【新教材】新人教A版必修一 函数与方程 教案
高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程(2)教案新人教A版必修1
第一节函数与方程第二课时教学设计(一)整体设计教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．设计理念倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合．教学目标通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．教学重点与难点教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学过程(一)创设情境，提出问题问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆.10 km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分法查找的角度解决问题．学情预设学生独立思考，可能出现以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下的一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C检查．用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD 段中点E 来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．师：我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)．在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)．设计意图从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．(二)师生探究，构建新知问题2：假设电话线故障点大概在函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x 轴相交，即方程f (x )＝0在区间内至少有一个解(即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础)．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．2．我们已经知道，函数f (x )＝ln x ＋2x －6在区间(2,3)内有零点，且f (2)<0，f (3)>0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究．(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性)生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？ 师：很好，一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值．其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围．但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便．因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．引导学生分析理解求区间(a ，b )的中点的方法x ＝a ＋b 2. 合作探究：(学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．)步骤一：取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈－0.084<0.由f (3)>0，得知f (2.5)·f (3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．步骤二：取区间(2.5,3)的中点 2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512>0.因为f (2.5)·f (2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．结论：由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．学情预设学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，故它的零点在区间(2,3)内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长很快得出表3—2，找出零点的大概位置．设计意图从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意引导学生分化二分法的定义：一是二分法的适用范围，即函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；二是用二分法求函数的零点近似值的步骤．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；2．求区间(a，b)的中点c；3．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，b)〕；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕；4．判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.学情预设学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数f(x)＝ln x＋2x－6的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有a、b、x0的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．设计意图以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．(三)例题剖析，巩固新知例借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐．此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法．思考问题1：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题2：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流.反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.设计意图及时巩固二分法的解题步骤，让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法．解题过程中也起到了温故转化思想的作用．(四)尝试练习，检验成果1．下列函数中能用二分法求零点的是( )设计意图让学生明确二分法的适用范围．2．用二分法求图象是连续不断的函数y＝f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则函数的零点落在区间( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定设计意图让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法．3．借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．(精确度0.1)设计意图进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解．答案：略(五)课堂小结，回顾反思学生归纳，互相补充，老师总结：1．理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断的；2．用二分法求方程的近似解的步骤．