解一元二次方程直接开平方法 (2)

解一元二次方程直接开平方法

1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．

3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．

一、情境导入

一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？

二、合作探究

探究点：直接开平方法

【类型一】用直接开平方法解一元二次方程

运用开平方法解下列方程：

(1)4x2＝9；

(2)(x ＋3)2－2＝0.

解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．

解：(1)由4x 2＝9，得

x 2＝

94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32

，x 2＝－32

.

(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝

2或x ＋3＝－

2.

∴原方程的解是x 1＝

2－3，x 2＝－

2－3.

方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝

a ，x 2＝－a .

初中

【类型二】直接开平方法的应用

(2014·山东济宁中考)若一元二次方程

ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是

m ＋1与2m －4，则b

a

＝________.

解析：∵ax2＝b，∴x＝±b

a，∴方程的两个根互为相反数，∴

m＋1＋2m－4＝0，解

得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b

a＝2，∴

b

a＝4，

故答案为4.

【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用

若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．

解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.

【类型四】直接开平方法的实际应用

有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？

分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．

解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.

方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．

三、板书设计

教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.