人教版八年级数学上册因式分解专项练习
人教版八年级上册数学整式乘法和因式分解计算题
人教版八年级上册数学整式乘法和因式分解1．因式分解：(1)2a b ab - (2)228x -2．因式分解(1)a 2（x +y ）﹣b 2（x +y ） (2)x 4﹣8x 2+16．3．计算：(1)（x 2y ）3•（﹣2xy 3）2；(2)（xny 3n ）2+（x 2y 6）n ；(3)（x 2y 3）4+（﹣x ）8•（y 6）2；(4)a •a 2•a 3+（﹣2a 3）2﹣（﹣a ）6．4．计算： (1)()()232a a -+；(2)()()23210432563a b ab a b a ⋅--÷．5．分解因式： (1)2693x xy x -+；(2)2xy x-；6．因式分解：(1)x3y﹣xy3；(2)（x＋2）（x＋4）＋x2﹣47．分解因式：(1)2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）；(2)（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4．8．因式分解：(1)4ab b+(2)232x x-+(3)221 4a b b-+-(4)2464a-9．计算：(1)()()2323322a a a a a ⋅⋅+-(2)()()3223a a b ⋅- 10．因式分解： (1)322369x y x y xy -+(2)()()236x x y x y x -+-11．计算：(1)分解因式：34x x - (2)计算：214?4x y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．把下列各式分解因式： (1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）2 13．因式分解： (1)32246x x x -+-； (2)222(4)16a a +-． 14．分解因式： (1)x 3y －2x 2y 2+xy 3(2) a 2（x －1）2+4a （1－x ） (3)（x 2+y 2）2－4x 2y 2 15．用乘法公式计算：(1)()()()2232349x x x -+-(2)()()33x y x y +--+ 16．分解因式(1)()()mn m n m n m --- (2)229()16()m n m n +-- 17．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）； (2)（x 2 +1）2﹣4x 2． 18．计算：(1)（﹣2m 2n 3）2＋（3m 3n 4）•（12-mn 2）3；(2)（x ＋2y ）2﹣（x ＋y ）（3x ﹣y ）﹣5y 2 19．因式分解： (1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++ 20．因式分解： (1)2ax a -+ (2)214x x ++21．先化简，再求值：()()2222x y x x y y ⎡⎤---÷⎣⎦，其中1x =，2y =． 22．化简求值：[（x ﹣2y ）2﹣2（x +y ）（3x ﹣y ）﹣6y 2]÷2x ，其中12,.2x y =-=23．先化简，再求值：2(2)(2)(2)2(2)(4)x y x y x y x x y x ⎡⎤-+-+--÷-⎣⎦，其中12x =-，1y =．24．先化简再求值：()()()22224x y x y x y x y y +-+--++（）其中：112x y ==，． 25．先化简，再求值：[（x ﹣y ）2+（x +y ）（x ﹣y ）]÷2x ，其中x ＝2021，y ＝﹣2020． 26．先化简，再求值：[（xy ＋2）（xy ﹣2）﹣2（xy ＋1）2＋6]÷（xy ），其中x ＝10，y ＝﹣125． 27．先化简，再求值：2(2)2()()(23)x y y x x y y y x ---+--，其中1,33x y ==-28．（1）已知225a b +=，()29a b +=，求44a b +的值； （2）若x 满足()()9715x x --=-，求()()2297x x -+-的值．29．（1）已知4a 2﹣a ﹣4＝0，求代数式（2a ﹣3）（2a ＋3）＋（a ﹣1）2＋（1＋a ）（2﹣a ）的值；（2）已知a ，b 满足a 2＋b 2﹣10a ﹣4b ＋29＝0，且a ，b 为等腰三角形△ABC 的边长．求△ABC 的周长．30．化简并求值：当12x =-时，求代数式()()()2353535x x x +--+的值．31．先化简，再求值：[（﹣a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＋（2a ﹣b ）2﹣a （a ＋3b ）]÷2a ，其中a ＝3，b ＝2 32．计算：1| (2)322332()(2)x x x x x +--33．先化简．再求值：2(1)(4)3x x x -+--，其中14x =-．34．先化简，后求值：()()()21232322x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤+---÷ ⎪⎣⎦⎝⎭，其中1x =，12y = 35．先化简，再求值：()()()()2233102x y x y x y y x +-+--⎤⎦÷-⎡⎣．其中x ＝－2022，12y =-．36．先化简，再求值：2(2)(1)(1)a a a +----，其中 a = -1．37．先化简，再求值：2()3()(2)(2)x y x x y x y x y +-+++-，其中1x =，1y =-． 38．先化简，再求值：()()()2232321x x x -+-+ ,其中12x =-. 39．因式分解：24(7)9(7)a x x +-+．40．先化简，再求值：()()()()()22233333x y x y y x x y x y ⎡⎤+----+-÷⎣⎦，其中x ，y 满足()2210x y ++-=． 41．因式分解 (1)am an ap -+ (2)214x - (3)21664x x -+(4)22(32)(23)x m n y n m -+- 42．计算题 (1)()22333a a a ⋅+-(2)2()()()x y y x y x --+-(3)()3246102a a a a -+÷(4)2(1)|2-+ 43．因式分解． (1)()69m m ++； (2)222(1)4a a +-． 44．利用乘法公式计算：(1)2197(2)（x ﹣2y +4）（x +2y ﹣4）45．已知两个实数a ，b 满足10a b +=，24ab =，且a b <；分别求值； (1)22a b +； (2)-a b ； (3)23a b +．46．先化简，再求值:2(2)(3)(2)x x x +-+-其中，13x =-47．计算：234228(2)342x x x x x ⋅--+÷．48．先化简，再求值：[（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣3（2x 2﹣xy ）+y 2]÷（﹣12x ），其中x ＝﹣12，y ＝23．49．按要求完成下列各小题 (1)因式分解： ①269x x - ①2288a b ab b -+；(2)先化简，再求值：()()()3222242x y x y x x y x +---÷，其中2x =-，12y -=．50．因式分解：228x y y -．51．先化简，再求值：[(x －y )2＋x (2y －x )＋2y 2]÷y ，其中x ＝12，y ＝1． 52．先化简，再求值：()()()()222213x x x x x -+-+++，其中12x =-． 53．分解因式 (1)236x xy -； (2)269ax ax a ++； (3)223m m --．54．先化简，再求值：()()()211(21)221x x x x x +-+---，其中2x =． 55．因式分解：()()224a x y b y x -+-56．分解因式： (1)2255x y -； (2)3269m m m ++57．若220220x x +-=，求2(23)(23)(54)(1)x x x x x +--+--的值．58．先化简，再求值：2(2)6()()(2)x y x x y x y x y --+++-，其中x ，y 满足21(2)0x y -++=．59．因式分解： (1)3244m m m -+ (2)()2242a a b -- 60．因式分解： (1)235x y y - (2)()()x x y y y x -+- 61．计算： (1)218()4xy xy ⋅-(2)2(2)4()x y x x y ---62．先化简，再求值：()()22333244y x xy y x xy ⎡⎤⎡⎤----+-⎣⎦⎣⎦，其中2x =，1y =63．计算：(1)()()()21212a a a a +--+ (2)()()()224x y x y x y ---+ 64．因式分解： (1)4x 2-8x +4； (2)(x +y )2-4y (x +y ) 65．先化简，再求值：(1)2(2)()()2x y x y x y y ⎡⎤-+--÷⎣⎦，其中2x =，4y =； (2)()2426()3()()a a a b a b a -÷--+-，其中2223a b +=． 66．（1）已知3x y +=，1xy =，求22x y +的值．（2）已知2210x x --=，求322544x x x +-+的值． （3）已知22810410x y x y +-++=，求()2021x y +的值．67．计算：(1)()272643x x x x x ⋅+⋅-(2)()()()()2511313a a a a +-+-+(3)()()22141x x x --- (4)()()2323x y x y --+- 68．分解因式： (1)2m mn m -+ (2)3212a a a -- (3)()()22413x x +-- (4)421881y y -+69．先化简，再求值：()()()()2253a b a b a a b a b +-+---，其中a =-3，32b =． 70．已知(a +b )2＝17，(a ﹣b )2＝13，求： (1)a 2+b 2的值； (2)ab 的值． 71．计算： (1)322x x x x ⋅+⋅(2)()()()222x y x y x y +-+- 72．因式分解： (1)()()22a m b m -+- (2)322a a a -+73．先化简，再求值：（x +3y ）2+（x +2y ）（x -2y ）-2x 2，其中x =-2，y =-1． 74．将下列各式分解因式： (1)2x （m －n ）－（n －m ） (2)4m 2﹣n 2(3)3m 2n －12mn ＋12n (4)2a 3b ﹣18ab 375．先化简，再求值：2(23)(2)(2)(2)x y x y x y y ⎡⎤+-+-÷-⎣⎦，其中13x =，12y =-． 76．已知()27x y +=，()25x y -=． (1)求22x y +值； (2)求xy 的值． 77．先化简，再求值：(1)()()()332x x x x +---，其中4x =．(2)()()()222a b a b a b a +-++-，其中3a =，13b =-．78．计算：(1)()()()22x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦(2)()()()2312x x x +--- 79．因式分解： (1)24100x -； (2)22242m mn n -+； (3)()22214a a +-．80．计算：(1)()3322m m m m ⋅+-÷；(2)2(23)(2)(2)x x x +-+-； (3)(23)(23)a b c a b c +--+．81．先化简，再求值：()()()3222484a b a b ab a b ab +-+-÷，其中a ＝3，b ＝-1．82．计算：()2482a a a a -⋅-÷． 83．因式分解： (1)29a - (2)22363x xy y ++84．先化简，再求值323()(2)(2)(2)a b ab a b a b a ÷-----+--，其中2a =，1b =-． 85．化简求值：221(2)(2)242xy xy x y xy ⎛⎫⎡⎤+--+÷- ⎪⎣⎦⎝⎭，其中x =10，y =-125． 86．先化简，再求值：()()2462a b a a b -+-，其中a ＝2，b ＝－1． 87．先化简，再求值：()()()()231124x x x x x +++--+，其中6x =．88．先化简，再求值：()()()22222a b a b a b b ⎡⎤--+-÷⎣⎦，其中1,1a b =-=．89．先化简，再求值：()()()336x x x x +---，其中=x 90．计算：423a a a a ⋅+⋅91．先化简，再求值：()()()()21233x x x x x +--+-+，其中x ＝－1． 92．把下列多项式因式分解：(1)()()326x y y --- (2)22344xy x y y --93．已知：2()34x y +=，2()14x y -=，分别求22x y +和xy 的值．94．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S 1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S 2．