大学物理第2章质点动力学基本定律
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
大学物理(第三版)北京邮电大学 教学PPT 第2章-质点动力学
am a' a M
建立如图坐标，则am在X、Y轴上的分量分别为
amX aM a cos
/
amY a' sin
9
m,Ｍ的受力图如下所示
Mg
由牛顿定律的坐标 分量式方程可得 N si n m a M a / cos N si n MaM / N cos mg ma si n R Mg N cos 0
例5图（b）
35
21
二、质点系的动量定理 1、内力与外力
i质点所受的内力
Fi外
f ji
j 1
n 1
f ji
f ij
j
i
i质点所受合力
n 1 Fi外 f ji j 1
2、i质点动量定理
t2
t1
t 2 n 1 Fi外 dt ( f ji )dt mi v i 2 mi v i 1
惯性参考系
一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。 1、惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物 质固有的属性，质量是惯性的量度。 2、惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动 3、惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。 4、惯性参考系： 孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直 线运动时，该参照系为惯性系。 问题的提出： 惯性定律是否在 任何参照系中都 成立？
m
v0
mg
②
11
将①式两边同乘d，并约去等式两边m可得
dv d g si nd d ( )dv dt dt
又
所以
d ， v l， dt g si nd ld
第2章质点和质点系动力学
☆
静止在车厢中的小球受到绳的拉力和重力的作用，
这两个力的合力不为零，小球与车厢一起以加速度运动，
符合牛顿第二定律。
在车厢参考系看来， 相对车厢小球静止，而受到的合力不为零， 这是由于车厢不是惯性系，因此牛顿第二定律不适用。
引入惯性力 (ma0 ) ，
T
拉力、重力、惯性力
这三个力的合力为零，
ma0
m
a0
引入惯性力后
牛顿第二定律
W
适用于车厢
这个非惯性系
等效原理 （阅读）
☆
《大学基础物理学》清华大学出版社（2003）－56页
N
m
N
mg
a
/
m
mg
2.参考系之间加速转动
☆
相对惯性系转动的参考系也不是惯性系。
要在转动参考系中应用牛顿第二定律也要引进惯性力，
但其中的惯性力与加速平动参考系中的惯性力不同。
fd kv
三 惯性力
☆
1.参考系之间加速平动
a K K 系为惯性系，K / 系相对 系作加速平动，加速度为 0
m 若质量为 的质点，在力 F
K a 相对于 系的加速度为 ，相对
的作用下，
K /系的加速度为
a
/
/
a a a0
对于 K 系F，由 于m设a 为惯m性(a系/，牛a顿0 )第二定律是成立
f
R —地球半径
—地球自转的角速度
—物体所在处的纬度
力学第2次课结束
例1
☆
在皮带运输机中， 设砖块与皮带之间的，
静摩擦系数为 s ，
砖块的质量为 m ，
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
大学物理第二章习题质点力学的基本规律 守恒定律
基本要求
掌握经典力学的基本原理及会应用其分析和处理质点动力学问题，理 解力学量的单位和量纲。掌握动量、冲量、动量定理，动量守恒定律。并 能分析和计算二维平面简单力学问题。理解惯性系概念及经典力学的基本 原理的适用范围。掌握功与功率、动能、势能（重力势能、弹性势能、引 力势能）概念，动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
教学基本内容、基本公式
1.牛顿定律
解牛顿定律的问题可分为两类： 第一类是已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类是已知作用于质点的力，求质点的运动.
2.基本定理 动量定理
动能定理
I
t2 t1
F (t )dt
mv
mv0
A12
2
F
(r)
dr
1
1 2
mv
2 2
1 2
解：根据牛顿第二定律
f
k x2
m dv dt
m dv d x dx dt
mv
dv dx
k x2
mv
dv dx
v
dv
k
dx mx2
v
v
0
dv
A/4
A
k mx2
d
x
1v2 k (4 1) 3 k 2 m A A mA
另解：根据动能定理
v 6k /(mA)
(2)写出初末态系统的动量
t 时刻水平方向动量
dm m
t+dt时刻水平方向动量
O
x
(3)求出系统水平方向动量的增量
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
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变力问题:
t
v
(1) F(t)dt mdv
0
v0
t
v
(2) dt m
dv
0
v0 F (v)
dv dx
dv x
v
(3)F(x) m mv dt dx dx
F(x)dx mvdv
x0
v0
(4)F( ) m dv d m v dv dt d R d
v
F( )Rd mvdv
质点动力学
1 牛顿运动定律 2 动量定理和动量守恒定律 3 角动量定理和角动量守恒定律 4 功和能
1
§ 牛顿运动定律
一．牛顿运动定律
1 ．第一定律（惯性定律） 任何物体只要没有外力的作用， 或合外力为零， 都保持静止或匀速直线运动的状态。
第一定律包含两个概念： 力：使物体改变其运动状态的原因 惯性—任何物体都具有保持其运动状态不变的 性质。
dt dsdt Rd
vdv Rg cos α dα
12
v
0 vdv 0 Rg cos d A
v 2Rg sin
FN
