江西省2021年高二数学上学期期中考试卷(七)
江西省2021年高二数学上学期期中考试卷（七）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（每小题5分，共60分）1．复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i2．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．3．下列不等式中恒成立的是（）A．≤﹣2 B．≥2 C．≥2 D．≥4．在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β5．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．6．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）7．若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．19．运行如图所示的程序框图，则输出k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．函数的最大值是（）A．B．π﹣1 C．πD．π+111．命题p：∃x∈R，使得3x＞x；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）关于直线x=1对称，则（）A．p∨q真B．p∧q真C．￢p真D．￢q假12．已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二．填空题（每小题5分，共20分）13．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，给定下列结论：①y与x具有正的线性相关关系；②回归直线过样本点的中心（，）；③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg．其中正确的结论是．14．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=．15．过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于．16．若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a取值范围是．三．解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）17．已知函数f（x）=|ax﹣2|+|ax﹣a|（a＞0）．（I）当a=1时，求f（x）≥x的解集；（Ⅱ）若不存在实数x，使f（x）＜3成立，求a的取值范围．18．已知命题p方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．19．已知一条直线过点P（2，﹣3）与直线2x﹣y﹣1=0和直线x+2y﹣4=0分别交于点A，B．且点P为线段AB的中点，求这条直线的方程．20．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥B1C；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣EFC的体积．21．已知△ABC中，点A，B的坐标分别为A（﹣，0），B（，0）点C在x轴上方．（1）若点C坐标为（，1），求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程：（2）过点P（m，0）作倾斜角为的直线l交（1）中曲线于M，N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．22．已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣16．（1）求a、b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值．参考答案一．单项选择题1．解：==﹣1﹣2﹣1=﹣4，故选B．2．解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．3．解：选项A，若x为负值，则2﹣x﹣≥2+2=6，显然2﹣x﹣≤﹣2错误；选项B，只有当sinx=1时才正确，故不是恒成立，错误；选项C，==+≥2，但=时x无解，故错误；选项D，=≥恒成立，正确．故选：D4．解：对于A，若a∥α，b∥a，说明b与平面α的平行线a平行，b可能在平面α内，它们的位置关系应该是平行或直线在平面内，故A错；对于B，若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，说明在平面α和平面β内各有一条直线与另一个平面平行，但是条件并没有指明平面α、β的位置关系，平面α、β也可能相交，故不一定α∥β，故B错；对于C，若α∥β，b∥α，说明直线b∥β或b⊂β，故不一定b∥β，故C错；对于D，若α∥β，a⊂α，根据面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面的直线必定平行于另一个平面，知a∥β，故D正确．故选D．5．解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．6．解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．7．解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线．故选D．8．解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为V=×1×1×1=．故选A．9．解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=1满足条件S＜100，S=2，k=2满足条件S＜100，S=6，k=3满足条件S＜100，S=114，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：A．10．解：y′=1﹣cosx≥0，∴函数y=x﹣sinx在区间[，π]递增，=π﹣sinπ=π，∴y最大值故选：C．11．解：命题p：命题p为真命题，比如a=1时31＞1；命题q：f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）的图象关于x=0对称；f（x）的图象是将f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到；∴f（x）的图象关于x=﹣1对称；∴命题q是假命题；∴p∨q真，p∧q假，￢p假，￢q真．故选A．12．解：如图，设过A的直线方程为y=kx﹣1，与抛物线方程联立得x2﹣kx+=0，△=k2﹣2=0，k=±2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（±，3），则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞），故选D．二．填空题13．解：对于①，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于②，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于③，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于④，x=170cm时，═0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确．故答案为：①②③．14．解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S ∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr415．解：由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=∴===令则当S△AOB有最大值为此时，∴又∵﹣1＜k＜0∴16．解答：解：∵f′（x）=3x2﹣3=0解得x=1或x=﹣1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，1）上单调递减；当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）取极小值﹣2+a，当x=﹣1时，f（x）取极大值2+a，∵f（x）=x3﹣3x+a有三个不同零点，∴，解得﹣2＜a＜2∴实数a的取值范围是：（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）三．解答题17．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣2|+|x﹣1|≥x，当x≥2时，解得x≥3；当1＜x＜2时，解得x≤1，∴无解；当x≤1时，解得x≤1．综上可得到解集{x|x≤1或x≥3}．（Ⅱ）依题意，对∀x∈R，都有f（x）≥3，则有f（x）=|ax﹣2|+|ax﹣a|≥|（ax﹣2）﹣（ax﹣a）|=|a﹣2|≥3，故有a﹣2≥3，或a﹣2≤﹣3，解得a≥5，或a≤﹣1（舍去），∴a≥5，即a的取值范围为[5，+∞）．18．解：由2x2+ax﹣a2=0得（2x﹣a）（x+a）=0，∴，∴当命题p为真命题时．即﹣2≤a≤2，又“只有一个实数x0满足”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴当命题q为真命题时，a=0或a=2．∵命题“p∨q”为假命题，∴p，q同时为假命题，即，∴a＞2或a＜﹣2．∴实数a的取值范围的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．19．解：∵点A，B分别在直线2x﹣y﹣1=0和直线x+2y﹣4=0上，∴可以设点A，B的坐标分别为A（m，2m﹣1），B（4﹣2n，n）∵点P（2，﹣3）为线段AB的中点∴，=﹣3解得m=﹣2，n=﹣1∴点A，B的坐标分别为A（﹣2，﹣5），B（6，﹣1）∴直线AB的斜率为k==∴所求直线的方程为y+1=（x﹣6），化为一般式可得x﹣2y﹣8=0．20．（Ⅰ）证明一：连接BD1，BC1∵E、F分别为DD1、BD的中点∴EF∥BD1∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1∴D1C1⊥平面BCC1B1∴D1C1⊥B1C∵正方形BCC1B1∴B1C⊥BC1∵D1C1∩BC1=C1∴B1C⊥平面BC1D1∴B1C⊥BD1∵EF∥BD1∴EF⊥B1C证明二：∵∴Rt△EDF∽Rt△FBB1∴∠DEF=∠BFB1∴∠BFB1+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB1=90°∴EF⊥FB1又∵CF⊥平面BDD1B∴CF⊥EFB1F∩CF=F∴EF⊥平面B1FC∴EF⊥B1C（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD1⊥平面ABCD∴DD1⊥CF 又DD1∩BD=D∴CF⊥平面BDD1B1又CF=方法一：△B1EF的面积=2×2﹣﹣﹣=方法二：∵EF⊥平面B1FC∴EF⊥FB1EF=，FB1=Rt△B1EF的面积=×EF×FB1=××==V C﹣B1EF=×S△B1EF×CF==1∴V B1﹣EFC∴三棱锥B1﹣EFC的体积为1．21．解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则c=，∵C，A，∴2a=|AC|+|BC|=4，b==，∴椭圆方程为（5分）（2）直线l的方程为y=﹣（x﹣m），令M（x1，y1），N（x2，y2），将y=﹣（x﹣m）代入椭圆方程，消去y可得6x2﹣8mx+4m2﹣8=0 ∴，若Q恰在以MN为直径的圆上，则，即m2+1﹣（m+1）（x1+x2）+2x1x2=0，∴3m2﹣4m﹣5=0解得．22．解：（1）因为f（x）=ax3+bx+c，故f′（x）=3ax2+b，由于f（x）在点x=2处取得极值，故有，即，化简得，解得．（2）由（1）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12，令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上为增函数．由此可知f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x=2处取得极小值f （2）=﹣16+c．由题意知16+c=28，解得c=12．此时，f（﹣3）=21，f（3）=3，f（2）=﹣4，所以f（x）在[﹣3，3]上的最大值为28．赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。
