浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离(1)
立体图形中的距离最短问题
立体图形中的距离最短问题根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。
空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中，再到高中，渐渐加强，作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础，显得尤为重要。
立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。
解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。
一、通过平移来转化1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm二、通过旋转来转化2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
AB = 4，BC 为底面周长的一半 即BC = 5πAC = AB 2 + BC 2 = 42 + (5π)2= 16 + 25π24.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm ，绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？（1）如图，⊙O 的周长为30cm ，即AC=30cm ， 高是40cm ，则BC=40cm ，由勾股定理得AB =50cm ． 故爬行一圈的路程是50cm ；（2）⊙O 的周长为80cm ，即AC=80cm ，绕一圈爬行100cm ，则AB = 100cm ，高BC = 60cm ．∴树干高=60×10=600cm=6m ． 故树干高6m5.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线．A .B .C .D .故选C6.如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）。
立体几何中的求距离问题
**立体几何中的求距离问题**1. **定义与公式**在立体几何中，距离是一个重要的概念。
它表示点与点之间、线与线之间、面与面之间的最短距离。
对于两点A和B，它们之间的距离称为AB的距离，用公式表示为：AB = sqrt[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]。
2. **求解方法**求两点间的距离主要依赖于坐标变换和勾股定理。
首先，需要确定两点的三维坐标，然后通过计算两坐标之间的差的平方，再开方得到距离。
3. **实际应用**在实际生活中，距离的概念广泛应用于各种场景，如地理学中的地球距离、物理学中的物体间距离、工程学中的结构尺寸等。
在科学研究和工程实践中，计算距离是一个必不可少的步骤。
4. **易错点**在计算距离时，容易出现错误的地方包括单位不一致、坐标表示错误或计算错误等。
为了避免这些问题，需要仔细检查并确保所有的单位和坐标都是正确的。
5. **真题演练**给定两点A(1,2,3)和B(4,5,6)，求AB的距离。
解：根据公式，AB的距离为：sqrt[(4-1)² + (5-2)² + (6-3)²] = sqrt(9+9+9) = 3*sqrt(3)6. **知识点总结**求两点间的距离主要依赖于坐标变换和勾股定理。
在实际应用中，计算距离是一个重要的步骤。
为了避免错误，需要仔细检查坐标和单位。
7. **未来学习建议**在未来的学习中，可以进一步探索距离在不同领域的应用，如医学影像分析、地理信息系统等。
同时，可以尝试解决更复杂的几何问题，如多维空间中的距离计算、曲面上的最短路径等。
此外，可以学习更多关于向量和矩阵的知识，这些工具对于解决复杂的几何问题非常有帮助。
高中数学：几何体表面两点间的最短距离
高中数学：几何体表面两点间的最短距离正方体木块AC1的棱长为1，蜘蛛位于A1B1的中点M 处，苍蝇停留在D点，问蜘蛛应采用怎样的最短路线，才能最迅速地抓住苍蝇？利用正方体的平面展开图形进行分析，问题十分简单。
在展开图中，由于平面上两点间以直线距离为最短，故M至D应取直线段。
因为MND长＝MgD长＝MefD长＝MPD长＝故MPD长为应采取的最短线路结论：借助平面几何的知识来解决立体几何中的问题，是处理立体几何问题的最佳方法。
