球面两点最短距离求法
地球表面两点间最短距离
先东南再东北
相关练习：
从甲地（70°N，80°E）到乙地（70°N， 150°E），若不考虑地形因素，最近的走法是
C
冬至日，（12月22日）凌晨4点（地方时）一架飞机从 甲地（60°N、100°W）起飞，沿最近航线匀速飞行， 8小时后抵达乙地（60°N、80°E）。据此回答各题。
一、两地之间的最短航线问题
球面上最短距离的判断
球面最短距离,是经过两点的大圆的劣弧长度。 凡是地球的大圆，其圆心必定是地心且均分地球。 赤道、经线圈、晨昏圈都是大圆。
最短距离的判断主要分三种情况： 1、两点都在赤道上 2、两点在相对经线上 3、两点既不在赤道上，也不在相对经线上
1、看所求的两点是否同位于赤道，若同位 于赤道上，赤道即为大圆，所以沿赤道向 东或向西走劣弧即可。
60
60
A到C的最短航线所沿方向是_先__向__东__北__再__向__东南 A到D的最短航线所沿方向是_先__向__西__北__再__向__西南
形式二：极地俯视图
判：
1到2地最短航线所沿 方向 先西北再西南
1到3地最短航线所沿 方向 先东北再东南
1到4地最短航线所沿 方向 先北再南
形式三：侧俯视图（能看到其中一极）
A 1、飞机出发时的行航向
A、朝北 B、朝南 2、飞机途中航向
C、朝西南 D、朝东北
D
A、一直不变
B、先朝东北后朝东南
C、先朝西北后朝西南 D、先朝北后朝南
3、这架飞机若以同样速度，沿北纬60°航行，抵达
乙地大致需要
D
A、16小时 B、12小时 C、20小时 D、24小时
谢谢收看！
制作人：株洲市一中唐文利
地球表面两点间最短航线、航向问题讲解
例2：读图，回答问题：若一架飞机从A地按 最短距离直飞C地，其飞行方向如何？
先向西北，再向西南
典型例题
读下图回答：从A到B再到C，方向是( C )：
A、先向西南，再向东南 B、先向正南，再向东南 C、先向东南，再向西南 D、一直向正南
例1.图中ACB为晨昏线，C地点在格陵兰岛上。
1.由A到B的最短航线是( B )
80°E D
150°E
甲
C
乙 70°N
E
先向东北，再向东南
2、经线圈上 （1）同一经线上：正南或正北 （2）经度相对：过较近的极点
E
A
C
B D
2、（2）两点在同一个经线圈不同的两条 经线上，过北极点，先向北再向南；过 南极点，先向南再向北。
B●
A 地心 ●
赤道
N
B
●
A●
S
二、球面两点间的最短航向
判断图中各点之间的红线是否为最短距离。
甲
E D
图中哪段弧才是甲乙两点间的最短距离？ 甲 乙
1、（1）两点在赤道上，则是向正东或正西 走。
B C
A
1、（2）其它纬线上；
B A
C D
例1：一架飞机从甲地（70°N，80°E）飞 到乙地（70°N，150°E） ，最近的走法是： ________。
30°A
B
例2.飞机从②处沿图中箭头路线 飞往①的航向是( D )
A.从东南向西北 B.从南向北 C.先向西北再向西南 D.先向东北再向东南
一、球面两点间的最短航线
1、最短航线的判断： 球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣
弧。 2、大圆：球面上任意两点与球心所确定的平面
与球面相交所得的圆。（数学知识） 特例——经线（圈）、赤道、晨昏线（圈）都
球面距离计算方法
球面距离计算方法说实话球面距离计算方法这事，我一开始也是瞎摸索。
我就想啊，球面上两点的距离肯定和普通平面上两点距离不一样，那咋算呢？我最开始想，能不能把球面摊平像算平面距离那样，但是很快就发现这根本不行，球面上的几何和平面几何有本质区别呢，就像你不能把一个球的皮完整地无拉伸无变形地摊平在一个平面上一样，这是我第一个失败的尝试。
后来我就去翻以前学的数学书，有说到大圆这个概念。
我了解到在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆的劣弧的长度。
这就好比在地球上，从北京到纽约，如果沿着过北京和纽约的那个大圆飞，这个路线就是最短的，而不是在平面地图上看着的直线，这里从立体的地球角度看可没有直线那种概念，因为地球是个球体。
那怎么算出这个大圆劣弧长度呢？我学了这个计算方法，要用弧长公式。
这得先确定圆心角。
有个公式是根据两点的经纬度可以算出圆心角的余弦值，这里面涉及一些三角函数的东西。
