数学魔术家
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数学魔术家
1981年的一个夏日，在印度举行了一场心算比赛。
表演者是印度的一位37岁的妇女，她的名字叫沙贡塔娜。
当天，她要以惊人的心算能力，与一台先进的电子计算机展开竞赛。
工作人员写出一个201位的大数，让求这个数的23次方根。
运算结果，沙贡塔娜只用了50秒钟就向观众报出了正确的答案。
而计算机为了得出同样的答数，必须输入两万条指令，再进行计算，花费的时间比沙贡塔娜要多得多。
这一奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家”。
精选。
数学家手抄报资料
数学家⼿抄报资料 导语：早期的数学家或者⾃⾝家庭富⾜，或者依附于对研究有兴趣的富豪权贵，研究数学更多是出于爱好。
⽽在现代逐渐形成了数学家这个职业。
下⾯是著名数学家的⼿抄报资料，欢迎阅读参考！ 篇⼀：数学家⼿抄报资料 1、数学家⾼斯的故事 ⾼斯念⼩学的时候，有⼀次在⽼师教完加法后，因为⽼师想要休息，所以便出了⼀道题⽬要同学们算算看，题⽬是： 1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ? ⽼师⼼⾥正想，这下⼦⼩朋友⼀定要算到下课了吧！正要借⼝出去时，却被⾼斯叫住了！！原来呀，⾼斯已经算出来了，⼩朋友你可知道他是如何算的吗？ ⾼斯告诉⼤家他是如何算出的：把 1加⾄ 100 与 100 加⾄ 1 排成两排相加，也就是说： 1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1 =101+101+101+ ..... +101+101+101+101 共有⼀百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于<5050> 从此以后⾼斯⼩学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为――数学天才！ 2、数学故事：蒲丰试验 ⼀天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家⾥,做了⼀次试验.蒲丰在桌⼦上铺好⼀张⼤⽩纸,⽩纸上画满了等距离的平⾏线,他⼜拿出很多等长的⼩针,⼩针的长度都是平⾏线的⼀半.蒲丰说:“请⼤家把这些⼩针往这张⽩纸上随便仍吧!”客⼈们按他说的做了. 蒲丰的统计结果是：⼤家共掷2212次,其中⼩针与纸上平⾏线相交704次,2210÷704≈3.142.蒲丰说：“这个数是π的近似值.每次都会得到圆周率的近似值,⽽且投掷的次数越多,求出的圆周率近似值越精确.”这就是著名的“蒲丰试验”. 3、数学故事：数学魔术家 1981年的⼀个夏⽇,在印度举⾏了⼀场⼼算⽐赛.表演者是印度的⼀位37岁的妇⼥,她的名字叫沙贡塔娜.当天,她要以惊⼈的⼼算能⼒,与⼀台先进的电⼦计算机展开竞赛. ⼯作⼈员写出⼀个201位的⼤数,让求这个数的23次⽅根.运算结果,沙贡塔娜只⽤了50秒钟就向观众报出了正确的答案.⽽计算机为了得出同样的答数,必须输⼊两万条指令,再进⾏计算,花费的时间⽐沙贡塔娜要多得多. 这⼀奇闻,在国际上引起了轰动,沙贡塔娜被称为“数学魔术家”. 4、数学故事：⼯作到最后⼀天的华罗庚 华罗庚出⽣于江苏省,从⼩喜欢数学,⽽且⾮常聪明.1930年,19岁的华罗庚到清华⼤学读书.华罗庚在清华四年中,在熊庆来教授的指导下,刻苦学习,⼀连发表了⼗⼏篇论⽂,后来⼜被派到英国留学,获得博⼠学位.他对数论有很深的研究,得出了著名的华⽒定理.他特别注意理论联系实际,⾛遍了20多个省、市、⾃治区,动员群众把优选法⽤于农业⽣产. 记者在⼀次采访时问他：“你最⼤的愿望是什么?” 他不加思索地回答：“⼯作到最后⼀天.”他的确为科学⾟劳⼯作的最后⼀天,实现了⾃⼰的诺⾔. 篇⼆：数学家⾼斯的故事 ⾼斯(Gauss 1777~1855)⽣于Brunswick,位于现在德国中北部。
数学万花筒(11) 你了解这些数学大师吗？
