蓉城名校联盟2020--2021学年第一学期高三数学联考
2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学(理)试卷及答案
2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)时间120分钟,满分150分注意事项：1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“若两条直线平行,则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命题,这四个命题中真命题的个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．42.袋中装有大小和材质均相同的红球4个,黄球2个,白球1个,从中随机取出一个球,记事件A 为“取出的是红球”,事件为B “取出的是黄球”,则下列关于事件A 和事件B 的关系说法正确的是（ ） A ．不互斥但对立B ．不互斥也不对立C ．互斥且对立D ．互斥但不对立3.命题“2x ∀≥,2+ 6x x ≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≥,26x x +< B ．02x ∃≥,206x x +< C ．2x ∀<,26x x +<D ．02x ∃<,206x x +< 4.平面内有两个定点A 、B 和一个动点M ,5AB =,MA MB a +=（a 为常数）.若p 表示"6a >",q 表示“点M 的轨迹是椭圆”．则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若方程222450x y x ay a ++--=表示圆,则下列四个数中a 不能取的是（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．26.某校高二年级有980名同学,编号为1到980,采用系统抽样的方法从中抽出49人,已知被抽出的编号中有一个为22,则下列编号中没有被抽中的是（ ） A ．82B ．202C ．372D ．5627.圆()22:216M x y ++=与圆()22():4836N x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切8.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中随机抽取一个,记事件A 为“抽取的数字为偶数”,事件B 为“抽取的数字为3的倍数”,则事件A B +发生的概率为（ ）A ．57B ．67C ．37D ．479.已知抛物线22y ax =的焦点在直线3260x y +-=上,则a =（ ） A ．4B ．6C ．124D ．11610.圆M 内有一内接正六边形ABCDEF ,把点Q 随机投入圆M 内（含边界）,则点Q 落在正六边形ABCDEF 内（含边界）的概率为（ ）A B C ．D11.已知关于x 的方程 5x +=只有一个实数根,则实数m 的值为（ ）A ．34-B ．43C ．43-D ．3412.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为12,左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作y 轴的平行线交椭圆M 于A 、B 两点,O 为坐标原点,双曲线N 的虚轴长为3,且以1F 、2F 为顶点,以直线OA 、OB 为渐近线,则椭圆M 的短轴长为（ ）A ．2BC ．D ．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.执行如图所示的程序框图,输出的s 的值是________________.14.为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系,有关人员调查了某省商品猪存栏量与该省猪肉平均市场价格的情况,得到如下表中的数据：根据这组数据,得到了该省猪肉的平均市场价格y （元/千克）关于商品猪存栏量x （千万头）的线性回归方程为31y x a =-+,则a =___________________.15.已知抛物线25y x =上一点Q 到焦点F 的距离为254,则坐标原点到直线FQ 的距离为____________.16.已知圆()()22:254C x y -+-=,T 为圆C 外的动点,过点T 作圆C 的两条切线,切点分别为M 、N ,使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点,则圆C 的萌点的轨迹方程为_________________.三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题[]:1,2P x ∀∈,20xm -≥,命题q ：方程22142x y m m +=-+表示双曲线． （1）若命题q ⌝为假命题,求实数m 的取值范围；（2）若命题p q ∨为真,且p q ∧为假,求实数m 的取值范围． 18.已知圆C 经过点()2,5,()5,2,()2,1-. （1）求圆C 的方程；（2）设点(), P x y 在圆C 上运动,求()()2221x y +++的最大值与最小值．19.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都市举行,成都市某大学为了解该校大学生每天的体育锻炼情况,在全体大学生中随机抽取了200名学生,对他们每天的体育锻炼时间（单位：分钟）进行统计,由此得到频率分布直方图（如下图）．（1）求t 的值；（2）根据频率分布直方图,估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数；（3）若要从每天体育锻炼时间在[)40,50,[)50,60的两组学生中,采用分层抽样的方法选取5人了解他们的锻炼方式,再从这5人中随机抽取2人做志愿者,求抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组内的概率．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,点F 到直线10x y ++=的距离为2,点P 是椭圆上的一动点,PF 的最大值为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为()1,1T -,求直线l 的方程． 21.已知在平面直角坐标系中,动点P 到点()0,2的距离比到直线3y =-的距离短l . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）经过点()0,3作任一直线l 与轨迹E 相交于A 、B 两点,过A 点作直线3y =-的垂线,垂足为C 点,求证：直线BC 过x 轴上的定点,并求出定点坐标．22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为),点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ,直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点,记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2S ,求12 S S +的取值范围．2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）参考答案一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分. 1～5：BDBAA6～10：CBDCA11～12：BC二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．12214．14815．116．()()2225x y -+-=三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）因为q ⌝为假命题,则命题q 为真命题.即()()420m m -+<,4m >或2m <-.故m 的取值范围为{}|42m m m ><-或（2）命题[]:1,2p x ∀∈,20x m -≥,即2x m ≥对于[]1,2x ∀∈恒成立只需()min 2x m ≤,所以2m ≤. 因为命题p q ∨为真,且p q ∧为假,所以p 、q 一真一假.当p 真q 假时：224m m ≤⎧⎨≤≤⎩,即22m -≤≤.当p 假q 真时：242m m m >⎧⎨><-⎩或,即4m >综上：m 的取值范围为{}|422m m m >-≤≤或. 18．解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.2529522925D E F D E F D E F ++=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩,得441D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩224410x y x y ∴+---=即22(2)(2)9x y ∴-+-= （2）22(2)(1)x y +++表示点(), P x y 与点()2,1--距离的平方. 圆心()2,2与()2,1--的距离5d ==.故距离最大值为8d R +=,距离最小值为2d R -=.所以22(2)(1)x y +++的最大值为64,最小值为4.19.解：（1）由题意知：20101t ⨯=,得0.005t =. （2）由频率分布直方图得：平均值350.05450.2550.3650.2750.15850.160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[)40,50,[)50,60的两组学生中,[)40,50组选2人,分别记为A ,B ；[)50,60组选3人,分别记为a ,b ,c ,从这5人中随机抽取2人做志愿者的选法为(),A B ,(),A a ,(),A b ,(),A c ,(),B a ,(),B b ,(),B c ,(),a b ,(),a c ,(),b c 共10种,其中抽取2人为同一组的包含(),A B ,(),a b ,(),a c ,(),b c 共4种由古典概型知：抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组的概率为25P =. 