设计意图帮助学生梳理知识，形成完整的知识结构．同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化．(六)课外作业1．[书面作业]课本习题3.1A组3、4、5；2．[知识链接]本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．3．[课外思考]：如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了，那么怎么找出这个破裂处，要不要把水泥板全部掀起？板书设计3．1.2 用二分法求方程的近似解1．二分法的定义2．用二分法求函数的零点近似值的步骤3．用二分法求方程的近似解教学反思这节课既是一堂新课又是一堂探究课．整个教学过程，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习热情，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构．整个教学设计中，特别注重以下几个方面：(1)重视学生的学习体验，突出他们的主体地位．训练了他们用从特殊到一般，再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力．不断加强他们的转化类比思想．(2)注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中的案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决现实生活中的问题．(3)注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣．(4)注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高．。
新人教A版高中数学(必修1)3.1《函数与方程》教案2篇
“方程的根与函数的零点”教学设计(1)一、内容和内容解析本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备．从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想．从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想．基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．二、目标和目标解析1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。
而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。
3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．4．在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．三、教学问题诊断分析1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多图象的基础上，由图象与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为f（a）·f（b）＜0且图象在区间[a，b]上连续不断，是函数f（x）在区间[a，b]上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．基于上述分析，确定本节课的教学难点是：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．四、教学支持条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，教师可借助计算机工具和构建现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、教学过程设计（一）引入课题问题引入：求方程3x2＋6 x－1=0的实数根。
高中数学二次函数与一元二次方程教案新课标人教版必修1（A）
⾼中数学⼆次函数与⼀元⼆次⽅程教案新课标⼈教版必修1（A）⼆次函数与⼀元⼆次⽅程（2）三维⽬标⼀、知识与技能1.会⽤函数图象的交点解释⽅程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应⽅程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0这⼀结论的实质.⼆、过程与⽅法1.体验并理解函数与⽅程的相互转化的数学思想⽅法.2.通过探究、思考，培养学⽣理性思维能⼒以及分析问题、解决问题的能⼒.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应⽤，转变学⽣对数学学习的态度，加强学⽣对数形结合、分类讨论等数学思想的进⼀步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程⼀、创设情景，引⼊新课师：观察⼆次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?引导学⽣探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f （1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是⽅程x2－2x－3=0的⼀个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是⽅程x2－2x－3=0的另⼀个根.我们能从⼆次函数的图象看到零点的性质：1.⼆次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是⼆重零点），函数值变号.例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第⼀个零点－2时，函数值由正变负，再通过第⼆个零点3时，函数值⼜由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数，结论也成⽴吗?同学们可以任意画⼏个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.⼆、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f（a）·f （b ）＜0，那么，函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是⽅程f （x ）=0的根.求⽅程f （x ）=0的实数根，就是确定函数y =f （x ）的零点.⼀般地，对于不能⽤公式法求根的⽅程f （x ）=0来说，我们可以将它与函数y =f （x ）联系起来，利⽤函数的性质找出零点，从⽽求出⽅程的根.2.应⽤举例【例1】教科书P 102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学⽣认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作⽤.（1）函数f （x ）=ln x +2x －6的图象可以让学⽣利⽤计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x 轴有⼀个交点，从⽽对函数有⼀个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表3－1，可以让学⽣⽤计算器或计算机得出，使学⽣通过动⼿实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的⼀个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有⼀个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g （x ）=ln x 、h （x ）=2x －6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f （x ）=g （x ）+h （x ）在（0，+∞）上是增函数.