(1)用含a 、b 的代数式分别表示S 1、S 2； (2)若a +b ＝10，ab ＝23，求S 1+S 2的值；(3)当S 1+S 2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S 3．95．如图，边长为a 的正方形中有一个边长为b （b ＜a ）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，请直接用含a ，b 的式子表示1S = ，2S = ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ； (2)直接应用，利用这个公式计算： ①（﹣12x －y ）（y －12x ）； ①102×98(3)拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）+196．两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为1S ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为2S ．(1)用含a ，b 的代数式分别表示12S S 、；(2)若=1640a b ab +=，，求12S S +的值；(3)当1276S S +=时，求出图3中阴影部分的面积3S ．97．数学教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：()22223214(1)4x x x x x +-=++-=+-；例如求代数式2246x x +-的最小值；()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：265m m -+________；(2)当a ，b 为何值时，多项式2241033a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值；(3)已知8a b -=，24200ab c c +-+=，求a b c ++的值．98．将222()2a b a ab b +=++变形，得222()2a b a b ab +=+-，()()22212⎡⎤=+-+⎣⎦ab a b a b ，请根据以上变形解答下列问题： (1)已知225a b +=，2()9a b +=，则ab =________，a -b =_______．(2)若x 满足()()7515x x --=-，求22(7)(5)x x -+-的值．(3)如图，在长方形ABFD 中，DA ①AB ，FB ①AB ，AD =AC ，BE =BC ．连接CD ，CE ，若AC ·BC =10，直接写出图中阴影部分的面积．99．（1）先化简，再求值：()()()222222x y x y x y y x ⎡⎤-+--+÷⎣⎦；且x ，y 满足2(2)|3|0x y -+-=．（2）如图，某市有一块长为(2)a b +米，宽为()a b +米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．试用含a ，b 的代数式表示绿化的面积是多少平方米？100．阅读理解，材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解．如x 2﹣4y 2﹣2x +4y ，但我们细心察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项提取公因式，前后两部分分别分解图式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：x 2﹣4y 2﹣2x +4y＝（x +2y ）（x ﹣2y ）﹣2（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x +2y ﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．材料2：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x 3﹣（n 2+1）x +n＝x 3﹣n 2x ﹣x +n＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x +n ）（x ﹣n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）解决问题：(1)分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；①x3﹣5x+2．(2)①ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断①ABC的形状．参考答案：1．(1)(1)ab a -(2)2(2)(2)x x +-2．(1)（a +b ）（a ﹣b ）（x +y ）(2)（x +2）2（x ﹣2）2 3．(1)4x 8y 9(2)2x 2ny 6n(3)2x 8y 12(4)4a 64．(1)226a a +-(2)7422a b -5．(1)()3231x x y -+(2)()()11x y y +-6．(1)xy （x +y ）（x ﹣y ）(2)2（x +2）（x +1）7．(1)()()32.m n m n --(2)()222.x y -+8．(1)(41)b a +(2)(1)(2)x x -- (3)11()()22a b a b -++-(4)()()444a a +-9．(1)-6a 6(2)- 24a 5b10．(1)2(3)xy x y -(2)()(3)2x x y x --11．(1)(2)(2)x x x -+；(2)3-x y12．(1)()()11a a a +-(2)()()2222x y x y -+-13．(1)22(23)x x x --+(2)22(2)(2)a a +-14．(1)xy （x －y ）2(2)a （x －1）（ax －a －4）(3)（x +y ）2（x －y ）2 15．(1)42167281x x -+(2)2269x y y -+-16．(1)()()1m m n n -+(2)()()77m n n m --17．(1)(2a -b )(x -y )(2)(x +1)2(x -1)218．(1)46610348m n m n -(2)222x xy -+19．(1)()()244x x +-(2)()22xy x y +20．(1)(1)(1)a x x -+- (2)21()2x21．2y -x ，322．542xy --，323．12x y +（）；1424．()22x y -，1225．x -y ，126．4xy -+，24527．23x xy -，4328．（1）17；（2）34 29．（1）4a 2-a -6；-2；（2）12 30．3050x +，3531．2a 72-b ，﹣132．(1)3(2)62x -33．22x -，52-34．820x y -；-235．-2x y ，2021－36．45a +；137．223x xy y ---，-3 38．410x --,-839．()()()72323x a a ++- 40．43x y -，-1141．(1)()a m n p -+(2)()()121+2x x -(3)()28x -(4)()()(32)x y x y m n -+- 42．(1)569a a +(2)222-x xy(3)2235a a -+(4)443．(1)2(3)m +；(2)22(1)(1)a a +-44．(1)38809(2)2241616x y y -++ 45．(1)52；(2)2-；(3)2646．310x +，947．69x -48．46x y -，6-49．(1)①()323x x -；①()222b a - (2)224xy y -；-350．()()222y x x -+ 51．352．45x +，353．(1)()32x x y -(2)()23a x +(3)()()31m m -+54．x 2－2x ，055．()()()22x y a b a b -+- 56．(1)()()5x y x y +-(2)()23m m +57．-405458．-9xy ；1859．(1)m (m -2)2(2)(3a -2b )(a +2b )60．(1)3()()y x y x y +-(2)2()x y -61．(1)232x y -(2)2y62．24x xy y --；-2 63．(1)4(2)254y xy -64．(1)24(1)x -(2)()(3)x y x y +-65．(1)32-x y，5-；(2)()2213-+a b ，1-． 66．（1）7；（2）7；（3）-1 67．(1)8x -(2)2734a a -+-(3)1(4)22694x x y68．(1)()1m m n -+(2)()()43a a a -+(3)()()315x x -+(4)()()2233y y +-69．2222a b --，452-70．(1)15(2)171．(1)2x 4；(2)2xy +5y 272．(1)（m -2）（a +b ）；(2)a （a -1）273．6xy +5y 2，17．74．(1)（m -n ）（2x +1）；(2)（2m +n ）（2m -n ）；(3)3n （m -2）2；(4)2ab （a +3b ）（a -3b ） 75．65x y --；1276．(1)6 (2)1277．(1)92,1x -+-(2)2,2ab -78．(1)x y -(2)97x +79．(1)4(5)(5)x x +-(2)22()m n -(3)22(1)(1)a a +-80．(1)0(2)231213x x ++(3)222496a b bc c -+- 81．22a ab -，2182．083．(1)（a +3）（a -3）；(2)3（x +y ）2．84．2284a b -+，-28 85．2xy ，-45．86．222b a -，7-． 87．28x -+，4-88．2b a -；389．69x -；390．52a91．-x 2+4x +10，5．92．(1)(3)(2)y x --(2)2(2)y x y --93．24，594．(1)S 1＝a 2﹣b 2；S 2＝2b 2﹣ab(2)31 (3)29295．(1)a 2－b 2；（a +b ）（a －b ）；a 2－b 2=（a +b ）（a －b ） (2)①14x 2－y 2；①9996 (3)2048312+ 96．(1)22212;2S a b S b ab =-=-；(2)12136S S +=；(3)338S =．97．(1)（m -1）（m ﹣5）(2)当a ＝2，b ＝﹣5时，多项式a 2+b 2﹣4a +10b +33有最小值为4．(3)298．(1)2，1或-1(2)34(3)1099．（1）32x y +，6；（2）()223a ab b ++平方米 100．(1)①()()22a b a b +---；①()()2221x x x -+-； (2)①ABC 是等腰三角形。
人教版八年级数学上册 14.3.2 用公式法进行因式分解 同步练习(含答案)
用公式法进行因式分解一、填空题(本大题共20小题，共60.0分)1.分解因式：xy2+8xy+16x= ______ ．2.因式分解：4m2-36= ______ ．3.因式分解：2a3-8ab2= ______ ．4.将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是______ ．5.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是______ ．6.因式分解：2x2-32x4= ______ ．7.因式分解：a2b-4ab+4b= ______ ．8.分解因式：mx2-4m= ______ ．9.分解因式a2b-a的结果为______ ．10.分解因式：2ax2-8a= ______ ．11.分解因式：2m2-8= ______ ．12.分解因式：ma2+2mab+mb2= ______ ．13.分解因式：a2b-b3= ______ ．14.分解因式：x（x-1）-y（y-1）= ______ ．15.分解因式：ax3y-1axy= ______ ．416.因式分解：3y2-12= ______ ．17.因式分解：m2n-6mn+9n= ______ ．18.因式分解：a2b-ab+1b= ______ ．419.分解因式-a3+2a2b-ab2= ______ ．20.分解因式：a2b+4ab+4b= ______ ．二、计算题(本大题共30小题，共180.0分)21.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1（3）-3a+12a2-12a3．22.把下列多项式分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．23.把下列各式因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4（3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．24.分解因式：x+xy+xy2（1）14（2）（m+n）3-4（m+n）25.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．26.把下列各式进行因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．27.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．28.