20.解：（1）由题意知：(),0F c-2=,2c =或0c =（舍）PF 的最大值为2,即ac +=所以a =2b =故椭圆c 的方程为22184x y +=. （2）设()11,A x y ,()22,B x y .由点()1,1T -为AB 中点得：122x x +=-,122y y +=且221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,相减得：22221212220x x y y -+-=.整理得：()121212122y y x x x x y y -+=--+,得12k =. 故直线方程为()1112y x -=+,即230x y -+=. （说明：运用直线与椭圆联立求解,结果正确也给分）21.解：（1）由已知可得,动点P 到点()0,2的距离等于到直线2y =-的距离. 由抛物线的定义知,点P 的轨迹为抛物线,点()0,2为焦点,直线2y =-为准线 故4p =,点P 的轨迹方程为28x y =.（2）当0k =时,直线l 为3y =,由对称性,直线BC 与x 轴交于点()0,0O 下面证明一般情况下,直线BC 与x 轴交于定点()0,0O .由题意知：直线l 的斜率存在.设直线方程为3y kx =+,设()11,A x y ,()22,B x y .直线与抛物线联立：238y kx x y=+⎧⎨=⎩,得28240x kx --=.x ∆>恒成立,128x x k ∴+=,1224x x =-. 点()22,B x y ,()1,3C x -,()0,0O 共线2123OC OB y k k x x -⇔=⇔=12230x y x ⇔+= 122(3)30x ky x ⇔++=12123()0kx x x x ⇔++=而12123()24240kx x x x k k ++=-+= 即直线BC 过定点(0)0，.22.解：（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b +=. 22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩,得2263a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩故椭圆的方程为：22163x y += （2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0,所以可设直线方程为3x ty =+,设()11,M x y ,()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩,得()222630t y ty +++= 0∆>,即()22361220t t -+>,21t >,,由于斜率大于0,1t ∴>12262t y y t -+=+,12232y y t =+ 直线PM 的斜率：1112y x --,PM 的方程：()111122y y x x --=--,令0y =,则11221A x x y -=+- 直线PN 的斜率：2212y x --,PN 的方程：()221122y y x x --=--,令0y =,则22221B x x y -=+- 112311A x TA x y -=-=+-,222311B x TB x y -=-=+-,()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=--将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++所以12123(1)5S S t t +=->+,函数为递增,()121,3S S +∈. （说明：直线设成()3y k x =-,0k >,结果正确也给分）. 12.解：设椭圆M 的半焦距为c ,由已知得12c a =,所以2a c =,b =, 椭圆M 的方程可化为2222143x y c c +=,把x c =代入,解得32y c =±所以3,2A c c ⎫⎛ ⎪⎝⎭,直线3:2OA y x =设双曲线N 的实半轴长为'a ,虚半轴长为'b ,半焦距为'c则'a c =,由'3'2b a =,得33''22b ac == 由已知可得3'2b =,所以3322c =,1c =所以b ==所以椭圆M的短轴长为16.解：()()2222cos 12sin TM TN TM MTN TC MCMTC ⋅=∠=--∠()222241CM TC TC ⎫⎛=--⎪ ⎪⎝⎭()22228324112TC TC TC TC ⎫⎛=--=+-⎪⎪⎝⎭12≥=当且仅当2TC =.由T 在圆C 外知TC的取值范围是()2,+∞,所以2TC=故TM TN ⋅的最小值为12-.由2TC =,萌点T 的轨迹为圆,方程为()()2225x y -+-=2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）试卷。
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二上学期期中联考试题数学(理)Word版含答案
蓉城名校联盟2020〜2021学年度上期高中2019级期中联考理科数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5亳米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5亳米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线aJ_平而a,直线b_L平面a,则直线a与直线b的位置关系为A.异而B.相交C.平行D.平行或异而2.已知直线/经过点A(l, — 1), B(2, m),若直线/的斜率为1,则m的值为A.OB.lC.-lD.23.某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为A.900B.950C.1000D.10504.已知点A(l, 0),直线/： x-y+l=0,则点A到直线/的距离为A.lB.2 C 很 D.2^5.若直线2x-y+a=0始终平分圆x2+y2-4x+4y=0的周长，则a的值为A.4B.6C.—6D. —26.设a、。
是互不重合的平面，/、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是，A.若mua, nua, /±m> /±n,则/_LaB.若/J_n, m_Ln,则〃/mC.若 ni//a, n//。
，a_L0,则 m_Lny-2x-4<07 .若实数x, y 满足约束条件］2y + x-8<0,则z=3x-y 的最小值为 y - 2 > 0 A.-6B.-5C .一 4D.-28.如图，在以下四个正方体中，直线MN 与平面ABC 平行的是11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD±PA, BC±PB, PB = BC,PNPA = AB, M 为PB 的中点，若PC 上存在一点N 使得平面PCD±平面AMN,则—— =NCpD .若 LLa,瞄,则 a_L0A.2x-y-8=0B.2x-y-10=0C.2x+y-12=0D.2x+y-10=0 10.如图，在三棱锥S-ABC 中，SA_L 平而ABC, SA=2,AC=2, BC=1, ZACB=90°,则直线SC 与平面SAB 所成角的正弦值为 球 B 711043x/10D.——9.直线2y —x+1 =0关于y —x + 3=0对称的直线方程是12.已知圆C： (x-l)2+(y — l)2=r2(r>0),若圆C上至少有3个点到直线x+y+2=0的距离为龙，则实数r的取值范围为A.(0, 2>/2 )B.(2>/2 , 3\/2 ]C.(3>/2 , +8)D.[3>/2 , 4-00)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【全国校级联考】四川省蓉城名校联盟高中2020-2021学年高一4月联考数学(文)试题
对于选项C,如果c是一个负数，不等式则要改变方向，所以选项C是错误的.
对于选项D，由于此处的 ，所以不等式两边同时除以 ，不等式的方向不改变，所以选项D是正确的.
故选D.
点睛：本题主要考查不等式的基本性质，不等式的性质主要有可加性、可乘性、传递性、可乘方性等，大家要理解掌握并灵活运用.
详解：sin75°cos75°= sin75°cos75°= ．
故选A．
点睛：本题考查了二倍角正弦公式，属于基础题.
3．C
【解析】
分析：利用正弦定理，化角为边，再由大边对大角可得结果.
详解：在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得：a＞b，可得A＞B．
故选：C．
点睛：本题考查了正弦定理的简单应用，属于基础题.
20．在 中，内角 所对的边分别为 ，向量 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
21．已知数列 的前 项和是 ，满足 .
（1）求数列 的通项 及前 项和 ；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ；
（3）对（2）中的 ，若对任意的 ，恒有 成立，求实数 的取值范围.
22．已知数列 中， ，且 （ 且 ）.
【解析】
分析：由等差数列性质可得S24= ＞0，S23=23•a12＜0，从而得到使得 的 的最小值.
详解：由题意可得：因为 ，且 ，
14．在等比数列 中， ，则 _________．
15．若 ，则 __________．
16．如图所示， 为正三角形， ，则 __________．
三、解答题
17．已知数列 是等差数列，且 .