【例2】已知函数f （x ）=ax 2+bx +1具有以下性质：①对任意实数x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2）时，满⾜x 1+x 2=2；②对任意x 1、x 2∈（1，+∞），总有f （221x x +）＞2)()(21x f x f +. 则⽅程ax 2+bx +1=0根的情况是A.⽆实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根⽅法探究：（1）本题由条件①，知函数f （x ）的对称轴为x =1；由条件②，知函数f （x ）是凸函数，即a ＜0；再由函数f （x ）的表达式，知f （x ）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f （x ）的草图，如下图，发现函数f （x ）与x 轴交点的位置，可知f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件②，知函数f （x ）的图象开⼝向下，即a ＜0.⼜由x 1x 2=a1＜0，可知 f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.⽅法技巧：解析（2）的求解过程明显⽐解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，⽤数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语⾔之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语⾔，那么本题就可能会错选.⽤数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】研究⽅程|x 2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数.⽅法探究：纯粹从解⽅程⾓度来考虑，必须研究两个⽅程，讨论相当⿇烦.从函数图象⾓度分析，只需研究函数y =|x 2－2x －3|与y =a 的图象的交点的个数.解：设y =|x 2－2x －3|和y =a ，利⽤Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给⽅程实根的个数.如下图，当a =0或a ＞4时，有两个实根；当a =4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根.⽅法技巧：有关实根个数的题⽬，通常都采⽤数形结合思想.做这类题⽬，必须遵循两个步骤：⼀是构造两个熟悉的函数，⼆是画出图象，关键点画图要准确.【例4】设⼆次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），⽅程f （x ）－x =0的两个根x 1，x 2满⾜0＜x 1＜x 2＜a 1. （1）当x ∈（0，x 1）时，求证：x ＜f （x ）＜x 1；（2）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0＜21x . ⽅法探究：由于已知⼆次⽅程f （x ）－x =0的两个根，因此新出现的⼆次函数f （x ）－x 应有双根式、⼀般式两种表现形式.故本题⼀定是在此进⾏问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明：（1）∵x 1，x 2是⽅程f （x ）－x =0的两根，且f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），∴f （x ）－x =a （x －x 1）（x －x 2）=a （x 1－x ）（x 2－x ）.∵0＜x 1＜x 2，且x 1＜x 2＜a1，a ＞0，∴a （x 1－x ）（x 2－x ）＞0，即f （x ）－x ＞0，a （x 1－x ）（x 2－x ）＜a ·a 1（x 1－x ）=x 1－x ，即f （x ）－x ＜x 1－x .故0＜f （x ）－x ＜x 1－x ，即x ＜f （x ）＜x 1.（2）∵f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +c ，且f （x ）－x =0的两根为x 1，x 2，∴⼆次函数f （x ）－x =0的对称轴为x =221x x +=－a b 21-. ∴21x =－a b 2+a21－22x . ⼜由已知，得x 0=－a b 2，∴21x =x 0+a21－22x . ⼜∵x 2＜a 1，∴a 21－22x ＞0. 故21x =x 0+a21－22x ＞x 0，即x 0＜21x . ⽅法技巧：函数与⽅程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想⽅法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P 103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=－x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以⽅程－x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.（2）2x（x－2）=－3可化为2x2－4x+3=0，令f（x）=2x2－4x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以⽅程2x（x－2）=－3⽆实根.2.（1）作出函数图象，因为f（1）=1＞0，f（1.5）=－2.875＜0，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有⼀个零点.⼜因为f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有且只有⼀个零点.（2）作出函数图象，因为f（3）＜0，f（4）＞0，所以f（x）=2x·ln（x－2）－3在区间（3，4）上有⼀个零点.⼜因为f（x）=2x·ln（x－2）－3在（2，+∞）上是增函数，所以f（x）在（2，+∞）上有且仅有⼀个（3，4）上的零点.四、课堂⼩结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0；零点的确定.2.本节学习的数学⽅法：归纳的思想、函数与⽅程思想、数形结合思想.五、布置作业补充题：1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所⽰，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有⼤于2的零点C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点2.⽅程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.3.已知⼆次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内⾄少存在⼀个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.板书设计3.1.1⽅程的根与函数的零点（2）⼆次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂⼩结。
高中数学24函数与方程教案新人教A版必修1教案
高中数学24函数与方程教案新人教A版必修1教案标题：高中数学函数与方程教案教学内容：函数与方程教材版本：新人教A版必修1教学目标：1.了解函数的定义与性质；2.学习函数的表示方法与函数的图像；3.掌握一元一次方程与一元二次方程的解法；4.能解决实际问题中的函数与方程相关的计算问题。
教学重点：1.函数的定义与性质；2.函数的表示方法与函数的图像；3.一元一次方程与一元二次方程的解法。
教学难点：1.函数的性质和函数的图像的关系；2.一元二次方程的解法。
教学准备：1.教师准备：教材必修1教材、多媒体设备；2.学生准备：课前预习教材内容。
教学过程：第一步：导入（5分钟）教师通过提问导入主题，引发学生的思考，激发兴趣。
教师：同学们，你们知道什么是函数吗？怎样表示一个函数呢？学生：函数是输入和输出之间的关系，通常用x表示自变量，y表示因变量。
函数可以通过一张图来表示。
教师：非常好！正是这样。
我们今天的主题就是函数与方程。
让我们一起来学习吧。
第二步：概念解释与讲解（15分钟）教师通过投影仪，呈现教材中关于函数的定义与性质的内容，并进行解释和讲解。
教师：请同学们看一下幻灯片上的内容。
函数的定义是什么？学生：函数是一个集合，其中每一个输入值都恰好对应一个输出值。
教师：非常好！函数的性质有哪些？学生：函数有定义域、值域、图像和奇偶性等性质。
教师：很好，函数的图像与具体函数的关系是什么？学生：函数的图像是函数的集合在坐标系中的表示，可以通过函数图像来判断函数的性质。
第三步：讲解函数表示方法及函数图像（20分钟）教师通过实例讲解函数的表示方法与函数图像的绘制。
教师：请同学们看一下幻灯片上的例子。
根据函数的定义域和表达式，我们可以如何表示一个函数？学生：可以用输入输出表、映射图、解析式等方法表示。
教师：非常好！接下来我们来练习一下画函数的图像。
同学们看这个例子，请问这是一个什么样的函数图像？学生：这是一个抛物线的图像。
教师：是的，抛物线是一种常见的函数图像，由一元二次方程表示。
新课标人教版高中数学必修一 3.1函数的应用---函数与方程 教学设计
3.1 函数与方程[教学目标]1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解得常用方法．3．在用“二分法”求方程近似解的过程中，使学生进一步体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．[教学要求]教科书注重从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系．在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．教科书不仅希望学生在数学知识上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中介绍中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献，这一内容可以在教学过程中适当进行处理．由于方程的近似解一般都涉及较复杂的计算，在利用“二分法”求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．建议在教学中要适时地使用计算器或者计算机，注意体现技术使用的必要性．多数函数应用问题也涉及较复杂的数据，因此，建议较多地运用信息技术工具，课本专门安排了两个“信息技术应用”，教师可适当地指导学生进行学习．教学中要加强知识间的联系，具体体现在结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系，提高学生对函数的广泛应用，以及函数与其他数学内容有机联系的认识．课本在3.1.1方程的根与函数的零点中，选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系，作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．实施教学时，应该给学生提供探究情境，让学生自己发现并归纳出结论“一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标”．给出函数零点的概念后，要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈．之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观的认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质．通过研究一元二次方程的根及相应的函数图象与x 轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；以求具体方程的近似解介绍二分法并总结其实施步骤等，都体现了从具体到一般的认识过程．教学时，要注意让学生通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表达出来．这里要特别注意引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系．例如，结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根之间的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为算法的学习作准备，另外，还要特别注意信息技术的使用．课本通过第87页的“探究”，让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点，引导学生发现连续函数在某区间上存在零点的判定方法．教学时，可让学生多举一些例子加以认识，如用计算器或计算机多画一些函数(不一定是二次函数)的图象进行观察与概括．教科书上给出的下述结论，只要求学生理解并会应用，而不需给出证明．如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．[教学重点]用“二分法”求方程的近似解．[教学难点]如何处理复杂的数值计算；如何恰当使用计算器．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时3.1.1方程的根与函数的零点（1）新课导入讨论：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程0322=--x x 与函数322--=x x y ；方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ；方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y ； 再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．通过讨论得出：（课本第87页）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两不同根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个重根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴没有交点；总之，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根就是相应的二次函数02=++=c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标．点明本节课题：方程的根与函数的零点新课进展一、函数的零点对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点（zero point ）．显然，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标．方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．课堂例题例1 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ；（2）3)2(2-=-x x ；课堂练习（课本第88页练习1）利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．布置作业利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=+--x x ；（2）03322=+-x x ；（3）1322-=x x ．第二课时3.1.1方程的根与函数的零点（2）复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：方程的根与函数的零点之间具有怎样的关系？答：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．问：如何用方程的根与函数的零点之间关系判断方程在某区间是否有根？参与讨论并阅读课本第91页《中外历史上的方程求解》．新课进展二、函数零点存在的条件1．