高考一元二次不等式及其解法课件(共51张PPT)

(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
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第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
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第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
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第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
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第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
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第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
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第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
1 答案： 2
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变化，而后求得方程两根，再利用“大
于号取两边，小于号取中间”求解.
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第六章
不等式与推理证明
2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2 ＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程为：
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第六章
不等式与推理证明
课前热身
1.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0},B＝
{x∈N*|x≤5},则A∩B是( A.{1,2,3} B.{1,2} C.{4,5} )
用求根公式求解方程的根,而后写出解
集,(3)小题中对a要分类讨论.
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第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)∵Δ＝42－4×2×3<0,
∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根, 二次函数y＝2x2 ＋4x＋3的图象开口向上,与x轴没有交点,即2x2＋4x＋3>0恒成
立,
所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集为R.
2
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第六章
不等式与推理证明
【误区警示】
本题中易出现漏“m＝
0”的情况,原因是对于二次项系数为参
数的函数直觉上认定其为二次函数.
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第六章
不等式与推理证明
考点3
一元二次不等式的实际应用
实际应用问题是新课标中考查的重点, 突出了对应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型出现.解题时要理
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第六章
不等式与推理证明
(2)若最低档次产品每件利润为 22 元, 则生产第 x 档次产品时,每天所获利润为： y ＝ [40 － 2(x－ 1)][22＋ (x － 1)]＝－ 2x2 ＋ 882. 因为 x∈[1,6],且 x∈N, 所以当 x＝1 时,y 最大,即生产第一档次产品利润最大.
大?
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第六章
不等式与推理证明
(2)若最低档次的产品每件利润为22元, 则生产哪种档次的产品所得到的利润最大? 【思路分析】生产第x档次产品时,产
品的利润＝生产数量×每件利润,表示
出产品利润后求利润最大时对应的x值.
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第六章
不等式与推理证明
【解】 (1)设生产第 x 档次产品时,所获利润最大,则生产第 x 档次产品时,每件利润为 16＋(x－1)×1(元), 生产第 x 档次产品时,每天生产[40－2(x－ 1)]件,所以生产第 x 档次产品时,每天所获利润为： y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)] ＝－2(x－3)2＋648(元). 当 x＝3 时,y 最大,即生产第三档次产品利润最大.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
有两相异有两相等没有实实根x1＝实根数根 b x1,x2(x1<x2) x2＝－ 2a
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第六章
不等式与推理证明
判别式Δ ＝b2－4ac ax2＋bx＋ c>0 (a>0) 的解集 ax2＋bx＋ c<0 (a>0) 的解集
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
{x|x<x1 _________ {x|x≠x1} 或x>x2} _________ ________
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第六章
不等式与推理证明
解：因 a>0 时,原不等式可化为(ax－1)(x－ 2)<0,即 1 (x－ )(x－2)<0. a 1 1 1 若 <2,即 a> 时,解得 <x<2; 2 a a 1 1 若＝2,即 a＝时,解集为∅; 2 a 1 1 1 若 >2,即 0<a< 时,解得 2<x< . 2 a a
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第六章
不等式与推理证明
当 m＝0 时,－6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max＝g(1)＝m－6<0, 所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述：m 的取值范围是{m|m< }. 7
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第六章
不等式与推理证明
12 3 法二：因为 x －x＋1＝(x－ ) ＋ >0, 2 4 2 又因为 m(x － x ＋ 1) － 6<0, 所以 6 6 m< 2 .因为函数 y＝ 2 ＝ x －x＋1 x －x＋1 6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 12 3 7 x－＋ 2 4 6 6 m< 即可.所以,m 的取值范围是{m|m< }. 7 7
就是变量,求谁的范围,谁就是参数.
(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部
在x轴下方.
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第六章
不等式与推理证明
例2
设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m 的取值范围;
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第六章
不等式与推理证明
【规律方法】如下四步进行：
Байду номын сангаас不等式应用题一般可按
(1)认真审题,把握关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关
系;
(3)解不等式;
(4)回归实际问题.
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第六章
不等式与推理证明
方法感悟
方法技巧
1.解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化成标准型,即ax2＋bx＋c>0或 ax2＋bx＋c<0的形式,其中a>0. 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋
于0,还是大于0,然后将不等式转化为二
次项系数为正的形式.
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第六章
不等式与推理证明
(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与 0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方
程有两个根时,要讨论两根的大小关系,
从而确定解集形式.
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第六章
不等式与推理证明
互动探究
本例中(3)若变为ax2－(2a＋1)x＋ 2<0(a>0),试解该不等式.
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<－m＋5恒成立,
求m的取值范围.
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第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
本题(1)可讨论m的取值
,利用判别式来解决.对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题, 常有两种处理方法：法一是利用二次函
数区间上的最值来处理.法二是先分离
出参数,再去求函数的最值来处理,一般
第六章
不等式与推理证明
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形,使一端为0且二次项系
数大于0,即ax2 ＋bx＋c>0(a>0),ax2 ＋bx ＋c<0(a>0).
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第六章
不等式与推理证明
(2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根.
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第六章
不等式与推理证明
②a＝0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a ③a<0 时,－ > , 4 3 a a 解集为{x|x< 或 x>－ }. 3 4
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第六章
不等式与推理证明
【规律方法】等式的步骤：
解含参数的一元二次不
(1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小
{x|x∈R}
{x|x1<x _________ ∅ ∅ __________ ______ <x2} _________
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第六章
不等式与推理证明