分解因式（1）x3-16x（2）8a2-8a+2．（2）b4-4ab3+4ab2．30.分解因式：（1）2x2-4x（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．31.分解因式：（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．32.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2（3）（x+y）2+4（x+y+1）33.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．34.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．35.分解下列因式：（1）9a2-1（2）p3-16p2+64p．36.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）（x2+y2）2-4x2y2（4）9x4-81y4．37.将下列各式分解因式（1）16a2b2-1（2）12ab-6（a2+b2）38.把下列各式因式分解（1）4a2-16（2）（x2+4）2-16x2．39.把下列多项式因式分解：（1）x3y-2x2y+xy；（2）9a2（x-y）+4b2（y-x）．40.分解因式（1）x3-xy2（2）（x+2）（x+4）+1．41.因式分解：-3a3b+6a2b2-3ab3．42.把下列各式分解因式：①4m（x-y）-n（x-y）；②2t2-50；③（x2+y2）2-4x2y2．43.因式分解（1）x2-5x-6（2）2ma2-8mb2（3）a3-6a2b+9ab2．44.分解因式：2x2-12x+18．45.分解因式：（1）x3+2x2+x（2）x3y3-xy．46.因式分解：（1）ax2-2ax+a（2）24（a-b）2-8（b-a）47.因式分解：（1）4x2-16y2（2）x2-10x+25．48.分解因式（1）m（a-3）+2（3-a）（2）x2-6x+9．49.因式分解：6xy2-9x2y-y2．50.分解因式（1）x2（a+b）-a-b（2）a3b-2a2b2+ab3（3）y4-3y3-4y2（4）-（a2+2）2+6（a2+2）-9．用公式法进行因式分解答案和解析【答案】1.x（y+4）22.4（m+3）（m-3）5.a （2x +3y ）（2x -3y ）6.2x 2（1+4x ）（1-4x ）7.b （a -2）28.m （x +2）（x -2）9.a （ab -1）10.2a （x +2）（x -2）11.2（m +2）（m -2）12.m （a +b ）213.b （a +b ）（a -b ）14.（x -y ）（x +y -1）15.axy （x +12）（x -12）16.3（y +2）（y -2）17.n （m -3）218.b （a -12）219.-a （a -b ）220.b （a +2）221.解：（1）原式=a 2（a -b ）-4b 2（a -b ）=（a -b ）（a 2-4b 2）=（a -b ）（a +2b ）（a -2b ）；（2）原式=（m 2+1）（m 2-1）=（m 2+1）（m +1）（m -1）；（3）原式=-3a （4a 2-4a +1）=-3a （2a -1）2．22.解：（1）原式=3xy （2x -3）；（2）原式=（2a +1）（2a -1）；（3）原式=n （n 2-6n +9）=n （n -3）2．23.解：（1）原式=a （p -q +m ）；（2）原式=（a +2）（a -2）；（3）原式=（a -1）2；（4）原式=a （x 2+2xy +y 2）=a （x +y ）2．24.解：（1）原式=14x （1+4y +4y 2）=14x （1+2y ）2；（2）原式=（m +n ）[（m +n ）2-4]=（m +n ）（m +n +2）（m +n -2）．25.解：（1）原式=x （x -2）+3（x -2）=（x -2）（x +3）；（2）原式=（x -5）2．26.解：（1）原式=a （a 2-6a +5）=a （a -1）（a -5）；（2）原式=（x 2+x +x +1）（x 2+x -x -1）=（x +1）2（x +1）（x -1）；（3）原式=4（x 2-4xy +4y 2）=4（x -2y ）2．27.解：（1）原式=（x +y ）（x -y ）；（2）原式=-b （4a 2-4ab +b 2）=-b （2a -b ）2．28.解：（1）原式=x （x 2-16）=x （x +4）（x -4）；（2）原式=2（4a 2-4a +1）=2（2a -1）2．29.解：（1）原式=3（m 4-16）=3（m 2+4）（m +2）（m -2）；30.解：（1）原式=2x（x-2）；（2）原式=（x-y）（a2-9b2）=（x-y）（a+3b）（a-3b）；（3）原式=-b（b2-4ab+4a2）=-b（2a-b）2；（4）原式=（y2-1）2-6（y2-1）+9=（y2-4）2=（y+2）2（y-2）2．31.解：（1）原式=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2；（2）原式=[3（m+n）+m-n][3（m+n）-（m-n）]=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）．32.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=3a（x2-4y2）=3a（x+2y）（x-2y）；（3）原式=（x+y）2+4（x+y）+4=（x+y+2）2．33.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=16（x2-4）=16（x+2）（x-2）；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．34.解：（1）原式=4xy（x2-y2）=4xy（x+y）（x-y）；（2）原式=-（x2-4xy+4y2）=-（x-2y）2．35.解：（1）原式=（3a+1）（3a-1）；（2）原式=p（p2-16p+64）=p（p-8）2．36.解：（1）原式=（x-5y）2；（2）原式=3（a2-4ab+4b2）=3（a-2b）2；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2；（4）原式=9（a2+3y2）（x2-3y2）．37.解：（1）原式=（4ab+1）（4ab-1）；（2）原式=-6（a2-2ab+b2）=-6（a-b）2．38.解：（1）原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）；（2）原式=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2．39.解：（1）原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2；（2）原式=9a2（x-y）-4b2（x-y）=（x-y）（3a+2b）（3a-2b）．40.解：（1）原式=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）；（2）原式=（x+3）2．41.解：原式=-3ab（a2-2ab+b2）=-3ab（a-b）2．42.解：①4m（x-y）-n（x-y）=（x-y）（4m-n）；②2t2-50=2（t2-25）=2（t+5）（t-5）；③（x2+y2）2-4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．43.解：（1）原式=（x-6）（x+1）；（2）原式=2m（a2-4b2）=2m（a+2b）（a-2b）；（3）原式=a（a2-6ab+9b2）=a（a-3b）2．44.解：原式=2（x2-6x+9）=2（x-3）2．45.解：（1）原式=x（x2+2x+1）=x（x+1）2；（2）原式=xy（x2y2-1）=xy（xy+1）（xy-1）．（2）原式=24（a-b）2+8（a-b）=8（a-b）[3（a-b）+1]=8（a-b）（3a-3b+1）．47.解：（1）原式=（2x+4y）（2x-4y）；（2）原式=（x-5）2．48.解：（1）原式=m（a-3）-2（a-3）=（a-3）（m-2）；（2）原式=（x-3）2．49.解：原式=-y（9x2-6xy+y）．50.解：（1）原式=x2（a+b）-（a+b）=（a+b）（x2-1）=（a+b）（x+1）（x-1）；（2）原式=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2；（3）原式=y2（y2-3y-4）=y2（y-4）（y+1）；（4）原式=-[（a2+2）-3]2=-（a-1）2（a+1）2．。
人教版八年级数学上册14.3因式分解 (培优) 专练(含答案解析)
人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。
人教版八年级数学上册因式分解专项练习(含知识点)
八年级数学因式分解专项练习一、填空题：1、=-222y y x ； 2、=+-3632a a3、2x ²－4xy －2x = (x －2y －1)4、4a ³b ²－10a ²b ³ = 2a ²b ² ( )5、(1－a)mn ＋a －1=( )(mn －1)6、m(m －n)²－(n －m)²=( )( )7、x ²－( )＋16y ² =( ) ²8、a ²－4(a －b)²=( )·( )9、16(x －y)²－9(x ＋y)² =( )·( ) 10、(a ＋b)³－(a ＋b)=(a ＋b)·( )·( ) 11、x ²＋3x ＋2=( )( )12、已知x ²＋px ＋12=(x －2)(x －6)，则p= 13、若。
＝，，则b a b b a ==+-+-0122214、若()22416-=+-x mx x ，那么m=15、如果。
，则=+=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x16、已知31=+a a ，则221a a +的值是 17、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b=18、若n mx x ++2是一个完全平方式，则n m 、的关系是 19、分解因式：2212a b ab -+-=20、如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值为二、选择题：21、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为............（ ）A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)(22、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是.................................................（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b23、下列各式是完全平方式的是...........................（ ） A 、412+-x xB 、21x +C 、1++xy xD 、122-+x x24、把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于...............（ ） A 、))(2(2m m a +- B 、))(2(2m m a --C 、m(a-2)(m-1)D 、m(a-2)(m+1)25、2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是.........（ ） A 、2)5(b a - B 、2)5(b a + C 、)23)(23(b a b a +- D 、2)25(b a -26、下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是.............（ ）A 、2232x xy y --B 、22)1()1(--+y yC 、)1()1(22--+y yD 、1)1(2)1(2++++y y 27、分解因式14-x 得....................................（ ） A 、)1)(1(22-+x x B 、22)1()1(-+x x C 、)1)(1)(1(2++-x x x D 、3)1)(1(+-x x28、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为.................................................（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b29、c b a 、、是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，那么△ABC 的形状是.............................................（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边三角形30、()()22x a x ax a -++的计算结果是....................