距离最小问题
最短距离专题(答案部分)
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基本应用
1．如图，∠AOB=30°，内有一点 P 且 OP=5，若 M、N 为边 OA、OB 上两动点， 那么△PMN 的周长最小为 5 ．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出 OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等 边三角形 DOE，求出 DE=5，求出△PMN 的周长=DE，即可求出答案． 【解答】解：作 P 关于 OA 的对称点 D，作 P 关于 OB 的对称点 E，连接 DE 交 OA 于 M，交 OB 于 N，连接 PM，PN，则此时△PMN 的周长最小， 连接 OD，OE， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OD=OP，PM=DM， 同理 OE=OP，PN=EN，∴OD=OE=OP=5， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OA⊥PD， ∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA， 同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB2×30°═60°， ∵OD=OE=5，∴△DOE 是等边三角形， ∴DE=5 即△PMN 的周长是 PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=5，
【分析】（1）首先作出∠AOB 角平分线，再作出 MN 的垂直平分线，交点即为 P； （2）先作出 M 点关于 AB 的对称点 G，连接 NG 交 AB 于 Q，则 Q 就是所求． 【解答】解：（1）如图所示：
∴点 P 是所求做的点； （2）由题意，得 ∴点 Q 是所求作的点． 【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，线段的垂直平分线的性质的运用， 轴对称最短路径问题的运用，解答时熟练掌握基本作图的方法是关键．
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作 B 点关于 l 的对称点 B′，连接 AB′交E⊥AE，
解析几何中的最小(最大)距离问题
解析几何中的最小（最大）距离问题作者：韩庆东来源：《新校园·学习版》2008年第06期在解析几何中，有一种有关距离的最小（或最大）的问题.有些同学遇到此类问题，常常不知道从何下手.实际上这类问题的规律是比较明显的.1.圆锥曲线上的点到某直线上的点的最小（最大）距离问题〖例题1〗设P是抛物线y=x2上的点，若P点到直线2x-y-4=0的距离最小，求P点的坐标.解法一:设P点坐标为(x0,x02),由点到直线的距离公式得P点到直线2x-y-4=0的距离是:d= = = .可见:当x0=1时,d取最小值.此时P点坐标为(1,1).解法二:如图,平移2x-y-4=0这条直线到与抛物线相切,则切点为抛物线上到直线距离最小的点P.设平移后的切线方程为:2x-y+D=0.由方程组:y=2x+Dy=x2得:x2-2x-D=0判别式,所以D=-1.所以x=1，所以P点坐标为(1,1).解法三:设P(x0,y0),因为y′=2x,所以过P点的切线斜率k=2x0=2,所以x0=1,y0=x02=0,故P点坐标为(1,1).点评:解法一从点到直线的距离公式出发，利用曲线方程是y=x2，设曲线上的点坐标为(x0,x02)，达到用一个字母设出点的两个坐标的目的，将距离转化为点的横坐标的一元函数，利用函数最值的知识将问题解决.也非常明显地体现了解析几何的特点——用代数的方法解决几何问题.解法二则将问题转化为交点个数的问题，将一个比较生疏的问题转化为一个常见问题来解决.解法三在解法二的基础上引用了导数知识，非常轻易的解决了问题，体现了综合运用知识的目的.2.圆锥曲线上的点到某定点的最小（最大）距离问题〖例题２〗设Ｐ是抛物线y=x2上的点，若P点到点Ｑ（0，2）的距离最小，求P点的坐标.解法一：设P点坐标为(x0,x02),由两点间的距离公式得P点到点Ｑ的距离的平方是：d2=x02+(x02-2)2=x04-3x02+4=(x02- )2+ ，可见当x02= ，x0=±时，d取最小值.此时P点坐标为( ， )或(- ， ).解法二：如图：设以点Ｑ为圆心的圆与抛物线相切，则切点就是所求的Ｐ点.设圆的半径为r，圆的方程为x2+(y-2)2=r2，由方程组：y=x2x2+(y-2)2=r2得y+(y-2)2=r2，即y2-3y+4-r2=0，由判别式Δ=9-4(4-r2)=4r2-7=0得r2= ，此时，y2-3y+ =0，y= ，x=±，所以Ｐ点坐标为或( ， )或(- ， ).由于抛物线方程的特殊性，当一点在抛物线上时，设点是比较容易的，但如果已知的点在椭圆或双曲线上时，设点时需要技巧．〖例题３〗设Ｐ是椭圆 +y2=1上的点，若P点到点Ｑ（0，2）的距离最大，求P点的坐标.分析：如果设Ｐ点的横坐标为x0，则其纵坐标这y0= ±，下一步的计算会困难很大，此时，可利用三角公式sin2θ+cos2θ=1，令=cos2θ，y2=sin2θ得到椭圆的参数方程：x=2cosθ，y=sinθ.