高考椭圆几种题型

高考椭圆几种题型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考椭圆几种题型

― 引言

在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。 二 椭圆的知识 （一）、定义

1 平面内与与定点F 1、F 2的距离之和等于定长2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中F 1、F 2称为椭圆的焦点，|F 1F 2|称为焦距。其复数形式的方程为|Z-Z 1|+| Z-Z 2|=2a(2a>|Z 1-Z 2|)

2一动点到一个定点F 的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其中F 称为椭圆的焦点，l 称为椭圆的准线。 （二）、方程

1中心在原点，焦点在x 轴上：)0(122

22>>=+b a b y a x

2中心在原点，焦点在y 轴上：)0(122

22>>=+b a b

x a y

3 参数方程：?

??==θθ

sin cos b y a x

4 一般方程：)0,0(12

2

>>=+B A By Ax （三）、性质

1 顶点：),0(),0,(b a ±±或)0,(),0(b a ±±

2 对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称。

3 离心率：)1,0(∈=

a

c

e 4 准线c

a y c a x 2

2=±=或 5 焦半径：设),(00y x P 为)0(122

22>>=+b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左、右焦点，则01ex a PF +=，

02ex a PF -=；设),(00y x P 为)0(122

22>>=+b a b

x a y 上一点，F 1、F 2为下、上焦点，则01ex a PF +=，

02ex a PF -=。

三 椭圆题型

（一）椭圆定义 1.椭圆定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，

A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11

42

2=+

y x ； （2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116

42

2=+

y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

例2 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．

由21=

e ，得

4191=-k ，即4

5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5

-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

例3 已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由??

?

??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由?

??<-<-,03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1sin 122=+α

αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(ππα∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知

0sin 1>α，0cos 1

>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知α

cos 12-=a ，αsin 1

2=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件

πα<≤0

例5 已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

2

=-=b 的椭圆的方程：17

162

2=+

y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

2.关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。

例(1)：点P 为为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，试求：21PF PF ?取得最值时

的P 点坐标。

解：(1)设),(00y x P ，则],[0a a x -∈。由椭圆第二定义知：

002021)(2,)(0ex a a ex a PF a ex e c a x PF -=+-=+=???

??

?--=。

∴21PF PF ?02

22x e a -=。当00=x 时， 21PF PF ?取最大值2a ，此时点P(0,±b)；当a x ±=0时，21PF PF ?取

最小值b 2，此时点P(±a ，0)。

（二).焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，

2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用

a 、

b 、α表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用

C ab S sin 2

1

=

?求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2

221PF PF +=12PF -·

224cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2

得 α

cos 12221+=?b PF PF ． 故αsin 2

1212

1PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212+=

b 2tan 2α

b =．

例2. 已知椭圆15

92

2=+

y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；

分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：

如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，

22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当

22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．

建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组???=+=-+45

95,022

2y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)214

15

75,2141579(2

-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值

26+．

（三）、直线与椭圆相交问题

(1) 常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。 (2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。

a k AB ?

+=2

1 ???+2

121x x x x 例1. 已知直线l 过椭圆72982

2=+y x 的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，求弦MN 的长。

解：由???=+-=72

98)1(22

2y x x y 得0918112

=--x x 。 方法一：由弦长公式11

60119114185122

=??+=?+=a k

AB 方法二：)(2)()(2122

12x x a e x c

a e x c a NF MF MN +-=-+-=+= 11

60

3111186=?-

=

例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．

分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为19

362

2=+

y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=?++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以

1337221-

=+x x ，1383621?=x x ，3=k ， 从而13

48

]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为19

362

2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ?中，3cos 22112

212122π

F F AF F F AF AF -+=，即2

1

362336)12(22???-?+=-m m m ； 所以3

46-=m ．同理在21F BF ?中，用余弦定理得346+=n ，所以1348

=+=n m AB ．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=?++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．

再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=

（四）、“点差法”解题。“设而不求”的思想。

当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。

步骤：1.设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)分别代入椭圆方程；

2.设),(00y x p 为AB 的中点。两式相减，0

2022122122121)()

(y a x b y y a x x b x x y y -=++-=--

3.得出2

12

1x x y y k --=

注：一般的，对椭圆12222=+b y a x 上弦AB 及中点，M ，有22

a

b K K OM AB -=?

说明：

（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

例1 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点??

?

??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1

-=?OQ OP k k ，

求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则

??????

?=+=+=+=+④

，③，②，①

，y y y x x x y x y x 2222222

1212

22

22121 ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()022

1212121=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得022

121=--+x x y

y y x ．⑤

（1）将21=

x ，2

1

=y 代入⑤，得212121

-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，04

1

6436>??-=?符合题意，0342=-+y x 为所求． （2）将

22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将

2

1

2121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ： ()

22

2

2212

221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122

22124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=??

? ??--+-x x y x x x ， 即 12

122

=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例2 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

解：由题意，设椭圆方程为1222

=+y a

x ，

由?????=+=-+1012

22y a

x y x ，得()0212

22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2

11

1a x y M M +=-=， 4

1

12===

a x y k M M OM ，∴42=a ，

∴14

22

=+y x 为所求． 例5 分析：已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19

362

2=+

y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )，得到关于x (或y )

的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得

036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①

设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴1

4)

24(8221+-=+k k k x x

∵)2,4(P 为AB 中点，∴1

4)24(4242

21+-=+=

k k k x x ，21

-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ． 方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ，B 在椭圆上，∴3642

12

1=+y x ，3642

22

2=+y x 两式相减得0)(4)(2

22

12

22

1=-+-y y x x ， 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴

2

1)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ． 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --． ∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。 36)4(4)8(22=-+-y x ② 从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为

082=-+y x ．

（五）、轨迹问题

这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。

1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x ，y)，直接列出动点所应满足的方程。

2.代入法：一个是动点Q(x 0,y 0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q 点满足某种关系，要求P 点的

轨迹。其关键是列出P 、Q 两点的关系式???==),()

,(0y x y y y x f x o

3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。

4.参数法：在x ，y 间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用???==)

()

(t y y t f x (t 为参数)来反映x ，y 之间的关系。

常用的参数有斜率k 与角α等。

例：ABC ?的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是9

4

-

，求顶点A 的轨迹方程： 解：设),(y x A ，由题设得)0(9

4

66≠-=+?-x x y x y 。化简得)0(1368122≠=+

x y x