( )(A)、3232x ax a +-(B)、33x a -(C)、3232x a x a +-(D)、222322x ax a a ++-31、用提提公因式法分解因式5a(x －y)－10b ·(x －y)，提出的公因式应当为...........................................（ ） A 、5a －10b B 、5a ＋10b C 、5(x －y) D 、y －x32、把－8m ³＋12m ²＋4m 分解因式，结果是..................（ ） A 、－4m(2m ²－3m) B 、－4m(2m ²＋3m －1) C 、－4m(2m ²－3m －1) D 、－2m(4m ²－6m ＋2) 33、把16－x4分解因式，其结果是..........................（ ） A 、(2－x)4 B 、(4＋x ²)( 4－x ²) C 、(4＋x ²)(2＋x)(2－x) D 、(2＋x)³(2－x)34、把a4－2a ²b ²＋b4分解因式，结果是......................（ ） A 、a ² (a ²－2b ²)＋b4 B 、(a ²－b ²)² C 、(a －b)4 D 、(a ＋b)²(a －b)²35、把多项式2x ²－2x ＋21分解因式，其结果是..............（ ）A 、(2x －21)²B 、2(x －21)²C 、(x －21)²D 、21(x －1) ²36、若9a ²＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是.........（ ） A 、±4 B 、±2 C 、3 D 、4或237、－（2x －y ）(2x ＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果...（ ） A 、4x ²－y ² B 、4x ²＋y ² C 、－4x ²－y ² D 、－4x ²＋y ²38、多项式x2＋3x －54分解因式为........................（ ） A 、(x ＋6)(x －9) B 、(x －6)(x ＋9)C 、(x ＋6)(x ＋9)D 、 (x －6)(x －9)39、若a 、b 、c 为一个三角形的三边，则代数式（a －c ）²－b ²的值为.................................................（ ） A 、一定为正数 B 、一定为负数 C 、可能为正数，也可能为负数 D 、可能为零40、下列分解因式正确的是..............................( )(A)32(1)x x x x -=-． (B)26(3)(2)m m m m +-=+-. (C)2(4)(4)16a a a +-=-. (D)22()()x y x y x y +=+-. 41、如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =， 花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行 四边形道路RSTK 。
人教版八年级数学因式分解计算题
人教版八年级数学因式分解计算题一、因式分解计算题20题及解析。
1. 题目：分解因式x^2 - 9- 解析：这是一个平方差的形式，x^2-9 = x^2-3^2=(x + 3)(x-3)。
2. 题目：分解因式4x^2-16- 解析：先提取公因式4，得到4(x^2-4)，而x^2-4又是平方差形式，x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以4x^2-16 = 4(x + 2)(x-2)。
3. 题目：分解因式x^3-2x^2+x- 解析：先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)，而x^2-2x + 1=(x - 1)^2，所以x^3-2x^2+x=x(x - 1)^2。
4. 题目：分解因式9x^2-y^2- 解析：这是平方差形式，9x^2-y^2=(3x + y)(3x-y)。
5. 题目：分解因式x^2y - 4y- 解析：先提取公因式y，得到y(x^2-4)，x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以x^2y-4y=y(x + 2)(x-2)。
6. 题目：分解因式2x^2-8- 解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，x^2-4=(x + 2)(x-2)，所以2x^2-8 = 2(x + 2)(x-2)。
7. 题目：分解因式x^4-1- 解析：这是平方差形式，x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)，而x^2-1=(x + 1)(x-1)，所以x^4-1=(x^2+1)(x + 1)(x-1)。
8. 题目：分解因式a^3-a- 解析：先提取公因式a，得到a(a^2-1)，a^2-1=(a + 1)(a-1)，所以a^3-a=a(a + 1)(a-1)。
9. 题目：分解因式16x^2-25y^2- 解析：这是平方差形式，16x^2-25y^2=(4x+5y)(4x - 5y)。
10. 题目：分解因式x^3+2x^2+x- 解析：先提取公因式x，得到x(x^2+2x + 1)，x^2+2x + 1=(x + 1)^2，所以x^3+2x^2+x=x(x + 1)^2。
人教版八年级上册数学因式分解含答案
14.3因式分解专题一因式分解1．下列分解因式正确的是（）A．3x2－ 6x =x(x－6) B．－a2+b2=(b+a)(b－a) C．4x2－ y2=(4x－y)(4x+y) D．4x2－2xy+y2=(2x－y)2 2．分解因式：3m3－18m2n+27mn2=____________．3．分解因式：(2a+b)2－8ab=____________．专题二在实数范围内分解因式4．在实数范围内因式分解x4－4=____________．5．把下列各式因式分解（在实数范围内）（1）3x2－16；（2）x4－10x2+25．6．在实数范围内分解因式：（1）x3－2x；（2）x4－6x2+9．专题三因式分解的应用7．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（）A．30 B．－30 C．11 D．－118．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．9．在下列三个不为零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．状元笔记【知识要点】1．因式分解我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2．因式分解的方法(1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．(2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．(3)平方差公式：a 2－b 2=(a+b)(a －b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． (4)完全平方公式：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．【温馨提示】1．分解因式的对象必须是多项式，如把25a bc 分解成abc a ⋅5就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式．2．分解因式的结果必须是积的形式，如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式．【方法技巧】1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如)2(22--=+-x x x x ．2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．参考答案:1．B 解析：A中，3x2－ 6x=3x(x－2)，故A错误；B中，－a2+b2=－(a－b)(a+b)=(b+a)(b－a)，故B正确；C中，4x2－ y2=(2x)2－(2y)2=(2x－y)(2x+y)，故C错误；D中，4x2－2xy+y2的中间项不是2×2x×y，故不能因式分解，故D错误．综上所述，选B．2．3m(m－3n)2解析：3m3－18m2n+27mn2=3m(m2－6mn+9n2)=3m(m－3n)2．3．(2a－b)2解析：(2a+b)2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=(2a－b)2．4．(x2解析：x4－4=(x2+2)(x2－2)=(x2．5．解：(1)3x2－－4)；(2)x4－10x2+25=(x2－5)22(x2．6．解：(1)x3－2x=x(x2－7．B 解析：∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故选B．8．2013 解析：32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．9．解：(1)答案不唯一，如：（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．(2) 答案不唯一，如：x2－4x＞x2+2x，合并同类项，得－6x＞0，解得x＜0．别浪费一分一秒——如何利用零散时间学人们常说,时间是公平的,每个人的一天只有24个小时,所以应该珍惜时间去充实自己。
人教版八年级上册数学 第十四章整式的乘法与因式分解试卷(含答案)
人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解一、单选题1．下列各式，能用平方差公式计算的是（）A．（a－2b）（－a＋2b）B．（a－2b）（－a－2b）C．（a－1）（a＋2）D．（a－2b）（2a＋b）2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A．6x7=3x2⋅2x5B．3x+3y−5=3(x+y)−5C．4x2+4x=4x(x+1)D．(x+1)(x−1)=x2−13．下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5B．（﹣2a3）2=4a6C．a6÷a3=a2D．（a+2b）2=a2+2ab+b24．在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（）嘉琪：添加±8x，16x2+1±8x=(4x±1)2陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1=(8x2+1)2嘟嘟：添加−1，16x2+1−1=16x2=(4x)2A．嘉琪和陌陌的做法正确B．嘉琪和嘟嘟的做法正确C．陌陌和嘟嘟的做法正确D．三位同学的做法都不正确5．如图1，将一张长方形纸板的四角各剪去一个边长为a的小正方形（阴影部分），制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为2a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4a+2b B．2ab C．6a+2b D．4ab6．若x2−kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（）A．3B．6C．±81D．±67．已知a m＝2，a n＝12，a2m+3n的值为（ ）A．6B．12C．2D．112b2，则m，n的值分别为（）8．已知8a3b m÷28a n+1b2=27A．m=4，n=3B．m=4，n=2C．m=2，n=2D．m=2，n=39．下列有四个结论，其中正确的是（）①若(x−1)x+1=1，则x只能是2；②若(x−1)(x2+ax+1)的运算结果中不含x2项，则a=1③若a+b=10,ab=16，则a−b=6④若4x=a,8y=b，则22x−3y可表示为abA．①②③④B．②③④C．①③④D．②④10．已知m=2b+2022，n=b2+2023，则m和n的大小关系中正确的是() A．m>n B．m≥n C．m<n D．m≤n二、填空题11．因式分解：xy−3y=．12．计算：（1）x3⋅x5=；（2）a5÷a2=；（3）[−(−a)2]3=；（4）(−3ab3)3=；（5）(−0.125)2021×82022=；（6）(a−b)2⋅(b−a)3=．13．若x m=4，x n=9，则x2m−n=．14．如果a，b是长方形的长和宽，且(a+b)2=16，(a−b)2=4，则长方形面积是．15．若(2x2+mx−8)(x2−3x+n)的展开式中不含x2和x3项，则m=，n=．16．已知2x-3y-2=0，则(10x)2÷(10y)3＝．17．如图，两个正方形的边长分别为a和b，已知a+b=10，ab=22，那么阴影部分的面积是．三、解答题18．计算：（1）a2•（﹣a4）+2（a2）3（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣6）（4x+3）（3）（2x﹣3y）2+2（y+3x）（3x﹣y）（4）（a﹣2b+3）（a+2b+3）（5）(x−3y−2)2（6）（2m+3n）（2m﹣n）﹣2n（2m﹣n）19．先化简，再求值：[(x−2y)2−(x−y)(x+y)−2y2]÷y，其中x=−1，y=−2．