除。
在这篇文章中，我们将讨论整数除法的基本原理，并探讨一些与整除性质相关的重要概念和性质。
1. 整数除法的基本原理整数除法是指将一个整数（被除数）除以另一个整数（除数），得到的商也是整数的运算过程。
在整数除法中，如果被除数能够被除数整除，那么我们说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
例如，当10除以2时，10能够被2整除，所以2是10的因数，10是2的倍数。
2. 整除与余数在整数除法中，有两个重要的概念，即整除和余数。
当一个整数能够被另一个整数整除时，我们称它们之间存在整除关系。
例如，12能够被3整除，所以3整除12。
而当一个整数不能被另一个整数整除时，我们说它们之间不存在整除关系。
例如，13不能被5整除，所以5不能整除13。
除了整除关系，整数除法还有一个关联的概念，即余数。
余数是指在整数除法中，被除数除以除数后所得到的剩余数。
例如，当17除以5时，17除以5的商是3余2，即17 = 3 * 5 + 2。
3. 整除性质与判定在实际问题中，我们常常需要判定一个数是否能被另一个数整除。
为了方便判定，我们可以利用一些整除性质。
以下是几个常见的整除性质：3.1. 偶数的整除性：如果一个整数的个位数字是0、2、4、6、8中的任意一个，那么它一定能被2整除。
3.2. 5的整除性：如果一个整数的个位数字是0或者5，那么它一定能被5整除。
3.3. 10的整除性：如果一个整数以0结尾，那么它一定能被10整除。
3.4. 除法性质：如果一个整数能被另一个整数整除，那么它也能被这个整数的约数整除。
例如，如果一个整数能被6整除，那么它一定也能被2和3整除。
4. 应用举例下面是一些应用整除性质的例子：4.1. 判断一个数能否被2整除：只需要判断该数的个位数字是否是0、2、4、6、8中的一个。
4.2. 判断一个数能否被3整除：只需要将该数的所有位上的数字相加，然后判断和是否能被3整除。
人教版高中数学选修4-6《整除的概念》
a
i 1
m
i
b j 中，除某一项外，其
j 1
n
余各项都能被c整除，则这一项也能被c整除。
常用结论：
（1）设p为素数 ，若p ∣ b a ，则p ∣a 或 p ∣b . （2） p|a 或 (p，a)=1 .
（3）素数判定法则：
p a pa
2
设n是一个正整数，如果对所有的素数p≤ 都有p n，则n一定是素数.
2
例4 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合 得a b-1 不是完全平方数。
2,5,13.d 中可以找到两个数a ，b ，使
二、整除
• 1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式： a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记b∣a； 如果这样的q不存在，则称b不能整除a，记为b a。
a1 , a2 , 例2 设n 为奇数， ，n 的任意一个排列， 证明 (a 1)(a 2) (a n)
1 2 n
, an
是1,2，
必是偶数。
例3 将正方形ABCD分割成 n 个相等 的小方格（n 是正整数），把相对的顶 点A,C染成红色，B,D染成蓝色，其他 交点任意染成红蓝两色中的一种颜色， 证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的 数目必是偶数。
ab b
a (b1)
2
a ( b 2)
... 2 1)
a
当n为素数时, 22 – 1=3, 23 – 1＝7, 24 – 1＝31, 27 – 1=127 都是素数, 而 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 是合数．
设P为素数, 称如 2p–1的数为梅森(Matin Merdenne)数.
2、整除的性质
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学力训练
1．若五位数12a34是3的倍数，那么a是 2．如果从5，6，7，8，9这5个数中，选出4 个组成一个四位数，使它能被3，5，7整除， 那么这些数中最大的是 ． 3．已知七位数13ab456能被1 9 8整除，那么 a= ，b= ． 4．在1，2，3，…，2 0 0 0这2 0 0 0个自然 数中，有 个自然数能同时被2和3整除，而 且不能被5整除．
综合创新
24．重排任一个三位数三个位上的数字，得到 一个最大的数和一个最小的数，它们的差构 成另一个三位数(允许百位数字为0)，再重复 以上的过程，问重复2003次后所得的数是多 少?证明你的结论． (2 0 0 4年武汉市选拔赛试题)
能力拓展
18．1997 2000被7除的余数是( C) A．1 B．2 C．4 D．6 19．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r 都是正值，则r的最大值与最小值的和是( )． A A．148 B．247 C．93 D．122 20．某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券 上印有一个四位数的号码，从0001到9999，如果号 码的前两位数字之和等于后两位数字的和，则称这 张购物券为“幸运券”，试证明：这个商场所发的 购物券中，所有幸运券的号码之和能被1 0 1整除．
知识纵横
整除有以下基本性质： 1．若a|b，a|c，则a|(b±c)； 2．若a|b，b|c，则a|c； 3．若a|bc，且(a，c)=1，则a|b，特 别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c； 4．若b|a，c|a，且(b，c)=1，则 bc|a
解整除有关问题常用到数的整除性常见特征： 1．被2整除的数：个位数字是偶数； 2．被5整除的数：个位数字是0或5； 3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除； 被2 5整除的数，末两位组成的被2 5整除； 4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除； 被125整除的数，末三位组成的被125整除； 5．被3整除的数：数字和被3整除； 6．被9整除的数：数字和被9整除； 7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数 字和的差被11整除．