（1）求数列 的通项公式；
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一下学期期末联考理科数学试题 Word版含答案
蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2020级期末联考理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知实数a ，b 满足a b <，则下列关系式一定成立的是（ ）A ．22a b <B ．ln()0b a ->C ．11a b> D ．22a b < 2.下列说法正确的是（ ）A ．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥B ．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台C ．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的D ．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是 3.在ABC △中，点D 在BC 边上，且3BD DC =，则（ ）A ．1233AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．1344AD AB AC =+ D ．1223AD AB AC =+4.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，c =6A π=，则b =（ ）A ．1B ．2C ．D ．1或2 5.某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图．圆柱表面上的点P 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点Q 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从P 到Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）A B C ．32 D ．16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若120a >，11120a a +<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．22B ．23C ．24D ．257.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，10b c +=，a =则ABC S =△（ ）A ．B ．C ．D ．8.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为2π，若扇形AOB 绕直线OB 旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．43πB ．2πC ．83πD ．163π 9.设2a >，1b >，若4a b +=，则1421a b +--的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．1110.已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体积的最大值O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16πC ．24πD ．36π 11.已知数列{}n a 满足()1131n n n a a n ++-=+，n S 为{}n a 的前n 项和，则20S =（ ）A ．300B ．320C ．340D ．36012.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若bc =sin 2sin cos 0A B C +=，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．1 BC ．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.求值：tan 33tan 271tan 33tan 27︒+︒=-︒︒． 14.已知平面向量a ，b 满足1a =，4b =，且a 与b 的夹角为3π，则2a b -= ． 15.若不等式2210ax ax -+>对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为 ．16.在数列{}n a 中，11a =，2211n n a n a n -=-（2n ≥，*n ∈N ），则数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()22f x x ax b =-++，a ∈R ，b ∈R ． （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,2，求实数a ，b 的值；（2）若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上能成立，求实数a 的取值范围．18.已知向量()2sin ,cos sin a x x x =+，()cos ,cos sin b x x x =-，若函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若θ为钝角，且84f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值． 19.已知在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △同时满足下列4个条件中的三个：①4A π=，②4a =，③c =1sin 4C =． （1）指出这三个条件，并说明理由；（2）求边长b 和三角形的面积ABC S △．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，1n n a S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ． 21.成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，23ABC AED π∠=∠=，4BAC π∠=，)km BC=，)km CD =．注：km为千米．（1）若3cos 5CAD ∠=，求服务通道AD 的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最长值（即AE ED +最大）．（结果保留根号）22.已知数列{}n a 满足()2*12n n n a a a n ++=⋅∈N ，且12a =，416a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）设3n n n n a c a =+，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：86182265133nn T ⎛⎫-⋅≤< ⎪⎝⎭． 蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2020级期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 15.[)0,1 16.21n n + 解析：11.()1131nn n a a n ++-=+， ①当n 为偶数时，131n n a a n ++=+，2134n n a a n ++∴-=+，265n n a a n +∴+=+，2462517a a ∴+=⨯+=，6866541a a ∴+=⨯+=，…182********a a ∴+=⨯+=，()24205171133252a a a ⨯+∴+++==． ②当n 为奇数时，131n n a a n +-=+，2134n n a a n ++∴+=+，23n n a a +∴+=，133a a ∴+=，573a a +=，…，17193a a +=，13195315a a a ∴+++=⨯=，2012320S a a a a ∴=++++ ()()13192420a a a a a a =+++++++ 32515340=+= 12.sin 2sin cos 0A B C +=，222202a b c a b ab +-∴+⨯=，22220a b c +-=，22222c b a ==， 222222222cos 22b c b c b c a A bc bc ++-+-∴==223222b c bc +=≥= 06A π∴<≤，1sin 0,2A ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，11sin 24S bc A bc ∴=≤= 16.()()2221111n n a n n a n n n -==-+-，321121n n n a a a a a a a a -∴=⨯⨯⨯⨯ ()()222223421132435111n n n n n =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+-+ ()2211211n a n n n n n ⎛⎫⇒==- ⎪++⎝⎭， 1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-= ⎪++⎝⎭． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）()0f x <的解集为()1,2，1∴，2是方程220x ax b -++=的两个根；123a ∴=+=；2122b +=⨯=；3a ∴=，0b =．（2）22x ax b b -++≤在[]1,3x ∈上能成立；220x ax +∴-≤在[]1,3x ∈上能成立；()2min 2ax x ≥+∴；[]1,3x ∈， min 2a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭∴； 2x x+≥=x ==”）， []21,3x =∈，a ∴≥18．解：（1）()222sin cos cos sin f x a b x x x x =⋅=+-sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期22T ππ==；令222242k x k πππππ-+≤+≤+， 388k x k ππππ-+≤≤+∴，k ∈Z ， ∴单调递增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）228842f ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 21sin 2cos 22cos 124πθθθ⎛⎫+==-∴= ⎪⎝⎭，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos θ=∴sin θ=；sin tan cos θθθ==．19．解：（1）该三角形同时满足①②③，理由如下： 若非钝角ABC △同时满足①④，11sin 42C =<， 06C π∴<<或56C ππ<<（舍），又4A π=，5412A C ππ∴<+<，73124B A C πππ∴<=--<，这与ABC △为非钝角三角形相矛盾，①④不能同时选，∴②③必选，若选②③④，a c <，A C ∴<，11sin 42C =<，6C π∴<，23B A C ππ∴=-->，与ABC △为非钝角三角形相矛盾，∴该三角形同时满足①②③．（2）22222cos322162a b c bc A b b=+-=+-⨯⨯=，28160b b∴-+=，4b∴=，11sin48222ABCS bc A∴==⨯⨯=△．20．解：（1）1n na S+=，1n na S-∴=，两式相减得()122n na a n+=≥．{}na∴为从第二项开始的等比数列212a S==，12,1,2, 2.n nnan-=⎧∴=⎨≥⎩（2）21,1,log1, 2.n nnb an n=⎧==⎨-≥⎩①当2n≥时，()11111112231nTn n=++++⨯⨯⨯-111111111223341n n=+-+-+-++--12n=-．②当1n=时，11T=，满足12nTn=-，综上所述：12nTn=-．21．解：（1）在ABC△中，由正弦定理得：82sin sin34AC Cππ=，AC==在ACD△中，由余弦定理得2222cosCD AD AC AC AD CAD=+-⋅⋅∠，23218AD AD ∴=+，AD ∴=（2）方法一：在ADE △中，由余弦定理得：22222cos 3AD AE ED AE DE π=+-⋅⋅， 222AD AE ED AE AD ∴=++⋅，()250AE ED AE AD =+-⋅， ()24AE ED AE AD +⋅≤， ()23504AE ED ∴+≤， ()22003AE ED ∴+≤，AE ED ∴+≤（当且仅当AE AD ==时取“=”） 方法二： 在ADE △中，设1ADE ∠=∠，2EAD ∠=∠，sin 1sin 2sin AE DE AD AED ∴====∠∠∠，1AE ∴=∠，2DE =∠，12AE DE ∴+=∠+∠113π⎛⎫=∠-∠ ⎪⎝⎭111sin 12⎫=∠+∠-∠⎪⎪⎝⎭1cos 133=∠+∠1sin 11322⎫=∠+∠⎪⎪⎝⎭13π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭ 013π<∠<，21,333πππ⎛⎫∴∠+∈ ⎪⎝⎭，sin 13π⎤⎛⎫∠+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13π⎛⎛⎫∠+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，AE DE ∴+≤ 22． 解：（1）212n n n a a a ++=⋅， 211n n n na a a a +++∴=， {}n a ∴为等比数列， 设公比为q ，12a =，416a =， 3418a q a ∴==， 2q ∴=，2n n a ∴=．（2）()()21212n n n b n a n =-=-⋅ ()23123123252212n n n S b b b b n ∴=++++=⨯+⨯+⨯++-⋅① ()()23412123252232212n n n S n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅② ②-①得：()()23122222212n n n S n +=--++++- ()()()()1131141222212221221212n n n n n n -+-+-=--⨯+-=-+-+-⋅-()16232n n +=+-⋅.（3）①先证右边：*n ∈N ，20n ∴>，323n n n ∴+>，22323n n n n n c ⎛⎫∴=< ⎪+⎝⎭． 234122222233333n n n T c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213322222313n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⋅< ⎪⎝⎭-． ②再证左边：当1n =时，1861822651335T =-⨯=，成立． 当2n ≥时，设213233122n n n n n n c λ==≥+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 则1213n λ≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 913λ∴≤， 92133n n c ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭． ∴当2n ≥时，231229222513333n n n T c c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⨯+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣≥⎦ 2112213329212221218212513513351313313n n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+⨯=+-⎢=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎥⎦-⎣ 8618265133n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 86182265133n n T ⎛⎫∴-⋅≤< ⎪⎝⎭．。
