初中函数2015经典综合试题-附答案

中考试题分类汇编--函数综合题1. 如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．（1）若二次函数y ＝－x 2－25kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式； （2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由． 解：（1）∵ α，β是Rt △ABC 的两个锐角，∴ tan α·tan β＝1．tan α＞0，tan β＞0． 由题知tan α，tan β是方程 x 2＋25kx －（2＋2k －k 2）＝0的两个根， ∴ tanx ·tan β＝（2＝2k －k 2）＝k 2－2k －2，∴ k 2－2k －2＝1．解得，k ＝3或k ＝－1． 而tan α＋tan β＝－25k ＞0， ∴ k ＜0．∴ k ＝3应舍去，k ＝－1． 故所求二次函数的解析式为y ＝－x 2＋25x －1． （2）不在． 过C 作CD ⊥AB 于D ． 令y ＝0，得－x 2＋25x －1＝0， 解得x 1＝21，x 2＝2． ∴ A （21，0），B （2，0），AB ＝23．∴ tan α＝21，tan β＝2．设CD ＝m ．则有CD ＝AD ·tan α＝21AD ．∴ AD ＝2CD ．又CD ＝BD ·tan β＝2BD ，∴ BD ＝21CD ． ∴ 2m ＋21m ＝23．∴ m ＝53．∴ AD ＝56．∴ C （1017，53）．当x ＝1017时，y ＝259≠53∴ 点C 不在（1）中求出的二次函数的图象上．2．已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值． （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM解：（1）解方程组01342k bk b =-+⎧⎨-=++⎩得23k b =-⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=--．（2）顶点(14)sin N ON AON -==，，∠ （3）在223y x x =--中，令0x =得3y =-，(03)A ∴-，， 令0y =得1x =-或3，(30)M ∴，．S 四边形367.52OAN ONM S S =+=+=△△（面积单位）3．如图9，抛物线y=ax 2+8ax+12a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC. (1) 求线段OC 的长.(2) 求该抛物线的函数关系式．(3) 在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在， 请说明理由.解：（1）32；（2）34338332-+-=x x y ；（3）4个点：)0,4(),0,0(),0,326)(0,326(+-4．已知函数y=x2和y=kx+l(k≠O)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴⎪⎩⎪⎨⎧+==112k a a ∴⎩⎨⎧==12k a (2)将y ＝x2代人y=kx+l ，消去y ．得kx 2+x 一2=0．∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1＋8k ， ∴1+8k≥0，解得k≥一81 ∴k≥一81且k≠0．5．已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；（2）若P ，A 两点在抛物线y=－34 x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由. （1）30,（23,23）; （2）∵点P （23,23），A （3，0）在抛物线上，故 -34×43+b ×23 +c=23,-34×3+b ×3 +c=0, ∴b=3,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-34x 2+3x+1,C 点坐标为（0，1）. ∵-34×02+3×0+1=1，∴ 点C 在此抛物上.6.如图，二资助函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1，—2）、N （—1，6）.（1）求二次函数c bx x y ++=2的关系式.（2）把Rt △ABC 放在坐标系，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。

将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离.解：（1）∵M （1，－2），N （－1，6）在二次函数y = x 2+bx+c 的图象上，∴⎩⎨⎧=+--=++.61,21c b c b 解得⎩⎨⎧=-=.1,4c b二次函数的关系式为y = x 2－4x+1.（2）Rt △ABC 中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4，,034,14422=--+-=x x x x解得.72212164±=+±=x∵A （1，0），∴点C 落在抛物线上时，△ABC 向右平移71+个单位. 7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数621,+-==x y x y 的图象交于点A 。

动点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与△OAB 重叠部分的面积为S. （1）求点A 的坐标.（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式.（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.（4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 与△OAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是____________.解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,621,x y x y 可得⎩⎨⎧==.4,4y x ∴A （4，4）。

（2）点P 在y = x 上，OP = t ，则点P 坐标为).22,22(t t 点Q 的纵坐标为t 22，并且点Q 在621+-=x y 上。

∴t x x t 212,62122-=+-=， 即点Q 坐标为)22,212(t t -。

t PQ 22312-=。

当t t 2222312=-时，23=t 。

当时230≤＜t ， .2623)22312(222t t t t S +-=-=当点P 到达A 点时，24=t ，当2423＜t＜时， 2)22312(t S -=144236292+-=t t 。

