【新教材】 新人教A版必修一 函数与方程 教案

2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f（x)(x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f(x）（x∈D）的零点．（2）三个等价关系方程f(x）＝0有实数根⇔函数y＝f(x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x）有零点．(3）函数零点的判定（零点存在性定理)如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f（b)〈0，那么,函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ〈0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a〉0)的图象与x轴的交点（x1，0),(x2，0）(x1,0）无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f（x)只有一个零点?提示不能．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×）（2）函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点(函数图象连续不断），则f（a)·f（b）<0.（×）（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．（√）（4）f(x）＝x2,g(x）＝2x，h（x)＝log2x，当x∈(4，＋∞）时，恒有h(x)〈f（x)<g（x)．( √) 题组二教材改编2．函数f（x）＝ln x－错误!的零点所在的大致区间是( )A．（1，2） B．（2，3)C.错误!和（3,4) D．（4,＋∞）答案 B解析∵f(2）＝ln2－1<0,f(3）＝ln3－错误!>0且函数f(x)的图象在（0,＋∞)上连续不断，f（x）为增函数，∴f(x)的零点在区间（2,3）内．3．函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是( )A．0B．1C．2D．3答案 B解析由f′（x）＝e x＋3>0,得f(x）在R上单调递增，又f(－1)＝错误!－3<0，f(0）＝1〉0，因此函数f(x)有且只有一个零点．题组三易错自纠4．函数f(x）＝ln2x－3ln x＋2的零点是( )A．（e，0)或(e2，0) B．（1，0）或(e2，0）C．（e2，0） D．e或e2答案 D解析f(x）＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1）(ln x－2)，由f(x）＝0得x＝e或x＝e2。

5．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间（0,4）上存在零点，则实数m的取值范围是．答案（－8，1］解析m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1）2＋1，∴y＝－x2＋2x在（0,4）上的值域为（－8,1]，∴－8<m≤1。

6．已知函数f(x)＝x－错误!(x>0）,g(x)＝x＋e x，h（x）＝x＋ln x（x>0）的零点分别为x1，x2,x3,则（）A．x1<x2〈x3B．x2〈x1〈x3C．x2〈x3〈x1D．x3<x1〈x2答案 C解析作出y＝x与y＝错误!（x〉0)，y＝－e x,y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C。

题型一函数零点所在区间的判定1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为（)A．（0,1) B．(1,2） C．(2，3) D．（3，4)答案 B解析∵f（1)＝ln1＋1－2＝－1<0,f(2）＝ln2>0，∴f(1）·f（2）〈0，∵函数f（x)＝ln x＋x－2的图象在（0,＋∞）上是连续的，且为增函数,∴f(x）的零点所在的区间是(1，2）．2．若a〈b<c，则函数f(x)＝(x－a）（x－b)＋（x－b）（x－c）＋（x－c）(x－a）的两个零点分别位于区间( ）A．(a，b）和（b,c)内B．（－∞,a）和（a，b）内C．(b，c）和（c,＋∞）内D．（－∞，a)和（c,＋∞）内答案 A解析∵a〈b<c，∴f（a）＝(a－b)(a－c)〉0,f（b）＝(b－c)(b－a）〈0，f（c)＝(c－a)（c－b）〉0,由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b），(b，c）内分别存在零点，又函数f（x)是二次函数,最多有两个零点．因此函数f（x）的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c）内，故选A。

3．已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a〉0且a≠1）．当2<a<3<b〈4时，函数f（x)的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*,则n＝。

答案 2解析对于函数y＝log a x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y〉1，在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3）内,∴函数f(x）的零点x0∈（n，n＋1）时，n＝2。

思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析,一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．题型二函数零点个数的判断例1(1）函数f（x)＝错误!的零点个数是．答案 2解析当x≤0时，令x2－2＝0,解得x＝－2(正根舍去)，所以在（－∞，0]上，f（x）有一个零点；当x〉0时，f′(x)＝2＋错误!>0恒成立，所以f(x）在(0，＋∞）上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2<0,f(3）＝ln3〉0，所以f（x)在（0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f（x)的零点个数为2。

（2）(2018·天津河东区模拟）函数f(x)＝|x－2｜－ln x在定义域内的零点的个数为（) A．0B．1C．2D．3答案 C解析由题意可知f（x)的定义域为（0,＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y＝｜x－2｜（x〉0)，y＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为2.（3)函数f（x)＝错误!－cos x在［0，＋∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点答案 B解析当x∈错误!时,因为f′（x）＝错误!＋sin x,错误!〉0，sin x>0,所以f′（x）〉0，故f(x)在[0,1］上单调递增，且f（0）＝－1〈0,f（1）＝1－cos1〉0，所以f（x)在［0,1］内有唯一零点．当x〉1时，f（x)＝x－cos x>0，故函数f（x）在［0，＋∞）上有且仅有一个零点,故选B。

思维升华函数零点个数的判断方法（1)直接求零点．(2）利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．（3）利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练1(1）已知函数f(x)＝错误!则函数g(x）＝f（1－x)－1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4答案 C解析g(x)＝f(1－x）－1＝｛(1－x)2＋2(1－x)－1，1－x≤0｜lg(1－x)|－1，1－x>0＝错误!易知当x≥1时，函数g（x)有1个零点；当x〈1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g（x）的零点共有3个,故选C。

（2)函数f（x)＝4cos2错误!·cos错误!－2sin x－|ln（x＋1)｜的零点个数为．答案 2解析f（x）＝2（1＋cos x）sin x－2sin x－|ln（x＋1)｜＝sin2x－|ln(x＋1）｜,x>－1，函数f(x）的零点个数即为函数y1＝sin2x（x〉－1)与y2＝｜ln（x＋1)｜（x>－1）的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．题型三函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例2 (1）（2018·石景山模拟）已知函数f(x）＝错误!若关于x的方程f（x)＝k有两个不同零点，则k的取值范围是__________．答案（0,1)解析作出f（x）＝错误!的函数图象如图所示:方程f（x）＝k有两个不同零点，即y＝k和f(x）＝错误!的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是（0,1)．(2）已知函数f（x)＝|x2＋3x｜,x∈R，若方程f（x)－a｜x－1|＝0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围是________________．答案（0，1)∪(9，＋∞)解析由题意知a〉0.在同一直角坐标系中作出y＝｜x2＋3x|,y＝a|x－1|的图象如图所示．由图可知f（x）－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y＝｜x2＋3x｜与y＝a|x－1｜的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以错误!有两组不同解，消去y得x2＋(3－a）x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a）2－4a>0，即a2－10a＋9〉0，解得a<1或a>9。

又a〉0，∴0<a〈1或a>9.引申探究本例(2）中，若f（x）＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．答案错误!解析作出y＝｜x2＋3x｜，y＝a的图象如图所示．由图象易知，当y＝|x2＋3x｜和y＝a的图象有四个交点时,0<a〈错误!。

命题点2 根据函数零点的范围求参数例3若函数f(x)＝（m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是．答案错误!解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足｛m≠2，f(－1)·f(0)<0，，f(1)·f(2)〈0即错误!解得错误!〈m〈错误!.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解．跟踪训练2（1）方程12log (a －2x)＝2＋x 有解,则a 的最小值为．答案 1解析 若方程12log (a －2x）＝2＋x 有解，则错误!2＋x＝a －2x 有解，即错误!错误!x ＋2x＝a有解,因为错误!错误!x ＋2x≥1，故a 的最小值为1.(2)已知函数f （x ）＝错误!若函数g （x ）＝f （x ）－m 有三个零点,则实数m 的取值范围是． 答案 错误!解析 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ≤0时，f （x ）＝x 2＋x ＝错误!2－错误!≥－错误!,若函数f （x ）与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14〈m ≤0，即实数m 的取值范围是错误!。