四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考试题 数学含答案
2023～2024学年度上期高中2022级期末联考数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C :22194x y +=，则椭圆C 的长轴长为A ．3B ．4C ．6D ．92．若直线l 的倾斜角为150︒，则它的方向向量可以为A ．(1,3)B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(1,3)-3．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是A ．90B ．75C ．95D ．704．若方程2220x y mx my ++-+=表示一个圆，则m 可取的值为A ．0B ．1C ．2D ．35．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为A ．710B ．25C ．35D ．3106．已知圆221:(2)(1)2M x y -+-=，圆222:2210M x y x y +-++=，点P 为y 轴上的动点，则12||||PM PM +的最小值为A ．3B ．13C ．10D ．57．已知等腰直角三角形ABC ，AB AC =，点D 为BC 边上的中点，沿AD 折起平面ABD使得π3BDC ∠=，则异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为A ．24-B ．24C ．23-D ．238．过点(5,)a 作圆22(2)3:C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ，则弦长||AB 的最小值为A ．B ．3C ．2D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省蓉城名校联盟2020-2021学年第一学期高中2020级高一期中联考数学科解析版
蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（学生版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,22.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B．()f x =C ．22()log xf x = D ．2log ()2xf x =3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 26.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.1212.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 14.不等式236212()2xxx --≥的解集为________． 15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-. （1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域； （2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数． （1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈) 21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围. 22.已知函数()42+=x xbf x 为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.蓉城名校联盟2020～2021学年度上期高中2020级期中联考数学科（解析版）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间为120分钟.2.请将各题答案写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：必修一全部内容.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2=--A ，{}Z 11=∈-≤≤B x x ，则=A B （ ）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1-D.{}0,1,2【答案】 A. 【解析】∵{}{}Z 111,0,1=∈-≤≤=-B x x ，则{}1,0,1=-AB ，故选A.2.下列函数与()f x x =是同一函数的是（ ）A ．2()x f x x=B ．()f x =C ．22()log xf x =D ．2log ()2xf x =【答案】 C ． 【解析】由题意得，()f x x =的定义域为R ，A ：2()x f x x=的定义域为()()-00∞+∞，，，与()f x x =的定义域不一样，排除A ．B ：()f x =R ，但是()f x x =，排除B ，D ：2log ()2xf x =的定义域为()0+∞，，排除D ，所以正确答案选C . 3.下列函数在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．2()f x x=C ．()lg(2)f x x =-D ．()24f x x =-+【答案】 A ． 【解析】2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，A 正确；2()f x x=在(0,)+∞上为减函数，B 错误； ()lg(2)f x x =-为在(2,)+∞上为增函数，C 错误；()24f x x =-+在(0,)+∞上为减函数，D 错误；故选A ．4.若函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)a ≠的图像恒过定点P ,则P 的坐标是（ ）A.)0,3(B.4,0（）C.(3,1)D.(4,1)【答案】 D. 【解析】∵函数()log (0,a f x x a =>且1)a ≠的图像恒过点(1,0)，则令31,x -=得4x =， 此时log (3)11a y x =-+=，∴函数()log (3)1(0,a f x x a =-+>且1)x ≠的图像恒过点P (4,1)，故选D. 5.已知函数3log 2,0,()1,0,3x x x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩则((2))f f -的值为（ ）A.4-B.2-C.0D. 2【答案】 C. 【解析】由题意知：21(2)93f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，3((2))(9)log 92220f f f -==-=-=.6.已知函数)(x f y =的定义域为),1[+∞，则函数xx f x g -+-=41)32()(的定义域为( )A ．]4,1[-B ．)4,1[-C ．]4,2[D ．)4,2[【答案】 D 【解析】由题意得⎩⎨⎧>-≥-04132x x ，解得42<≤x ；选D.7.已知关于x 的方程0822=+-ax x 的两个实根1x ，2x 满足221>>x x ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．)3,22(B ．),2(∞+C ．),22(∞+D ．)3,22(-【答案】 A 【解析】因为方程有两个不等实根，所以0814)2(2>⨯⨯-=∆a ，解得22>a 或22-<a ；又221>>x x ， 所以212x x a +=，所以22>a ，且2232)2(222>--=a a x ，解得3<a ，所以322<<x ，选A. 8.已知函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤满足对于任意的1x ，212()x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B ． 【解析】根据题意，对于任意的1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->- 成立则函数()(2)46,12,1x a x a x f x a x -+-⎧=⎨+>⎩≤在R 上是增函数∴1201(2)1462a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯+-≤+⎩，解得52,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选B ．9.已知函数)45(log )(221-+-=x x x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，则m 的取值范围 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由0452>-+-x x 得函数)(x f 的定义域为)4,1(，根据复合函数的单调性得⎪⎩⎪⎨⎧≤<<2541x x ，解得251≤<x ，∵函数)(x f 在区间]1,[+m m 上是减函数，∴]1,[+m m ⊆51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，⎪⎩⎪⎨⎧≤+>2511m m ，解得231≤<m ；选C. 10.设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)0(∞+，单调递减，则 ( )A ．)31(log )3()3(24334f f f >>--B ．)3()3()31(log 34432-->>f f fC ．)3()3()31(log 43342-->>f f fD ．)31(log )3()3(23443f f f >>--【答案】A 【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()31(log 222f f f =-=，又x y 3=是R 上的增函数，∴3log 13324334<<<--，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，所以)31(log )3()3(24334f f f >>--；选A.11.已知函数2(1)1()|4|1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，，则关于x 的方程2()()0(03)f x af x a -=<<的所有实数根的和为（ ）A.3B.6C.9D.12【答案】C. 【解析】由题可知：函数()f x 为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题.若1x ≤时，2()(1)f x x =+，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有42(1)(1)0x a x +-+=. 当1x =-时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根，当1x ≠-时，2()(1)0f x x =+>，∴方程两边可同时除以2(1)x +，则方程变为2(1)0x a +-=，又知03a <<，则该方程有两根，∴方程展开有2210x x a ++-=，由韦达定理得122x x +=-；若1x >时，()|4|f x x =-，代入方程2()()0(03)f x af x a -=<<有2|4||4|0x a x ---=. 当4x =时，()0f x =，则方程恒成立，∴这是方程其中一个根， 又|4|0x ->，方程两边可同时除以|4|x -，则方程变为|4|0x a --=，当4x >时，方程为40x a --=，∴=4x a +，∴这是方程其中一个根， 当14x <<时，方程为40x a --=，∴=4x a -，∴这是方程其中一个根，综上所述：方程的实根有，1-，1x ，2x ，4，4a +，4a -，则所有实根之和为9，故选C. 12.已知不等式2112x x --≤的解集为M ，关于x 的不等式210ax x -+>的解集为N ，且M N N ⊆，则实数a的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】 B ． 