20．如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为6a米，宽为5b米的长方形草坪上修建两条宽分别为a和b米的通道．(1)剩余草坪的面积是多少平方米？(2)若a=1，b=3，则剩余草坪的面积是多少平方米？21．观察以下等式：(x+1)(x2−x+1)=x3+1(x+3)(x2−3x+9)=x3+27(x+6)(x2−6x+36)=x3+216(1)按以上等式的规律，填空：(a+b)()=a3+b3(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．(3)利用（1）中的公式化简：(x+y)(x2−xy+y2)−(x−y)(x2+xy+y2)22．如图，甲长方形的两边长分别为m+1、m+7；乙长方形的两边长分别为m+2、m+4（其中m为正整数）．(1)设图中的甲长方形的面积为S1，乙长方形的面积为S2，试比较S1与S2的大小；(2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S−S1）是一个常数，请求出这个常数．23．阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．解：m2−2mn+2n2−8n+16=0，∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0，∴(m−n)2+(n−4)2=0．∵(m−n)2≥0，(n−4)2≥0，∴(m−n)2=0，(n−4)2=0，∴m=4，n=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)a2+b2−4a+4=0，则a=______；b=______．(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且a2+b2−2a−6b+10=0，求c的值．24．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)2、(m−n)2、4mn之间的等量关系式．(3)请运用（2）中的关系式计算：若x+y=−6，xy=2.75，求(x−y)2的值．参考答案：1．B2．C3．B4．A5．A6．D7．B8．B9．D10．D11．y(x−3)12．x8a3−a6−27a3b9−8(b−a)513．16914．315． 6 1316．10017．1718．（1）a6（2）21x+17（3）22x2−12xy+7y2（4）a2+6a+9−4b2（5）x2−6xy+9y2−4x+12y+4（6）4m2−n219．−4x+3y，−2．20．(1)剩余草坪的面积是20ab平方米；(2)若a=1，b=3，则剩余草坪的面积是60平方米．21．(1)a2−ab+b2(3)2y322．(1)S1>S2(2)S−S1=923．(1)2，0(2)c=324．(1)S阴影=(m−n)2或S阴影=(m+n)2−4mn(2)(m−n)2=(m+n)2−4mn(3)25。
八年级上册数学因式分解(人教版)练习题及答案
八年级上册数学因式分解(人教版)练习题及答案因式分解练题一、选择题1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8B．4C．±8D．±42．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2-6x-9B．a2-16a+32C．x2-2xy+4y2D．4a2-4a+13．下列各式属于正确分解因式的是（）A．1+4x2=（1+2x）2B．6a-9-a2=-（a-3）2C．1+4m-4m2=（1-2m）2D．x2+xy+y2=（x+y）24．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（）A．（x-y）4B．（x2-y2）4C．[（x+y）（x-y）]2D （x+y）2（x-y）2二、填空题5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．8．a2+14a+49=25，则a的值是_________．三、解答题9．把下列各式分化因式：①a2+10a+25②m2-12mn+36n2③xy3-2x2y2+x3y④（x2+4y2）2-16x2y2110．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．四、探究题12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、XXX、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？①（x+2y）2-2（x+2y）+1②（a+b）2-4（a+b-1）。
部编数学八年级上册专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练(解析版)(人教版)含答案
专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC 的周长为__．【答案】12【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．【详解】解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120（a+1）（b+1）（c+1）＝120∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．故可分为以下6种情况：（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c ＝12．（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．综上可知，△ABC 的周长为12．故答案为12．【点睛】本题主要考查因式分解的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系并分情况讨论是解题的关键．2．多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________．【答案】18．【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．【详解】解：2222627a ab b b -+-+，=222)((269)18a ab b b b -+-+++，=22()(3)18a b b -+-+，∵22()(3)00a b b --³³，，∴22()(3)18a b b -+-+的最小值为18；故答案为：18．【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．3．若实数a ，b 满足1a b -=，则代数式2225a b b --+的值为_______________．【答案】6．【分析】将所求代数式中的22a b -因式分解，再把1a b -=代入，化简即可．【详解】解：2225()()25a b b a b a b b --+=+--+，把1a b -=代入得()25255a b b a b b a b +-+=+-+=-+，再把1a b -=代入得5156a b -+=+=；故答案为：6．【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．4．如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记()a ω，例如：a =13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以()134ω=．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：()23ω=____________．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k +1)，且()8b ω=，则“跟斗数”b =____________．（3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n =100，则()()m n ωω+=____________．【答案】526 19 【分析】（1）根据题意直接将数值代入即可．（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k 的式子，再利用()8b ω=，列方程求解即可．（3）根据m +n =100，解设未知数用还有x ，y 的式子表示m 、n 为m =10x ＋y ， n =10(9-x )＋(10-y )，根据题意列式子化简即可．【详解】解：（1）()233223511ω+==（2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k ＋1)，且()8b ω=，∴[][]102(1)102(1)811k k k k +++⨯++=解得k =2，∴2(k ＋1)=6，∴b =26．（3）∵m ，n 都是“跟斗数”，且m ＋n =100，设m =10x ＋y ，则n =10(9-x )＋(10-y )，∴[][]10(9)(10)+10(10)(9)(10)(10)()()1111x y y x x y y x m n ωω-+--+-++++=+10109010101001091111x y y x x y y x +++-+-+-+-=+111120*********x y x y +--=+1919x y x y =++--=【点睛】本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型5．如图是 A 型卡片（边长a 的正方形）、B 型卡片（长为 a 、宽为 b 的长方形）、C 型卡片（边长为 b 的正方形）．现有 4张 A 卡片，11张 B 卡片，7张 C 卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填序号）①可拼成边长为2+a b 的正方形；②可拼成边长为23a b +的正方形；③可拼成长、宽分别为24a b +、2a b +的长方形；④用所有卡片可拼成一个大长方形．【答案】①③④【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2，将此多项式因式分解即可．【详解】①（a +2b ）2=a 2+4ab +4b 2，要用A 型卡片1张，B 型卡片4张，C 型卡片4张，所以可拼成边长为a +2b 的正方形．②（2a +3b ）2=224129a ab b ++，要用A 型卡片4张，B 型卡片12张，C 型卡片9张，因为B 型卡片只有11张，C 型卡片只有7张，所以不能拼成边长为2a +3b 的正方形．③（2a +4b ）（2a +b ）=222242844104a ab ab b a ab b +++=++，可得A 型卡片4张，B 型卡片10张，C 型卡片4张，所以可拼成长、宽分别为242a b a b ++、的长方形．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2=（4a +7b ）（a +b ）．所以所有卡片可拼长长为（4a +7b ），宽为（a +b ）的长方形．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．二、解答题6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：现有正方形卡片A 类、B 类和长方形C 类卡片若干张，如果要拼成一个长为2()a b +，宽为(2)a b +的大长方形，可以先计算22(2)(2)522a b a b a ab b ++=++，所以需要A 、B 、C 类卡片2张、2张、5张，如图2所示（1）如果要拼成一个长为(3)a b +，宽为()a b +的大长方形，那么需要A 、B 、C 类卡片各多少张？并画出示意图．（2）由图3可得等式：____________；（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，222a b c ++的值；（4）小明利用2张A 类卡片、3张B 类卡片和5张长方形C 类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a 、b 的代数式表示）【答案】（1）A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张，图见解析；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（3）45；（4）23a b+【分析】（1）首先计算出22(3)()43a b a b a ab b ++=++，再根据计算结果对应的卡片类型得出结论；（2）根据图形面积的就算方式2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++即可得出结论；（3）根据题意找到2222()2()a b c a b c ab ac bc ++=++-++，再通过带值即可求出；（4）利用因式分解的计算过程可得，22235(23)()a b ab a b a b ++=++，即可得出结论．