要计算空间图形表面两点间的最短距离，只要利用了几何体的展开图形，就能把学生所熟悉的平面图形与立几图形有机地结合起来，使问题化难为易。
空间图形求表面上折线段最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系。
解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决。
例1、圆锥S—AB的底面半径为R，母线长SA＝3R，D为SA的中点，一个动点自底面圆周上的A点，沿圆锥侧面移动到D点，求这点移动的最短距离。
解：如图，沿圆锥母线SA剪开展成平面图形，则AD最短。
因为∠ASD＝。
所以由余弦定理，得例2、圆台的上底半径为6 cm，下底半径为12 cm，高为。
下底面内两条半径OA与OB互相垂直，M是母线B1B上一点，且BM：MB1＝2：1，求圆台侧面上A、M两点间的最短行程。
解：如图，在直角梯形OO1B1B中，由公式，求得如图，设圆台的侧面展开扇环的中心角∠＝θ，，则θ＝，解得x＝9 cm，θ＝240°。
依题意得，PM＝＝12cm，∠APB＝。
PA＝PB＝18cm。
在△PAM中运用余弦定理得：故圆台侧面上A、M两点间的最短行程为例3、设正三棱柱的侧棱长为3，底面边长是1，沿侧面从A 点到A1点，当路径AM—MN—NA1最短时，求AM与A1N 所成的角。
解：如图5（甲），过A作AP//A1N交B1B于P，则AM与AP所夹锐角（或直角），就是所求的角。
两异面直线的最短距离
两异面直线的最短距离两异面直线的最短距离是指两条不在同一平面内的直线之间的最短距离。
这个问题在数学和物理学中都有广泛的应用，例如在计算机图形学中，我们需要计算两个不相交的物体之间的最短距离，这就需要计算它们所在的两个异面直线的最短距离。
首先，我们需要知道两个异面直线之间的距离是如何定义的。
假设我们有两个直线L1和L2，它们的方向向量分别为v1和v2，那么它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = |(P2 - P1) · n|其中，P1和P2分别是L1和L2上的任意两个点，n是v1和v2的叉积，表示L1和L2所在平面的法向量，·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
这个公式的意义是，我们先找到L1和L2所在平面，然后计算从L1上任意一点到L2所在平面的距离，这个距离就是L1和L2之间的最短距离。
接下来，我们来看一下如何计算n。
由于v1和v2不在同一平面内，它们的叉积n一定不为零向量。
我们可以通过以下公式计算n：n = v1 × v2其中，×表示向量的叉积。
最后，我们来看一下如何计算d。
假设我们已经知道了L1和L2上的任意两个点P1和P2，那么我们可以通过以下公式计算d：d = |(P2 - P1) · n| / |n|其中，·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
这个公式的意义是，我们先计算从P1到P2的向量，然后将它投影到n上，得到它在n方向上的长度，最后除以n的模长，得到L1和L2之间的最短距离。
综上所述，计算两异面直线的最短距离需要先计算它们所在平面的法向量，然后计算从一条直线上的任意一点到另一条直线所在平面的距离，最后除以法向量的模长。
这个问题在计算机图形学、机器人学、物理学等领域都有广泛的应用，是一个非常重要的数学问题。
2019贵州国考行测点睛：如何求解几何问题中的最短距离
2019贵州国考行测点睛：如何求解几何问题中的最短距离在几何问题的考查中，会遇到求解最短距离的题目，其中最短距离指的是：两点之间线段最短。
但是有时候所求是立体图形不在一个平面上的两点，那么怎么来求两点之间的最短距离呢?中公教育专家认为，此时就需要我们运用空间想象的能力，将立体图形展开成为平面图形进行求解。
1.方法：利用空间想象力，把立体图形展开成一个平面图形，利用最短或最远距离解题。
2.关键：在求解过程中，会涉及到最短或最远距离，要能找到这些距离。
平时在生活中，可以多画一画立体图的展开图，培养自己的空间想象力。
1.有一个长方体如图所示，上下两个面是正方形，边长为a，高为2a，若从A点到B点的表面最短距离的连线与边CD相交与F点，已知BF长为10，求这个长方体的体积?A.90B.90C.540D.【中公解析】由题意可将A点和B点最短距离的连线划出，交CD于F点，得到图形如图，由相似三角形知道，BD：BE=BF：AB=1：3，所以知道AB连线为30，由三角形ABE勾股定理得到，，选择选项D。
平面如图：2.颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，这3颗卫星距地球最短距离为()。