【解析】()()()213031011221x x x x x x x --⇒⇒--≠--≤≤≤且，故(]1,3M = ∵MN N ⊆，∴M N ⊆，由题意可得：210ax x -+>在(]1,3x ∈上恒成立即21x a x ->在(]1,3x ∈上恒成立，故只需2max1x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ 22211111124x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当112x =即2x =时，2max 114x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故14a >，故选B ． 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把【答案】填在答题卡中的横线上.13.若{}21,a a ∈，则a = ． 【答案】1-． 【解析】由题意可知：1a =或21a =，故1a =±.当1a =时，21a a ==不满足元素的互异性，故舍去；当1a =-时，{}{}2,1,1a a =-符合题意.14.不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【答案】(][),23,-∞+∞．【解析】不等式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．15.设偶函数()f x 在()0-∞，上为增函数，且(3)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为 【答案】()()3,03,-+∞.【解析】由题可知：()f x 是偶函数，且在()0-∞，上为增函数，∴()()f x f x -=，易知()f x 的图象关于y 轴对称， ∴()f x 在()0+∞，上为减函数，又()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，则有(3)(3)0f f -==， ∴()3,0x ∈-时，()0f x >，0x <，则()0x f x ⋅<， ∴()3,x ∈+∞时，()0f x <，0x >，则()0x f x ⋅<， 综上所述：不等式()0x f x ⋅<的解集为()()3,03,-+∞.16.已知()221x x mf x +=+，若对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某个三角形的三边边长，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意可得：对1x ∀，2x ，3x ∈R ，总有()()()123f x f x f x +>恒成立，只需()()min max 2f x f x > ()2112121x x xm m f x +-==+++， ①当1m =时，()1f x =，满足题意；②当1m >时，()f x 在R 上单调递减，()1f x m <<，故需21m ⨯≥，即12m <≤；③当1m <时，()f x 在R 上单调递增，()1m f x <<，故只需21m ≥，即112m <≤，综上所述，m 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+（2）()212323313(0.008)3850---⎛⎫⎛⎫+÷-π- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2 （2）139【解析】（1）原式232lg 27lg 23lg3lg 2lg5lg 232(lg5lg 2)323323lg 2lg3lg 2lg3=+-⨯+=+-⨯+=-+=（2）原式222213333227185011251812527--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-=+÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22241351213599⎛⎫=+⨯=+-= ⎪⎝⎭4219=+-139=18.已知集合{}2540A x x x =-+≤，1282x B x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，若R 为全体实数集合．（1）求()AB R；（2）若{}23C x m x m =<≤+，()C AB ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,4；（2）[)1,13,2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦．【解析】(1)由题得：()()254014014x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，即[]1,4A =； 同理：131282222x x -≤<⇔≤<，由函数2x y =在定义域内单调递增，可得[)1,3x ∈-． 即[)1,3B =-．从而有()[]3,4RAB =．(2)分类讨论集合C 是否为空集． ①当C =∅时，则233m m m ≥+⇒≥；②当C ≠∅时，由()C AB ⊆可得：231341221m m m m m <+⎧⎪⎪+≤⇒-≤≤⎨⎪≥-⎪⎩．综上所述：m 得取值范围为：[)1,13,2m ⎡⎤∈-+∞⎢⎥⎣⎦．19.已知函数2()3f x x ax a =++-，[]2,4x ∈-.（1）当2a =时，写出函数()f x 的单调区间和值域；（2）求()f x 的最小值()g a 的表达式.【答案】（1）[]0,25（2）273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩. 【解析】（1）当2a =时，2()21f x x x =++，对称轴：1x =-，∴()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,4-上单调递增.∴min ()(1)0f x f =-=，max ()(4)25f x f ==，故函数的值域为[]0,25.（2）∵2()3f x x ax a =++-的对称轴：2a x =-， ①若22a -≤-时，即4a ≥，()f x 在[]2,4-上单调增，∴min ()(2)73f x f a =-=-； ②若42a -≥时，即8a ≤-，()f x 在[]2,4-上单调减，∴min ()(4)193f x f a ==+； ③若242a -<-<-时，即84a -<<，()f x 在2,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调减，在,42a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增， ∴2min ()()322a a f x f a =-=--+； ∴综上所述：273,4()3,844193,8a a a g a a a a a -≥⎧⎪⎪=--+-<<⎨⎪+≤⎪⎩．20.节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为04y mg =，首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为1 3.94y mg =．设第n 次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为n y ，可由函数模型 1.5001()5(,*)n b n y y y y b n +=--⨯∈∈R N 给出，其中n 是指改良工艺的次数．（1）求b 的值；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．(参考数据：取lg20.3≈)【答案】 （1） 1.5-.（2）3.【解析】（1）由题意得04y =，1 3.94y =，所以当1n =时， 1.51001()5b y y y y +=--⨯，即 1.53.944(4 3.94)5b +=--⨯，解得 1.5b =-.（2）由（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 1.5 1.540.065n n y -=-⨯； 所以 1.5 1.540.065.208n n y -=≤-⨯， 整理得， 1.5 1.5 1.9250.06n -，即 1.5 1.5532n -， 两边同时取常用对数，得5lg32lg 25lg 21.5 1.5lg5lg51lg 2n -==-， 将lg20.3=代入，得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-， 又因为*n N ∈，所以 2.43n ，所以3n =.综上，至少进行3次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．21.若函数4()221x f x =-+. （1）判断函数()f x 的单调性并且用定义法证明；（2）若关于x 的不等式(())(1)0f f x f t +-<有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）减函数；（2）()1,3-.【解析】（1）判断：减函数，证明：任取1x ，2x ，假设12x x <，∴()()212144=222121x x f x f x ---+++()()()12124222121x x x x -=++， ∵12x x <，()()1221210x x ++>，()124220x x -<，∴()()210f x f x -<，∴函数()f x 在定义域上单调递减.（2）函数的定义域为R ，∵22224()22=()212121x x x x f x f x ---⨯⎛⎫-=-==--- ⎪+++⎝⎭， ∴()f x 是奇函数，∵(())(1)0f f x f t +-<，∴()(())1f f x f t <-，又∵()f x 在定义域上单调递减，∴()1f x t >-，所以，存在1()t f x >-，等价于()min 1()t f x >-，又∵()()2,2f x ∈-，()1()1,3f x -∈-∴ 1.t >-22.已知函数()42+=x x b f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）设()()log 44-⎡⎤=+-⎣⎦x x m g x mf x （0>m ，且1≠m ），问是否存在实数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1=-b ；（2）32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,；（3）不存在m 满足条件，理由见解析. 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,. （3）不存在，理由如下，设22-=-x x t ，38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，()()2log 2=-+m h t t mt , ∴220-+>t mt 在38,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 上恒成立， ∴min 2⎛⎫<+ ⎪⎝⎭m t t ，则176<m ，∵1≠m ，则()170,11,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 对于二次函数()22=-+d t t mt ，开口向上，对称轴为2=m t ，∴11170,,22212⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ∴对称轴一直位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，则二次函数()22=-+d t t mt 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则()min 3317224⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ，()max 8882329⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭d t d m ， 假设存在满足条件的实数m ，则当()0,1∈m 时，由复合函数的单调性判断方法，可知()()2log 2=-+m h t t mt 为减函数， ∴()max 0=h t ，则()()2min min 21=-+=d t t mt ，∴33171224⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭d m ， ∴()160,13=∉m （舍）， 同理可知，当171,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 时，73171,246⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭m （舍）， 综上所述，不存在实数m 满足条件成立.。
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考(文)数学试题
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 是线段 的中点，求三棱锥 的体积.
19．某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 列联表：
（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关?
14．若非零向量 ， 满足 ， ， ，则 ______.
15．已知 为数列 的前 项和，且 ， ， ，则 ______
16．已知函数 ，且不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为______
三、解答题
17． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ,已知 ， ， .
（1）求角 的大小:
（2）求 的面积 .
对于B选项， . 的定义域为 ，且函数 定义域内单调递减，符合题意.
对于C选项， ，不符合题意.
对于D选项， ，不符合题意.
综上所述，B选项符合题意.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查指数运算和对数运算，考查指数函数、对数函数和幂函数的单调性，属于基础题.
5．A
【分析】
利用降次公式和辅助角公式化简函数 解析式，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数的对称轴，从而得出正确选项.
(2)若点 、 分别是 与 上的动点，求 的最小值.