江西省九江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
江西省九江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数
学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
二、多选题
A ．点P 到平面11A BC 的距离为定值
B ．三棱锥1D BP
C -的体积为定值
C ．异面直线1C P 与直线CB
D ．直线1C P 与平面1BDC 10．过双曲线22
:145
x y C -=的右焦点作直线A ．存在四条直线l ，使|B ．存在直线l ，使弦AB C ．与该双曲线有相同渐近线且过点D ．若A ，B 都在该双曲线的右支上，则直线55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．给出下列命题正确的是（A ．直线l 的方向向量为a
行
五、解答题
DE平面PBC
(1)求证：//
(2)求直线PG与平面PAD
:C y 20．已知抛物线2
焦点F的距离为5. (1)求抛物线C的方程；
(1)求证：A M '⊥平面MBCN ；
(2)在线段BC 上是否存在点D ，使平面A ND '与平面A MB '在，求BD DC
的值；若不存在，说明理由．
(。
江西省南昌十九中2021-2022学年高二上学期期中考试理科数学试题 Word版含答案
南昌十九中2021～2022学年度第一学期高二班级期中考试数学试题（理）考试时间：120分钟； 命题人：龚晓琴第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x ＋3y ＝3的倾斜角是( )A.π6B.π3C.23πD.56π 2. 直线l ：mx －y ＋1＝0与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定3. 设e 是椭圆2214x y k+=的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ D ．(0,2)4. 已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为( ) A.63 B ．2 C.63或2 D.22或 3 5. 已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2 B.12 C.32 D.526. 当点M(x ，y)在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)7. 已知(4,2)是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．2340x y ++=D ．280x y +-=8. 若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)与直线y ＝2x 无交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ) A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5]9. 若F(c,0)为椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，椭圆C 与直线x a ＋y b ＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线x ＝c 上，则椭圆的离心率为( )A.32 B.12 C.22 D.3310. 点A 、B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．1011. 已知F 1，F 2分别是椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA|＝|MO|，则椭圆的离心率为( )A.105 B.23 C.22 D.27712.如图，过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 14. 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0外切于原点，且半径为25的圆的标准方程为________________．15. 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．16. 已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为______________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．18. （12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数. （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .19. （12分）已知圆M 经过A (1，－2)，B (－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.(1)求圆M 的方程；(2)若P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12为圆内一点，求经过点P 被圆M 截得的弦长最短时的直线l 的方程． 20. （12分）过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求||AB ； (2)求△AOB 的面积．21. （12分）已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，右顶点A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得MP →·MQ →＝0？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．22.（12分）如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )， 若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程.南昌十九中2021～2022学年度第一学期高二班级期中考试数学试题（理答案）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．2 14. (x ＋2)2＋(y －4)2＝20 15.2 16.x ＝－2三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，． 由000016cos 4ρρρθθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4cos ρθ=，化直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 DCCCCBDDBADC（2）联结AC ，易知AOC △为正三角形，||OA 为定值．所以当高最大时，AOB △的面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于点H ，交圆C 于B 点，此时AOB S △最大，max 1||||2S AO HB =⋅()12AO HC BC =+32=+.18. （1）当1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=，曲线C 的标准方程为2219x y +=.联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 与l 交点坐标是()30，和21242525⎛⎫-⎪⎝⎭，. （2）直线l 一般式方程为440x y a +--=，设曲线C 上点()3cos sin p θθ，．则点P 到l 的距离()5sin 43cos 4sin 41717a a d θϕθθ+--+--==，其中3tan 4ϕ=． 依题意得max 17d =，解得16a =-或8a =.19. (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，则圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，则圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E . 由题意有－D －E ＝2，即D ＋E ＝－2. 又∵A (1，－2)，B (－1,0)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋D －2E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，D ＋E ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－3.故所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0. (2)由(1)知，圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心为M (1,0)．当直线l 过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12且与过此点的圆的半径垂直时，l 被圆截得的弦长最短，此时k PM ＝0－121－2＝12， ∴k l ＝－1k PM ＝－2，于是直线l 的方程为y －12＝－2(x －2)，即4x ＋2y －9＝0.20. (1)由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －3x 23－y 26＝1消去y 得5x 2＋6x －27＝0.∴x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275.∴||AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝165 3 (2)直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0.∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|32＋－32＝32. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1653×32＝125 3.21.(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2， x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝3m ， 所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m .由于M (t,0)，又Q (4,4k ＋m )，MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，所以MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ，3m ·(4－t,4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1.所以存在点M (1,0)符合题意．22. (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1， 且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左右顶点． 设C 1的半焦距为c ， 由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1，得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x p ，y p )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x p ＝k 2－4k 2＋4，从而y p ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为(k 2－4k 2＋4，－8kk 2＋4)．同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1k ≠0，y ＝－x 2＋1y ≤0，得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，即－2k2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0. ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意．故直线l 的方程为8x ＋3y －8＝0.。