（3）有最大值，最大值应在230≤＜t 中， ,12)22(2312)824(232623222+--=++--=+-=t t t t t S当22=t 时，S 的最大值为12.（4）212≥t .8．已知一次函数y=3+m(O<m≤1)的图象为直线l ，直线l 绕原点O 旋转180°后得直线l '，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(-3，-1)、B(3，-1)、C(O ，2)．(1)直线AC 的解析式为________，直线l '的解析式为________ (可以含m)；(2)如图，l 、l '分别与△ABC 的两边交于E 、F 、G 、H ，当m 在其围变化时，判断四边形EFGH 中有哪些量不随m 的变化而变化?并简要说明理由；(3)将(2)中四边形EFGH 的面积记为S ，试求m 与S 的关系式，并求S 的变化围； (4)若m=1，当△ABC 分别沿直线y=x 与y=3x 平移时，判断△ABC 介于直线l ，l '之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的围．(不必说明理由)解： (1)y=x 3 +2 y=x 3-m(2)不变的量有：①四边形四个角度数不变， 理由略；②梯形EFGH 中位线长度不变(或EF+GH 不变)，理由略． (3)S=m 334 0<m ≤1 0<s ≤334 (4)沿y=x 3平移时，面积不变；沿y=x 平移时，面积改变，设其面积为S '，则0<S '≤335 9． 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A<OB)是方程x 2-18x+72=0的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，OD=2CD ． (1)求点C 的坐标；(2)求直线AD 的解析式；(3)P 是直线AD 上的点，在平面是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)OA=6，OB=12 ，点C 是线段AB 的中点，OC=AC. 作CE ⊥x 轴于点E ．∴ OE=12OA=3，CE=12OB=6．∴ 点C 的坐标为(3，6).(2)作DF ⊥x 轴于点F△OFD∽△OEC，OD OC =23，于是可求得OF=2，DF=4．∴ 点D 的坐标为(2，4).设直线AD 的解析式为y=kx+b ．把A(6，0)，D(2，4)代人得6024k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得16k b =-⎧⎨=⎩，∴ 直线AD 的解析式为y=-x+6 . (3)存在．Q 1(-32，32)； Q 2(32，-32)； Q 3(3，-3) ；Q 4(6，6) .10. 在平面直角坐标系中,已知A (0,2),B (4,0),设P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点,它们同时出发,点P 以每秒3个单位的速度从点A 向点B 运动,点Q 以每秒1个单位的速度从点B 向点O 运动.设运动时间为t (秒).(1)用含t 的代数式表示点P 的坐标; (2)当t 为何值时,△OPQ 为直角三角形?(3)在什么条件下,以Rt △OPQ 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式. 解:(1)作PM ⊥y 轴,PN ⊥x 轴.∵OA =3,OB =4,∴AB =5.∵PM ∥x 轴,∴PM AP OB AB =.∴345PM t =.∴PM =125t . ∵PN ∥y 轴,∴PN PB OA AB =.∴5335PN t -=.∴PN =3-95t .∴点P 的坐标为(125t ,3-95t ). (2)①当∠POQ =90°时,t =0,△OPQ 就是△OAB ,为直角三角形. ②当∠OPQ =90°时,△OPN ∽△PQN ,∴PN 2=ON •NQ .(3-95t )2=125t (4-t -125t ). 化简,得19t 2-34t +15=0.解得t =1或t =1519. ③当∠OQP =90°时,N 、Q 重合.∴4-t =125t ,∴t =2017.综上所述,当t =0,t =1,t =1519,t =2017时,△OPQ 为直角三角形.(3)当t =1或t =1519时,即∠OPQ =90°时,以Rt △OPQ 的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线.当t =1时,点P 、Q 、O 三点的坐标分别为P (125,65),Q (3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y =a (x -3)(x -0),即y =a (x 2-3x ).将P (125,65)代入上式,得a =-56.∴y =-56(x 2-3x ).即y =-56x 2+52x .说明:若选择t =1519时,点P 、Q 、O 三点的坐标分别是P (3619,3019),Q (6119,0),O (0,0).求得抛物线的解析式为y =-1930x 2+6130x ,相应给分.11．已知：抛物线m x x y --=22（m>0）与y 轴交于点C ，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′点.（1）求C 点、C ′点的坐标（可用含m 的代数式表示）（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 点的坐标（可用含m 的代数式表示） （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长.12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ A ）A．（1，1） B．（-1，1） C．（-1，-1） D．（1，-1）13．如图，△OAB 是边长为23+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF.（1）当A ′E//x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E//x 轴，且抛物线216y x bx c =-++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标；（3）当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由.