初中数学最小值
初中数学最小值问题知识点
初中数学最小值问题知识点初中数学中，最小值问题是一个重要的应用题类型，涉及到函数的图像、方程的解、不等式和最优化等知识点。
下面是对初中数学中最小值问题的相关知识点进行详细介绍。
一、函数与图像1.函数的定义函数是一种特殊的关系，将每个自变量映射到唯一的因变量上。
函数可以用符号表示，例如：y=f(x)。
2.函数的图像函数的图像是函数在坐标平面上的表现形式。
通过绘制函数的图像，可以更直观地了解函数的性质和特点。
3.最小值与最大值在函数的图像上，最小值是指函数曲线上的最低点，而最大值是指函数曲线上的最高点。
二、方程与不等式1.方程的解方程是等式的一种特殊形式，它包含一个或多个未知数，并要求找到使方程成立的未知数的值，这些值被称为方程的解。
2.不等式的解不等式是表示两个数之间大小关系的数学句子，它使用不等号（<、>、≤、≥）来表示。
不等式的解是使不等式成立的数值范围。
3.方程与不等式的应用在最小值问题中，我们通常需要建立一个方程或不等式，然后通过求解方程或不等式的解来找到最小值的条件。
三、最优化问题1.最优化问题的定义最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找使目标函数取得最大值或最小值的数学问题。
2.最小值问题的处理方法在最小值问题中，我们可以采用以下几种方法：-利用函数的性质和图像进行分析，找到可能的最小值点；-求解相关的方程或不等式，确定最小值的条件；-运用导数和极值的概念，找到最小值点。
3.最小值问题的应用最小值问题在实际生活中有广泛的应用，如最小成本问题、最短路径问题、最小时间问题等。
通过数学建模和求解最小值问题，可以帮助我们做出最优的决策。
四、相关知识点1.导数的概念导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数可以帮助我们分析函数的增减性和极值点。
2.极值与最小值在数学中，极值是指函数的最大值或最小值点。
最小值是指函数曲线上的最低点，它可以通过导数和二次判别式等方法来求解。
初中最小值问题解法
初中最小值问题解法篇一：初中最小值问题是指给定一组数，要求从中找出最小的数的问题。
解决初中最小值问题的方法有多种，下面介绍两种常用的方法。
一种方法是遍历法。
遍历法是指从第一个数开始，逐个与后面的数进行比较，找出其中最小的数。
具体步骤如下：1. 假设给定一组数为a[1], a[2], ..., a[n]，其中n为数的个数。
2. 初始化一个变量min为a[1]。
3. 从第二个数开始，依次与min进行比较，如果比min小，则将该数赋值给min。
4. 遍历完所有数后，min就是最小的数。
另一种方法是排序法。
排序法是指将给定的一组数按照大小进行排序，然后取最小的数即可。
具体步骤如下：1. 假设给定一组数为a[1], a[2], ..., a[n]，其中n为数的个数。
2. 使用常用的排序算法（如冒泡排序、选择排序等），对这组数进行排序。
3. 排序后，第一个数即为最小的数。
这两种方法各有优缺点。
遍历法简单直观，但需要逐个比较所有的数，时间复杂度较高；排序法的时间复杂度较低，但需要额外的排序操作。
总而言之，初中最小值问题可以通过遍历法或排序法来解决。
具体使用哪种方法可以根据实际情况和需求来选择。
篇二：初中最小值问题解法在初中数学中，我们经常会遇到求解一组数中的最小值的问题。
这类问题可以通过一些简单而有效的方法来解决。
一种常见的方法是遍历法。
我们首先将给定的一组数列出来，然后从中选取一个数作为当前的最小值，然后遍历其他的数与当前最小值进行比较。
如果当前的数比最小值还要小，那么就将当前数设为新的最小值。
继续进行遍历，直到所有的数都比较完为止。
最后所得到的最小值就是我们要求解的答案。
另一种方法是利用排序的思想。
我们可以将给定的一组数从小到大进行排序，然后选取排序后的第一个数作为最小值。
由于这个数是排序后的最小值，所以它也是原始数列中的最小值。
这种方法的优点是简单直观，但缺点是需要进行排序操作，如果数的个数很多，那么这个过程可能会比较耗时。
初中求最小值五种方法
初中求最小值五种方法
嘿，小伙伴们！咱今天就来唠唠初中求最小值的五种超棒方法！
第一种方法就是咱常见的配方法呀！好比说给出一个式子x²+6x+5，
咱就可以通过配方变成(x+3)²-4，这样就能轻松找到最小值啦！这多神奇呀！
第二种呢，是利用不等式哦，就像给调皮的数值套上一个紧箍咒！比如说x+y≥2√xy ，用这个来解决问题那叫一个厉害！
第三种得说说几何法啦，哇塞，就像是在图形的世界里找宝藏呢！比如说求一个三角形中某条边上的最小值，通过图形的特点就能发现啦！
第四种是函数法，它就像一把万能钥匙，能打开各种最小值的大门呐！像那种给出一个函数表达式让你求最小值，用这方法准没错！
第五种是换元法呀，就好像玩变装游戏一样，把复杂的式子变得简单，然后找到最小值，酷不酷？
总之呀，这五种方法各有各的妙处，学会它们可太有用啦！以后遇到求最小值的题，那都不是事儿！咱就可以轻松解决，笑傲数学江湖啦！。
初中数学最小值问题
初中数学最小值问题在初中数学中，最小值问题是一个常见的问题，涵盖了多个方面，包括代数式求最值、一次函数或二次函数的最值、几何图形中的最值问题、方程式的最值以及数据分析中的最小值问题。
下面我们将逐一介绍这些方面。
1. 代数式求最值代数式求最值是初中数学中的一个重要问题。
通常，我们需要通过配方、平方和、平方法等技巧，将代数式转化为能够求最值的表达式。
例如，对于一个二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，函数存在最小值，这个最小值可以通过公式求得。
2. 一次函数或二次函数的最值一次函数或二次函数的最值也是初中数学中常见的问题。
对于一次函数，可以通过观察图像或者利用一次函数的性质来求最值。
对于二次函数，可以通过配方或者利用二次函数的顶点坐标来求最值。
3. 几何图形中的最值问题几何图形中的最值问题通常涉及到长度、角度、面积等方面。
这类问题需要结合几何知识，运用相关的定理和公式来求解。
例如，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点F在BC上，且∠FBE=∠ABE。
求证：EF最短。
4. 方程式的最值方程式的最值问题通常涉及到求解方程的最小或最大值。
这类问题需要运用相关的代数知识，通过对方程进行变形或者利用判别式等方法来求解。
例如，对于方程x²+2x+1=0，我们可以利用配方法将其转化为(x+1)²=0，从而求解。
5. 数据分析中的最小值问题在数据分析中，最小值问题通常涉及到在一组数据中找到最小值。
这类问题需要运用相关的统计知识，通过观察数据分布或者利用计算最小值的方法来求解。
例如，在一组数据中，我们可以观察到数据分布的情况，从而找到最小值。
总之，初中数学最小值问题是一个涵盖多个方面的问题。
在求解最小值时，我们需要根据不同的情况运用不同的方法来求解。
通过掌握这些方法，我们可以更好地解决最小值问题。
初中八年级(初二)数学课件 最大值、最小值问题
