2020年廊坊市高一数学上期中试卷(含答案)

2020年廊坊市高一数学上期中试卷(含答案)

一、选择题

1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I

A ．{1,1}-

B ．{0,1}

C ．{1,0,1}-

D ．{2,3,4}

2．设集合{}1,2,4A =，{}

2

40B x x x m =-+=．若{}1A B ?=，则B =

( ) A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，

上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ??

-<-< ???

B ．3(1)(2)2f f f ??

-<-< ???

C ．3(2)(1)2f f f ??

<-<- ???

D ．3(2)(1)2f f f ??

<-<- ???

4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x

?---≤?

=?>??是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．30a -≤<

B ．0a <

C ．2a ≤-

D ．32a --≤≤

5．设0.1

359

2,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．b a c >>

D ．b c a >>

6．对于实数x ，规定[]

x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2

436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22??

??

? B ．[]28, C ．[)2,8 D ．[]2,7

7．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．函数223()2x

x x f x e +=的大致图像是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知()20191

1,0

2log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?

，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得

()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)

B ．[-2,0)

C ．(]2,0-

D ．（0,1）

10．已知函数2

()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=

（ ） A ．5

B ．5-

C ．0

D ．2019

11．函数3

222

x x

x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．

C ．

D ．

12．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-

B ．[2,)+∞

C ．(,2]-∞

D ．[2,)-+∞

二、填空题

13．已知()2

x a x a

f x ++-=

，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两

个不同的交点，则a 的取值范围是______________.

14．方程组20

40x y x +=??-=?

的解组成的集合为_________.

15．设函数2

1

()ln(1||)1f x x x

=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.

16．函数()12x f x =-的定义域是__________． 17．已知函数2

,

()24,x x m

f x x mx m x m

?≤=?

-+>? 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的

方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.

18．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x

f x a a R =+?∈，

则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．

19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1

f

x -的图象经过点(2.0),则

()1f x -=___________.

20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，

，则函数

()()3g x f x x =-+的

零点的集合为 .

三、解答题

21．计算下列各式的值：

（1）()

1

110

2

3

2710223π20.25927-

-????--+ ? ?????

．

（2）()22

1log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++?．

22．已知函数()()2

21+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.

(1)求a 、b 的值； (2)设()()

2

g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．

23．已知函数()()()

sin 0,0,f x A x A ω?ω?π=+>><，在同一周期内，当12

x π

=时，()f x 取得最大值4：当712

x π

=

时，()f x 取得最小值4-.

（1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ??

∈-

???

?时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 24．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？

25．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1

()12

f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；

（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.

26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足326P a =,乙城市收益

Q 与投入b (单位:万元)满足1

24

Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收

益为()f x (单位:万元).

(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;

(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ?=-，

结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ??=-. 本题选择C 选项.

点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.

2．C

解析：C 【解析】

∵ 集合{}1

24A ，，=，{}

2

|40B x x x m =-+=，{}1A B ?= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =

∴{}{}

{}2

2

|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，

上是增函数，即可进行判断. 【详解】

函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.

又函数()f x 在区间(]1-∞-，

上是增函数. 则()()3122f f f ??

<-<- ???

-，即()()3212f f f ??

<

-<- ???

故选：D. 【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.

4．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】

要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，

所以21,20,115,

1a a a a ?-≥??

，解得32a --≤≤.

故选D. 【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.

5．A

解析：A 【解析】 试题分析：

，

，即

，

，

．

考点：函数的比较大小．

6．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】

分析：先解一元二次不等式得

315

[]22

x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2

436450x x -+<，所以

315

[]22

x << 因为[][]2

436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.

点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.

7．D

解析：D 【解析】 【分析】

画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】

如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点.

故选：D .

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

8．B

解析：B 【解析】

由()f x 的解析式知仅有两个零点3

2

x =-

与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()223

2x

x x f x e

-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】

()20191

1,02log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?

，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .

【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

10．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据函数f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，即可求出a，b，从而得出f（x）的解析式，进而求出f（a）+f（b）的值．

【详解】

∵f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数；

∴

320 b

a a

=

?

?

-+=

?

；

∴a＝1，b＝0；

∴f（x）＝x2+2；

∴f（a）+f（b）＝f（1）+f（0）＝3+2＝5．

故选：A．

【点睛】

本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．

11．B

解析：B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)

f的近似值即可得出结果．【详解】

设

3

2

()

22

x x

x

y f x

-

==

+

，则

33

2()2

()()

2222

x x x x

x x

f x f x

--

-

-==-=-

++

，所以()

f x是奇函

数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又

3

44

24

(4)0,

22

f

-

?

=>

+

排除选项D；

3

66

26(6)722

f -?=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

12．B

解析：B 【解析】

由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[

)2,+∞ 本题选择B 选项.

二、填空题

13．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决

解析：(0,1), 【解析】

(),,2

x x a x a x a

f x a x a

≥++-?=

=?

点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围

14．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解

得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--

【解析】 【分析】

解方程组20

40x y x +=??-=?

，求出结果即可得答案.

【详解】

由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，

解得22x y =??

=-?或2

2x y =-??=?

， 所以方程组2

40x y x +=??

-=?

的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--， 故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】

该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.

15．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数

解析：1(1)3

， 【解析】

试题分析：由题意得，函数2

1

()ln(1)1f x x x

=+-

+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，2

1

()ln(1)1f x x x

=+-

+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得

1

13

x <<. 考点：函数的图象与性质.

【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式

()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问

题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.

16．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为

解析：(],0-∞

【解析】

由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.

17．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数

解析：()3+∞，

【解析】

试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.

【考点】分段函数，函数图象

【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.

18．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得

解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x

【解析】 【分析】

先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】

定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．

当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，

由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.

19．【解析】∵函数=的图象经过点(13)∴∵反函数的图象经过点(20)∴函数=的

图象经过点(02)∴∴∴==∴= 解析：()2log 1,1x x ->

【解析】

∵函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3), ∴3a b +=, ∵反函数()1

f

x -的图象经过点(2,0),

∴函数()f x =x a b +的图象经过点(0,2), ∴12b +=. ∴2, 1.a b == ∴()f x =x a b +=2 1.x + ∴()1

f

x -=()2log 1, 1.x x ->

20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：

【解析】 试题分析：当时，

，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；

因为0x ≥时，，则

若时，令

若

时，令

，因

，则

，

的零点集合为

考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；

三、解答题

21．（1）95

12

；（2）3. 【解析】 【分析】

(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值. 【详解】 （1）原式

1131

132

32

23

2

2

3

2

256415415395111892743323412

--

-

-

??????

??????????

??=--+=--+=

--+=?????? ? ? ? ? ? ?????

??

??

??

??

????????????

（或写成11

7

12

）． （2）原式

()()2log 3111113

lg522lg22lg55231322222

lg lg lg -=++?++=+++?=++=．

【点睛】

本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

22．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】

（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.

(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】

解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，

()g x ∴在[]2,3上单调递增

()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ?==-++=?∴?==-++=??

.

解得1a =且0b =.

（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立 所以只需()min k f x <.

有（1）知()

221112224222

x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当1

22

x x -=

-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】

本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 23．（1）()4sin 23f x x π??

=+

??

?

（2）19t +<

【解析】 【分析】

（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23

x π

+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.

【详解】

（1）解：由题意知74,212122

T A πππ==-=，得周期T π= 即

2π

πω

=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ?=+

当12x π

=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412π???

?+= ???，得πsin φ16骣琪+=琪桫

得

2()6

2k k Z π

π

?π+=+

∈，，得23

()k k Z π

?π=+∈，

,?π<∴Q 当0k =时，=

3

π

?，因此()4sin 23f x x π?

?

=+

??

?

（2）()()210h x f x t =+-=，即()1

2

t f x -=

当,66x ππ??

∈-????

时，则220,33x ππ??+∈???? 当23

2

x π

π

+

=

时，4sin

42π

=

要使()12t f x -=有两个根，则1

2342

t -≤

<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +≤< 【点睛】

本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.

24．（1）0.8)4,01

5(,1t t t y t ≤≤?=??>?

n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时.

【解析】 【分析】

（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；

（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】

（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(

,1t a kt t y t -≤

=??≥?n ，

又由函数的图象经过点(1,4)，

则当1t =时，14k ?=，解得4k =， 又由1t =时，11()

42

a

-=，解得3a =，

所以函数的解析式为1)3

24,01(

,1t t t y t -≤

=??≥?n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得1

16

t ≥， 当1t ≥时，3

1()

0.252

t -≥，解得15t ≤≤，

综上所述，可得实数t 的取值范围是

1

516

t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616

-=小时. 【点睛】

本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 25．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】

（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由

0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结

合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】

（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.

（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且

30x x ->??

->?

，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ??

=

???

，

∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ??-+-≥-

???

，即()()113022f x f f x f ????

-++-+≥ ? ?????

＝

()()()331112222x x x x f f f f f f --??

?????-+

≥?-?≥ ? ? ???????

， 则03122

x x x

?

?--?≤??，解得10x -≤<.

∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】

本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()

f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.

26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 【解析】

(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元, 所以总收益()50f

=1

67024

+

?+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元, 所以()f x

=()1612024x +

-+

=126,4

x -+ 依题意得40

12040

x x ≥??

-≥?,解得4080x ≤≤,

故()f x

=()1

2640804

x x -+≤≤,

令t =

,

则t ?∈?,

所以y

=21264t -

++

=21

(444

t --+.

当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,

所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.