数理统计第四章 方差分析

方差分析
本章内容： 方差分析的有关概念、自由度的计算；柯赫伦分解定理 （不证）；单因素、双因素实验数据方差分析法。 重点： 单因素、双因素方差分析 本章课时： 6~8 课时
1
• •
引言： 在工农业生产及产品试制中，常常需要分析哪几种因素对生产的质量 和产量起显著影响，并希望知道起显著作用的因素在什么时候，对生产起最 好的影响。
t(n r )
13
•
给定置信概率 1 ，使 得
p { | T | t ( n r ) } 1 .
2
即
p{ X i X
j
t ( n r ) S E
2
1 ni

1 nj
i 1 ni 1 nj
j
Xi X
j
t ( n r ) S E
QE
r

2
( ( n i 1) ) ( n r ) .
2 2 i 1
则E ( Q E )
r
( n r ) .
2
2 )

• •
E (Q A )

i 1
ni E ( X i X )
r 2
2
( r 1)


i 1
ni ( i ) ,
0 0 0 0
•
解：据 r=4, n1 =7, n2 =5, n3 =8, n4 =6, n=26. 方差来源 组间 组内 离差平方和 44374.6 149970.8 自由度 3 22 均方离值 14791.5 6816.8 2.17 F值
总和
• •
194345.4
，据
25
F 0 F 0 .0 5 ( 3 , 2 2 )
X i,
X
j
相互独立
( X i X j ) (i j )

又
N ( 0 ,1) 1 1 ni nj 1 2 Q E (n r ) 2
T
( X i X j ) (i j ) SE 1 ni 1 nj
15
• • • •
一）下面介绍一般数学模型： 设因子Ａ有ｒ个不同水平Ａ1，Ａ2，…, Ａr ； 因子Ｂ有ｓ个不同水平Ｂ1，Ｂ2，…,Ｂs 。 pq 对每种情况Ａi Ｂj进行一次独立试验，共得 个试验结果 Xij ，由下表给出
因子B
因子A
B1 A1
A2
X 11 X
21
B2
X 12 X
22

: 1 2 r
Q A / ( ( r 1))
2
成立下，作统计量
SA SE
2 2
Q E / ( ( n r ))
2
Байду номын сангаас
Q A / ( r 1) Q E / (n r )
F ( r 1, n r ).
10
•
3 )

给定显著性水平 使得

Bs
X
1s
X
i
均值
1
X X
X
2s
2

Ar

X
r1

X
r2

X
X
rs
s

X
r
均值 X j
X
1
X
2

X
其中
X
i

1 s
s

j 1 r
X
ij
,
i 1, 2 , , r ,
X
j

1 r 1

i 1 r
X
s
ij
,
j 1, 2 , , s , 1 r
r
X
rs

ni
X ij ,
i 1, 2 , , r （组内平均）（1）
r
X
n

i 1
j 1 ni r
X ij ,
其中 n
j 1

i 1
n（总平均） i
•
•
因此 X

1 n
ni X
i
（2）
据（1），（2）可得
r

i 1 j 1
ni
(X
ij
X i )( X
i
X ) 0
Q Q 为总离方差 ； E 组内离方差； A 组间离方差。
Q T : 描述全部数据离散成都； :
•Q
•
E
描述 X i j 抽样误差的大小程度；
反映了各母体均值 i 之间差异程度。
QA :
7
• • • • • • •
二）为了作出假设 H 的统计量，下面讨论 Q 和Q 的统计性质。
0
E
A
1 )

QE
均值（x i ） 1680
A1 A2 A3 A4
1580
1460 1510
1640
1550 1520
1640
1600 1530
1700
1620 1570
1750
1640 1600
1662
1636.25 1568.33
希望通过上表推断：灯泡不同配料方案对灯泡寿命有无显著影响。 如果影响显著，那么用那一种配料为好。 在统计学上，称灯泡品种为因素，称因素的不同状态为水平。 这里有4种水平— A ， A， A， A 4 。 3 2 1
p { F F ( r 1, n r ) }
• •
4 )

得到拒绝域 F
F ( r 1, n r ) .
列出方差分析表，计算 方差来源 组间 组内 总和
F0
离差平方和
r
自由度
2
均方离值
SA
2 2
F值
F0 SA SE
2 2
QA

i 1
ni ( X i X )
2

1
r
n
ni i
8
i 1
• • • •
记
SE
2
QE nr
QA r 1
2
则 则
2
ESE ,
2 2
SA
2
ES A
2
2

r 1
1
r
ni ( i ) .
2
i 1
显然有
ESE ES A.
（柯赫伦定理） 设 X 从于 N ( 0 ,1) ，又设
的利用实验结果的信息，这就是方差分析。
2
一、一元方差分析
eg1. 某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产四批灯泡，在每 一批中取若干个做寿命实验，得如下数据（单位：小时）。
灯泡种类 （ Ai ）
寿命（单位：h）（ x ij ） 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1660 1680 1800 1740 1800
X
可写作 ij
X
i ij , i 1, , r .
ij N ( 0 , )
2
2
其中，各 i j 相互独立 ， i , 为未知参数。
5
•
1）在上作假设： H 0 : 1 2 r
H 1 : 1 , 2 , r 不全相等
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
0
1
2
3
4
4
下面对更一般问题建立数学模型
母体
X X
1
子样
X X
11
子样均值
X X
12


X X
1 n1
X X
1
2
21
22
2 n2
2

X
r

X
r1

X
r2

X
rnr

X
r

2
假定 那么
X
i
N ( i ,
2
) ,
则
ij
X ij i N (0 , ).
6
r
•
因此 Q
T


i 1 r j 1 ni
ni
r
(X
ij
X )
2


i 1 r j 1
ni
[( X
ij
X i) (X
i
X )]
2


i 1 j 1
(X
ij
X i)
2

i 1
ni ( X
i
X )
2
•
• •
QT
QE QA
QT Q E Q A
F 0 .0 5 (3, 2 2 ) 3 .0 5
0
接受原假设 H ，无显著影响。
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• 原假设不成立时，需要对未知参数作区间估计
拒绝
H
0
，作出

2
i k (i k )
)
区间估计
ni 2 X j N ( j , ) nj E (X i X j) i j 1 1 2 D(X i X j) ( ) ni nj X i N (i,
•
例如在农业科学试验中，为了提高农作物的收获量，因地制宜的选择 品种，常常需要比较不同品种的种子，施不同种类、不同数量的肥料对农作 物收获量的影响。并从中找出最适宜于该地区的作物品种、肥料的种类和数 量，以提高单位面积的产量。