我最开始计算的时候老是把经纬度的数值搞混，比如说把北纬当成南纬的值带进去计算，这就导致结果错得离谱。
后来我才长记性，做的时候可仔细对着数值运算了。
可是就算前面都对了，算弧长的时候，我又容易忘记把角度转成弧度。
这就好比你汽车的油加错了型号，整个事儿就不对了。
弧长公式里的角度是要用弧度制的。
还有呢，在确定大圆的时候，也不是那么简单的。
有时候想找经过两点的大圆，容易被一些复杂的图形干扰，我就会多画图，不管画得多难看都没关系，只要能把想法表达清楚，帮助我理解是不是找到了正确的大圆就好。
现在我再算球面距离的时候，我都会先仔细确认两点的经纬度信息，然后一步步稳稳当当地算出圆心角，最后记住把角度转成弧度去计算弧长。
如果中间某个环节不确定，我就重新检查一遍前面的步骤，因为只要有一个地方错了，结果可就相差很多，就像盖房子，一块砖歪了，可能整面墙都不稳当了。
我觉得这球面距离计算方法啊，多练就能熟练掌握。
要是基础概念比如圆心角和大圆这些理解得模模糊糊的话，计算也会老是出错的。
球面距离最短的证明
球面距离最短的证明简介：已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L 已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L证明：引理:sin α<α<tan α (0<α<2π) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 证明:(1)当a=R 时.过A 、B 的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L 1=L=πR (2)当0<a<R 时考察⊙o 1的半径满足a<x ≤R 时，在⊙o 1上设A 、B 对应的圆心角为α=2arcsin x a ( 2arcsin Ra ≤α<2arcsin1=π),所以L 1=αx=2x arcsin x a , (L 1)求导=2arcsin x a +2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 211a(-x 21)=2arcsin x a -2ax a 22- β=arcsin x a ,( arcsin R a ≤α<arcsin1=2π)则sin β=x a ,cos β=x a x 22-,tan β=ax a22- 由引理知β<tan β,则arcsinx a <a x a 22-所以(L 1)求导<0,则L 1=αx=2x arcsinx a 在a<x ≤R 上为减函数, 又L 1=αx=2x arcsin x a 在a ≤x ≤R 上连续, 所以L 1=αx=2x arcsin xa 在a ≤x ≤R 上为减函数, 所以L 1=αx=2x arcsin x a ≤2a arcsin aa =a π L 1=αx=2x arcsin x a ≥R 2arcsin R a =L ，所以当x=R 时, L 1最小=L=R 2arcsin Ra 由以上两种情况可知L 1≥L评注: 由以上证明可知以AB 为直径的大圆对应的劣弧最小。
怎么用经纬度计算两地之间的距离
怎么用经纬度计算两地之间的距离经纬度是地球上一点的坐标表示方法，可以用来计算两个点之间的距离。
计算两地之间的距离可以使用多种方法，包括球面距离公式、大圆航线距离和Vincenty算法等。
下面将详细介绍这些方法。
1.球面距离公式球面距离公式是最简单且最常用的计算两点之间距离的方法。
它基于球面三角形的边长计算两点之间的距离，如下所示：d = R * arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 - lon1))其中，d是两点之间的球面距离，R是地球的平均半径，lat1和lat2是两点的纬度，lon1和lon2是两点的经度。
2.大圆航线距离大圆航线距离是计算两点之间最短距离的方法，它基于地球表面上连接两点的最短弧线，如下所示：d = R * arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 - lon1))其中，d是两点之间的大圆航线距离，R是地球的半径，lat1和lat2是两点的纬度，lon1和lon2是两点的经度。