江西省高二上学期数学期中考试试卷
江西省高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2020高一下·高安期中) 命题“ ”的否定为（）A .B .C .D .【考点】2. （1分） (2018高二上·吉林月考) 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A .B .C .D .【考点】3. （1分）圆x2+y2﹣2x=0的圆心到直线y=x+1的距离是（）A . 1B . 2C .D .【考点】4. （1分）“双曲线C的一条渐近线方程为”是“双曲线C的方程为”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 不充分不必要条件【考点】5. （1分） (2017高三上·定西期中) （其中m、n为正数），若，则的最小值是（）A . 2B . 3C . 3 +2D . 2 +3【考点】6. （1分） (2019高二上·北京期中) 是等差数列的前项和，如果，那么的值是（）A . 1B . 2C . 3D . 4【考点】7. （1分）已知椭圆上的一点p到椭圆一个焦点的距离为3，则p到另一焦点距离为（）A . 2B . 3C . 5D . 7【考点】8. （1分）(2019·浙江模拟) 若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（）A .B .C .D .【考点】9. （1分）已知数列中，，则（）A . 1028B . 1026C . 1024D . 1022【考点】10. （1分） (2016高二下·马山期末) 双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .【考点】11. （1分） (2019高二上·鹤岗期末) 设双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为、，过F作平行于的直线依次交双曲线和直线于点、，若，，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .【考点】12. （1分） (2019高二上·湖南月考) 已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知方程﹣ =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．【考点】14. （1分）(2016·商洛模拟) 抛物线y2=8x的焦点到直线x﹣ y=0的距离是________．【考点】15. （1分） (2019高二下·舟山期末) 设数列的前项和，若，则________， ________．【考点】16. （1分） (2018高二上·黑龙江期中) 设分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线左支上一点，是的中点，且，，则双曲线的离心率为________ 【考点】三、解答题 (共6题；共9分)17. （2分）(2017·西宁模拟) 已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，（1）求的最小值；（2）求证：x2+y2+z2≥ ．【考点】18. （1分） (2016高二上·黄石期中) 设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】19. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 数列{an}的前n项和记为Sn ， a1=2，an+1=Sn+2（n∈N*）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn ．【考点】20. （2分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C 经过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【考点】21. （1分）(2018·新疆模拟) 在等差数列中，已知， .（I）求数列的通项；（II）若，求数列的前项和 .【考点】22. （1分）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为3和1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆E于M，N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D，设弦MN的中点为P，试求的取值范围．【考点】参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共9分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
江西省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的图像如图所示，则角是（ ）sin cos :y x l θθ=+θA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. sin 0θ<cos 0θ>【详解】结合图像易知，，， sin 0θ<cos 0θ>则角是第四象限角， θ故选：D.2．的展开式中的系数为（ ） ()()8x y x y -+36x y A ． B ．C ．D ．2828-5656-【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数. 8()x y +8()()x y x y -+36x y 【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++ 观察可知的系数为. 36x y 6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-=-=-⨯⨯⨯故选：B.3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） p 0mn >q 221x y m n+=p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；0mn >0m n =>221x y m n +=而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 221x y m n+=0mn >所以是的必要不充分条件. p q 故选：B4．两平行平面分别经过坐标原点O 和点，且两平面的一个法向量，则两,αβ()1,2,3A ()1,0,1n =-平面间的距离是（ ）A B C D ．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O 和点，,αβ(1,2,3),(1,2,3)A OA =且两平面的一个法向量，(1,0,1)n =-∴两平面间的距离 ||||n OA d n ⋅=== 故选：A5．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种 B ．40种 C ．50种 D ．60种【答案】D【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，25C 10=再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，2232C A 6=所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.222532C C A 60=故选：D6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线C 2220x y x +-=l 10x y ++=P l P C 、，切点分别、，当最小时，直线PC 的方程为（ ）PA PB A B ·PC ABA ．B ．C ．D ．+=0x y 10x y --=2210x y -+=2210x y ++=【答案】B【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直·PC AB l PC 线的方程.PC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.C ()2211x y -+=()1,0C =1r 依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ， 所以，而14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△当直线时，最小，此时最小， PC l ⊥PA PC AB ⋅所以此时，即. :=1PC y x -10x y --=故选：B.7．某奥运村有，，三个运动员生活区，其中区住有人，区住有人，区住有人A B C A 30B 15C 10已知三个区在一条直线上，位置如图所示奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员..步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（ ）A ．区B ．区C ．区D ．，两区之间A B C A B 【答案】A【分析】分类讨论，分别研究停靠点为区、区、区和，两区之间时的总路程，即可得出A B C A B 答案．【详解】若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； A 15100103004500⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； B 30100102005000⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； C 303001520012000⨯+⨯=若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：A B A x ， 30151001010020054500x x x x +⨯-+⨯+-=+（）（）当取最小值，故停靠点为区． 0x =A 故选：A8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若,,A B C 22221(0,0)x y a b a b -=>>AB O AC F 且，则该双曲线的离心率是（ ）BF AC ⊥2AF CF =A ．B C D ．5394【答案】B【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角','AF CF 'FAF B 三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．a c 、【详解】设左焦点为， ，连接F'AF m =','AF CF 则 ， ， ， 2FC m ='2AF a m =+'22CF a m =+'2FF c =因为，且经过原点 BF AC ⊥AB O 所以四边形 为矩形'FAF B 在Rt △中， ，代入'AF C 222'+'AF AC F C =()()()2222+3=22a m m a m ++化简得 23a m =所以在Rt △中，，代入 'AF F 222'+'AF AF F F =()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得 ，即 22179c a =e =所以选B【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件1a =-210a x y -+=20x ay --=B ．已知，O 为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，0ab ≠(,)P a b 222x y r +=m 2ax by r +=则与圆相交m C ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N k 1322k -≤≤D ．