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23; f (2) 34;
R(350)
(350
20)
6831500 108 Nhomakorabea0 (元).
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围
成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使 曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成 的三角形面积最大．
解 如图,
设所求切点为P( x0 , y0 ),
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
则切线 PT 为 y y0 2x0( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
初中最大值与最小值
初中数学——最大值与最小值在初中数学中，最大值与最小值是一个非常基础但重要的概念。
通过寻找一组数字中的最大值和最小值，我们可以更好地了解数据的特点和范围。
让我们一起来探讨一下初中最大值与最小值的概念。
最大值与最小值的定义最大值是一组数中数值最大的那个数，而最小值则是数值最小的那个数。
在数学中，我们常常用符号表示最大值和最小值，最大值通常用符号“max”表示，最小值则用“min”表示。
如何找到一组数中的最大值与最小值？要找到一组数中的最大值与最小值，我们可以采用以下简单的方法：1.逐个比较法：将给定的一组数中的第一个数作为当前的最大值和最小值，然后依次将后面的数与当前的最大值和最小值进行比较，逐步更新最大值和最小值。
2.列表排序法：将一组数按照从小到大或从大到小的顺序排列，那么排在最前面的数就是最小值，排在最后面的数就是最大值。
例题分析现在让我们通过一个简单的例题来理解如何找到一组数中的最大值与最小值。
假设有一组数：{12, 5, 9, 20, 3, 15}，我们来找出其中的最大值与最小值。
通过逐个比较法，我们可以得到：•当前最大值：12，当前最小值：12•继续比较，得到最大值：20，最小值：3因此，给定的这组数中，最大值为20，最小值为3。
总结最大值与最小值是数学中一个非常基确但重要的概念，通过寻找一组数中的最大值与最小值，我们可以更好地理解数据的特点。
从简单的逐个比较法到列表排序法，我们可以采用不同的方法来找到数列中的最大值与最小值。
在学习数学的过程中，熟练掌握最大值与最小值的求解方法将会对我们的数学学习和解题能力有很大的帮助。
求最大值和最小值的公式初一
求最大值和最小值的公式初一在数学的世界里，我们经常需要寻找一串数字中的最大值和最小值。
在初中数学中，我们通常会使用以下公式来求解一个序列中的最大值和最小值。
给定一个有n个元素的序列a1,a2,a3,...,a n，我们可以通过以下方法找出其最大值和最小值。
求最大值的方法要求这个序列中的最大值，我们可以采用以下步骤：1.初始化一个最大值变量max_value，设为序列中的第一个元素a1。
2.从第二个元素a2开始，依次与max_value比较。
3.如果a i大于max_value，则用a i替换max_value。
4.继续这个比较过程，直到所有元素比较完毕，此时max_value即为序列的最大值。
求最小值的方法要求这个序列中的最小值，我们可以采用以下步骤：1.初始化一个最小值变量min_value，设为序列中的第一个元素a1。
2.从第二个元素a2开始，依次与min_value比较。
3.如果a i小于min_value，则用a i替换min_value。
4.继续这个比较过程，直到所有元素比较完毕，此时min_value即为序列的最小值。
示例让我们通过一个实例来说明这两个过程。
假设我们有一个序列3,7,2,8,4。
首先，我们求最大值：•初始化max_value = 3。
•依次比较后得出max_value = 7。
•继续比较得出max_value = 8。
•所以，最大值为8。
接着，我们求最小值：•初始化min_value = 3。
•依次比较后得出min_value = 2。
•最终，最小值为2。
通过这样的方式，我们可以在一个序列中快速找到最大值和最小值。
结语通过这些简单的步骤，我们可以轻易地在一个数字序列中找到最大值和最小值。
这种方法可以帮助我们在数学计算和问题求解中更加方便地处理数据。
希望通过这篇文档，读者们能对如何求解最大值和最小值有一定的了解和认识。
初中数学竞赛：求最大值、 最小值
初中数学竞赛：求最大值、 最小值【内容提要】1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时，∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一. 例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b.那么y=a+ak, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k . 解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积. 【例题】例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2 的最大、最小值.解：由已知y 2=2362xx -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：用构造函数法设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy . ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ah h x h a h x h ax +--=-. ∴当x=2h 时，y 最大值 =4ah.即当EH=2h 时，矩形面积的最大值是4ah.例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21xx b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -. ∵2x ×x b 2=2b 2 (定值)， 根据定理二，2x +xb2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α.例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1.求：S △ABC 的最小值.aCEFnm D解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △. ∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r.∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0.用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1.∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根. ∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30 . 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y －a.根据余弦定理，得 (26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0.∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0，y 2－(8+43)2 ≤0 .∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值.∴当a=b 时，a+b 的值最大.a由余弦定理，(26)2=a 2＋b 2－2abCos30可求出 a=b=4+23. ………【练习】1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿7. 如右图△ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积 的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8. 下列四个数中最大的是 ( )（A ） tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48. 9.已知抛物线y=－x 2+2x+8与横轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是__________ 10. 如图△ABC 中，∠C=Rt ∠，CA=CB=1，点P 在AB 上， PQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时，S △APQ 最大？ 11. △ABC 中，AB=AC=a ，以BC 为边向外作等边 三角形BDC ，问当∠BAC 取什么度数时AD 最长？12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数，求2x+5y 2的最大值、最小值.13. △ABC 中∠B=60，AC=1，求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上，若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FAC DA B=k ∶(1－k) (0<k<1). 问k 取何值时，S △DEF 的值最小？16.△ABC 中，BC=2，高AD=1，点P ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时，S PEAF 的值最大？ 【答案】1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤9 10. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222x x -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin a in 230)30180(S AD ==--α，当150 －α=90时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3). 13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6).15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。
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两 次 对 称
(0,2)A •
(0,1)P•1 o C E -1
F
X
结 束 殊 万 语
途 终 须 同 归 。
变 不 离 本 质 ，
：
A
P M P B C D
（1）若M是AB边上的中点， 求PM+PB的最小值.
找出基本图形 两点一线
点动线不动 A组变式：点B换成了点N
如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点
A
M D
P
（2）若M、N分别是AB，BC边 上的点，且AM=CN=1/3AB,求 PM+PN的最小值.
C
B
如图，正方形ABCD中，AB=2,
A
D
（1）若M是AB边上的中点， P是对 角线AC上任意一点，求（PM+PB）2 的最小值.
M
P
B
C
点的个数动一动 C组变式：由两个点到多个点，增加层次性
如图，正方形ABCD中，AB=2,
A
M2 M1 B P2 P1 D
（1）若M是AB边上的中点， P是对 角线AC上任意一点，求（PM+PB）2 的最小值. （2）若M1、M2是AB边上的三等分点 ， P1、P2依次是对角线AC上任意两点 ，求（P1M1+P1B）2+(P2M1+P2M2)2的 最小值.
初中数学最小值
课本原型：（七年级下册）如图，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使 从A，B到它的距离之和最短？ A
B
街道
P
A’
基本图形:两点一线 基本解法:利用对称性
基本图形
几何背景 函数背景
轴对称图形
在几何背景下的应用
典例分析
如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上任意一点
N
会找基本图形， 掌握基本解法
点线一起动 B组变式：改动了对称轴的位置，点M变成了动点
如图，正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中点，
A
B’ Q P M D
（3）连结QC，点P、M是QC、BC 上任意点，求PM+PB的最小值.
P M C
B组题增加题目灵活性， 基本思路不变
点的个数动一动 C组变式：由两个点到多个点，增加层次性
C
殊途同归
1 2 5 y = x - x+2 已知抛物线 若一个动点Ｍ自Ｐ出发， 2 2 先到达对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确 定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最 短路程的长. y
一 次 对 称
A•
Ｐ•1 o C -1
F
X
殊途同归
1.若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x轴上的某点（设为点E）， 再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。 确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最 y 短路程的长.