解法一：设Ｐ点的坐标为（2cosθ，sinθ），则Ｐ点到Ｑ点的距离的平方为d2=4cos2θ+(sinθ-2)2=4cos2θ+sin2θ-4sinθ+4=5+3cos2θ-4sinθ=5+3(1-sin2θ)-4sinθ=8-(3sin2+4sinθ)，可见当sinθ=- 时，d取最大值.此时cosθ=± ，Ｐ点坐标为( ，- )或(- ，- ).解法二：如图，当以Ｑ点为圆心的圆与椭圆外相切时，切点应是所求的Ｐ点，设圆的半径为r，圆的方程为x2+(y-2)2=r2，由方程组：x2+4y2=4x2+(y-2)2=r2得4y2-(y-2)2=4-r2，即3y2+4y-8+r2=0，由判别式Δ=16-12(-8+r2)=-3r2+28=0得r2= ，此时，3y2+4y+ =0，y=- ，x=±，所以Ｐ点坐标为( , - )或(- ,- ).3.圆上的点到某定直线或定点的最小（最大）距离问题〖例题４〗设点Ｐ是圆(x-1)2+(y-2)2=1上的点，若点Ｐ到直线2x-y-4=0的距离最小，求P 点的坐标.分析：如图，由于圆的特点，此类问题都转化为圆心到定直线或定点的最小（最大）距离问题，所求的点Ｐ就是过圆心与已知直线垂直的直线与圆的一个交点，该交点位于圆心和垂足之间．解：圆心为（1，2）点，过Ｐ点垂直于直线2x-y-4=0的直线方程是x+2y-5=0.由方程组x+2y-5=0(x-1)2+(y-2)2=1得x=1+ ，y=2- ，所以Ｐ点从标为(1+ ，2- )．注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
有关最短距离问题
有关最短距离问题
例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。
P B
A
这是课本中的一道题，做法相信大家都知道。
其实，这种方法还可以和其他知识合起来变形应用。
例2.要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A到B的距离最短，桥应该修在那个位置。
A
解：过点B做河岸的垂线,并截取BC,使BC等于河岸的宽度，连接AC交下边河岸于点P，则P点为所求的点。
做法如上图。
例3.在锐角三角形中求一点P，使P到此三角形三个顶点的距离和最短，求点P的位置。
E
D
P
C
B
A
解：假设P点在上图位置，连接PA、PB、PC,将⊿PAB逆时针方向旋转0
60.
在⊿PBD 中PB=DB ,∠PBD=060.所以⊿PBD 为正三角形。
所以PB=BD=PD.
由旋转性质知：PA=DE 。
所以PA+PB+PC=PC+PD+DE
由两点之间线段最短知，当E 、D 、P 、C 在同一直线上时，PA 、PB 、PC 距离之和最短。
所以∠EDB=∠BPC=0120 即∠BPA=∠BPC=∠APC=0120
因此，点P 在使∠BPA=∠BPC=∠APC=0120的位置时，到三角形三顶点的距离之和最短。
初一数学培优专题五：最短距离问题
专题五：最短距离问题类型一：作图问题1、如图，在直线l 的同侧有两点A 、B 。
（1）在图（1）的直线上找一点P ，使PA=PB（2）在图（2）的直线上找一点P ，使PA+PB 最短（3）在图（3）的直线上找一点P ，使PA-PB 最大2、如图，村庄A,B 位于一条小河的两侧，若河岸a,b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直桥CD 。
问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路径最近？3、如图，在三角形ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠CAB ，N 点是AB 上的一定点，M 是AD 上一动点，要使MB+MN 最小，请找点M 的位置４、（1）如图（1），在AB 直线一侧有C 、D 两点，在AB 上找一点P ，使C 、D 、P 三点组成的三角形周长最短，找出此点并说明理由。
（2）如图（2），在∠ＡＯＢ内部有一点P ，是否在OA ，OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由。
（3）如图（3），在∠AOB 内部有两点M 、N 是否在OA ，OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、M 、N 四点组成的四边形的周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由。
A B l A B lABl图1图2图3ABN A B C DD C B y A n A n A nB y By P M oN e O O类型二、计算问题５、如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，G 、H 分别是AF 和CD 的中点，P 是GH 上的动点，连接AP ，BP ，则AP+BP 的值最小时，BP 与HG 的夹角度数是多少？类型三、作图、计算综合型问题６、如图，在△ABC 的一边AB 上有一点P 。
（１）能否在另外两边AC 和BC 上各找一点M ，N ，使得△PMN 的周长最短？若能，请画出点M ，N 的位置，若不能，请说明理由。
（２）若∠ACB=52度，在（1）的条件下，求出∠ＭＰＮ的度数。