探究观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象（图：课本第87页图3.1-2），我们发现函数32)(2--=x x x f 在区间]1,2[-上有零点．计算)2(-f 与)1(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间]4,2[上是否也具有这种特点呢？经过讨论，可以发现：0)1()2(<⋅-f f ，函数32)(2--=x x x f 在区间)1,2(-内有零点1-=x ，它是方程0322=--x x 的一个根．同样地，0)4()2(<⋅f f ，函数32)(2--=x x x f 在区间)4,2(内有零点3=x ，它是方程0322=--x x 的另一个根．课堂练习画出二次函数2)(2+--=x x x f 的图象，观察函数2)(2+--=x x x f 在区间]0,5[-上是否有零点．计算)5(-f 与)0(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间]4,0[上是否也具有这种特点呢？2．概括一般地，我们有：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．3．应用课堂例题例1 （课本第88页例1）求函数62ln )(-+=x x x f 的零点的个数．解答：见课本第88页课堂练习1．课本第88页练习22．已知函数13)(3+-=x x x f ，问该函数在区间)1,2(--内是否有零点？解：因为01)2(<-=-f ，03)1(>=-f ，所以0)1()2(<-⋅-f f ，又函数13)(3+-=x x x f 是连续的曲线，所以)(x f 在区间)1,2(--内有零点．本课小结如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即相应的方程0)(=x f 在区间),(b a 内至少有一个实数解．4．布置作业课本第92页习题3.1A 组第1、2题；课本第112页复习参考题A 组第1题．第三课时3.1.2用二分法求方程的近似解新课导入讨论：对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 可以用公式求根，但没有公式可用来求方程062ln =-+x x 的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？上节课我们已经知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．新课进展一、二分法我们知道，函数)(x f 的图象与直角坐标系中x 轴交点的横坐标就是方程0)(=x f的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．1．在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；2．用计算器计算084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)3,5.2(内；3．再取区间)3,5.2(中点 2.75，用计算器计算512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)75.2,5.2(内．4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）．二、二分法的计算步骤给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1．确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；2．求区间),(b a 的中点c ；3．计算)(c f ；4．判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）．5．判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复2——5．说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．阅读课本第93页《借助信息技术求方程的近似解》．课堂例题例1 （课本第90页例2）例2 求方程03323=-+x x 的一个近似解（误差不超过0.1）．课堂练习课本第91页练习1、2题本课小结1．二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续不断，且0)()(<⋅b f a f ，那么一定存在),(b a c ∈，使0)(=c f ．2．二分法的实施要点是什么？二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间],[b a 平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n 次的平分、判断，使零点存在于一个长度na b l 2-=的小区间．当n 适当大时，l 满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值．布置作业课本第92页习题3.1A 组3、4、5题；课本第92页习题3.1B 组1、2、3题．。
【新教材】新人教A版必修一 函数与方程 学案
2019—2020学年新人教A版必修一函数与方程学案1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2）几个等价关系方程f(x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（3）函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y＝f（x）在闭区间[a，b］上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反，即f（a）·f(b)〈0，则在区间（a，b)内，函数y＝f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x)＝0在区间（a，b）内至少有一个实数解．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图像与零点的关系知识拓展有关函数零点的结论（1）若连续不断的函数f(x）在定义域上是单调函数,则f（x）至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（3）连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号,也可能不变号．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×"）（1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(×）(2)函数y＝f(x)在区间（a，b）内有零点(函数图像连续不断)，则f(a）·f（b）〈0。
(×）(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）在b2－4ac<0时没有零点．（√）（4）f（x）＝x2，g(x）＝2x，h(x）＝log2x，当x∈(4，＋∞)时,恒有h（x)<f（x)〈g(x)．（√)题组二教材改编2．函数f（x）＝ln x－错误!的零点所在的大致区间是（）A．(1，2) B．(2,3)C.错误!和(3，4) D．(4，＋∞）答案B解析∵f（2）＝ln 2－1〈0，f(3）＝ln 3－错误!〉0且函数f(x）的图像连续不断，f（x)为增函数，∴f（x）的零点在区间(2,3）内．3．若函数f（x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间（n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________。
高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程(3)教案新人教A版必修1