mg sin
m
2Rg sin R
3mg sin
en
FN
et
mg
13
例 一根长为L，质量为M的柔软的链条，开始时链条
静止，长为L－l 的一段放在光滑的桌面上,长为 l 的
非惯性系中如何研究运动的动力学规律呢？
引入惯性力
17
1.加速惯平性动系参S考：系SF’ (相m对a惯性①系S有加速度a0)
相对运动关系：
a
a
a
0
代入①并移项
F
(ma
)
ma
假定:
F ma
I
0
则在非惯性系S中有: F F
0
牛顿定
ma律 成立
I
F I 惯性力（平动） ！
18
注意: 惯性力： 非惯性系中虚拟的假想力 作用：使非惯性系中可用牛顿第二定律
0
v0
10
例 已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动,质点只受到 指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比,即 f = -k/x2, k 是比例常数,设质点在 x = A 时的速度为零,求 x = A / 2 处的速度大小。
解 根据牛顿第二定律:
f k x2
m dv dt
dt
L
L
l
dx
t
x2 l2 0
g
dt L
tL
L ln L g
L2 l 2 l
15
四．非惯性系 惯性力
乙 mF
a
甲
l0
观察者甲： 小球m: 有F和a，即F=ma
牛顿定律在该参照系中适用——惯性系
观察者乙: 小球m:有F无a ，即F≠ma
牛顿定律在该参照系中不适用——非惯性系
16
(1) 判断某参考系是否是惯性系的依据是 实验。 (2) 相对惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯 性系。
t
t0
Fi外 Fi内 dt mivi
由于：
t
受到接触面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方 向相反。
最大静摩擦力： Fmax FN
（2）滑动摩擦力
为静摩擦因数
Ff FN 为滑动摩擦因数
8
三．牛顿定律的应用
解题步骤： （1）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。 （2）进行受力分析，画出受力图。 （3）建立坐标系。 （4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。 （5）解方程，进行符号运算，然后代入数据。
m
dv dt
dx dx
mv
dv dx
AA
/
2
kdx x2
0vmvdv
v
2k mA
1/2
11
例 质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为R的
光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆
弧面的作用。
A
解: mg cos m dv
dt
FN
mg sin
m
v2 R
en
FN
et
mg
dv dvds v dv
5
二．力学中常见的几种力
1.万有引力
F21
G
m1m2 r2
er
er 的方向：从施力者指向受力者
r
m2 F21
er
m1
讨论 ✓万有引力公式只适用于两质点 ✓惯性质量和引力质量
6
2. 弹性力 物体在外力作用下因发生形变而产生欲使其恢
复原来形状的力 。
例
F1
F2
张力
T1
T2
7
3. 摩擦力
（1）静摩擦力 当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所
2.匀速转动参考系S’
两种惯性力：
FI m 2r
FIc 2mv
惯性离心力 科里奥利力
19
§ 动量定理与动量守恒定律
一．动量定理
1.冲量（impulse）
力在时间上的积累即冲量。记作：
I
t2
Fdt
t1
2.质点动量定理
由牛顿第二定律
F
dp
dt
t
P
Fdt dp
t0
P0
20
I＝
t Fdt
Fiz maz
自 然 坐 标 系
Ft
mat
mdv dt
Fn
man
m
v2
（ （
3 ．第三定律
m1 · F12
·m2 F21
F12 F21
4
讨论 第一定律 —“力”的概念 注意两个重要概念： 惯性、力 第二定律 — 力的度量(定量描述) 注意力的瞬时性、矢量性和对应性 第三定律 — 力的特性 注意力的成对性、一致性和同时性
一段铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速度； (2)求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。
解: M xg Ma Mv dv
o
L
dx
gxdx Lvdv
x
x
v
l gxdx 0 Lvdv
14
1 g(x2 l2) 1 Lv2
2
2
vL
g (L2 l 2 ) L
dx v g (x2 l2 )
t0
P
P0
mv
mv0
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量—
——质点的动量定理
✓ 动量定理的分量形式
t
I x t0 Fxdt mvx mvx0
t
I y t0 Fydt mvy mvy0
t
I z t0 Fzdt mvz mvz0
21
✓ 平均冲力
F t
F
1
t F dt
t
t0
t0
I p
F t t
t
22
3．质点系的动量定理
设有n个质点构成一个系统
第i个质点：
质量 mi
内力 Fi内 外力Fi外
初速度 vi0
末速度 vi
m1
v1
m2
v2 v4
m4
m3 v3
由质点的动量定理有：
t
t0 Fi外 Fi内 dt mi vi mi vi0
23
对n个质点求和，有：
2
2 ．第二定律
物体的动量对时间的变化率等于物体所受的
合外力
F
d
(mv )
dt
质量不随时 间变化时
F ma
m：质量，它是惯性大小的量度，也称为惯性
质量
合力 F : 产生加速度的原因，改变运动状态的
原因。
3
（ （
牛顿第二定律的分量形式
直 角 坐 标 系
Fix max
Fiy may