直线的倾斜角的取值范围是sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 【答案】BD【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率、直线的方程，直线与圆的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于A ，由直线与直线互相垂直，210a x y -+=20x ay --=，化为，解得或，21(1)()0a a ∴⨯+-⨯-=20a a +==0a 1- “”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件，故A 错误；∴1a =-210a x y -+=20x ay --=对于B ，因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离(,)P a b 222x y r +=222a b r +>m，可得与圆相交，故B 正确；||d r =m 对于C ，已知直线和以，为端点的线段相交，则、两个点在直10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N M N 线的两侧或直线上，10kx y k ---=则有，解可得或，故C 错误； (311)(321)0k k k k -------≤12k ≤-32k ≥对于D ，设直线的倾斜角，则,， sin 20x y α++=θtan sin [1θα=-∈-1]故的取值范围是，故D 正确. θ3[0,[,)44πππ 故选：BD .10．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） 2(n x 314A ．B ．展开式中的常数项为45 10n =C ．含的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项5x【答案】ABC【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为()52211C r n rr r n T x-+=-，可得.再根据公式逐个选项判断即可. 31410n =【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的()()5222221C 11C rr n r rrn r r r n nT xx x---+=-=-系数之比为，则，故，得. 31424C 3C 14n n=()()()()1312123141234n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯25500n n --=∴(n ＋5)(n －10)＝0，解得n ＝10，故A 正确；则，令，解得， ()52021101C rr r r T x-+=-52002r-=8r =则展开式中的常数项为，故B 正确； 810C 45=令，解得，则含的项的系数为，故C 正确； 52052r -=6r =5x ()66101C 210-=令，则r 为偶数，此时，故6项有理项． 520Z 2r-∈0,2,4,6,8,10r =故选：ABC11．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ） A ．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法 B ．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法 C ．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D ．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法 【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【详解】解：A 项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法， 22A 再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，44A 由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A 正确；2424A A 48=B 项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法， 33A 再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，24A由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B 正确；3234A A =72C 项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法， 35A 剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C 错误；35A =60D 项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法， 55A 任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法， 44A 44A 任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，33A 所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D 正确. 543543A -2A +A =78故选：ABD.12．为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进100行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则32π38下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点的球的截面圆的面积为 ,,ABC 43πB ．异面直线与所成的角的余弦值为AD BE 916C ．连接，构成一个八面体，则该八面体的体积为 ,,AB BC CA ABCDEF ABCDEF 18D ．点 D 2【答案】ACD【分析】对A ：经过三个顶点的球的截面圆即为的外接圆，运算求解；对B ：建系，,,A B C MNG △利用空间向量处理异面直线夹角问题；对C ：八面体由三个全等的四棱锥ABCDEF和直棱柱组合而成，结合相关体积公式运算求解；,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -对D ：点到球面上的点的最小距离为，结合球的性质运算求解.D OD R -【详解】如图1，取的中点分别为，连接 ,,DE EF DF ,,M NG ,,,,,AM BN CG MN NG GM 根据题意可得：均垂直于平面，可知 ,,AM BN CG DEF ABC MNG ≅△△∵的边长为2，设的外接圆半径为r ，则MNG △MNG △sin MN 2r MGN ==∠∴的外接圆面积为r =MNG △4ππ32r =∴经过三个顶点的球的截面圆的面积为，A 正确； ,,A B C 43π八面体由三个全等的四棱锥和直棱柱组合ABCDEF ,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -而成直棱柱的底面边长为2，高ABC MNG -AM =12262ABC MNG V -=⨯⨯=设，则为的中点 EN MN H = H MN ∵平面，平面 AM ⊥DEF EH ⊂DEF ∴AM EH ⊥又∵为等边三角形且为的中点，则EMN A H MN MN EH ⊥，平面 AM MN M = ,AM MN ⊂ABNM ∴平面EH ⊥ABNM即四棱锥的高为E ABNM -EH =1243E ABNM V -=⨯=∴八面体的体积为，C 正确；ABCDEF 318E ABNM ABC MNG V V V --=+=设的中心分别为，球的球心为，由题意可得其半径 ,ABC MNG △△12,O O O =2R 则可知三点共线，连接 12,,O O O 1,O B OD则可得：212112O D O O O O O O O O OD ===+==点，D 正确；D 2-如图2，以G 为坐标原点建立空间直角坐标系则有：((()(),,2,0,0,0,A B D E -∴((,DA BE =-=- 又∵ 5cos ,8DA BE DA BE DA BE⋅==-∴异面直线与所成的角的余弦值为，B 错误；AD BE 58故选：ACD.【点睛】1.对于多面体体积问题，要理解几何体的结构特征，并灵活运用割补方法； 2.对于球相关问题，主要根据两个基本性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面圆心的连线与截面垂直.三、填空题13．若，则______．2213C P x xx -+=x =【答案】5【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x 的值.【详解】因为，， ()22313C 3C 2x x x x x --==21P (1)x x x +=+所以，由可得，3(x -1)=2(x +1)2213C P x x x -+=解得，x =5.故答案为：5.14．各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】120【分析】四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数. 1234,,,a a a a 12348a a a a +++=【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且， 1234,,,a a a a *4N a ∈N(1,2,3)i a i ∈=1234a a a a +++8=相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.310C 120=故答案为：12015．已知分别为双曲线的左、右顶点，点为双曲线上任意一点，12,A A 2222:1(0)x y C a b a b -=>>P C 记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为__________. 1PA 2PA 12,k k 122k k ⋅=C【分析】设，应用斜率两点式得到，根据为双曲线上一点即可得双曲线参()00,P x y 22202y x a=-P C 数关系，进而求其离心率【详解】依题意，设，则，，又()()12,0,,0A a A a -()00,P x y 0012002y y k k x a x a ⋅=⋅=+-22202y x a∴=-，，故，即()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭222b a ∴=22213b e a =+=e =16．在棱长为1的正方体中，M 是棱的中点，点P 在侧面内，若1111ABCD A B C D -1AA 11ABB A ，则的面积的最小值是________．1D P CM ⊥PBC △【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x ，y ，z 轴， 1DD 建立空间直角坐标系，则点，所以， ()1,,,[01]P y z y z ∈、，()10,0,1D ()11,,1D P y z =-因为，所以，()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为，所以，所以，1D P CM ⊥ ()11102y z -+-=21z y =-因为，所以， ()1,1,0B ()0,1,21BP y y =--，=因为，所以当时， 01y ≤≤35y =min BP =因为正方体中，平面平面，故， BC ⊥11,ABB A BP ⊂11ABB A BC BP ⊥所以()min 1=12PBC S ⨯A四、解答题17．已知的顶点. ABC A ()()()2,64,2,2,0A B C -，(1)求边的中垂线所在直线的方程； BC (2)求的面积. ABC A 【答案】(1)； 340x y +-=(2)14.【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式BC BC 写出所求方程；（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即AB C AB AB 可.