A. RB. RC.RD.2R【中公解析】3颗卫星组成的平面与地球相切时距离最短且可覆盖全球表面。
如图所示，等边三角形顶点到其内接圆圆心距离为2R，卫星距离地球最短距离为R。
故选择C选项。
3.如图，正四面体ABCD，P、Q分别是棱AB、CD的三等分点和四等分点(AB=3AP=4CQ)，棱AC上有一点M，要使M到P、Q距离之和最小，则MC∶MA=( )。
A.1∶2B.4∶5C.3∶4D.5∶6【中公解析】如图展开，PQ为最短距离。
△APM与△CQM相似，MC∶MA=CQ∶AP=3∶4。
故选择C选项。
立体几何中最短距离的求解策略
立体几何中最短距离的求解策略
在立体几何中，最短距离指的是从一点到另一点之间最短可到达的距离，也叫最短链接距离。
面对复杂的立体几何问题，如何求解最短距离，给出解决策略是非常有必要的。
解决立体几何中最短距离的求解策略主要分为三个步骤：
首先，我们需要分析最短距离的特点，也就是所谓的“直线最短”原则，也就是几何图形中的任意两点之间的最短距离必须是直线距离。
其次，根据几何图形的形状和特性，求解具体问题中的最短距离。
例如，分析棱柱之间的最短距离是什么，棱柱之间最短距离为棱柱的直径；分析球面上任意两点之间的最短距离是什么，球面任意两点之间的最短距离是一个弧线的弦长。
最后，运用数学原理求解最短距离的问题，按照古典几何计算思路，计算出最短距离的标准式；其次，运用现代几何理论，使用科学计算方法给出解决最短距离问题的数值解。
以上是解决立体几何中最短距离的求解策略，主要有分析最短距离特点、根据形状和特性求解具体最短距离、运用数学原理求解最短距离三个步骤。
做好最短距离求解既是立体几何研究的重点，也是解决实际工程问题的重要基础。
立体几何的最小距离
立体几何的最小距离
立体几何中的最小距离问题是一个比较复杂的问题，它涉及到空间中点、线、面之间的最短距离的计算。
在解决立体几何的最小距离问题时，通常需要利用空间几何的基本定理和公式，如勾股定理、点到线的距离公式、点到平面的距离公式等。
对于不同的几何元素之间的最小距离问题，需要选择适当的公式进行计算。
例如，两点之间的最短距离可以通过勾股定理计算，点到线的最短距离可以通过将点与线段的两个端点分别连接，然后比较连接线段和平行于线段且经过点的直线的长度来计算。
此外，最小距离的计算可能涉及到非常复杂的数学运算和几何形状，因此在实际应用中，可能需要借助计算机编程和数学软件来辅助计算。
这些工具可以提供高效的数值计算和图形可视化功能，有助于更准确和直观地理解和分析最小距离的问题。
综上所述，立体几何的最小距离问题需要利用空间几何的基本定理和公式进行计算，同时可能需要借助计算机编程和数学软件来辅助计算。
两异面直线的最短距离
两异面直线的最短距离两异面直线的最短距离是指在三维空间中，两条不相交的直线之间的最短距离。
这个问题在几何学和计算几何学中具有重要的意义，它与空间中的点、直线、平面的位置关系紧密相关。
本文将围绕这一主题展开讨论，探究两异面直线的最短距离的计算方法以及其应用。
为了更好地理解两异面直线的最短距离，我们首先需要了解异面直线的特点。
异面直线是指在三维空间中，两条直线既不平行也不相交的情况。
由于异面直线的特殊性，计算它们之间的最短距离并不像计算平面上两条直线的最短距离那样简单。
为了计算两异面直线的最短距离，我们可以利用向量的知识。
设两异面直线分别为L1和L2，它们的方向向量分别为v1和v2，而过L1上一点P到L2的垂足为Q。
由于v1和v2分别垂直于L1和L2，所以向量v1和v2的内积为0。
因此，我们可以得到以下方程：(v1·v2) = 0，其中·表示向量的内积运算。
通过解这个方程组，我们可以求得L1和L2的最短距离。
具体的计算过程在本文中省略，读者可以通过阅读相关的数学教材来了解详细的计算方法。
除了数学计算，两异面直线的最短距离还有一些实际应用。
在计算机图形学中，这个问题经常出现在三维建模和渲染中。
例如，在虚拟现实和电影制作中，我们需要计算人物或物体与环境的交互，这时两异面直线的最短距离就能帮助我们判断物体是否与环境发生碰撞。
在工程领域中，两异面直线的最短距离也有广泛的应用。
例如，在机械设计中，我们需要计算机械零件之间的最小安全间隙，以确保它们能够正常运行而不会发生摩擦、碰撞等问题。
这时，两异面直线的最短距离就可以为我们提供重要的参考。
在实际应用中，我们可能会遇到一些特殊情况，例如两异面直线平行或者相交。
对于平行的情况，两异面直线的最短距离为它们之间的垂直距离。
而对于相交的情况，两异面直线的最短距离为0，因为它们有一个公共点。
总结起来，两异面直线的最短距离是计算几何学中一个重要的问题。