数学万花筒(11)你了解这些数学大师吗？1.欧几里德，30岁就成了有名的学者. 他是公理化体系的创始人.主要著作有《几何原本》、《已知数》、《图形的分割》等.2.阿基米德，在敌人破城而入、生命处于危急关头时，仍然沉浸在数学研究之中.他的墓碑上没有文字，只有一个漂亮的几何构图，那是他发现并证明的一条几何定理.3.帕斯卡，16岁成为射影几何的奠基人之一，19岁发明原始计算器.4.牛顿，22岁发现一般的二项式定理，23岁创立微积分学.5.高斯，19岁解决正多边形作图的判定问题，20岁证明代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要的《算术研究》.6.波尔约，23岁提出非欧几何学的基本思想.7.黎曼，被认为是有史以来最大的几位几何学家之一，他在25-28岁期间在数学的三四个领域连续做出了重要的开创性工作.他是非欧几何的代表人物之一.8.伽罗华，创建群论时，只有18岁，死时还不满21岁.9.克莱因，23岁发表“爱尔朗根纲要”，全面推动了几何学的研究.10.哥德尔，25岁发表震惊整个数学界的“不完全性定理”.11.图灵，24岁发表论理想数的论文，提出了通用计算机的基本原理，成为理论计算机之父.12.拉格朗日，18岁就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法.一生硕果累累，著作等身.13.柯西，历史上屈指可数的分析学大师之一. 出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作.14.拉普拉斯，近代数学史上享有盛名的数学家之一，被誉为法国的“牛顿”．18岁即成为数学教授.其五卷巨著《天体力学》给出了太阳系力学问题完善的数学解答，至今仍被奉为经典.他还在行列式理论、位势理论和概率论等方面做出了杰出的贡献．15.纳皮尔，为了让天文学家从繁琐的计算中解脱出来，纳皮尔发明了对数，而为了计算对数表他自己却整整花费了20年的时间.16.大数学家欧拉31岁右眼失明，晚年双目失明，但他仍以坚韧的毅力保持了数学方面的高度创造力，在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表.17.笛卡尔，解析几何的奠基人.通过坐标系，将数和形有机地、完美地结合起来了.18.莱布尼兹，德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.是微积分的重要创始人之一，一生潜心渗透多个数学领域进行研究，硕果累累.19.庞加莱,法国数学家.他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域.是被公认的19世纪后和二十世纪初的领袖数学家.20.刘徽,公元250年左右生人，是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，占有杰出的地位.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产.21.祖冲之，南北朝时期杰出的数学家，科学家.其主要贡献是算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，他写的《缀术》一书，作为唐代国子监算学课本.22.杨辉，中国古代数学家和数学教育家.他署名的数学书共五种二十一卷.其中就包括《详解九章算法》.23.陈省身，美籍华裔数学大师、20世纪最伟大的几何学家之一，1943年发表《闭黎曼流形的高斯-博内公式的一个简单内蕴证明》《Hermitian流形的示性类》.为了纪念陈省身的卓越贡献，国际数学联盟(IMU)还特别设立了“陈省身奖”(Chern Medal)作为国际数学界最高级别的终身成就奖.24.华罗庚，中国科学院院士，初中文凭.主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就.25.吴文俊，1991年，当选第三世界科学院院士；的研究工作涉及数学的诸多领域，其主要成就表现在拓扑学和数学机械化两个领域.