23．设函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 在R上恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
解一元二次不等式求得集合 ，解一元一次不等式求得集合 ，由此求得两个集合的并集.
【详解】
由 ，解得 .由 解得 .所以 .
故选D.
2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高三(下)第二次联考数学试卷(文科)
2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|3x＜9}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|﹣1＜x≤5}2．若复数z满足＝2﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，角α以Ox为始边，它的终边与圆O相交于点P，点P的坐标为（1，﹣2），则tanα＝（）A．﹣2B．C．D．24．已知y与x之间的线性回归方程为，其样本点的中心为（3，），样本数据中y的取值依次为2.5，m，3.4，4.2，5.4，则m＝（）A．2B．2.8C．3D．3.25．已知函数则f（ln2）＝（）A．B．C．2e D．4e6．若a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，则“b∥α”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设x，y满足约束条件则x2+y2的最小值为（）A．B．C．4D．88．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB＝1，直线AD1与直线CC1所成的角为30°，则该长方体外接球的表面积为（）A．4πB．6πC．5πD．8π9．已知数列{a n}的首项a1＝1，且满足a n+1﹣a n＝4n（n∈N*），则a5＝（）A．31B．41C．51D．6110．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若sin2B＝2sin2C﹣2sin2A，，则cos A＝（）A．B．C．D．11．已知抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（x0，3），F为焦点，直线AF交抛物线的准线于点B，满足，则x0＝（）A．±3B．C．D．12．若对任意的x∈（0，+∞），恒有（1﹣a）x≤e ax﹣lnx，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．C．[e，+∞）D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年人教A版四川省蓉城名校联盟高三第二学期第二次联考(理科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期第二次联考数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣1，1，3，4}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，4}B．{﹣1，1，4}C．{﹣1，3，4}D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．2D．33．已知实数0＜a＜b，则下列说法正确的是（）A．＞B．ac2＜bc2C．lna＜lnb D．（）a＜（）b4．已知命题p：x＜2m+1，q：x2﹣5x+6＜0，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞B．m≥C．m＞1D．m≥15．若数列{a n}为等差数列，且满足3+a5＝a3+a8，S n为数列{a n}的前n项和，则S11＝（）A．27B．33C．39D．446．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n7．已知抛物线y2＝20x的焦点与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若m＝﹣，则实数m 的值为（）A．B．C．1D．29．已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3…，B n，n∈N*．记b i为集合B i中的最大元素，则b1+b2+b3+…+b n＝（）A．45B．105C．150D．21011．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三形三边的数对（x，y）的个数a；最后再根据统计数a估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A．B．C．D．12．已知＝（2sin，cos），＝（cos，2cos），函数f（x）＝•在区间[0，]上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（）A．[，）B．（，]C．[，）D．（，2]二、填空题13．实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．14．成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布X～N（100，σ2），且P（86＜X≤100）＝0.15，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为．15．已知函数f（x）＝﹣x3+x+a，x∈[，e]与g（x）＝3lnx﹣x﹣1的图象上存在关于x轴对称的点，则a的取值范围为．16．在四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝BC＝5，E，F分别是AD，BC的中点．则下述结论：①四面体ABCD的体积为20；②异面直线AC，BD所成角的正弦值为；③四面体ABCD外接球的表面积为50π；④若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为6．其中正确的有．（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三第二次联考理科数学试题(解析版)
蓉城名校联盟2018级高三第二次联考理科数学注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集{},U a b c d e f =,,,,，{},M a d =，{},N b c =，则集合{},e f 等于（ ）A. ()UMNB. ()UM NC.()()UUM ND.()()UUM N【答案】C 【解析】 【分析】 计算出UM ，UN ，由此可得出结果.【详解】因为全集{},U a b c d e f =,,,,，{},M a d =，{},N b c =，(){},,,UM b c e f =，(){},,,U a d f N e =,所以，()(){},U U M e f N ⋂=.故选：C ．2. 若复数()41i 34iz +=+，则z =（ ）A.45B.35C.25D.5【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数z ，再计算求模.【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==.故选：A3. 下列函数在区间()1,1-内有零点且单调递增的是（ ） A. 10.33xy =-B. 31y x =+C.()13log y x =-D. 31x y =-【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性以及零点的定义判断可得出合适的选项. 【详解】对于A ，10.33xy =-在()1,1-上为减函数，不符合题意； 对于B ，31y x =+在()1,1-上为增函数，令310y x =+=，解得1x =-，不合乎题意； 对于C ，()13log y x =-在[)0,1上没有定义，不符合题意；对于D ，31xy =-在()1,1-上有零点0x =，且在()1,1-为增函数，符合题意.故选：D ．4. 某实验室研发新冠疫苗，试验中需对x ，y 两项指标进行对照试验．已经进行的连续五次试验所测得的指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．根据该回归方程，预测下一次试验中当150x =时，ˆ106.2y=，则ˆb 的值为（ ）A. 0.48B. 0.5C. 0.52D. 0.54【答案】D 【解析】 【分析】因为回归方程一定过中心点(),x y ，再结合当150x =时，ˆ106.2y=，即可求结果. 【详解】由已知表格中的数据，求得：110115*********1205x ++++==，8589909294905y ++++==，则200ˆ19ˆb a +=，①又因为下一次实验中150x =时，ˆ106.2y =，则150106.2ˆˆb a +=，② 联立①②，解得：ˆ0.54b=． 故选：D ．5.(22sin x dx -+=⎰（ ）A. 4B. 2πC. 42π+D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由定积分的运算性质，得到(22222sin sin x dx xdx ---+=+⎰⎰⎰，再结合定积分的计算公式和定积分的几何意义，即可求解.【详解】(22222sin sin x dx xdx ---=+⎰⎰⎰因为sin y x =是奇函数，且在区间[]22-,关于原点对称，所以22sin 0xdx -=⎰2-⎰对应的区域是一个半径为2的半圆，面积为21π22π2⨯⨯=故(22sin 2πx dx -+=⎰.故选：B ．6. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果sin sin sin A b cB C b a+=--，那么cos C 的值为（ ）A.12B.2C.23D.2【答案】A 【解析】 【分析】先由正弦定理得到a 、b 、c 的关系，构造余弦定理求cos C . 【详解】∵sin sin sin A b cB C b a+=--，由正弦定理可得a b c b c b a +=-- 即：()()()a b a b c b c -=+- 整理得：222c a b ab =+- 对照余弦定理可得1cos 2C = 故选：A ．【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．7. —对夫妇带着他们的两个小孩一起去坐缆车，他们随机地坐在了一排且连在一起的4个座位上（一人一座）．为安全起见，管理方要求每个小孩旁边要有家长相邻陪坐，则他们4人的坐法符合安全规定的概率是（ ） A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】 【分析】计算出4人随机坐的坐法种数，并计算出每个小孩旁边要有家长相邻陪坐的坐法种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】4人随机坐有4424A =种坐法，除去两个小孩相邻且坐在两端的情况，有4222422216A A A A -=种符合安全规定的坐法， 因此，所求事件的概率为162243=. 故选：C ．【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.8. 已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，且椭圆与直线l ：7x y +=有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ） A. 10 B. 7C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆C 与直线l 的一个公共点为P ，则122PF PF a +=，则问题转化为在直线l 上找点P ，使得12PF PF +最小，利用2F 关于l 的对称点E ，1211PF PF PF PE F E +=+≥，即可得出结果.【详解】设椭圆C 与直线l 的一个公共点为P 则122PF PF a +=（即为长轴长）问题转化为在直线l 上找点P ，使得12PF PF +最小设2F 关于l 的对称点(),E x y ，则111722y x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，可得E 点坐标为()7,6，则121110PF PF PF PE F E +=+≥==，当且仅当1F ，P ，E 三点共线时等号成立即椭圆长轴长2a 的最小值为10． 故选:A ．9. 