3. Vincenty算法Vincenty算法是一种更精确的计算两点之间距离的方法，它基于椭球体模型而不是简单地球模型。
该算法能够考虑地球形状的扁平化，并且适用于短距离和长距离的计算。
具体实现需要迭代计算，公式略显繁琐，如下所示：a=R1,b=R2,f=(a-b)/aL = L2 - L1, U1 = atan((1 - f) * tan(lat1)), U2 = atan((1 - f) * tan(lat2))sinU1 = sin(U1), cosU1 = cos(U1), sinU2 = sin(U2), cosU2 = cos(U2)λ=L,λʹ=2πwhile (，λ - λʹ， > 10e-12):sinλ = sin(λ), cosλ = cos(λ), sinσ = sqrt((cosU2 *sinλ) * (cosU2 * sinλ) + (cosU1 * sinU2 - sinU1 * cosU2 *cosλ) * (cosU1 * sinU2 - sinU1 * cosU2 * cosλ))cosσ = sinU1 * sinU2 + cosU1 * cosU2 * cosλσ = atan2(sinσ, cosσ)sinα = cosU1 * cosU2 * sinλ / sinσcos²α = 1 - sinα * sinαcos2σm = cosσ - 2 * sinU1 * sinU2 / cos²αC = f / 16 * cos²α * (4 + f * (4 - 3 * cos²α))λʹ=λλ = L + (1 - C) * f * sinα * (σ + C * sinσ * (cos2σm + C * cosσ * (-1 + 2 * cos2σm * cos2σm)))u² = cos²α * (a*a - b*b) / (b*b)B=u²/1024*(256+u²*(-128+u²*(74-47*u²)))Δσ = B / 6 * (cosσ * (-1 + 2 * cos2σm * cos2σm) - B / 4 * (cos2σm * (-3 + 4 * sinσ * sinσ) - B / 6 * cosσ * (-3 + 4 * cos2σm * cos2σm) * (-3 + 4 * sinσ * sinσ)))s=b*A*(σ-Δσ)其中，a和b是地球的长半轴和短半轴，f是扁平度参数，R1和R2是两点的曲率半径，L1和L2是两点的经度差，lat1和lat2是两点的纬度。
球面距离最短的证明.
球面距离最短的证明简介：已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L 已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L证明：引理:sin α<α<tan α (0<α<2π) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 证明:(1)当a=R 时.过A 、B 的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L 1=L=πR (2)当0<a<R 时考察⊙o 1的半径满足a<x ≤R 时，在⊙o 1上设A 、B 对应的圆心角为α=2arcsin x a ( 2arcsin Ra ≤α<2arcsin1=π),所以L 1=αx=2x arcsin x a , (L 1)求导=2arcsin x a +2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 211a(-x 21)=2arcsin x a -2ax a 22- β=arcsin x a ,( arcsin R a ≤α<arcsin1=2π)则sin β=x a ,cos β=x a x 22-,tan β=ax a22- 由引理知β<tan β,则arcsinx a <a x a 22-所以(L 1)求导<0,则L 1=αx=2x arcsinx a 在a<x ≤R 上为减函数, 又L 1=αx=2x arcsin x a 在a ≤x ≤R 上连续, 所以L 1=αx=2x arcsin xa 在a ≤x ≤R 上为减函数, 所以L 1=αx=2x arcsin x a ≤2a arcsin aa =a π L 1=αx=2x arcsin x a ≥R 2arcsin R a =L ，所以当x=R 时, L 1最小=L=R 2arcsin Ra 由以上两种情况可知L 1≥L评注: 由以上证明可知以AB 为直径的大圆对应的劣弧最小。