例题求解
【例3】 已知7位数1287xy6是7 2的倍数， 求出所有的符合条件的7位数． (第1 5届江苏省竞赛题) 思路点拨 7位数1287xy6能被8，9整除，运 用整数能被8、9整除的性质求出x，y的值．
例题求解
【例4】 (1)若a、b、c、d是互不相等的整 数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)9=0,求证：4|(a+b+c+d)． (2)已知两个三位数abc与def的和abc+def 能被37整除，证明：六位数也能被3 7整除 思路点拨 (1)x-a，x-b,x-c，x-d是互不相等 的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9 分解为4个互不相等的因数的积； (2)因已知条件的数是三位数，故应设法把 六位数abcdef用三位数的形式表示,以沟通 已知与求证结论的联系．
例题求解
【例2】
有三个正整数a、b、c，其中a 与b互质且b与c也互质，给出下面四个 判断：①(a+c)2不能被b整除；②a2+c2 不能被b整除；③(a+b)2不能被c整除； ④a2+b2不能被c整除，其中不正确的判 断有( A )． ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 (“希望杯”邀请赛试题)
例题求解
【例5】 (1)一个自然数N被1 0除余9，被9除余 8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除 余4，被3除余2，被2除余1，则N的最小值 是 2519 ． (北京市竞赛题) (2)若1 0 5 9、1 4 1 7、2 3 1 2分别被自然数 x除时，所得的余数都是y，则x—y的值等于 ( A )．(“五羊杯”竞赛题) A．1 5 B. 1 C．1 6 4 D．1 7 4 (3)设N=11…1，（共1 9 9 0个 ）试问N被7 除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)
能力拓展
21．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8， 9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个 能被11整除的最大的九位数。请你写出这九 张卡片的排列顺序，并简述推理过程。 22．将糖果300粒、饼干210块和苹果163个平 均分给某班同学，余下的糖果、饼干和苹果 的数量之比是1：3：2．问该班有多少名同学? 23．已知质数p、q使得表达式(2p+1)/q及(2q3)/p都是自然数，试确定p2q的值。
能力拓展
16.今有自然数带余除法算式：A÷B=C…8， 如果A+B+C=2178，那么A= ( A )． A．2000 B．2001 C．2071 D．2100 17.有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关 控制着，现按其顺序编号为1,2…1997，然后 将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为 3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍 数的灯线拉一下，3次拉完后亮着的灯数为 ( C )． A．1464盏 B．533盏 C．999盏 D．998盏
根据已知条件来确定自然数，是数学活动 中常见的一类问题，解这类问题时往往用 到下列知识方法： (1)运用整除性 (2)确定首位数 (3)利用末位数 (4)代数化 (5)不等式估算 (6)分类讨论求解等
例题求解
【例1】 一个自然数与1 3的和是5的倍数， 与1 3的差是6的倍数，则满足条件的最小自 然数是 37 。 (重庆市竞赛题)
能力拓展
12．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的 倍数，那么abcde的最小值是 ． 个三位自然数，当它分别被2，3，4，5， 7除时，余数都是1，那么具有这个性质的最 小三位数是 ；最大三位数 是 ． 14．今天是星期日，从今天算起，第1 1 1…1 （2000个1）天是星期 ． 15．用自然数n去除63、91、130，所得到的3 个余数的和为26，则n= .
学力训练
9．(1)证明：形如abcabc的六位数一定能被7， 11，1 3整除． (2)若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除? 请说明理由． 10．已知7位自然数62xy427是9 9的倍数，求 代数式950x+24y+1的值． 11．已知a，b是整数，求证：a+b，ab,a-b这 三个数之中，至少有一个是3的倍数．
整数整除的概 念和性质
我能成为一个科学家，最主 要的是：对科学的爱好；思索 问题的无限耐心；在观察和收 集事实上的勤勉；一种创造力 和丰富的常识。 ——达尔文
知识纵横
对于整数a和不为零的整数b，总存在
整数m，n使得a=bm+n(０≤n<b)，其 中m称为商，n称为余数，特别地， 当n=0时，即a=bm,便称a被b整除(也 称a是b的倍数或b是a的约数)，记为 b|a．
学力训练
5．能整除任意3个连续整数之和的最大整数 是( ). A．1 B．2 C．3 D.6 6．除以8和9都是余1的所有三位数的和是( ) A．6 4 9 2 B．6 5 6 5 C．7 5 0 1 D.7514 (第1 7届江苏省竞赛题)
学力训练
7．若2 0 0 2 2 0 0 2…2 0 0 2 1 5 (n个2 0 0 2) 被1 5整除，则n的最小值等于( )． A．2 B．3 C．4 D．5 (2 0 0 2年北京市竞赛题) 8．有棋子若干，三个三个地数余1，五个五个 地数余3，七个七个地数余5。则棋子至少有 ( )． A．2 0 8个 B．1 1 0个 C．1 0 3个 D．1 0 0个