已知随机变量X 服从二项分布1,2B a ⎛⎫⎪⎝⎭，其期望()2E X =，当124x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，目标函数z x y =-的最小值为b ，则()5a bx +的展开式中各项系数之和为（ ） A. 1 B. 52C. 53D. 54【答案】B 【解析】 【分析】先求出a ，再利用线性规划求出b ，最后利用赋值法可求展开式中各项系数之和. 【详解】根据二项分布期望的定义，可知()122E X a =⨯=，得4a =， 画出不等式组124x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的区域，如图中阴影部分所示，其中()2,2A ，()1,2B ，()1,3C ，平移直线z x y =-，当直线经过点()1,3C 时，z 取最小值，即min 132b z ==-=-，于是()()5542a bx x +=-，令1x =，可得展开式的各项系数之和为52． 故选：B ．10. 已知抛物线()220y px p =>，过抛物线的焦点F 作直线与抛物线交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，且抛物线的准线与x 轴的交点为M ，则以下结论错误的是（ ）A. 2124p x x =B. 234OA OB P ⋅=-C. 90AMB ∠=︒D.112FA FB p+= 【答案】C 【解析】 【分析】用“设而不求法”联立方程组，得到212y y p =-，2124p x x =，一一验证A 、B 、C 、D 四个选项.【详解】设过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 的直线为：2p x my =+， 代入抛物线方程得：2220y pmy p --=； 由直线上两点()11,A x y ，()22,B x y ，则有212y y p =-，()2221212121222244p p p p p x x my my m y y m y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确2221212344P P OA OB x x y y P ⋅=+=-=-，B 正确 ∵M 点坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故11,2p MA x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，22,2p MB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22212121224p p MA MB x x x x y y m p ⋅=++++=当0m ≠时，0MA MB ⋅≠，即90AMB ∠≠︒，故C 错误．由()122121212112224AB x x p p p p p FA FB x x x x x x +++==⎛⎫⎛⎫+++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12212222x x p p p p x x ++==++，D 正确 综上所述，本题选C. 故选：C【点睛】（1）坐标法是解析几何的基本方法；（2）抛物线的焦点弦的常用性质：①弦长12||AB x x p =++；②221212,4px x y y p ==-；③以AB 为直径的圆与准线L 相切；11. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为V ，A 、B 是底面圆周上的两个不同的动点，给出下列四个判断，其中正确的是（ ）①圆锥的侧面积为4π ②母线与圆锥底面所成角的大小为60° ③VAB 可能为等腰直角三角形 ④VABA. ①③B. ②④C. ①④D. ②③【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出母线长，再利用扇形的面积公式即可判断①；由图VA 与圆锥底面所成角为VAO ∠，求出其余弦值即可判断②；根据2VA VB ==，2AB ≤，可判断③；利用余弦定理可得1cos 2AVB ∠≥，进而可得π03AVB <∠≤，根据三角形的面积公式即可判断④. 【详解】如图，设O 为底面圆的圆心，则VO 为圆锥的高． 设圆锥的母线为l ，由底面半径为1，所以底面圆的周长为2π，其侧面展开图是一个半圆，则此半圆的半径为l ，此半圆的半圆弧长π2πl =，所以2l =， 所以侧面展开图的面积为：21π2π2l =，所以①不正确． 由圆锥的性质可知VA 与圆锥底面所成角为VAO ∠，则1cos 2OA VAO VA ∠==， 所以60VAO ∠=︒，所以②正确．在VAB 中，2VA VB ==，2AB ≤，VAB 不可能为直角三角形，所以③不正确．在VAB 中，22228cos 28AV VB AB AB AVB VA VB +--∠==⋅，由2AB ≤， 所以1cos 2AVB ∠≥，所以π03AVB <∠≤，所以1sin 32VABSVA VB AVB =⋅∠≤，所以④正确． 故正确的判断为②④，故选：B.12. 已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，R x ∈．记函数()f x 的最小值为M ，函数()()f f x 的最小值为N ，当M N ≥时，a 的最大值是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出M ，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用函数()f x 的单调性可求得N ，验证M N ≥是否成立，由此可求得实数a 的最大值. 【详解】∵0a >，()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，∴()()211cos sin f x a x x x '=+-+-，记()()211cos sin g x a x x x =+-+-， ∴()22sin cos 20g x a x x a '=+--≥>， 所以，函数()g x 在R 上单调递增，∵()00g =，当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >， 所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增． ∴()()min 0121f x f a a ==+-=-，即1M a =-．①当10a -≤，即当1a ≤时，由上可知，函数()()f f x 的最小值为()01N f a ==-，满足M N ≥； ②当10a ->，即当1a >时，由上可知，函数()()f f x 的最小值为()1N f a =-，且()()101Nf a f a M =->=-=，不合题意，综上所述，实数a 的最大值为1． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的值域M 是解题的关键，其次就是要分10a -≤和10a ->两种情况讨论，结合函数()f x 的单调性求出复合函数()()ff x 的值域，这次解决此类问题的常用方法.二、填空题：13. 已知函数()()sin ,0,0x x f x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则π6f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】12【解析】 【分析】 因为06π-<，所以πππ666f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解. 【详解】因为06π-<，所以ππππ1sin 66662f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：1214. 已知23xya ==，若111x y+=，则a =______．【答案】6【解析】 【分析】先由指数式化为对数式可得2log x a =，3log y a =，再利用111x y+=即可求a 的值. 【详解】由23x y a ==，可得：2log x a =，3log y a =，所以11log 2log 3log 61a a a x y+=+==，则6a =，故答案为：615. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果6n =，则t 的取值范围是______．【答案】45,56⎛⎤⎥⎝⎦（或写成4556t <≤）【解析】 【分析】根据流程图依次计算，再根据输出的结果6n =可得t 的取值范围. 【详解】由11S 122==⨯，2n =；111112112232233S =+=-+-=⨯⨯，3n =； 11113112233444S =++=-=⨯⨯⨯，4n =；11111411223344555S =+++=-=⨯⨯⨯⨯，5n =；11111151122334455666S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯，6n =退出结束， 则54564565t t t⎧≥⎪⎪⇒<≤⎨⎪<⎪⎩. 故答案为：45,56⎛⎤⎥⎝⎦. 16. 已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点F 重合，过点F 作直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点（A 点在x 轴上方）且满足3AF BF =，若直线l 只与双曲线右支相交于两点，则双曲线1C 的离心率e 的取值范围是______． 【答案】()1,2 【解析】 【分析】由推导可得抛物线的焦半径公式，进而可得331cos 1cos p pAF BF θθ=⇒=⨯-+，求得33k πθ=⇒=，由直线l 只与双曲线右支相交于两点，则,,b b k a a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,计算即可得解.【详解】设直线l 的倾斜角θ，直线l 与抛物线2C 交于A 、B 两点（A 点在x 轴上方），则θ为锐角， 焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线2p x =-，准线与x 轴交点记为P ，过A 、B 分别向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，过B 向AC 作垂线，垂足为E ， 设直线BE 与x 轴交点记为Q ，过A 向x 轴作垂线，垂足为G ，由抛物线的定义AF AC GP GF FP ===+，因为, GF AF cos FP p θ==，所以cos AF AF p θ=+，∴1cos pAF θ=-，,BF BD PQ FP FQ ===-因为, FQ BF cos FP p θ==，所以 ,BF p BF cos θ=-1cos pBF θ∴=+，由133cos 1cos 1cos 2p p AF BF θθθ=⇒=⨯⇒=-+，则3k πθ=⇒=由直线l 只与双曲线右支相交于两点，则,,b b k a a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223442ba b a c e e a>⇒>⇒>⇒<⇒<， 由()1,e ∈+∞，则12e <<． 故答案为：()1,2.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17. 已知数列{}n a 的首项12a =，若向量()1,2n a a +=，()1,n b a =-，*N n ∈，且a b ⊥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）已知数列{}n b ，若2log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2nn a =；（2）()1122n n S n +=-⨯+.【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得数量积等于0，即12n n a a +=，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，所以2nn n a b n =⨯，利用乘公比错位相减即可求和.【详解】（1）由a b ⊥，则120n n a b a a +⋅=-=，*N n ∈， 所以12n n a a +=，*N n ∈数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，*N n ∈（2）由2log n n b a n ==，则2nn n a b n =⨯，*N n ∈由()1231122232122n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①由①2⨯，可得()23412122232122nn n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②由①－②可得，1231122222n n n S n +-=⨯+++⋅⋅⋅+-⨯()()11212212212n n n n n ++-=-⨯=-⨯--，则()1122n n S n +=-⨯+，*N n ∈，所以数列{}n n a b 的前n 项和()1122n n S n +=-⨯+.