他为拓扑学做了奠基性的工作；他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为“吴公式”，至今仍被国际同行广泛引用.26.丘成桐，由于证明了卡拉比猜想，以他的名字命名的卡拉比——丘流形，是物理学中弦理论的基本概念，对微分几何和数学物理的发展做出了重要贡献.丘成桐囊括了菲尔兹奖(1982)、克拉福德奖(1994)、沃尔夫奖(2010)等奖项.是第一个荣获菲尔兹奖——这个被称为“数学界的诺贝尔奖”的华人.27.陈景润，中国科学院院士.主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果，他对哥德巴赫猜想研究的重大贡献，被国际数学界称为“陈氏定理”.有兴趣的读者可上网去查询更多、更详实史料和故事.。
“最强大脑速算”，奇迹还是骗局？
“最强大脑速算”，奇迹还是骗局？上周六晚登上江苏卫视《最强大脑》第三期节目的周玮，曾被医生诊断为智力发育低下，然而在节目现场，周玮却用自己惊人的计算能力夺得了满分成功晋级。
节目现场，评委和专家给了周玮“中国的爱因斯坦”、“中国的霍金”等各种溢美之词；而节目播出后，这位23岁的“中国雨人”也成为了网络热门话题。
不过周玮表演的计算“6的13次方”、“16位数字开14次方”等题目，实际上没有看上去那么难解。
这里就以其中看似最难的“16位数字开14次方”为例，解释计算的诀窍。
要理解这道题，先要从一则寓言故事说起：阿基米德下棋赢了国王，向国王索要的奖赏是“在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒……”。
国王以为这很简单，却没想到动用全国的粮食都远远满足不了。
这则寓言表现的是“几何级增长”的威力，即可以使一个小数字通过“N次方”迅速扩散变大。
而“开N次方”却是反其道而行之，可以使一个大数字迅速收缩变小。
了解了这个原理，就知道“16位数字开14次方”会收缩到一个小范围，实际上任意16位数字开14次方，其结果的整数位只有11、12、13三种情况，即便其结果如现场表演中那样精确到第一个小数位，也只有22种情况。
所以如下图所示，记下这22种情况以及其对应的16位数字头两位所在区间，就可轻易作答。
“按图索骥”，即可做出速算题由上可知，这种速算更像是一种“智力游戏”。
只有“极限速算”普通人才做不到，但那也称不上“超能力”当然，任何游戏都可以分为“普通人玩的”和“高手玩的”。
比如短跑游戏，普通人可以玩15秒左右跑完百米，而博尔特这类专业运动员就要玩10秒以内的。
速算这种智力游戏也不例外，普通人可以玩“16位数字开14次方”，而速算界的高手玩的题目就要难得多。
一道典型的高级速算题是“100位数的13次方根的8位结果”。
不过这道题对于那些速算高手来说也算不了什么，他们真正比的不是能否快速算出来，而是能快到什么极限。
神秘的数学学派布尔巴基
神秘的数学学派布尔巴基神秘而又富有传奇色彩的数学学派布尔巴基，作为数学界的一股强大力量，一直以来都引起了学术界的广泛关注和研究。
它的成员寥寥无几，但是却以其深奥精湛的数学思想和贡献而享誉世界。
本文将带您了解布尔巴基学派的起源、发展以及一些著名成员的研究成果，揭开这个神秘学派的面纱。
一、布尔巴基学派的起源布尔巴基学派的名字来自于数学家弗朗西斯·布尔巴基（Francis Bourbaki），他是该学派的创始人。
布尔巴基作为一个虚构人物的存在，他创造了一种特殊的写作风格和哲学思想，将数学思维理论上升到一个全新的高度。
布尔巴基学派的建立，也是为了推动数学的发展和推广。
二、布尔巴基学派的发展布尔巴基学派以其严谨的推理和形式化的证明方法而闻名世界。
他们提出了一系列的公理和定义，构建了数学的基础框架。
这种严密的形式化体系为数学领域的研究提供了统一而准确的工具。
布尔巴基学派的理论主要围绕集合论、拓扑学和代数结构展开。
他们致力于将不同数学领域的概念归纳为一种更加抽象和一般化的形式，以此来揭示数学内在的统一性和美感。