【详解】解：（1）如下图：A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc++=+++++（3）2222()2()12123845a b c a b c ab ac bc ++=++-++=-⨯=Q （4）22235(23)()a b ab a b a b ++=++Q ，\较长的边为：23a b +．【点睛】本题考查了代数中的等式问题，解题的关键是掌握因式分解、具备数形结合的思想．7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b ．定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P 所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【分析】（1）根据“尼尔数”的定义，设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则23K x =+，分别令236x +=，2339x +=，解方程，判断x 的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P 表示的数为3m ，则K 可化为9m 2＋3，由m 为整数得9m 2＋3被9除余3；（2）设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2，则K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，m 12－m 22＝21，再根据m 1，m 2都是整数，可解出m 1，m 2，从而得到K 1，K 2．【详解】(1)设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则1a x =-，1b x =+，()()()()22211113K x x x x x =-++--+=+，令236x +=，得x =2339x +=，得6x =，∴6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)，K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴1212121272131m m m m m m m m +=+=ììíí-=-=îî或，∴1122m 5m 11m 2m 10==ììíí==îî或，∴1122k 228k 1092k 39k 309==ììíí==îî或. ∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【点睛】本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”m 的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数'm ，记()221111m m F m ¢+=为“双子数”m 的“双11数”．例，2424m =，'4242m =，则()22424242422424121111F ⨯+⨯==（1）计算3636的“双11数”()3636F =__________．（2）已知两个“双子数”p 、q ，其中p abab =，q cdcd =（其中19a b £<£，19c ££，19d ££，c d ¹且a 、b 、c 、d 都为整数），若p 的“双11数”()F p 能被17整除，且p 、q 的“双11数”满足()()()24320F p F q a b d c +-+++=，令(),101p q G p q -=，求(),G p q 的值．【答案】（1）18；（2）G （p ，q ）的值为51或17．【分析】（1）直接根据“双子数”m 的“双11数”的计算方法即可得出结论；（2）先根据“双11数”F （p ）能被17整除，进而判断出p 为8989，求出F （q ）=2（c +d ），再根据F (p )+2F (q )-(4a +3b +2d +c )=0，得出d =2532c -，进而求出c ，d ，即可得出结论．【详解】解：（1）由题意知，3636的“双11数”()()236366363236362636336361811111111F +⨯+⨯===，故答案为：18；（2）∵“双子数”p ，p abab =，∴F （p ）=2（a +b ），∵“双11数”F （p ）能被17整除，∴a +b 是17的倍数，∵1≤a ＜b ≤9，∴3≤a +b ＜18，∴a +b =17，∴a =8，b =9，∴“双子数”p 为8989，F （p ）=34，∵“双子数”q ，q cdcd =，∴F （q ）=2（c +d ），∵F （p ）+2F （q ）-（4a +3b +2d +c ）=0，∴34+2×2（c +d ）-（4×8+3×9+2d +c ）=0，∴3c +2d =25，∴2532c d -=，∵1≤c ≤9，1≤d ≤9，c ≠d ，c 、d 都为整数，∴c 为奇数，1≤c ＜9，当c =1时，d =11，不符合题意，舍去，当c =3时，d =8，∴“双子数”q 为3838，∴898938385151(,)51101101101p q G p q --====，当c =5时，d =5，不符合题意，舍去，当c =7时，d =2，∴“双子数”q 为7272，∴898972721717(,)17101101101p q G p q --====，∴G （p ，q ）的值为51或17．【点睛】本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题的关键．9．对于一个四位数n ，将这个四位数n 千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n ¢，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F （n ）＝101n n ¢+，如n ＝5678，对调数字后得n ¢＝7856，所以F （n ）＝56787856101+＝134．（1）直接写出F （2021）＝ ；（2）求证：对于任意一个四位数n ，F （n ）均为整数；（3）若s ＝3800＋10a ＋b ，t ＝1000b ＋100a ＋13（1≤a ≤5，5≤b ≤9，a 、b 均为整数），当3F （t ）－F （s ）的值能被8整除时，求满足条件的s 的所有值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）3816或3847或3829【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）设n ＝1000a ＋100b ＋10c ＋d ，则n ¢＝1000c ＋100d ＋10a ＋b ，（a 、b 、c 、d 为整数且a ≠0），然后根据题意列式计算即可证明；（3）先求得F （s ）＝10a ＋b ＋38，F （t ）＝10b ＋a ＋13，进而可求得3F （t ）－F （s ）＝29b －7a ＋1，再根据3F （t ）－F （s ）的值能被8整除，可得5b ＋a ＋1的值能被8整除，再根据1≤a ≤5，5≤b ≤9可得27≤5b ＋a ＋1≤51，进而可得5b ＋a ＋1＝32，40，48，由此可求得16a b =ìí=î或47a b =ìí=î或29a b =ìí=î，最终即可求得满足条件的s 的所有值．【详解】解：（1）F （2021）＝20212120101+＝41，故答案为：41；（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则n¢＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0）所以F（n）＝(100010010)(100010010)101a b c d c d a b+++++++＝10101011010101101a b c d+++＝10a＋b＋10c＋d，∵a、b、c、d为整数且a≠0，∴10a＋b＋10c＋d为整数，∴对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；（3）∵s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），∴F（s）＝(380010)(100010038)101a b a b+++++＝10101013838101a b++＝10a＋b＋38，F（t）＝(100010013)(130010)101b a b a+++++＝10101011313101b a++＝10b＋a＋13，∴3F（t）－F（s）＝3（10b＋a＋13）－（10a＋b＋38）＝29b－7a＋1，∵3F（t）－F（s）的值能被8整除，∴29b－7a＋1的值能被8整除，∴24b－8a＋5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1的值能被8整除，∵1≤a≤5，5≤b≤9，∴27≤5b＋a＋1≤51，∵5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1＝32，40，48，∴16ab=ìí=î或47ab=ìí=î或29ab=ìí=î，∴s＝3816或3847或3829．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及有理数的整除，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果是解决本题的关键．10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．（1）若用1张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，3张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；（2）请通过拼图的方式画出一个面积为22252a ab b ++的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？【答案】(1)22()(2)23a b a b a b ab ++=++；（2）画图见解析，(2)(2)a b a b ++；（3）266．【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；(2)根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；(3)根据题意列出方程，求出22a b +即可．【详解】解：(1)用面积和差计算得：2223a b ab ++；用长方形面积公式计算得：()(2)a b a b ++；可得等式为：22()(2)23a b a b a b ab ++=++；(2) 根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：根据面积公式可得，22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++；(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则2(22)66a b a b +++=，解得，11a b +=，∴22()11a b +=，即222121a b ab ++=，图1中小长方形的面积为24，则24ab =，则2273a b +=，22252273524266a ab b ++=⨯+⨯=；拼成的长方形面积是266．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键．11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除；材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数100010010m abcd a b c d ==+++，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”m 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”m dcba ¢=，记()111m m F m ¢+=．例如2461m =，()46212+¹⨯+，所以2461不是“双倍数”：2685m =，()68225+=⨯+，所以2685是“双倍数”， 5862m ¢=，()26855862268577111F +==（1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由；（2）若s ，t 均为“双倍数”，s 的千位数字是5，个位数字大于2，t 的百位数字是7，且s 能被9整除，()()4F s F t +是完全平方数，求t 的最大值．【答案】（1）2997是“双倍数”，6483不是“双倍数”；理由见解析；（2）t 的最大值7791．【分析】（1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），可得s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，依此可得d =4或d =7，利用“双倍数”的定义和F （m ）的公式，分类讨论计算出F （s ）和F （t ），依据已知和数位上数字的特征计算后，比较大小，取最大值即可．