通过利用向量的知识，我们可以求解两异面直线的最短距离，并将其应用到实际问题中。
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浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离
湖北省十堰市房县上龛中学 付 彬
我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。
但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。
这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。
下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法.
一、几何体为棱柱
问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A 点有只蜘蛛在寻找实物，B 点有只苍蝇正在进食。
若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm ，5cm 和5 cm ，那么这只蜘蛛在A 点发现苍蝇后，到B 点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？
分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB ；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB 。
两者中较小的AB 值就是所求。
解：①如图1-1，由题意，得
∠ACB ＝90。
，AC ＝7，BC ＝5＋5＝10，
∴ AB ＝1491072222=+=+BC AC
②如图1-2，由题意，得
∠ACB ＝90。
，AC ＝7＋5＝12，BC ＝5，
∴ AB ＝135122222=+=+BC AC
∵ 13149< ∴ 所求最短爬行路线长149cm 。
二、几何体为棱锥
问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC ，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A 沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A ，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.
解：根据图２，沿SA 剪开得展开图２.
在⊿SAE 中，,,SE=－1.
利用尺规作图可以找到E 和F ，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.
图1-1
图
1-2 图1
三、几何体为圆锥
问题３如图３，课桌上放着一个圆锥，点Ａ为圆锥底面圆周上一点，SA=3,OA=1蚂蚁从点A沿圆锥的侧面爬行再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.
分析：有趣的是蚂蚁的最佳行迹不是底面的圆周，而是向上爬，到达一个最高点后向下爬行.
解：根据图３，沿SA剪开得展开图３.
在⊿SAB中，∠ASB＝，AB=3.
取SC的中点D，其最佳行迹是曲线段ADB,在侧面展开图上是直线段ADB.
四、几何体为圆柱
问题４如图４，课桌上放着一个圆柱，蚂蚁从点A沿圆柱的侧面爬行到另一点B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.
解：根据图４，沿AE剪开得展开图4.
若点B落在展开图的中位线EF上,则蚂蚁应按AB
1或MB
１
两条线段在圆柱上的对
应曲线爬行.
若点B落在展开图的中位线EF的左侧,则蚂蚁应按MB
2
两条线段在圆柱上的对应曲线爬行.
若点B落在展开图的中位线EF的右侧,则蚂蚁应按AB
2
两条线段在圆柱上的对应曲线爬行.
五、几何体为球
问题５如图５，球O的表面上有两点A、B，∠AOB＝60 。
，蚂蚁从点A沿球的表面爬行到B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.
解：这时我们知道最佳行迹为AOB所在平面的大圆的劣弧，不能运用初等数学方法来证明这个问题.
我们在此对几何体上的蚂蚁最佳行迹问题进行了讨论，有侧面展开图的通常转化为展开图上的各线段的最短者，来寻求蚂蚁的最佳行迹.没有平面展开图的曲面，寻求最佳行迹就不太方便.这里值得强调的是，立体几何的重要思想方法是将空间问题转化为平面几何问题.。