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
点到直线的距离最短 生活例子
点到直线的距离最短生活例子点到直线的距离最短是数学中的一个经典问题。
在生活中，我们可以通过一些实际例子来解释和理解这个概念。
一个常见的例子是我们行驶在公路上的时候。
当我们在高速公路上行驶时，可能会发现自己需要尽量保持在自己的车道上，而不是偏离到其他车道。
这是因为高速公路被划分为多个车道，车辆需要按照自己所在的车道行驶，以确保交通的安全和流畅。
我们可以将每个车道看作是一条直线，而自己所在的位置相当于是一个点。
在这种情况下，我们需要尽量保持自己距离其他车道最近的位置，这就是点到直线的距离最短的生活例子之一。
另一个例子可以是我们购买东西时在商店里选择最近的收银台。
设想一下，当我们在商场里购物时，往往会有多个收银台供我们付款。
每个收银台可以看作是一条直线，而我们所在的位置相当于是一个点。
如果我们要尽快完成购物并付款，那么我们应该选择距离自己最近的收银台，以减少所需的时间和精力。
因此，点到直线的距离最短问题也在这种情况下得到了生动的体现。
另外，我们还可以将点到直线的距离最短问题应用于设计和建筑领域。
考虑一个建筑师在设计一个房屋布局时所面临的挑战。
设计师需要将不同的区域和功能合理地安排在一个有限的空间中，以确保房屋的实用性和美观性。
在这个过程中，设计师需要考虑到每个房间的使用需要以及房屋的整体布局。
点到直线的距离最短问题可以帮助设计师决定如何将房间的位置和功能分配在不同的区域中，以最大程度地减小不同房间之间的距离。
例如，设计师可能会将卧室和浴室放在相邻的位置，以减少走过长走廊的需要。
通过这种方式，设计师可以确保住房内不同功能之间的距离最短，提高了住户的生活便利性。
此外，点到直线的距离最短问题也可以应用于交通网络的规划。
在城市交通规划中，我们希望公共交通线路覆盖尽可能多的地区，并使人们的出行更加便利。
这就要求我们在规划公交线路时，尽量使每个人到最近的公交站点的距离最短。
通过将城市的道路网络抽象为一系列直线，而将人们的位置视为点，我们可以应用点到直线的距离最短问题来确定最佳的公交线路布局，以便人们能够尽可能快速地到达公交站点，减少等车时间和出行的不便。
最短距离问题
2011年中考复习（23）――两线段之和最短专题一、数学模型1、实际问题：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短2、数学问题：已知：直线I和I的同侧两点A、B。
求作：点C,使C在直线I上，并且AC + CB最小。
、构建“对称模型”实现转化二、练习题（一）填空题1、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A （3, - 2）,B（ 4, 2）两点，现另取一点C（ 1 ,n）,当n = ______ 时，AC + BC的值最小.2、（2009陕西）如图，在锐角厶ABC中，AB = 4迈，/ BAC = 45 ° / BAC的平分线交BC于点D , M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN 的最小值是3、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM = 2, DN +MN的最小值为__________4、如图，在△ ABC 中，AC = BC = 2，/ ACB = 90° D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ ED的最小值为 _________________ 。
5、已知O 0的直径CD 为4, / AOD 的度数为60。
，点B 是AD 的中点，在直径CD 上找一点P,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值.7、已知，如图 DE 是厶ABC 的边AB 的垂直平分线， D 为垂足，DE 交BC 于E ,且AC = 5, BC = 8,则 △ AEC 的周长为 __________ 。
8、已知，如图，在△ ABC 中，AB V AC , BC 边上的垂直平分线 DE 交BC 于点D ，交AC 于点E , AC = 9、 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 _____________________________ A C 于D,若AC = 5cm,BC = 4cm,则△BDC 的周长为 _______________________________ .10、 如图所示，正方形 ABCD 勺面积为12,A ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上 有一点P ,使PD+ PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A . 2 3B . 2 6C . 3D .610、（ 1）如图1,等腰Rt △ ABC 的直角边长为2, E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 ____________________________ ;（2）几何拓展：如图 2,^ ABC 中，AB=2，/ BAC=30，若在 AC 、AB 上各取一点 M 、N ,使BM+MN 的值最小，则这个最小值 ________________________________0 1 图z（二）作图题6、如图, 的周长为点P 关于0A 交OA 于 M 交0B 于N 若CD= 18cm 则厶PMN5题图0B 的对称点分别为C D,连接CD8,^ ABE 的周长为14,则AB 的长8题图9题图 10题图1如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄。