【详解】解：（1）∵()99227+=⨯+，∴2997是“双倍数”，∵()48236+¹⨯+，∴6483不是“双倍数”；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），∴s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，∵d ＞2，∴d =4或d =7，①d =4时，有10+2d =2×（5+4）=18，∴此时十位数，百位数均为9，∴s =5994，s ′=4995，F （s ）=（s +s ′）÷111=99，设t =1000a +700+10b +72b +-a ，则t ′=1000（72+2b -a ）+100b +70+a ，∴F （t ）=（t +t ′）÷111=112b +772，则4F （s ）+F （t ）=4×99+112b +772=112b +8692，∵112b +8692，是完全平方数，且b 是整数，∴b =9，∴t 的十位数字是9，则7+9=16，∴千位和个位上的数字之和是8，∴t 的最大值是7791；②d =7时，有10+2d =2×（5+7）=24，∵百位和十位上的数字之和最大为18，∴不符合题意．综上所述，t 的最大值是7791．【点睛】本题主要考查了完全平方数，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意并能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键．12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”m 的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”m ¢，记()99m m F m ¢-=，()121m m T m ¢+=．例如：792m =，297m ¢=．792297()599F m -==，792297()9121T m +==．（1）计算()693F =__________；()561T =__________．（2）对“夹心数”m ，令()()2294s T m F m =-，当36s =时，求m 的值．（3）若“夹心数”m 满足()2F m 与()2T m 均为完全平方数，求m 的值．【答案】（1）3，6；（2）m =121；（3）m =121，583，484．【分析】（1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果；（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，代入 ()()2294s T m F m =-，并进行化简后，根据 s =36的已知条件，求出a 、b 的值，即可求出m 的值；（3）结合（2）的相关结论，求出a 、b 的值，即可求出符合条件的m 的值．【详解】解：（1）()()6933965611656933561699121F T -+====，．故答案为：3；6．（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，则()1001011110m b a b a a b =+++=+¢．∴()()()11011111109999999999a b a b m m a b F m a b +-+--====-¢，()()()1101111110121121121121a b a b a b T m a b ++++===+．()()()()()()()()()()22229494323255s T m F m a b a b a b a b a b a b a b a b éùéù\=-=+--=+--++-=++ëûëû．∵s =36，∴()()5536a b a b ++=．∵19,19,29,a b a b £££££+£且 a 、 b 、a +b 都是正整数，∴5656a b a b +³+³，．∴5656a b a b +=ìí+=î，解得， 11a b =ìí=î．∴1101111011121m a b =+=+=．（3）由（2）得，()()()()2222F m a b T m a b =-=+，，∵a 、b 、a +b 都是1到9的正整数，∴()()204218a b a b -³£+£，．∵()2a b +是完全平方数，∴()24916a b +=，，．又∵()2a b +是偶数，∴()29a b +=不合题意，舍去．∴28a b +=，．当a +b =2时，a =b =1，此时，()20a b -=，符合题意；当a +b =8时，若a =7，b =1，此时，()212a b -=，不合题意，舍去；若a =6，b =2，此时，()28a b -=，不合题意，舍去；若a =5，b =3，此时，()24a b -=，符合题意；若a =4，b =4，此时，()20a b -=，符合题意．∵11011m a b =+，∴符合条件的121583484m =，，．【点睛】本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，分类讨论时做到不重复不遗漏是关键．13．对任意一个三位数m ，如果m 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将m 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数m 的和与111的商记为()F m ．例如，123是“特异数”，不断将123的百位数字调到个位可得231，312，()1232313126661236111111F ++===．（1）求()456F ，()321F ；（2）已知10032s x =+，256t y =+（19x y £££，x ，y 为整数），若s 、t 均为“特异数”，且()()F s F t +可被6整除，求()()s F F t ×的最大值．【答案】（1）F （456）=15，F （321）=6；（2）F (s )•F (t )的最大值为384．【分析】（1）根据F （m ）的定义式，分别将m =456和m =321代入F （n ）中，即可求出结论．（2）由s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，解出x ，y 的值，再根据“特异数”的定义结合F （m ）的定义式，即可求出F （s ），F （t ）的值，求出最大值即可．【详解】解：（1）F （456）=(456+564+645)÷111=15，F （321）=(321+213+132)÷111=6；（2）∵s 、t 均为“特异数”， 10032s x =+，256t y =+，∴F (s )=(100x +32+320+x +203+x ) ÷111=5+x (19x ££)，∵256t y =+，∴4y ¹，当13y ££时，F (t )=()()256502106100625y y y éù+++++++ëû÷111=13+y ，当59y ££时，F (t )=()()25660210610100610265y y y éù++++-++-+=ëû÷111=4+y (6y ¹)，∴F (s )+ F (t )=()()181913919596x y x y x y x y y ì++££££ïí++££££¹ïî，，，，由于()()F s F t +可被6整除，y x ³，①当1913x y ££££，时，6x y +=或12x y +=，∴当且当3x y ==时成立，则F (s )•F (t )=(5+x )• (13+y )=816128⨯=；②当195x y ££=，、7、8、9时，3x y +=或9或15，∴当9x y +=时，4x =，5y =或2x =，5y =或1x =，8y =，此时F (s )•F (t )=81或77或72；当15x y +=时，7x =，8y =或6x =，9y =，此时F (s )•F (t )=384或143；综上，F (s )•F (t )的最大值为384，此时7x =，8y =．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F （m ）的定义式，求出F （456），F （321）的值，（2）根据s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，得出x ，y 的二元一次方程组．14．阅读理解：在教材中，我们有学习到2222()a ab b a b -+=-，又因为任何实数的平方都是非负数，所以2()0a b -³，即222a b ab +³．例如，比较整式24x +和4x 的大小关系，因为2244(2)0x x x +-=-³，所以244x x +³请类比以上的解题过程，解决下列问题：（初步尝试）比较大小：21x +______2x ；9-_____26x x-（知识应用）比较整式225210x xy y ++和2(2)x y -的大小关系，并请说明理由．（拓展提升）比较整式2222a ab b -+和12a -的大小关系，并请说明理由．【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a ³-+-【分析】[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可；[知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可；[拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可．【详解】解：[初步尝试]()221210x x x +-=-³，∴21x +≥2x ；()()222696930x x x x x ---=-+=-³，∴9-≤26x x -；[知识应用]2225(20)12x xy y x y +-+-=2222542104x y xyx xy y -+++-=2269xyx y ++=()23x y +≥0∴225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a æö-+-çè-÷ø=221222a ab b a --++=22211122222a a a ab b +-+-+=()()22211144222a a a ab b -+-++=()()22111222a a b +--当a =1，b =12时，原式=0，∴()()22111222a a b +--≥0，∴221222a ab b a ³-+-．【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键．15．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如：分解因式()22223214(1)(3)(-1)4(12)(12)x x x x x x x x x +-=++-=+-==++++-求代数式2246x x +-的最小值，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-．当1x =-时，22467x x +-有最小值，最小值是8-，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：245x x --=__________．（2）当x 为何值时，多项式2243x x --+有最大值？并求出这个最大值．（3）若221721202333a ab b b -+-+=，求出a ，b 的值．【答案】（1）（x +1）（x -5）；（2）x =-1，最大值为5；（3）a =2，b =1【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x 为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a 、b 的值．【详解】解：（1）x 2-4x -5=（x -2）2-9=（x -2+3）（x -2-3）=（x +1）（x -5），故答案为：（x +1）（x -5）；（2）∵-2x 2-4x +3=-2（x +1）2+5，∴当x =-1时，多项式-2x -4x +3有最大值，这个最大值是5；（3）∵221721202333a ab b b -+-+=，∴2222172122202333a ab b b b b -+-+-+=，∴()()222114421023a ab b b b -++-+=，∴()()221121023a b b -+-=，∴a -2b =0，b -1=0，∴a =2，b =1．【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．16．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++因式分解的过程．解：设24x x y -=，则原式()()264y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步）()2244x x =-+（第四步）解答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】（1）C ；（2）因式分解不彻底，()42x -；（3）()41x -【分析】（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可（2）利用完全平方公式因式分解即可（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可【详解】（1）∵()228164y y y ++=+，∴运用了两数和的完全平方公式．故选C ．（2）∵()()()222424422x x x x éù-+=-=-ëû，∴因式分解不彻底．（3）设22x x y -=，则原式()()()()22222221211211y y y y y x x x éù=++=++=+=-+=-ëû()41x =-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式、换元法是解题的关键17．定义：若一个整数能表示成a 2＋b 2（a ，b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a 2＋2ab ＋2b 2＝（a ＋b ）2＋b 2，所以a 2＋2ab ＋2b 2也是“完美数”．（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；（3）已知M ＝x 2＋4x ＋k （x 是整数，k 是常数），要使M 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；（4）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k =5，理由见解答过程；（4）见解析【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；（2）利用53=22+72即可判断；（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，故答案为：2或5或8（写一个即可）；（2）53=22+72，故53是“完美数”，故答案为：是；（3）k=5（答案不唯一），理由：∵M=x2+4x+k∴M=x2+4x+4+k-4M=（x+2）2+k-4则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一个“完美数”．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；（2）若586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．【答案】（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【分析】（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可；（2）据题意可得：a2+b2=586，2ab=570，从而可求得a+b与a-b的值，进而可求a2-b2的值；（3）由题意可得：a2+b2=2ab，整理可得a=b，再由这个数是四位数，分析可得出结果．【详解】解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，∴a2+b2=9，∴有3ab=ìí=î，3ab=ìí=î（不符合题意），∴这个三位数是390；∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，∴2ab=40，则ab=20，∴有45ab=ìí=î，54ab=ìí=î，210ab=ìí=î（不符合题意），102ab=ìí=î（不符合题意），∴这个四位数是：4405或5404；故答案为：390；4405或5404；（2）∵586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，∴a2+b2=586，2ab=570，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，则a+b=34，(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，则a-b=±4，∴a2-b2=(a+b)(a-b)=34×4=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=34×(-4)=-136；（3）由题意得：222m a b m abì=+í=î，则有a 2+b 2=2ab ，整理得：(a -b )2=0，则有a =b ；∵这个整数是一个四位数，∴1≤a ≤9，1≤b ≤9，中间数是两位数，则有：a =b =1时，这个四位数是1021；a =b =2时，这个四位数是2082；a =b =3时，这个四位数是3183；a =b =4时，这个四位数是4324；a =b =5时，这个四位数是5505；a =b =6时，这个四位数是6726；a =b =7时，这个四位数是7987．综上，这个四位数是1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，灵活运用因式分解进行解答．19．材料一：一个正整数x 能写成22x a b =-（a ，b 均为正整数，且a b ¹），则称x 为“雪松数”，a ，b 为x 的一个平方差分解，在x 的所有平方差分解中，若22a b +最大，则称a ，b 为x 的最佳平方差分解，此时()22F x a b =+．例如：222475=-，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，22223297,3262=-=-，因为22229762+>+，所以9和7为32的最佳平方差分解，()223297F =+．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t 既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t 的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t ．【答案】（1）22112113=-，224073=-；（2）见解析；（3）2772，5445【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，根据“南麓数”的特征即可得到结论．【详解】解：（1）由题意可得：22112113=-，224073=-；（2）若10是“雪松数”，则可设2210(a b a -=，b 均为正整数，且)a b ¹，则()()10a b a b +-=，又1025101=⨯=⨯Q ，a Q ，b 均为正整数，a b a b \+>-，\52a b a b +=ìí-=î，或101a b a b +=ìí-=î，解得：7232a b ì=ïïíï=ïî或11292a b ì=ïïíï=ïî，与a ，b 均为正整数矛盾，故10不是雪松数；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，则2222(10)(10)99()99()()t m n n m m n m n m n =+-+=-=+-，99()()1000100101001110m n m n a b b a a b \+-=+++=+，整理得()()109a b m n m n a b ++-=++，a Q ，b ，m ，n 均为正整数，9a b \+=，经探究2786a b m n =ìï=ïí=ïï=î，5483a b m n =ìï=ïí=ïï=î，符合题意，t \的值分别为：2772，5445．【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．20．若一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵3764+=+，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，2533+¹+Q ，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；（2）根据新定义，即可得出结论；（3）根据题意知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，求得a 和b 的值，再根据题意c d +是6的倍数，结合a c b d +=+，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．【详解】（1）根据题意：一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，最小的正整数是1，最大的正整数是9，∵1001+=+，9999+=+，∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，故答案为：1111，9999；（2）是，理由如下：∵2736+=+，∴2376是“交替数”；（3）设这个“交替数”为abcd ，k 为正整数，依题意得：2212a b -=，6c d k +=，且a c b d +=+，由2212a b -=，知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，且19a ££，19b ££，即121a b a b +=ìí-=î或62a b a b +=ìí-=î或43a b a b +=ìí-=î，解得：132112a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，或42a b =ìí=î或7212a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，∵19c ££，19d ££，2618c d k £+=£，∴k 取1或2或3，当k 取1时，即6c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴62c d c d +=ìí-=-î，解得：24c d =ìí=î，∴“交替数”是4224；当k 取2时，即12c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴122c d c d +=ìí-=-î，解得：57c d =ìí=î，∴“交替数”是4257；当k 取3时，即18c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴182c d c d +=ìí-=-î，解得：810c d =ìí=î(不合题意，舍去)；综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．21．很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：()()()()()2244222224444222222x x x x x x x x x x +=++-+-+=-++=按照这种方法分别把多项式分解因式：（1）464x +；。
人教版八年级数学上册《14.3 因式分解》同步练习题-带有答案
人教版八年级数学上册《14.3 因式分解》同步练习题-带有答案一、选择题1．下列各式从左至右是因式分解的是（）A．a2−4=(a+2)(a−2)B．x2−y2−1=(x+y)(x−y)−1C．(x+y)2=x2+xy+y2D．(x−y)2=x2+2xy+y22．a2−(b−c)2有一个因式是a+b−c，则另一个因式为（）A．a−b−c B．a+b+c C．a+b−c D．a−b+c3．把(a+b)2+4(a+b)+4分解因式得（）A．(a+b+1)2B．(a+b−1)2C．(a+b+2)2D．(a+b−2)24．下列各式能用完全平方公式分解因式的有（）；③m2n2+4−4mn；④a2−2ab+4b2；⑤x2−8x+9①4x2−4xy−y2；②−1−a−a24A．1个B．2个C．3个D．4个5．计算(−2)100+(−2)99的结果为（）A．−299B．299C．2100D．-26．把x2+3x+c分解因式得(x+1)(x+2)，则c的值是（）A．3 B．2 C．-3 D．17．下列因式分解正确的是（）A．x2−x=x(x+1)B．a2−3a−4=a(a−3)−4C．a2+b2−2ab=(a+b)2D．x2−y2=(x+y)(x−y)8．若x2-y2=100，x+y=-25，则x-y的值是（）A．5 B．4 C．-4 D．以上都不对二、填空题9．2a2与4ab的公因式为．10．因式分解：2m2−4m=．11．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x+1)，请你写出一个符合条件的多项式：。
12．若有理数m使得二次三项式x2+mx+16能用完全平方公式因式分解，则m=．13．当a=3，a-b=1时，代数式a2-ab的值是三、解答题14．因式分解：（1）（2）15．已知，xy=3，求的值.16．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．17．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，原式（第一步），（第二步）（第三步），（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用进行因式分解；（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．参考答案1．A2．D3．C4．B5．B6．B7．D8．C9．2a10．2m(m−2)11．x2−1（答案不唯一）12．±813．314．（1）解：；（2）解：．15．解：∵，∴原式.16．解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y）当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；（2）由题意得：{x+y=13x2+y2=121解得xy=24 而x3y+xy3=xy（x2+y2）所以可得数字密码为24121．17．（1）完全平方公式（2）否；（3）解：设则原式。