三、布尔巴基学派的主要成员及其贡献1. 约瑟夫·戴德金（Joseph Dieudonné）戴德金是布尔巴基学派的重要成员之一。
他在拓扑学和函数分析领域的研究成果广为人知。
他与希尔伯特空间和测度论等重要概念相关的工作为数学的发展做出了重要贡献。
2. 尚-皮埃尔·塞尔（Jean-Pierre Serre）塞尔是布尔巴基学派的代表人物之一，他是当代数学界最杰出的代数几何学家之一。
他的奠基性工作为代数几何和同调代数的发展奠定了坚实的基础。
3. 亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）格罗滕迪克是布尔巴基学派中的天才数学家，他的数学才华和开创性的研究成果令人叹为观止。
他的工作深刻影响了代数几何和拓扑学等领域，为数学界带来了革命性的发展。
数学魔术揭密
大厅中暴发出暴风雨般的掌声和热烈的欢呼声，人们祝贺沙贡塔娜所取得的成功。
印度数学界1981年出现的这一奇闻，在国际上引起了轰动。美国报界称沙贡塔娜为“数学魔术家”。我国已故著名数学家华罗庚还为此专门给《数学情报》杂志撰写了一篇名为“天才与实践”的文章，赞扬了沙贡塔娜特殊的天才与刻苦实践的精神。值得提出的是，在这篇文章中，华罗庚教授对这个问题提出了一种非常巧妙的计算方法。
3、魔术师拿出一副扑克牌。
“哈，要打扑克呀？”有人问，“是抓乌龟，还是争上游？”
魔术师说：“咱们玩的都是和数学有关系的，不仅可以娱乐身心，还能促进思维，启迪智慧！”
“那就更好啦！怎么玩法？”大家争相询问。
“这么办吧：你们在Ａ—Ｋ １３张牌中任意默记一张。”魔术师说话间将扑克交给了观众，“我说算式，你们计算。最后，我便能从这副牌中，将你们默记的那张牌取出来。”
⑷ 让对方想着得数中的任意一个数字，把得数的其他数字（除了对方想的那个）告诉你
⑸ 表演者只要把对方告诉你的那几个数字一直相加到一位数，然后用9减就可以知道对方想的是什么数了
让对方随便写一个五位数（五个数字不要都相同的）<BR>⑵ 用这五位数的五个数字再随意组成另外一个五位数<BR>⑶ 用这两个五位数相减（大数减小数）<BR>⑷ 让对方想着得数中的任意一个数字，把得数的其他数字（除了对方想的那个）告诉你<BR>⑸ 表演者只要把对方告诉你的那几个数字一直相加到一位数，然后用9减就可以知道对方想的是什么数了<BR><BR>例：五位数一：57429；五位数二：24957；相减得：32472；<BR> 心中记住：7；余下的告诉表演者：3242；<BR> 表演者：3＋2＋4＋2＝11；1＋1＝2；9－2＝7（既对方心中记住的那个数了）
数学魔术家——沙贡塔娜
…
是 人脑 厉 害 ，还 是 电脑 厉害 ，是 心算 快 ，还是 电算更 快？ 虽然 每个 计算 我们 都 能
算 出来 ，但 是 比 电脑算 出来 的 总是慢 ，有 时还 会 算 出错误 的 答案 。所 以大部 分 人都 会
选 择 电算和 电脑 。然 而 ，就 有这 么一 个人 打破 了这 个禁 锢 。在 １ ９ ８ １ 年的 一个夏 日 ，在
印度举 行了一 场心算 比赛 。表 演者 是 印度的一位 ３ ７岁的女 子 ，她 的名字 叫沙 贡塔娜 。 当天 ，她要 以・ 晾人 的心 算能 力 ，与一 台先 进 的 电子计 算机 展 开竞 赛 。工作 人员 写出 一
个２ ０ １ 位 的大 数 ，让求 这个 数 的 ２ ３次方 根 。运 算结 果 ，沙 贡塔 娜 只用 了 ５ ０秒钟 就 向 观 众 报 出了正 确 的答 案 。而计 算机 为 了得 出同样 的 答 数 ，必 须输 入两 万条 指令 ，再 进 行计 算 ，花费 的 时间 比沙 贡塔 娜 要多得 多 。这 一奇 闻 ，在 国际上 引起 了轰 动 ，也使 沙 贡塔娜 被世人 所知晓 ， 每个人都 知道印 度出现 一位神 奇的人 物 ， 被人称作 数学的 魔术家 。
最伟大的十位数学家
最伟大的十位数学家1.伽罗瓦(Galois)：法国数学家，创立了现代代数学。
他在年轻时就发现了代数方程组的根可以用群论来描述，为代数学建立了一个新的基础。
2. 爱因斯坦(Einstein)：虽然他更广为人知的是他在物理学领域的工作，但是他在数学上也有很多贡献。