【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，BC 2014(2)3-=--BC 3-又的中点为，BC ()1,1边的中垂线所在直线的方程为：，即； BC ()131y x -=--340x y +-=（2）直线的方程为：，即， AB 626(2)24y x --=--2100x y +-=点到直线的距离 C AB d=故的面积为. ABC A 1142S AB d =⋅=18．已知展开式的二项式系数和为512，且()(2)n f x x =-.2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-(1)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2)求被除的余数. ()20f 17【答案】(1) 1(2) 1【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合展开式，分别令和，求得2512n =9n =1x =2x =和，即可求解；01a =-012390a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）由，结合二项式的展开式，即可求解.999(20)(2021817)(1)f ==+=-【详解】（1）解：由展开式的二项式系数和为，可得，解得，(2)n x -5122512n =9n =则，9290129(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-令，可得，1x =90(12)1a =-=-令，可得，2x =012399(22)0a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅=-⋅+=⋅所以， 12390(1)1a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅=--+=⋅即.1231n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）解：由题意，可得，999(20)(2021817)(1)f ==+=-又由，90918890081789999999(171)1717171717(1717)1C C C C C C C +=⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+++ 所以被除的余数为.()20f 17119．如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，P ABCD -ABCD ，是正三角形．,,22⊥===∥AB CD AD AB AB BC CD PBC △(1)求证：；BC PA ⊥(2)当四棱锥体积最大时，二面角的大小为，求的值. P ABCD -B PA C --θcos θ【答案】(1)证明见解析； (2). 15【分析】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，可证明，由线面垂直的判定定理可证AO BC ⊥PO BC ⊥明平面PAO ，即得证；BC ⊥（2）分析可知当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大，建立空间直角坐标系，PBC ⊥P ABCD -由二面角的向量公式，计算即可.【详解】（1）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，A C ．∵，， 2AB CD =AB CD ∥∴CD 与AE 平行且相等， ∴四边形AECD 是平行四边形，又，∴四边形AECD 是矩形，∴． AD AB ⊥CE AB ⊥∴，∴是等边三角形． =AC BC AB =ABC A 取BC 的中点O ，连接AO ，则． AO BC ⊥连接PO ，∵，∴， PB PC =PO BC ⊥∵，平面PAO ，=PO AO O ⋂PO AO ⊂，∴平面PAO ，∵PA 平面PAO ，∴； BC ⊥⊂BC PA ⊥（2）由（1）知，是等边三角形，∴， ABC A CE =∴梯形ABCD 的面积为定值， S =故当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大． PBC ⊥P ABCD -∵，平面平面ABCD ，平面 PO BC ⊥PBC ⋂BC =PO ⊂PBC ∴平面ABCD ，平面ABCD ，∴.PO ⊥,OA OB ⊂,PO OA PO OB ⊥⊥∵OP ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 分别为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则． (0,1,0),(0,1,0),A B C P -∴，，=(0,1,PA PB -- =(0,1,CP --设平面PAB 的法向量为，则，取，则． ()111,,n x y z =1111=0==0PA n PB n y ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 111x z ==n = 同理设平面PAC 的法向量为，则，取，则． (,,)m x y z ===0=0CP m y PA m ⋅--⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 1x z ===(1,m - 设平面PAB 与平面PAD 的夹角为，则，θ1cos =|cos<,>|=||=||||5m n m n m n ⋅θ即为所求二面角的余弦值.B PAC --20．如图，某海面上有､､三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向O A B A O 45︒处，岛在岛的正东方向处.B O 20km(1)以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写出O O x 1km A 、的坐标，并求、两岛之间的距离；B A B (2)已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距O A B O 30°O 岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20km 60︒【答案】(1)，， ()40,40A ()20,0B (2)该船有触礁的危险【分析】（1）结合图像，易得的坐标，再利用两点距离公式即可得解；,A B （2）先由待定系数法求得过、、三点的圆的方程，再求得该船航线所在直线的方程，利用O A B 点线距离公式可知该船航线与圆的位置关系，据此可解.【详解】（1）∵在的东北方向处，在的正东方向处， AO B O 20km ∴，， ()40,40A ()20,0B 由两点间的距离公式得；=（2）设过、、三点的圆的方程为，O A B 220x y Dx Ey F ++++=将､､代入上式得，解得，()0,0O ()40,40A ()20,0B 222=040+40+40+40+=020+20+=0F D E F D F ⎧⎪⎨⎪⎩=20=60=0D E F --⎧⎪⎨⎪⎩所以圆的方程为，即，故圆心为，半径2220600x y x y +--=()()2210301000x y -+-=()10,30r =设船起初所在的位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为C (10,C --， ()tan 6030tan 30︒-︒=︒=由点斜式得该船航线所在直线的方程：，l 200x -=所以圆心到：的距离为l 200x -=d+由于， 2(5700+=+21000700=>+即， 5d =+<所以该船有触礁的危险.21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程；C (2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且F (x )C A B P AB ，是坐标原点，求面积的最大值．()2OP OA OB λλ=+-O PAB △【答案】(1)22143x y +=(2) 32【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；2a 2b （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等AB P AB 式计算可得.【详解】（1）解：由题意，又，解得，， 221=2914+=1c a a b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为；C ∴22143x y +=（2）解：设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 则，消元整理得， 22=+1+=143x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，，122634my y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m -由， ()2OP OA OB λλ=+-得，()()()()001212,2,2x y x x y y λλλλ=+-+-()()()()()0121212212122x x x my my my my λλλλλλ∴=+-=++-+=+-+， ()0122yy y λλ=+-到直线的距离P ∴ABh22112(+1)=×23+4PAB m S m ∴A 设，而在时递增，t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为．∴=1t 1=0m =PAB S A 3222．如图，已知抛物线的焦点F ，且经过点，．()2:20C y px p =>()()2,0A p m m >5AF =(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且．过点A 作，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得AM AN ⊥AD MN ⊥DQ 为定值．【答案】(1)，； 2p =4m =(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m 即可. ||252pAF p =+=p A （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据:MN x ky n =+11(,)M x y 22(,)N x y 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定所过定点，再由AM AN ⊥MN B 易知在以为直径的圆上，即可证结论. AD MN ⊥D AB 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， ||252pAF p =+=2p =又在抛物线上，则，可得. ()()4,0A m m >244m =⨯4m =（2）设，，由（1）知：，11(,)M x y 22(,)N x y (4,4)A 所以，，又，11(4,4)AM x y =-- 22(4,4)AN x y =--AM AN ⊥所以，121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=令直线，联立，整理得，且，:MN x ky n =+2:4C y x =2440y ky n --=216160k n ∆=+>所以，，则，124y y k +=124y y n =-21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=综上，， 2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=当时，过定点；84n k =+:(4)8MN x k y =++()8,4B -当时，过定点，即共线，不合题意； 44n k =-:(4)4MN x k y =-+(4,4),,A M N 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， MN ()8,4B -AD MN ⊥D AB而中点为，即为定值，得证.AB ()6,0Q 2AB DQ ==。
江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知椭圆方程为2213664x y +=，则该椭圆的长轴长为（ ）A ．6B ．12C ．8D ．162．已知椭圆C 过点(3,0)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．22193x y +=B ．221279y x +=C ．22193x y +=或22139x y += D ．22193x y +=或221279y x +=3．已知圆22:20C x y x m +-+=与圆()()22334x y +++=外切，点P 是圆C 上一动点，则点P 到直线51280x y ++=的距离的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．54．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C 的方程为2211612x y +=，其左､右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且15PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线m 与椭圆长轴交于点Q ，则12F Q F Q=（ ）ABC ．54D ．535．抛物线214x y =的焦点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，则该双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D6．已知抛物线C ：()220y px p =>的顶点为O ，经过点()0,2A x ，且F 为抛物线C 的焦点，若3AF OF =，则p ＝（ ）A ．12B ．1C D ．27．已知()1,0F 为椭圆2219x y m+=的焦点，P 为椭圆上一动点，()1,1A ，则PA PF +的最小值为（ ）A ．6B ．1C ．6-D ．68．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，过2F 的直线交椭圆于,M N 两点，若OM c =（O 为坐标原点），123MF NF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D二、多选题9．设椭圆22:1259x y C +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．A ．1210PF PF +=B ．P 到1F 最小的距离是2C ．12PF F △面积的最大值为6D ．P 到1F 最大的距离是910．已知直线:210l kx y k -++=和圆22:8O x y +=，则（ ）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．直线l 被圆O 截得的最短弦长为11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,P Q 两点．若以PQ 为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（ ）A ．双曲线的渐近线方程为y =B ．双曲线的渐近线方程为y =C D ．双曲线的离心率为212．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是C 上相异两点，则下列结论正确的是（ ）A ．若AF FB =u u u r u u u r，则2AB p =B ．若1y =2AF =，则1p =C ．若122x x p +=，则3AB p =D ．若(),0M p ，则AF AM +的最小值为32p三、填空题13．已知双曲线22:122x y C -=，则双曲线C 的焦距为．14．双曲线2215(0)x y a a -=>与椭圆221259x y +=的焦点相同，则实数=a .15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p =．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 且倾斜角为45o的直线l 与C 交于,A B 两点.若12AF F △的面积是12BF F △面积的2倍，则C 的离心率为.四、解答题17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，短轴的一个端点为P .(1)若12F PF ∠为直角，焦距为2，求椭圆C 的标准方程； (2)若12F PF ∠为锐角，求椭圆C 的离心率的取值范围．18．椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点A （2，3）且倾斜角为π4的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求|MN |．19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其准线方程为2x =-． (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点O 的直线:l y x m =+与抛物线交于不同的两点,P Q ，且OP OQ ⊥，求m 的值．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y px p =>上一点P 的横坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为5. (1)求抛物线的方程；(2)若直线:l x my t =+交抛物线于,A B 两点（位于对称轴异侧），且94OA OB ⋅=u u u r u u u r ，问：直线l 是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由.22．已知椭圆2221(1)x y a a +=>的右焦点F 恰为抛物线22y px =的焦点，过点F 且与x 轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为(1)求a 的值；(2)已知P 为直线y a =-上任一点，A B ､分别为椭圆的上､下顶点，设直线,PA PB 与椭圆的另一交点分别为,C D ，求证：直线CD 过定点.并求出该定点.。
江西省南昌市第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
0)有相同的焦点 F1, F2 ，
P
为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为
e ,e 12
,F1PF2
π ，且
3
e2 2, 3 ，则 e1 的取值范围为
．
四、解答题
17．已知空间三点
A
2,
0,
2
，
B
1,1,
2
，
C
3,
0,
4
，设
AB=a
， AC b
.
(1)求 a
与b
的夹角 的余弦值；
A．1
B．2
C．
1 5
D．
2 5
5．已知 F 为抛物线 C ： y2 4x 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点，线段 AB
的垂直平分线交 x 轴于点 M ，垂足为 E ，若 AB 6 ，则 EM 的长为
A． 2 2
B． 6
C． 2
D． 3
6．已知 F1 ， F2 是椭圆 C :
x2 5
y2 9
1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且
PF1
F1F2
，则
△PF1F2 的内切圆的半径 r （ ）
A．1
B． 5
C． 15 5
D．2
7．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
，A2
，双曲线 C 上任意一点 P（与
A1,
A2
不重合）都满足
PA1
，
PA2
M (4,3) ，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 C 的准线方程为 x 3 B．若 PF 7 ，则△PMF 的面积为 2 3 3
2
C． PF | PM |的最大值为 10
江西省南昌县莲塘第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
江西省南昌县莲塘第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题1. 已知倾斜角为的直线l 与直线x －2y +2=0平行，则tan 2的值为 A. 45B.34C.23D.43D试题分析：由题意可知，1tan 2α=，所以22tan 14tan 211tan 314ααα===--．考点：1．斜率公式；2．正切的二倍角公式．2. 已知直线()1:210l ax a y +++=，22:0l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ） A. 0 B. 2或-1 C. 0或-3 D. -3C由12l l ⊥，结合两直线一般式有12120A A B B +=列方程求解即可. 由12l l ⊥知：(2)0a a a ++=,解得：0a =或3a =-故选：C .3. 已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点A. （-12，3）B. （12，3） C. （12，-3） D. （-12，-3） D直线2130x my m -+-=，化为()2130x m y +-+=，令21030x y +=⎧⎨+=⎩，解得1,32x y =-=-，当m 变动时，所有直线都通过定点1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选D.4. 原点必位于圆：()222()=22101x y ax y a a -+-->+的（ ）A. 内部B. 圆周上C. 外部D. 均有可能C将原点代入圆的方程，判断选项.将原点()0,0代入圆的方程，()()2101a a ->>，所以原点必在圆的外部.故选：C5. 如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为 ()A. 0.04B. 0.06C. 0.2D. 0.3C由频率分布直方图知识得，年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x ，y ，z ，又x ，y ，z 成等差数列，所以可得10.050.352x y x x z y ++=--⎧⎨+=⎩解得y ＝0.2，所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.故选C ．6. 过点(20)-，且倾斜角为4π的直线l 与圆225=x y +相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（ ）A. 22B. 3C. 3D. 6C求出直线l 的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由222MN r d =-即可求解.由题意可知直线l 的方程为：2y x =+，即20x y -+=，225=x y +的圆心为()0,0，5r =，圆心到直线l 的距离00222d -+==所以22225223MN r d =-=-=故选：C7. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1:2，则圆C 的方程为()A. 22343x y ⎛⎫±+= ⎪ ⎪⎝⎭B. 22313x y ⎛⎫±+= ⎪ ⎪⎝⎭ C. 22343x y ⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭ D. 22313x y ⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭C设圆心(0,)C a ，由题意可得圆被x 轴截得的弦对的圆心角为23π，故有1tan ||3a π=，解得3a =±，可得半径的值，从而求得圆的方程．解：设圆心(0,)C a ，根据圆被x 轴分成两段弧长之比为1:2， 可得圆被x 轴截得的弦所对的圆心角为23π，故有tan 13a π=，解得3a =±， 半径2222341133r a ⎛⎫=+=+±= ⎪ ⎪⎝⎭，故圆的方程为22343x y ⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C ．本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，关键是求圆心坐标，属于基础题． 8. 一个体积为123( )A. 63B. 8C. 83D. 12A依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为123.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为63依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为123.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为63.故选A.考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力. 9. 执行如图所示的算法，则输出的结果是A. 1B.43C.54D. 2A试题分析：0,2;s n ==231443,,0log ;333n M S +====+22254554,,log log log ;4343n M S ===+=2226565,,log log log 21;535n M S Q ===+==∈输出1s =；故选A.考点：程序框图、对数的运算.10. 已知点A （－2，0），点M （x ，y ）为平面区域220{240330x y x y x y +-≥-+≥--≤上的一个动点，则|AM|的最小值是 A. 5 B. 3C. 22D.65D试题分析:作出不等式组220{240330x y x y x y +-≥-+≥--≤，表示的平面区域，如下图：由图可知：|AM|的最小值是点A （－2，0）到平面区域的边界线220x y +-=的距离， 由点到直线的距离公式，得：min222(2)026521AM⨯-+-==+，故选D ． 考点：线性规划．11. 已知(20)A -，，(0)B ，2，M ，N 是圆220x y kx ++=（k 是常数）上两个不同的点，P 是圆上的动点，如果M ，N 两点关于直线10x y --=对称，则PAB △面积的最大值是（ ） A. 32 B. 32C. 22D. 22+B首先根据圆的对称性得直线10x y --=过圆心，求得圆的方程，再求圆心到直线AB 的距离d ，则圆上的点到直线AB 的距离的最大值是d r +，即可得面积的最大值.因为M ，N 是圆220x y kx ++=（k 是常数）上两个不同的点，且 M ，N 两点关于直线10x y --=对称，所以圆心,02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线10x y --=上，得102k --=，解得：2k =-，即圆的方程是()22222011x y x x y +-=⇔-+=，直线:20AB x y -+=，圆心()1,0到直线20x y -+=的距离d ==AB 的最远距离为12+，所以PAB △面积的最大值为11322S AB ⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：B 关键点点睛：本题的关键是根据圆上的点,M N 关于直线10x y --=对称，得直线10x y --=过圆心，求得圆的方程后，后面的问题迎刃而解.12. 两个圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210,()C x y by b b R +--+=∈ 恰有三条公切线，则+a b 的最小值为A. 6-B. 3-C. -D. 3C圆2221:240,()C x y ax a a R +++-=∈的圆心为1(,0),C a -半径是2；圆2222:210,()C x y by b b R +--+=∈的圆心是2(0,)C b ，半径是1；依题意知两圆外切；则221221,9C C a b ==+∴+=.22222222()2,2()(),92a b a b ab a b a b a b ++≥∴+≥+∴+=≥即2()18,a b a b +≤∴-≤+≤故选C 二、填空题13. 已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a ＋b ＋c 的值为________． -4首先根据垂直得出2145a -⨯=- 求出a 的值，再由(1,)c 再直线5210x y +-=和250x yb -+=求出,b c 的值，算出结果．直线l1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ∴ ＋b ＝0互相垂直∴ 2145a -⨯=-，得10a =1:5210l x y ∴+-=(1,)c 在直线12:5210,:250l x y l x y b +-=-+=上，带入求得 2,12c b =-=-4a b c ∴++=- 故答案为4-14. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_____.4π 利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积之比即可得到结果．设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则2112()124P A ππ⨯==⨯. 故答案为：4π. 本题主要考查了几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，属于基础题．15. 有一个长为5cm ，宽为4cm 的矩形，则其直观图的面积为_____2cm .52根据平面图形面积与直观图面积之比为22即可计算求得结果. 该矩形的面积：25420()S cm =⨯=平面图形的面积S 与直观图的面积S '之比为∴直观图的面积2)S S cm '==故答案为：本题考查直观图面积的计算问题，关键是明确平面图形面积与直观图面积之比为，则通过计算平面图形面积即可得到直观图的面积.16. 2019年7月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示： 可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是 3.240y x =-+，且20m n +=，则其中的n =______. 10计算,x y ，代入回归直线方程，与20m n +=结合，求解出n 的值. 依题意4030,55m n x y ++==，代入回归直线方程得30403.24055n m++=-⨯+①，根据题意20m n +=②，解①②组成的方程组得10m n ==，故填10.本小题主要考查回归直线方程过样本中心点(),x y ，考查方程的思想，属于基础题. 三、解答题17. 一条直线l 过点(14)P ，，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，求AOB 的面积最小时直线l 的方程．480x y +-=.设(),0A a ，()0,B b ，可得直线l 的方程为：1x ya b+=，把点(14)P ，代入利用基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出.设(),0A a ，()0,B b ，则直线l 的方程为：1x ya b+=， 把点(14)P ，代入可得：141a b+=，(),0a b >．∴1412a b ≥⨯，化为16ab ≥，当且仅当48b a ==时取等号， ∴182AOBSab =≥， 此时直线l 的方程为480x y +-=.18. 两圆相交于两点(1,3)和(1)m -，，两圆圆心都在直线=0x y c -+上，且m ，c 均为实数，求m和c 的值．52m c ==-，，根据题意可知：直线0x y c -+=是线段AB 的垂直平分线，故可求得,A B 所在直线斜率，进而求得m ，在利用中点公式和m 的值求出线段AB 中点，代入0x y c -+=，即可求出c 的值. 由题意可知：直线0x y c -+=是线段AB 的垂直平分线，又直线0x y c -+=的斜率为1，则3(1)11m--=--， 且131022m c +--+=， 解得52m c ==-，.19. 如图1，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，如图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm 的全等的等腰直角三角形.（1）根据图中所给的正视图､侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； （2）求P A .（1）俯视图答案见解析，其面积为36cm 2；（2）63cm . （1）由正视图和侧视图可判断俯视图为正方形多一条对角线；（2）PA 可理解为正方体的体对角线，利用222PA PC CD DA =++即可求解（1）该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm 的正方形，如图，其面积为36cm 2；俯视图（2）由侧视图可求得22226662PD PC CD cm=+=+=，由正视图可知AD=6，且AD⊥PD，所以Rt△APD中，P A2222(62)663PD AD cm+=+=.20. 已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝10（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程.（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40 （1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出,a b的值，即得圆P的方程.（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.所以1CDk=-.则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝10，所以|P A|＝210，所以（a＋1）2＋b2＝40.②由①②解得36ab=-⎧⎨=⎩或52ab=⎧⎨=-⎩所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21. 已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1l ：270x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点，Q 是MN 的中点.（1）求圆A 的方程；（2）当219MN =时，求直线l 的方程.（1）22(1)(2)20x y ++-=；（2）2x =-或3460x y -+=.（1）设出圆A 的半径，根据以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l 过点(2,0)B -，求出直线的斜率，进而得到直线l 的方程.（1）设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线1:270l x y ++=相切，255R ∴==， ∴圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=；（2）①当直线l 与x 轴垂直时，易知2x =-符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，连接AQ ，则AQ MN ⊥||219MN =，||20191AQ ∴=-=，则由2||11AQ k ==+，得34k =，∴直线:3460l x y -+=． 故直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用、直线的一般式方程和圆的标准方程，其中（1）的关键是求出圆的半径，（2）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离）．22. 在以O 为原点的直角坐标系中，点(4,3)A -为OAB 的直角顶点，已知2AB OA =，且点B 的纵坐标大于0．（1）求AB 的坐标；（2）求圆22620x x y y -++=关于直线OB 对称的圆的方程．（1）{}6,8；（2）()()221310x y -+-=. （1）设出要求的向量的坐标，根据所给的模长的关系和直角三角形两条直角边垂直的关系，写出关于向量坐标的关系式，解方程，舍去不合题意的结果，得到向量的坐标．（2）求出直线OB 的方程以及已知圆的圆心及半径，求出圆心关于直线的对称点，进而可得结果.（1）设{},AB u v =，则由2AB OA =， 0AB OA ⋅=，即22100 430u v u v ⎧+=⎨-=⎩，得6 8u v =⎧⎨=⎩或6 8u v =-⎧⎨=-⎩， ∵{}=4,3OB OA AB u v +=+-， ∴30v ->，得8v =，∴{}68AB =，. （2）由{}105OB =，，得()10,5B ， 于是直线OB 方程：12y x =， 由条件可知圆的标准方程为：()()223110x y -++=，得圆心()31-，，半径为 设圆心()31-，关于直线OB 的对称点为(),x y ， 则312022123x y y x +-⎧-⨯=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，得1 3x y =⎧⎨=⎩， ∴所求圆的方程为()()221310x y -+-=.。