球面最短距离
球面最短距离一、概述球面最短距离是指在一个球体上两点之间的最短路径，也称为大圆弧距离或者地球表面的测地线。
在地理学、天文学、航空航天等领域中，球面最短距离是一个十分重要的概念。
二、公式推导假设有两个球面上的点A和B，它们的经纬度分别为(φ1, λ1)和(φ2,λ2)，其中φ表示纬度，λ表示经度。
则它们之间的大圆弧距离d可以通过以下公式计算：d = R * arccos(sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2))其中R为球体半径。
这个公式可以通过余弦定理推导得到。
将球体看作一个半径为R的圆，以A点和B点为圆心画出两条半径，并连接这两个点。
则这两个半径与圆周所夹成的角就是AB之间的大圆弧角度θ。
根据余弦定理，我们可以得到：cosθ = cosR / (cosA * cosB) - tanA * tanB / (cosA * cosB)其中A和B分别为AB连线与北极点连线所成角度，R为球体半径。
将A和B带入上式可以得到：cosθ = sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2)因为θ就是AB之间的大圆弧角度，所以d可以表示为：d = R * θ将θ带入上式即可得到球面最短距离公式。
三、应用场景1. 地理学：在地球表面上，球面最短距离可以用来计算两个城市之间的距离。
这个概念在航空、航海、旅游等领域中都有广泛的应用。
2. 天文学：在天文学中，球面最短距离可以用来计算星际之间的距离。
例如，在太阳系内，我们可以使用这个概念来计算地球和其他行星之间的距离。
3. 机器人领域：在机器人领域中，球面最短距离可以用来规划机器人移动路径。
例如，在一个球形空间中，机器人需要从一个点移动到另一个点，我们就可以使用这个概念来计算机器人需要走多长的路程。
四、误差分析虽然球面最短距离公式非常有用，但是它并不是完全准确的。
这是因为地球并不是一个完美的球体，而是一个略微扁平的椭球体。
球面距离
球面距离球面距离是空间几何中一个重要的概念，用来衡量球面上两点之间的距离。
在地理学、天文学等领域，球面距离具有广泛的应用。
本文将介绍球面距离的定义、计算以及一些相关的应用场景。
首先，我们需要明确球面距离的定义。
在几何学中，球面距离是指球面上两点之间最短弧的长度。
它与我们常见的直线距离不同，直线距离是指直线上两点之间的距离。
球面距离的计算需要考虑球面的曲面特性，因此与直线距离的计算方式不同。
计算球面距离可以利用球面三角形的概念。
球面三角形是指球面上由三个弧段组成的三角形。
在球面上，我们可以使用经度和纬度来确定点的位置。
通过将两点之间的经度和纬度转换成弧度，我们可以计算出球面上两点之间的球面距离。
具体的计算方法可以使用球面三角形的公式，如余弦定理或半正矢公式。
在地理学中，球面距离被广泛应用于计算地球上两个地点之间的距离。
通过获取两个地点的经纬度信息，并利用球面距离的计算公式，我们可以得到这两个地点之间的最短路径距离。
这对于导航系统、航空航天等领域非常重要。
在天文学中，球面距离用于计算天体之间的距离。
天体往往呈现出球状的形态，因此球面距离可以帮助我们确定天体之间的相对位置。
通过测量天体的坐标，并利用球面距离的计算方法，天文学家可以研究恒星、行星等天体之间的相互作用及运动规律。
除了地理学和天文学，球面距离还在其他领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，球面距离可以用来判断两个球面模型之间的相似程度。
在物理学中，球面距离可以衡量相对于球心的力场强度。
总结一下，球面距离是空间几何中一个重要的概念，用于衡量球面上两点之间的最短弧的长度。
它在地理学、天文学等领域具有广泛的应用。
通过计算经度和纬度的差值，并利用球面三角形的计算方法，我们可以计算出球面上两点之间的距离。
对于导航系统、航空航天、天文观测等领域来说，球面距离是非常重要的工具。
无论是在研究地球上的距离，还是研究宇宙中的天体距离，球面距离都发挥了重要的作用。