最短距离问题
最短距离问题
1．如图所示，要在公路旁修建一个蔬菜收购站，由蔬菜基地A ，B 向收购站运送蔬菜，收购站应建在什么地方，才能使从A ，B 到它的距离之和最短？
B A
2．如图所示，P 和Q 为△ABC 边AB 与AC 上两点，在BC 上求作一点M ，使△PQM 的周长最小。
A
Q P
B C
3．一位牧童每天都要从A 地出发赶着牛到河边饮水，然后再到B 地放牧，问应怎样选择饮水的地点，才能使牛所走的路线最短？
A
B
4．如图所示，A 为∠MON 内的一点，试在OM ，ON 边上分别作出一点B ，C ，使△ABC 的周长最小，并说明理由。
M
O N
5．如图，∠AOB 内一点P ，使P1，P2分别是P 关于OA ，OB 的对称点，P1，P2交OA 于M ，交OB 于N ，若P1，P2=5cm ，则△PMN 的周长是多少？
6．有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要到上底面B点取物，问它爬行的最短路程是多少厘米？
7．如图，一只蚂蚁从长为4cm，宽为5cm，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是多少cm。
8．如图所示，一根长90厘米的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，它的底面周长为4厘米，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，这条丝带全长多少厘米。
9．如图是一个三阶台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20厘米，30厘米，20厘米，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？。
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2、如图，正方形ABCD的边长是8， 点E在BC上，CE=2，P是BD上的一 动点，则△PCE的最小值是____
3、如图，AB是○O的直径，AB=2，OC是 ○O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧 AD=2弧CD，点P是半径OC上一动点，若 AP+PD的值最小，则最小值为————
A B
D O A B C
河岸有两个村庄:张庄，王村， 想要在河边建一个水电站，向两村送 水，水电站建在何处才能使所用水管 最短？
张庄王村送水问题
p
两侧
P
同侧
B’
两线段距离之和最小
应用（一）基础夯实
1、如图，菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线上的一动点，使PE+PB 的值最小，则点P的位置 （ 找 点即可 ）
应用（二）能力提升
4、如图，AC=BC=2，∠ACB=90°,D是 BC的中点，E是AB边上的一动点，则 EC+ED的最小值是———
F
E
6、等边三角形⊿ABC的边长 为2，M是BC边的中点，P是 AC上的任意一点，则PB+PM 的最A为马厩，B为帐篷，牧马人要从马 厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河 边饮水,然后回到帐篷,请帮他确定这一天的 最短路线
3 2
1
6
4
A
2
D
1
2
4
2
3
C
4
（五）变式应用
p
B’
同侧
P
两侧
点击中考 （2010日照）已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于C点， 已知抛物线的对称轴x=1，B（3,0）C（0，3） (1)求出函数的解析式。 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P 到B,C两点距离之差最大？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由
2 1
4
2
A
1
2
B
4
2
3
C
4
5
课堂小结： 解决的问题： 两线段距离之和最小， 两线段距离之差最大
（一）距离之和最小
两侧 同侧
（二）距离之差最大 同侧
两侧
B’ 河
M
N
A’
草地
A
B
（四）点击中考——典例解析
7、（2009济南）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x= -1，与x轴 交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（3,0）C（0，-3） （1）求这条抛物线的函数表达式。 （2）已知在对称轴上是否存在一点P，使 PB+PC最小，请求出点P的坐标