江西省南昌二中2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
南昌二中2021—2022学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷命题人：周启新 审题人：黄洁琼一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.点(1,1)P -在极坐标系中的坐标为（ ）A. 3(2,)4πB. 3(2,)4π-C. 3(2,)4πD. 3(2,)4π-2.抛物线24x y =-的准线方程为（ ）A. 116x =B. 116x =- C. 1y = D. 1y =-3.直线210ax y +-=与直线220x ay ++=平行，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2- D. 2或2-4.圆221:2220C x y x y ++--=与圆222:680C x y x y +--=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含5.以抛物线28y x =的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（ ） A. 22430x y x +-+= B. 22430x y y +-+= C. 22430x y x +--=D. 22430x y y +--=6. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（ ）A.221916x y -= B. 221916y x -= C. 2211625x y -= D. 2211625y x -= 7. 椭圆2214924x y 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线相互垂直，则12PF F ∆的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 288. 若直线y x b =+与曲线224y x x =-b 的取值范围是（ ）A ．[2,2]--B ．(22,2]--C ．(2,22)-D ．[2,22)9. 一动圆与两圆221x y +=和228120x y y +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线一支10. A 、B 分别是椭圆22143x y +=的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则ABC ∆ 面积的最大值为（ ）A.63B.63 C. 623 D. 26311. 已知直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>截得的弦长为2021，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长肯定为2021的有（ ）①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 12. 如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆221(1)4x y -+=于点,,,A B C D 四点，则||4||AB CD +的最小值为（ ）A.172 B.152 C. 132D. 112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13. 直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为 ；14. 已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ； 15. 已知直线1l ：4360xy 和直线2l ：1x，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为 ；16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在双曲线的右支上，O 是坐标原点，2OMF ∆是以M 23，则双曲线C 的离心率是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 .（本小题满分10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,1)P m 到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，(6,3)M 是双曲线右支上一点，且12||||6MF MF -=，求双曲线C 的标准方程.18 .（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为一般方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求PB PA +的值．19 .（本小题满分12分）已知抛物线的方程为24y x =，过点(2,1)M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点. （Ⅰ）求直线l 的方程； （Ⅱ）求线段AB 的长度.20 .（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线4310x y +-=相切，被直线3450x y +-=截得的弦C 的方程；x ，y 满足圆C 的方程，求2244x y x y +++的取值范围.21．(本小题满分12分)椭圆22221(0)x ya b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求2211a b+的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率ee ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围．22.(本小题满分12分)如图，椭圆22122:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为的1F 、2F ，离心率为2；过抛物线22:4C x by =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F 。
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z =1−i ，则z (1−z )=( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.已知椭圆方程为x 236+y 264=1，则该椭圆的长轴长为( )A. 6B. 12C. 8D. 163.已知椭圆C:x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为( )A. 2B. 4C. 23 D. 434.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则渐近线方程是( )A. y =±12xB. y =±2xC. y =±3xD. y =±33x 5.已知抛物线的焦点在直线x−2y−4=0上，则此抛物线的标准方程是( )A. y 2=16xB. x 2=−8yC. y 2=16x 或x 2=−8yD. y 2=16x 或x 2=8y6.“a =3”是“直线l 1:ax−2y +3=0与直线l 2:(a−1)x +3y−5=0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知动圆C 与圆C 1:(x−3)2+y 2=4外切，与圆C 2:(x +3)2+y 2=4内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x 2=4y,y ∈[0,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江西省南昌市豫章中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案
豫章中学2021年——2022年上学期期中考试 高 二 数 学 （文）命题人：艾春光 审题人：胡丽斌一．选择题1.若直线l 1：ax+y ﹣1=0与l 2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．0或﹣D ．1或﹣32.抛物线y=﹣4 x 2的焦点坐标是（ ） A ．（0，﹣1） B ．（﹣1，0）C ．（0，-161） D ．（﹣161，0） 3.已知直线y=kx+2k+1与直线y=﹣x+2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ） A ．﹣B ．k或 kC ．﹣6＜k ＜2D ．k4.在极坐标系中，极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点M （2，）的直角坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（，1） C ．（1，） D ．（1，2）5.圆心在x+y=0上，且与x 轴交于点A （﹣3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．（x+1）2+（y ﹣1）2=5 B ．（x ﹣1）2+（y+1）2= C ．（x ﹣1）2+（y+1）2=5D ．（x+1）2+（y ﹣1）2=6.若直线l 过点A （0，a ），斜率为1，圆x 2+y 2=4上恰有1个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．3B ．±3C ．±2D ．±7.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2﹣y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上， ∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|•|PF 2|=（ ） A ．2 B ．4 C ．6D ．88.已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．79.已知方程ax 2+by 2=ab 和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c ＞0），它们所表示的曲线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10.过椭圆15622=+y x 内的一点P （2，﹣1）的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x ﹣3y ﹣13=0B ．5x+3y ﹣13=0C ．5x ﹣3y+13=0D ．5x+3y+13=011.抛物线y=x 2上的点到直线2x ﹣y=4的最短距离是（ ） A ． B ．C ．D ．12.若直线y=x+b 与曲线x y 21-=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．[-1，1] B ．[-2，-1]C ．[1，2]D ．[-1，2]二．填空题13.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x+2y 的最大值为 ．14.假照实数x ，y 满足等式（x ﹣2）2+y 2=3，那么x+y 的最大值是 ．15.双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A, 圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，∠MAN =60°，则双曲线C 的离心率为 ． 16.以下 四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K ，则动点P 的轨迹是双曲线． ②方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率③双曲线﹣=1与椭圆+y 2=1有相同的焦点．④已知抛物线y 2=2px ，以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为 （写出全部真命题的序号） 三．解答题17.已知直线l 过点（2，1）和点（4，3）． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）将直线l 绕它与x 轴的交点旋转90°得到直线m,求直线m 的方程。