他是一个极其有才华的数学家，他的工作涉及到微积分、统计学及其他的数学分支。
3. 牛顿(Newton)：他是一位伟大的数学家、物理学家和天文学家。
他对微积分的发展做出了极大的贡献，并创立了力学和万有引力定律。
4. 欧拉(Euler)：他是一位瑞士数学家，对数学的发展做出了极大的贡献。
他的工作涉及到许多不同领域，如图论、复数、微积分和数论。
5. 高斯(Gauss)：德国数学家，他是现代数学的奠基人之一。
他在代数学、解析几何、微积分和数论等领域做出了贡献。
6. 莱布尼茨(Leibniz)：他是微积分的创始人之一，与牛顿一起发明了微积分。
他还在逻辑学和哲学领域做出了贡献。
7. 希尔伯特(Hilbert)：德国数学家，他是20世纪数学领域最为重要的人物之一。
他的工作涉及到数学基础、几何学、代数学和数论等领域。
8. 康托尔(Cantor)：德国数学家，他的工作涉及到集合论和数论等领域。
他发明了集合论，并证明了无限集合之间的不同大小。
9. 黎曼(Riemann)：他是十九世纪最伟大的数学家之一，他的工作涉及到几何学、分析学和数论等领域。
他提出了著名的黎曼猜想，是现代数学中最困难的问题之一。
10. 哥德尔(Gdel)：他是20世纪最伟大的逻辑学家之一，他证明了哥德尔定理，这个定理在现代逻辑学、数学和计算机科学中有着广泛的应用。
刘谦魔术的数学规律
刘谦魔术的数学规律
1.【问题】刘谦魔术的数学规律
【答案】刘谦魔术的数学规律整理如下，供大家学习参考。
刘谦的魔术中包含了多种数学原理和技巧，以下是一些具体的例子：
1.约瑟夫环问题：
刘谦的魔术中使用了约瑟夫环的概念。
约瑟夫环是一个数学问题，描述了n个人围成一圈，按照一定的规则报数，最终留下来的一个人就是赢家。
刘谦的魔术中，这个规则被用来决定谁能够得到奖品。
2.伪代码：
刘谦的魔术中使用了伪代码来描述这个过程。
伪代码是一种不完整的编程语言，用于描述算法或程序的步骤。
在这个魔术中，伪代码被用来描述报数规则和最终留下来的人的编号计算方法。
3.扑克牌魔术：
刘谦的扑克牌魔术中，涉及到扑克牌的排列和组合。
例如，刘谦会将扑克牌对折后撕成两半，然后按照特定的规则排列，使得每张牌都重复出现。
这个过程中，刘谦利用了数学中的排列组合原理。
4.数字和字母的运用：
在刘谦的魔术中，数字和字母的运用也是关键。
例如，刘谦会念出特定的数字或字母序列，同时操作扑克牌，使得最终的结
果符合魔术的预期。
5.心理学和表演技巧：
刘谦的魔术不仅仅依赖于数学原理，还涉及到心理学和表演技巧。
他通过控制观众的期望和注意力，以及利用魔术的神秘感，使得整个表演更加吸引人。
综上所述，刘谦的魔术中包含了数学模型、伪代码、扑克牌排列组合、数字和字母的运用以及心理学和表演技巧等多种数学知识和技巧。
《数学与魔术》公开课修改
马丁．加德纳的魔术
游戏规则： 第一步：从桌上拿走几根牙签（由你自己决定）放
入自己的口袋中（剩下的牙签必为20以内的两位数） 第二步：将桌上剩下的牙签数的个位数字与十位数
对应的两张牌（若C=10则取一点） 第五步：此时学生手中有5张（或4张牌），学
生藏一张牌在手中，将剩余的牌交给老师，请 老师猜出学生手中藏牌的点数。
心有灵犀一点通：
1、请一位观众出来，请他想一个小于l 000的正整数 ，写在纸上，让观众知道 。
2、让这位观众相继用7，11，13去除它， 并要他告诉你三个余数是多少 。
主讲：数学组 劳冠钧
研究性学习课
数学与魔术
龙赛中学 劳冠钧
名人名言：
“数学是幻术所绝对必需的。” ——哲学家阿格里帕
“纯数学是魔术家真正的魔杖。” ——数学家诺瓦列斯
魔术师与数学家
1 、美国统计学家普西戴尔哥尼斯写过《数 学教学与魔术技巧》的书，其目的就是要 试着向人们解说为什么数学家会着迷于魔 术，要让人们相信在娱乐与数学之间有一 座桥梁。
为第一列；并且从手中任取(10-a1)张牌正面朝 下， 10，J，Q，K，算为10点，作为第一列放 在这张牌下面，按上法组成第2、3列； 3、将每列的第一张牌的点数加起来
a=a1+a2+a3
4、从手中已剩下的牌数起,数到第a张牌.