解：（1）由已知可得∠A ，OE=60o , A ，E=AE由A ′E//x 轴,得△OA ，E 是直角三角形，设A ，的坐标为（0，b ）AE=A ，E=3b ,OE=2b3223b b +=+所以b=1，A ，、E 的坐标分别是（0，1）与（3，1）（2）因为A ，、E 在抛物线上，所以2111(3)36c b c =⎧⎪⎨=-++⎪⎩所以13c b =⎧⎪⎨=⎪⎩，函数关系式为213166y x x =-++ 由2131066x x -++=得123,23x x =-= 与x 轴的两个交点坐标分别是（3-，0）与（23，0）（3）不可能使△A ′EF 成为直角三角形. ∵∠FA ，E=∠FAE=60o ,若△A ′EF 成为直角三角形,只能是∠A ，EF=90o 或∠A ，FE=90o若∠A ，EF=90o ,利用对称性,则∠AEF=90o , A ，、E 、A 三点共线，O 与A 重合，与已知矛盾；同理若∠A ，FE=90o也不可能所以不能使△A ′EF 成为直角三角形. 14.已知抛物线y=x ²—4x+1.将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线. ⑴求平移后的抛物线解析式;⑵若直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点,数m 的取值围;⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax ²+bx+c(a＞0，b ＜0)，并将此抛物线沿x 轴方向向左平移 -ba个单位长度，试探索问题⑵． (1)解：142+-=x x y 配方，得3)2(2--=x y ，向左平移4个单位，得3)2(2-+=x y∴平移后得抛物线的解析式为142++=x x y(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)解⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=141422x x y x x y ，得⎩⎨⎧==10y x∴两抛物线的交点为（0，1）由图象知，若直线y ＝m 与两条抛物线有且只有四个交点时， m ＞－3且m ≠1（3）由c bx ax y ++=2配方得，ab ac a b x a y 44)2(22-++= 向左平移ab-个单位长度得到抛物线的解析式为 ab ac a b x a y 44)2(22-+-=∴两抛物线的顶点坐标分别为)44,2(2a b ac a b --，)44,2(2ab ac a b - 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=-++=a bac a b x a y a b ac a b x a y 44)2(44)2(22得，⎩⎨⎧==c y x 0∴两抛物线的交点为（0，c ） 由图象知满足（2）中条件的m 的取值围是：m ＞ab ac 442-且m ≠c15.直线313y x =-+分别与x 轴、y 轴交于B 、A 两点． ⑴求B 、A 两点的坐标；⑵把△AOB 以直线AB 为轴翻折，点O 落在平 面上的点C 处，以BC 为一边作等边△BCD求D 点的坐标． 解：如图（1）令x=0，由133+-=x y 得 y=1 令y=0，由133+-=x y 得3=x ∴B 点的坐标为（3，0），A 点的坐标为（0，1） （2）由（1）知OB=3，OA=1∴tan ∠OBA=OB OA =33 ∴∠OBA=30° ∵△ABC 和△ABO 关于AB 成轴对称∴BC=BO=3，∠CBA=∠OBA=30° ∴ ∠CBO=60° 过点C 作CM ⊥x 轴于M ，则在Rt △BCM 中 CM=BC ×sin ∠CBO=3×sin60°=23 BM=BC ×cos ∠CBO=3×cos60°=23∴OM=OB －BM=3－23=23 ∴C 点坐标为（23，23） 连结OC∵OB=CB ，∠CBO=60° ∴△BOC 为等边三角形过点C 作CE ∥x 轴，并截取CE=BC 则∠BCE=60° 连结BE 则△BCE 为等边三角形． 作EF ⊥x 轴于F ，则EF= CM=23，BF=BM=23OF=OB+BF=3+23=233 ∴点E 坐标为（233，23） ∴D 点的坐标为（0，0）或（233，23） 16．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，得方程组解得∴抛物线的解析式为顶点坐标为(2)所画图如图．(3)由图象可知，当-1<x<4时，y>0．17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，B(5，0)，M 为等腰梯形OBCD 底边OB 上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°． (1)求直线CB 的解析式： (2)求点M 的坐标；(3)∠DMC 绕点M 顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D 1MC 1(点D 1，C 1依次与点D ，C 对应)，射线MD 1交直线DC 于点E ，射线MC 1交直线CB 于点F ，设DE=m ，BF=n ． 求m 与n 的函数关系式．解：(1)过点C 作CA⊥OB，垂足为A ．在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBO=60°， 0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=3, BA=BC·cos∠CBO=1． ∴点C 的坐标为(4，3)．设直线CB 的解析式为y=kx+b ，由B(5，0)，C(4，3)，得解得∴直线CB 的解析式为y=-3x+53．(第25题)(第28题) (第(1)小(2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60°∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3．∴△ODM∽△BMC．∴OD·BC=BM·OM．∵B点为(5，0)，∴OB=5．设OM=x，则BM=5-x．∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)．解得x1=1，x2=4．∴M点坐标为(1，0)或(4，0)．(3)(I)当M点坐标为(1，0)时，如图①，OM=1，BM=4．∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO．又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB．∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.∴CF=2DE．∵CF=2+n，DE=m，∴2+n=2m，即m=1+2n(0<n<4)．(Ⅱ)当M点坐标为(4，0)时，如图②．OM=4,BM=1.同理可得△DME∽△CMF，∴DE=2CF.∵CF=2-n，DE=m，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(21<n<1)．18．如图，边长为1的等边三角形OAB的顶点O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，动点D在线段OA上移动(不与O，A重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥OB，垂足为F。