质点动力学

∫
∫
3
0
F ⋅ dt = ∫ ( 3 + 4t )dt = mv
0 2 3 0
3
( 3t + 2t ) = 10v
v = 2 .7
(2) 由动能定理得：
3 3 0
1 F ⋅ dx = ∫ ( 3 + 4 x )dx = mv 2 0 2 2 3 ( 3 x + 2 x ) = 5v 2
0
v = 2 .3
( SI )
例2：
系统置于以a=0.25g的加速度上升的升降机内，A、B 两物体质量均为m，绳子和滑轮质量不计，所有摩擦力和空 气阻力忽略不计，求绳中的张力。 解：设竖直方向上向下为正方 向，水平方向上向右为正方向。 B物体：a ′′ = A物体： T
A
a
a′ − a m (a ′ − a ) = mg − T
−
∂E p ∂x ∂E p ∂y
∂E p ∂z
= Fx = Fy
= Fz
1、势能的值与参考点的选取有关。 2、势能为系统共有。 3、保守力做功与势能减少不能重 复计算。 4、非保守力不引入势能概念。
例6：
质量为m的物体在保守力场中，沿X轴运动，其势能为
1 2 （k，a均为常量），求物体加速度的大小。 E p = kx + ax 4 2
例5：
质量为m的小艇在靠岸时关闭发动机，此刻的船速为 v0 ，设水对小艇的阻力大小F=kv（k为比例系数）。小艇在 关闭发动机后还能行驶多远的距离？
∫
t
0
Fdt = mv 0
kx = mv 0 x = mv 0 / k
dx ∫0 k dt dt = mv 0
t
∫
x
0
kdx = mv 0
练习1：
质量为m的子弹以速度 v 0 水平射入沙土中，设子弹所 受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 k ，忽 略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度。
dv dp ∑ F = ma = m dt = dt
F12 = − F21
∫
t2
t1
Fdt = p2 − p1
3. Newton’s third law of motion:
conservation of momentum:
F = 0, p = const
例1：
质量为0.25 kg的质点，受力 F = ti (SI)的作用，式中t 为时 间。t = 0时该质点以 v = 2 j (SI)的速度通过坐标原点，求该质 点任意时刻的位置矢量。
= x A xB + y A yB + z A zB
功：
(work)
F
F m S
θ
m
W＝ F ⋅ r ⋅ cos θ = F ⋅ r
功： (work)
dW = F ⋅ dr ⋅ cos θ = F ⋅ dr
rb
a
Z
dr
b θ
F
功： W = ∫ dW = ∫ F ⋅ dr r
a O X
dW F ⋅ dr 功率：P = = F ⋅v = dt dt dv dr = ds F cos θ = maτ = m dt dv dW = m ds = mvdv43; dx x
0
F m f =F− ( L − x) M+m L
质点系的动量定理： 质点系
∫ (F + F
0 1
t
12
)dt = Pt 1 − P01
F2
F12
∫ (F
0 t 0
t
F1
F21
m2
2
+ F21 )dt = Pt 2 − P02
2
m1
∫ (F + F
1
+ F12 + F21 )dt = ( Pt 1 + Pt 2 ) − ( P01 + P02 )
F =−
dE p dx
= − kx − 4ax
3
F k 4a 3 a= x =− x− m m m
机械能守恒定律：(conservation of mechanical energy
W +W
ex
in 保守
in
= Ek − Ek 0
质点系
W
= −( E p − E p 0 )
ex in in
F2
F12
v2
Y
动能定理（质点）： W = ∫v1 (Work-energy theorem)
1 1 2 2 mvdv = mv 2 − mv 1 2 2
例4：
一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t＝0时物体 静止于原点，(1)若物体在力F＝(3＋4t) (N)的作用下运动了3 s，它的速度增为多大？(2)物体在力F＝(3＋4x) (N)的作用下 移动了3 m，它的速度增为多大？ 解 (1) 由动量定理得：
m1
保守力的功：
dW = F ⋅ dr Mm = − G 2 e r ⋅ dr r Mm = −G 2 dr cos θ r Mm = −G 2 dr r
rb
b
rb
dr dr
F
r
m
θ
ra 1 W = −GMm ∫ 2 dr a ra r 1 1 = −GMm[( − ) − ( − )] 保守力作功等于势能的减少 rb ra 保守力作正功势能减少 1 W = −GMm ∫ 2 dr = 0 r 保守力作负功势能增加
dv 解： F = ti = m dt t v ∫ tdti = m ∫ dv
0 2j
1 2 v= t i +2j 2m
dr = 2t i + 2 j = dt
2
1 2 t i = m (v − 2 j ) 2
∫
t 0
(2t i + 2 j )dt = ∫ dr
2 0
r
2 3 r = t i + 2tj 3
∫ Fdt = ∆P
0
t
矢量标积：(scalar product of vectors) 标积
B A
j
i k
i ⋅i =1
j ⋅i = 0
k ⋅i = 0
i⋅ j =0 j⋅ j =1
k⋅ j =0
i ⋅k = 0
j ⋅k = 0
k ⋅k =1
θ
A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cos θ
A⋅ B = ( x Ai + y A j + z Ak ) ⋅ ( xB i + yB j + zB k )
第二章
质点动力学
PARTICLE DYNAMICS
牛顿定律和动量守恒定理：
1. Newton’s first law of motion: (law of inertial)
F =0
v = const
Theorem of impulse
2. Newton’s second law of motion:
∆Ek = ∫ Fex ⋅ dr
动能定理： （系统）
∆Ek = Wex + Win保 + Win非
− ∆E p = ∫ F保 ⋅ dr
机械能守恒定律： （系统）
动量守恒定律： （质点或系统）
Fex = 0,
p = const
Wex + Win非 = 0,
E = cons
M
势能： (potential energe)
弹簧的弹力： 重力： 引力：
f = − kx
E p = ∫ − kxdx
x 0
1 2 = kx 2
Ep
GmM G = − mg F =− er 2 r ∞ 1 0 E p = ∫ − mgdy E p = −GmM ∫ 2 d r r y GmM = mgy =− r
Ep 0 E p = mgy
Ep
1 2 E p = kx 2 0
x
r
Mm E p = −G r
0
y
势能与保守力的关系：
− dE p = F ⋅ dr = Fx dx + F y dy + Fz dz F = Fx i + F y j + Fz k dr = dxi + dyj + dzk
注意：
− −
W + W − W保守
F1
F21
m2
m1
= ( Ek + E p ) − ( Ek 0 + E p 0 )
W +W
ex
ex
in 非保守
= E − E0
质点系功能原理
W + W非保守 = 0
in
E = const 机械能守恒定律
本章提要： 动能定理： （质点）
动量定理： （质点或系统）
∆p = ∫ Fex ⋅ dt
= ma ′ g+a 5 a′ = T = mg 2 8
B a′
a ′′
例3：
质量为m、长为L的柔软细绳，一端系着放在光滑水平桌 面上质量为M的物体，在绳的另一端加一个水平拉力F，设绳 的质量均匀分布，且长度不变。求绳上任意点的张力。
a = F /( M + m )
M
F m dx df = adm = M +m L F m L ∫ f df = M + m L ∫x dx F m F− f = ( L − x) M+m L
质点系的动能定理：
t 0
∫
( F1 + F12 ) ⋅ dr1 + ∫ ( F2 + F21 ) ⋅ dr2