第一步：取一副去掉10、J、Q、K，大小王的 扑克
第二步：取出 5张牌，计算出5张牌的点数和A 第三步：从5张牌中取出两张作为一个两位数B 第四步：用B-A得到C，从原牌堆中取出与C相
初中数学数学名师哈密顿
哈密顿哈密顿，W．R．(Hamilton，William Rowan)1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都柏林．力学、数学、光学．哈密顿的父亲阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师．哈密顿自幼聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算木；五岁能译拉丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．哈密顿自幼喜欢算术，计算很快．1818年遇到美国“计算神童”Z．科耳本(Colburn)后对数学产生了更深厚的兴趣．1820年再相逢时，哈密顿已阅读了I．牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，并对天文学有强烈爱好，常用自己的望远镜观测大体；还开始读P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天体力学》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此书中的一个错误．同年开始进行科学研究工作，对曲线和曲面的性质进行了系列研究，并用于几何光学．他的报告送交爱尔兰科学院后，R．J．布林克莱(Brinkley)院士评论说：“这位年轻人现在是这个年龄(17岁)的第一数学家．”1823年7月7日，哈密顿以入学考试第一名的成绩进入著名的三一学院，得到正规的大学训练，后因成绩优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖．他在1823到1824年间完成了多篇有关几何学和光学的论文，其中在1924年12月送交爱尔兰皇家科学院会议的有关焦散曲线(caustics)的论文，引起科学界的重视．1827年6月10日，年仅22岁的哈密顿被任命为敦辛克天文台的皇家天文研究员和三一学院的天文学教授．哈密顿有兄弟姐妹八人，家庭负担很重；为减轻父亲经济压力，他毕业后带着三个妹妹住到敦辛克天文台．哈密顿不擅长天文观测，在天文台工作的五年中，仍主要从事理论研究；但因与外界很少联系，工作成果并未引起重视．1832年，哈密顿成为爱尔兰皇家科学院院士后非常活跃，与学术界人士广泛交流讨论，包括一些诗人和哲学家．他从S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲学，热情地读完康德主要著作《纯理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲学观点对哈密顿后期的工作有很大影响．1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展过程中的新里程碑．文中的观点主要是从光学研究中抽象出来的．在对复数长期研究的基础上，哈密顿在1843年正式提出了四元数(quaternion)，这是代数学中一项重要成果．由于哈密顿的学术成就和声望，1835年在都柏林召开的不列颠科学进步协会上被选为主席，同年被授予爵士头衔．1836年，皇家学会因他在光学上的成就而授予皇家奖章．1837年，哈密顿被任命为爱尔兰皇家科学院院长，直到1845年．1863年，新成立的美国科学院任命哈密顿为14个国外院士之一．哈密顿的家庭生活是不幸福的．早在1823年，他爱上了一位同学的姐姐卡塞琳•狄斯尼(Catherine Disney)，但遭到她的拒绝，哈密顿却终身不能忘情．在恋爱生活中一再碰壁之后，他于1833年草率地同海伦•贝利(Helen Bayly)结婚．虽然生育二子一女，终因感情不合而长期分居．哈密顿经常不能正规用餐，而是边吃边工作．他去世后，在他的论文手稿中找到不少肉骨头和吃剩的三明治等残物．哈密顿工作勤奋，思想活跃．发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得．仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿，就有250本笔记及大量学术通信和未发表论文．爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿．他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数．他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家．但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献．1．经典力学的新里程碑经典力学自牛顿创立(1687)以后，到J．L．拉格朗日(Lagrange)建立“分析力学”(1788)之前，称为牛顿力学；1788年以后称拉格朗日力学；1834年，哈密顿的著名论文“一种动力学的普遍方法”发表后，又称为哈密顿力学，它是力学发展中的新里程碑，在现代力学和物理学中有广泛应用．哈密顿的贡献主要有下列三个内容．(1)哈密顿原理哈密顿在1824—1832年间对几何光学的系列研究基础上，认为可找到一种普遍原理，他认真研究了L．欧拉(Euler)和拉格朗日的最小作用原理，用拉格朗日函数L=T-V，(1)建立了等式其中T，V为所讨论的力学系统总动能和势能．势能V不仅为广义坐标qi的函数，还依赖广义速度qi(=dqi/dt)和时间t．当V只依赖于广义坐标时，S就可化为拉格朗日原理中的作用．另外，哈密顿认为力学系统的实际运动不一定使作用S为最小；故哈密顿提出的原理叫做稳定作用原理．由S的一阶变分为0，可导出力学系统的运动方程．虽然方程中的函数有改变，但仍称为拉格朗日运动方程：(2)哈密顿正则方程组从哈密顿原理求出的运动方程(3)是二阶常微分方程组．1835年，哈密顿利用广义动量作为另一组变量，并引入一个新的函数H是pi，qi，t的函数．用H可把运动方程(3)式化为一阶方程组：这样的方程组后来被称为哈密顿正则方程组，函数H则称为哈密顿函数；pi，qi称正则共轭变量．哈密顿在提出正则方程组(5)时指出，可选择适当的变换，使变换后的新变量仍为正则共轭变量，但新哈密顿函数可能少包含某些新坐标——循环坐标．每增加一个循环坐标，运动方程可降低二阶，由此可作为正则方程组的一种原则解法．这种使运动方程保持正则方程组形式的变换，称为正则变换．后来有很大发展，并有广泛应用．(3)哈密顿-雅可比方法哈密顿结合作用和正则方程组的定义，引入辅助函数W对于满足正则方程组(5)式的解qi，pi有由此可把W表示为广义坐标qi和n个任意常数ai以及时间t的函数，而且满足关系(8)式实际上是函数W=W(qi，αi，t)对自变量qi，t的一个偏微分方程．这样就把正则方程组(2)式的解与偏微分方程(8)式的解联系起来了．后来经过C．G．J．雅可比(Jacobi)在1837—1842年的系列研究，利用正则变换使新哈密顿函数等于0，也得到偏微分方程(8)；而且证明，对(8)式的任意一个完全解(即解出的函数W包含全部n个广义坐标qi，n个独立积分常数ai和时间t)，W=W(qi，αi，t)，(9)由相应关系解出的pi=pi(αi，βi，t)，qi=qi(αi，βi，t)(11)就是原正则方程组(2)式的通解，其中βi为另外n个独立积分常数．这就给出了正则方程组的另一种原则解法，叫做哈密顿-雅可比方法；偏微分方程(8)就称为哈密顿一雅-比方程．积分常数ai，βi称为正则常数．这些成果不仅推动力学的发展，也在变分法和微分方程的发展中有重要作用．哈密顿的力学贡献很快在天体力学中广泛应用，用哈密顿正则方程组和正则变换建立天体运动方程及相应解法，促使天体力学在19世纪后期形成了发展高潮．但在19世纪的数学界，对哈密顿力学有争议．例如著名数学家F．克莱因(Klein)就说过：哈密顿的结果很漂亮，但没有用．以后的情况否定了这种看法．20世纪以来，在现代物理学各分支，如波动力学、量子力学、相对论、原子物理学的建立过程中，哈密顿力学都起了重要作用．量子力学理学的基石．50年代以后，一批数学和力学家们用现代数学提高了哈密顿力学的深度，其中代表作是苏联著名力学家B．И．阿诺德(ApHoлЬД)所著的《经典力学的数学方法》(Mathe－matical methods of classical mechanics，1974年出俄文版，1978年出英译本)．该书在辛流形(symplectic manifold)上建立哈密顿力学，使哈密顿力学现代化．人们还发现，哈密顿正则方程组在计算方法上有特殊优点，只要适当建立相应的数值积分方法，可使误差积累很慢，适用于计算步数很大的课题．中国计算数学家冯康等建立的辛积分法，符合哈密顿方程组的特点，计算效果很好，受到国际上的重视．2．四元数的创立者哈密顿研究四元数花的时间最多，前后约30年．早在1827年，他就开始研究复数性质，到1837年正式提出复数不是a与bi的和，而是实数a，b的有序偶(a，b)．只要明确有序偶的运算规则，就可不用i而建立全部复数理论．由此诞生复数代数．复数可以表示平面上的向量，但实用向量应是三维的，是否有“三维复数”？