第一节函数与方程第三课时教学设计(二)整体设计教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程1．教学基本流程图1．大家都看过李咏主持的〈幸运52〉吧，今天咱也试一回(出示游戏)．2．竞猜中，“高了”、教学反思1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．(附录1)解：设f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数我们可以将x ＝2.531 25作为函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值，也即方程ln x ＋2x －6＝0根的近似值．(附录2)二分法求解方程f (x )＝0〔或g (x )＝h (x )〕近似解的基本步骤：①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a ，b )，验证f (a )·f (b )<0；②求区间(a ，b )的中点x 1(x 1＝a ＋b 2)； ③计算f (x 1)：若f (x 1)＝0，则x 1就是函数f (x )的零点，x 1就是f (x )＝0的根，计算终止；若f (a )f (x 1)<0，则选择区间(a ，x 1)；若f (a )f (x 1)>0，则选择区间(x 1，b )；④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．(附录3)1．练习：(1)应用计算器，求方程x 3＋3x －1＝0的一个正的近似解．(2)应用计算器，求方程2x ＋x ＝4的近似解．(3)用二分法判断方程2x ＝x 2的根的个数( )A ．1B ．2C ．3D ．4(4)方程lg(x ＋4)＝10x 的根的情况是( )A ．仅有一根B ．有一正根一负根C ．有两负根D ．无实根2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10 km)，电工是怎样检测的呢？答案：略。
人教版数学高一上册函数与方程2023教案
人教版数学高一上册函数与方程2023教案【教案】教学目标：1. 熟练掌握函数概念和基本性质；2. 理解函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性等；3. 掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的定义和基本性质；4. 能够解一元一次方程、一元二次方程以及简单的指数方程和对数方程；5. 能够运用函数和方程解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念和基本性质；2. 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的定义和基本性质；3. 一元一次方程、一元二次方程以及简单的指数方程和对数方程的解法。
教学难点：1. 函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性的理解和运用；2. 一元二次方程的解法。
教学过程：【第一课时】函数的概念与性质一、概念1. 引入函数的概念，从实际生活中的例子引导学生理解函数的概念；2. 介绍函数的定义和函数的自变量、因变量的概念。
二、性质1. 函数的定义域和值域的概念和计算方法；2. 函数的奇偶性和单调性的概念和判定方法；3. 函数的图象和特点的认识。
【第二课时】一次函数与二次函数一、一次函数1. 介绍一次函数的定义和一次函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握一次函数的基本性质。
二、二次函数1. 介绍二次函数的定义和二次函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握二次函数的基本性质。
【第三课时】指数函数与对数函数一、指数函数1. 介绍指数函数的定义和指数函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握指数函数的基本性质。
二、对数函数1. 介绍对数函数的定义和对数函数图象的性质；2. 通过例题引导学生掌握对数函数的基本性质。
【第四课时】一元一次方程与一元二次方程一、一元一次方程1. 回顾一元一次方程的定义和解法；2. 引入一元一次方程的实际应用问题，通过解方程解决问题。
二、一元二次方程1. 引入一元二次方程的定义和解法；2. 通过例题引导学生掌握一元二次方程的解法。
【第五课时】函数与方程的综合运用一、综合运用1. 综合运用函数和方程解决实际问题；2. 引导学生思考如何将实际问题转化为数学模型，并通过函数和方程求解。
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一、2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案二、知识梳理：(阅读教材必修1第85页—第94页)1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数，我们把使0的实数x叫做函数的零点。
这样,函数的零点就是方程0的实数根,也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程0有实根。
(2)、函数的零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么,在区间（a,b）内有零点，即存在c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根. （3）、零点存在唯一性定理:如果单调函数在区间［a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a,b）内有零点，即存在唯一c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根.（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间［a，b]上连续函数,不满足，这个函数在（a,b）内也有可能有零点，因此在区间[a，b］上连续函数，是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。
2、用二分法求方程的近似解（1)、二分法定义：对于区间[a，b］连续不断且的函数通过不断把区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
（2）、给定精确度（）用二分法求函数的零点近似值步骤如下：①确定区间［a,b]，验证给定精确度()；②求区间（a，b）的中点c；③计算（I）若=0,则c就是函数的零点；(II）若则令b=c,（此时零点)；（III）若则令a=c，（此时零点）；④判断是否达到精确度，若｜a—b｜，则得到零点的近似值a(或b）,否则重复②—-④步骤.函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，由于计算量较大,而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的程序，借助计算器或者计算机来完成计算.二、题型探究[探究一]：函数的零点是函数y ＝f （x )与x 轴的交点吗?是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y ＝f (x ）与x 轴的交点，而是y ＝f （x )与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数;并非任意函数都有零点，只有f (x )＝0有根的函数y ＝f (x ）才有零点．［探究二］：若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有零点,则y ＝f (x ）在区间[a ，b ]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f （b ）<0呢?提示:不一定．由图（1）(2)可知．[探究三］:有二分法求方程的近似解例1：已知图象连续不断的函数在区间（a,b ）（b-a=0.1）上有唯一零点 ，如果用“二分法”求个零点(精确度0。
0001)的近似值,那么将区间等分的次数至少是(D ）（A ）7 （B ）8 （C)9 （D ）10例2:下列图象不能用二分法示这个函数的零点的是（3、5)(5)yo (3)yo (4)y o o y (2)(1)y o三、 方法提升1、 根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值 代入计算即可判断出来。
、2、 判断函数零点的个数问题常数形结合的方法，一般将题止听等 式化为两个函数图象的交点问题。
3、 在导数问题中，经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题，要确定函数具体的零点的个数需逐个判断，在符合根的存在定量的条件下，还需辅以函数的单调性才能准确判断出零点的个数。
四、反思感悟：。
五、课时作业:1．函数2243y x x =--的零点个数（ C ）。
A. 0个 B 。
1个 C. 2个 D. 不能确定2．若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ B ）。
A 。
1a >-B 。
1a <- C.1a > D. 1a <3．函数()23x f x =-的零点所在区间为（ C ）A 。
（-1，0） B. （0，1) C. （1，2） D 。
（2，3）4．方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（ B )。
A 。
[—10，-0。
1］B 。
[0.1,1]C 。
[1,10]D. (,0]-∞5．函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上( D ）。
A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数偶数个D. 零点个数为k ，k N ∈6、设1 (1)1() 1 (1).x x f x x ⎧≠⎪|-|=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x ，，，则222123x x x ++等于( A ) A.5 B 。
222b +C 。
13 D 。
213c + 7、)(x f 是定义在],[c c -上的奇函数，其图象如下图所示，令b x af x g +=)()(，则下列关于)(x g 的叙述正确的是( B )A ．若0<a ，则函数)(x g 的图象关于原点对B ．若02,1<<--=b a ，则方程)(x g =0有大于2的实根C ．若2,0=≠b a ，则方程)(x g =0有两个实根D ．若2,,1<≥b a ，则方程)(x g =0有三个实根8、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时,()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（其中k 走为不等于l 的实数）有四个不同的实根,则k 的取值范围是（C )A ．(1,0)-B ．1(,0)2- C ．1(,0)3- D ．1(,0)4- 9、定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数,又是周期函数，T 是它的一个正周期。
若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ D ）A.0B.1C.3D.510、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于1=x 对称且021=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，则方程()0=x f 在()0,5内解的个数的最小值是 (D ）A ．4B ．5C ．6D ．711、已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >｡若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( B ）A。
8)3B.C 。
48(,)33 D。
4(3 12、方程125x x -+=的解所在的区间为（ C ）A 。
（0,1) B.(1，2) C 。
(2，3） D.(3,4)13、函数的零点所在的区间是（ B )A ()0,1B ()1,eC (),3eD ()3,+∞14、若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上,则k 的值为( C ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．1-或215、设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =(D ） A 。
在区间1(,1),(1,)e e内均有零点｡ B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点｡ C.在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点｡ D 。
在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点｡16、设方程 x x lg 2=-的两个根为21,x x ，则 （D ）A 021<x xB 121=x xC 121>x xD 1021<<x x17、已知{),0(34),0(3)(21<++≥=-x x x x x f x 则方程f （x ）=2的实数根的个数是( D )A 。
0 B.1 C 。
2 D 。
318、已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值,则函数()f x x 在区间()1,+∞上是（ C) A.有两个零点 B 。
有一个零点 C.无零点 D 。
无法确定19、已知n m b a b x a x x f ,),)()((1)(<---=是)(x f 的零点,且n m <，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是（ A ）A ．n b a m <<<B ．b n m a <<<C ．n b m a <<<D ．b n a m <<<20、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题:①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 21、条件p :2-≥a ;条件q :函数()3f x ax =+在区间[]1,2-上存在0x ,使得0()0f x =成立，则p ⌝是q 的 （A ）A.充分非必要条件B 。
必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件22、ax 2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( C ）A 。
0〈a≤1B 。
a 〈1 C.a≤1 D.0<a≤1或a 〈023、已知函数3()y x ax x R =-∈在(1，2）有一个零点则实数a 的值范围是 （A ） A 。
14a << B.14a -<< C 。
1a < 或4a > D.44a -<<二、填空题24．函数2()56f x x x =-+的零点是 2或3 。
25、若函数f(x ）=a x—x-a （a>0且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是_a>1___。
26、若函数f (x ）=e x —2x —a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是_a 〉2-2ln2_27．函数3()231f x x x =-+零点的个数为 3 .28、定义域和值域均为[]a a ,-(常数0>a ）的函数()x f y =和()x g y =的图像如图所示，给出下列四个命题：(1)方程()[]0=x g f 有且仅有三个解；（2）方程()[]0=x f g 有且仅有三个解;（3)方程()[]0=x f f 有且仅有九个解；(4）方程()[]0=x g g 有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是__（1)（4)___ 。
三、解答题29。
已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和（0，2）,求m 的取值范围。