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一元二次不等式及其解法 PPT

当a=-1时，如图1-26，一元二次函数y =x2+（1-a）x-a的图象
与x轴只有一个交点（-1，0）.所以原不等式的解集为
（3）当a>-1时，如图1 - 27，一元二次函数y=x2+（1-a）x-a 的图象与x轴从左至右有两个交点（-1，0）与（a，0）.所以原不等式的解集为（-1，a）.
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以不等式 x2-2x-3<0为例
1.画出一元二次函数y=x2-2x-3 的图象
它与x轴交点的横坐标分别是-1和3.即当x1=1，x2=3时 x2-2x-3=0
2.当 -1<X<3时，一元二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴的下方，满足y<0.也就是说，一元二次不等式x2—2x—3<0的解集是{x|1<x<3}
交点（ -2，0）(和13 , 0) 观察图象可得原不等式的解集为 {x | x 2或x 13}
解法2：
将原不等式可以转化为：（x+2）（3x-1）>0
或即： x20, 3x10,
x+2<0 3x10
所以不等式的解集：{x | x 2或x 13} 思考：根据不等式3x2+5x-2>0的解集，你能得出不等式3x2+5x-2≤0
已知一元二次函数
y
1 2
x
2
4
x
2
（1）指出它的图象可以由
y
1 2
x2
函数的图象经过怎样的
变换而得到；
（2）指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最
大值或最小值

高中数学一元二次不等式及解法 PPT课件图文

y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为：当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂讲义
求解一元二次不等式
例一求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x

1} 2
y
O x1
x
变式训练

一元二次不等式及其解法-PPT课件

例
{
x|
1
x
1 0} 3
x o
应例3：求不等式 x2 2x 3 0的解集
解：不等式可化为2x 2x 3 0
y
用
Δ 4 12 8 0
方程x2 2x 3 0无实数根
举
o
由图像知y x2 2x 3 x 的图像开口向上
原不等式的解集为Φ
例
应例4：自变量x在什么范围取值时，函数
y x2 6x10的值等于0？大于0？小于0呢？
1 2
,0
）
2
举
函数y 4x2 4x1的图像为
由图像知原不等式
例
的
解
集
为
{
x|x
1} 2
应
例2：求不等式32x 7x 10的解集
解：原不等式可化为
用
3x2 7x10 0
y
Δ 493410 169 0
方程 3x2 7x 10 0的解是:
举
x1
10 3
,x2
1
原不等式的解集是：
一元二次不等式的解法
定义：
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式形如：ax2+bx+c>0(a≠0)等
⊿=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
⊿>0 x1 x2
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两不等实根 x1 x2
练习
小结
请同学们说一说今天学会了些什么？
1.一元二次不等式与其对应的二次函数以及一元二次方程的关系 2.一元二次不等式的解法

一元二次不等式及其解法课件

题型四. 恒成立问题
例4.不等式 (a 2)x2 2(a 2)x 4 0
对一切 x R 恒成立，则a的取值范围。
变式1.不等式(a2 4)x2 (a 2)x 1 0 的解为空集，求a的取值范围。
题型5. 分式不等式 x a 0与 x a 0
xb
xb
例5、解不等式 x 3 0
2
解:由题意可得,
3
1
,1
是方程
ax2
bx
2
0
23
的两个根,且a<0.
1 1 b 23 a 1 1 2 23 a
解得: a 12,b 2.
题型三.含参数的一元二次不等式的解(分类讨论)
例3. 解关于x的不等式 x2 ax 6a2 0
小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨论的思想，确定分类的标准，对参数进行分类讨论。
x7
总结归纳：
x a 0 (x a)(x b) 0 xb
x a 0 (x a)(x b
x
|
x
b 2a
0
y
0
x
没有实根
R
题型一.不含参数的一元二次不等式的解
例1.解下列不等式
(1)2x2 5x 3 0
(2) 3x2 15x 12
题型二. 一元二次不等式的解与系数的关系(韦达定理)
例2.不等式ax2 bx 2 0 的解集为
{x | 1 x 1}, 求 a, b.
思考
如何来求不等式 x2 5x 0
的解集.
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象来解一元二次不等式。

不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt

最大/最小值问题
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。

一元二次不等式及其解法ppt课件

∵f(x)图象的对称轴为直线 x=2,∴f(x) 在(0,1)上单调递减，
∴当x=1 时，f(x)取到最小值，为一3,∴实数m 的取值范围
是[一0, — 3],故选A.
答案： A
2.若不等式 x²+mx—1<0对于任意x∈[m,m+1] 都成立，则实数m 的取值范围是解析：由题意，得函数f(x)=x²+mx—1在[m,m+1] 上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x²+mx—1开口向上，
(3)若a 可以为0,需要分类讨论，一般优先考虑a=0 的情形.
三、典型例题分析考点一一元二次不等式的解法
考法(一)不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：(1)—3x²—2x+8≥0;
(2)0<x²—x—2≤4; [解]( 1)原不等式可化为3x²+2x—8≤0,
即(3x—4)(x+2)≤0, 解得
考法(二)含参数的一元二次不等式 [典例] 解不等式ax²—(a+1)x+1<0(a>0). [解] 原不等式变为(ax—1)(x—1)<0,
因为a>0, 所以
所以当a>1,
时，解
当 a=1 时，解集为o; 当 0<a<1, 艮时，解为
综上，当0<a<1 时，不等式的解集当a=1 时，不等式的解集为o; 当a>1 时，不等式的解集为
[解题技法] 1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于 0 , 还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.

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