1830年后，不少著名数学家如 C．F．高斯(Gauss)等都在探求．哈密顿在弄清复数之后，仍按实数性质探求这种具有三个分量的“复数”．他终于成功了，可是所得的新数只能是四个分量，而且不符合乘法交换律．哈密顿在1843年把所得的新数命名为四元数，它的一般形式为p=a＋bi+cj+dk， (12)其中a，b，c，d是实数；a称为四元数的数量部分，另三项是向量部分．i，j，k称定性单元，类似于三维坐标轴方向的单位向量；b，c，d为某点在三维坐标系中的坐标，即四元数的向量分量．研究成果载于他的《四元数讲义》(Lectures on quaternion，1853)．哈密顿定义四元数的和差即为数量部分及各向量分量的和差；四元数的乘积中，各分量相乘仍用实数乘法规则，但定义这样，四元数的乘法不符合交换律，但符合结合律．哈密顿还引进了四元数P的逆p-1=(a-bi－cj-dk)/N(p)， (14)而N(p)=a2+b2+c2＋d2 (15)称为四元数P的模．另外，哈密顿还提出了以后通用的微分算子对于任一函数u(x，y，z)，有哈密顿创立四元数后非常高兴，自认为与微积分一样重要，会成为数学和物理学中的一种关键工具．虽然这种估计有点过分，但四元数的创立，对后来代数学的发展确有重大作用，因为人们可以脱离实数和复数的传统规则，根据需要自由地创造各种数系，建立相应的代数学．不久后发展起来的向量代数和线性结合代数(linear associative algebra)都受到四元数的直接推动．3．几何光学的重要贡献哈密顿的第一个研究课题就是几何光学，早在进大学前就开始了，所花的时间仅次于四元数．他的主要贡献是用数学分析方法来研究几何光学，并把所得结果推广到动力学，从而提出哈密顿原理，大多数结果载于1827年发表的论文“光束理论”(Theoryof systems of rays)及后来的补充中，具体贡献如下．(1)等作用曲面点光源射出的光束经曲面镜反射或折射后，存在与光线正交的曲面族．哈密顿证明多次反射或折射后同样存在这种曲面族．在证明过程中，用到他本人发展了的最小作用原理，认为起点在垂直于光线的曲面上变化，经多次反射或折射后，相应的终点定出了垂直于光线的一个曲面．哈密顿称这些曲面为等作用面．把光当作微粒或波时，结论都相同．这就把几何光学与力学中最小作用原理联系起来，哈密顿后来称这种原理为变作用原理(prnciple of varying action)(2)特征函数根据多次反射(或折射)后的光束与一曲面族正交，将坐标为(x，y，z)的光线方向余弦记为α，β，γ，它们应为x，y，z的函数．哈密顿认为，方向余弦必须是某函数的梯度，即存在函数V=V(x，y，z)，有：因此V应满足偏微分方程：哈密顿称此方程的解V(x，y，z)为特征函数．显然，若在均匀各向同性介质中，V代表光源到(x，y，z)处的光线长度，则是一个解．哈密顿宣称：“特征函数包含了几何光学的全部．”在1832年发表的“光束理论”第三个补充中，哈密顿把特征函数推广到能用于初始点变化，以及不均匀和各向异性介质的情况．这样，利用特征函数可把光学系统表示为初始和最终光线有关变量的函数；用最小作用原理可定出两固定点之间的光程，于是特征函数就把光学长度表示为变初始点和终端点的函数．哈密顿还把特征函数用于其他领域，取得下列重要结果．①哈密顿在第三个补充中，用特征函数研究A．F．菲涅耳(Fresnel)的光波曲面后发现：在双轴晶体情况，存在四个劈锥状尖点，他由此预言：单光线以适当方向射入双轴晶体后，在晶体内折射成一个锥面，射出晶体后成为一个窄柱面；光线聚焦成一锥面射入双轴晶体后，在晶体内与单光线一样，射出晶体后成为一个窄锥面．这个预言在1832年底，由三一学院的H．洛依德(Lloyd)用实验证实．②光线作为粒子运动时，与质点的力学运动相似．哈密顿从1833年起，用特征函数研究动力学课题．最初把特征函数作为一质点从初始点到终端点运动过程的作用，后来才推广到n个质点系统的情况，从最小作用原理到变作用原理，终于形成了著名的哈密顿原理．相应的特征函数V具体表示为V=tH+S．(18)其中t为时间，H为n体系统的哈密顿函数，S即(2)式定义的作用．另外，哈密顿的研究工作还涉及数学力学和光学的广泛领域，提出了不少新的看法．例如，他由动力学普遍方法引伸出所谓主关系算法(calculus of Principal relation)，用变分法解某些全微分方程；提出用速端曲线(hodograph)表示轨道运动；又提出不仅研究光的动力学，还要研究光在晶状介质传播中黑暗的动力学，并命名为暗动力学(skotodynamics)；他对光在介质中传播的研究导致群速度(group velocity)和相速度(phase velocity)的区分．可惜这些工作未能深入开展下去．。