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.18. 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求t 的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为12，13，14，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望值()E ξ．【答案】（1）0.015，72；（2）分布列见解析，1312. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得t ，平均值等于每个小长方形面积乘每组中点的横坐标，然后相加求和；（2）由已知得0ξ=，1，2，3，再求相应的概率可得答案.【详解】（1）由()0.0050.0200.0250.0300.005101t +++++⨯=得0.015t =，平均得分450.00510550.01510650.02010750.03010850.02510=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+950.00510=72⨯⨯.（2）由已知得：0ξ=，1，2，3，()111101112344P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111612111234234234244P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P ξ==⨯⨯=，则分布列为：ξ0 1 2 3P 14112414124则期望()012342442412Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用、分布列求期望，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.19. 已知四棱锥P ABCD-及其三视图如图所示，其底面ABCD是正方形，且平面ABCD⊥平面PDC，当M、N分别是棱PC、AD的中点时，连接MN、BM．（1）证明：直线//MN平面PAB；（2）求直线MB与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（23【解析】【分析】（1）取PB的中点E，连接AE、ME，证明出四边形ANME为平行四边形，可得出//MN AE，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点D 为坐标原点，DC 、DA 所在直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线MB 与平面PAB 所成角的正弦值．【详解】解：由三视图可知，2AB AD DC BC ====，2PD =，()1cos 1802PDC -∠=， 即1cos 2PDC -∠=，1cos 2PDC ∴∠=-，0180PDC <∠<，120PDC ∴∠=. 因为四边形ABCD 为正方形，AD CD ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面PDC ，平面ABCD平面PDC CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面PDC .（1）取PB 的中点为E ，连接EM 、AE ，由E 、M 分别是PB 、PC 中点，则//EM BC 且12EM BC =， 由N 为AD 的中点，则//AN BC 且12AN BC =，所以，//EM AN 且EM AN =， 所以四边形ANME 为平行四边形，则//MN AE ，MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，因此，//MN 平面PAB ；（2）以点D 为坐标原点，DC 、DA 所在直线分别为y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，其中()3,1,0P-、()0,0,2A 、()0,2,2B 、()0,2,0C 、31,,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，()3,1,2PA =-，()0,2,0AB =，由20320n AB y n PA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2x =，则0y =，3z =(2,0,3n =，由3,222MB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则3cos ,7MB n MB n MB n ⋅<>==⋅， 因此，直线MB 与平面PAB 所成角的正弦值为7. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为P 在椭圆上，1PF x ⊥轴，且132PF =． （1）求椭圆C的标准方程；（2）将椭圆C 按照坐标变换12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线1C ，若直线l 与曲线1C 相切且与椭圆C 相交于M ，N两点，求MN 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）MN ⎡∈⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）由题意可得2b a ==，即可求出标准方程.（2）根据变换可得曲线221:1C x y +=，设l ：y kx m =+，根据点到直线的距离公式可得221m k =+，将直线与椭圆联立消y ，再由弦长公式化简计算，即可求解.【详解】解：（1）由已知可得，2b b =⇒=21322b PF a a ==⇒=，则椭圆C 的标准方程为：22143x y +=（2）由())222212221143x x x x x x y y y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⇒+=⇒+=⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩''''''''，则曲线1C ：221x y +=，当直线l 斜率存在且为k 时，设l ：y kx m =+，由直线l 与圆1C 相切，则2211d m k ==⇒=+，由()222223484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，且0∆>恒成立由MN ==234k=+ 由221m k =+，则223434MN k k==++,令234t k =+，则243k t =-，∴MN === 令110,3s t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则223y s s =-++，10,3s ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则323,9y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，MN ⎛∈ ⎝⎦当直线l 斜率不存在时，l ：1x =±，223b MN a==，综上：3,3MN ⎡∈⎢⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线1C 相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围.21. 已知函数()()ln f x x t x =+，若函数()f x 在1x =处的切线与直线0x y -=平行． （1）求t 的值及函数()f x 的单调区间；（2）已知0a >，若函数ax y e =与函数1f x y ax⎛⎫⎪⎝⎭=的图像在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有交点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）0t =，函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(),e +∞. 【解析】 【分析】（1）求出切线的斜率()111k f t '==+=可得t ，分别令()0f x '>、()0f x '<可得答案；（2）可化为方程1ax f x e ax⎛⎫⎪⎝⎭=在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，即11ln ln ax axe e x x =，转化为()1axf e f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，利用()f x 的单调性得ln x a x =-，构造函数()ln x g x x =，再利用()g x 的单调性可得答案.【详解】（1）由()ln x tf x x x+'=+，切线的斜率()111k f t '==+=，得0t =， 则()ln f x x x =⋅，()0,x ∈+∞，()ln 10f x x '=+=，得1=x，函数()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由已知可得，方程1ax f x e ax⎛⎫ ⎪⎝⎭=在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 由11ln ax x x e ax=，得11ln ax ax e x x ⋅=， 所以11ln ln ax axe e x x =，有()1axf e f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 由于0a >，0ax >，所以1ax e >， 由10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得1e x>，由（1）可知， ()f x 在1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调递增，则1ax e x =在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 由1ax e x =得1ln ax x =，所以ln x a x=-， 即ln x a x -=在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解， 令()ln x g x x =，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()21ln x g x x -'=， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 则()g x 在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 由1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()(),g x e ∈-∞-，则a e -<-，所以a e >.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义、方程有根求参数的问题，关键点是转化为()1ax f e f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解和构造函数利用函数的单调性解题，考查了学生的理解能力、转化能力. （二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1sin 2sin cos x y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最值．【答案】(1) 2y x =，[]0,2x ∈,20x y -+=;(2)最大值为1+8. 【解析】【分析】(1)直接利用二倍角公式和22cos sin 1αα+=即可把C 的参数方程化为普通方程；用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)可以直接用直角坐标方程，利用解析几何知识求解；也可以利用参数方程求最值. 【详解】解：（1）由曲线C ：21sin 2sin cos x y x y ααα=+⎧⇒=⎨=+⎩， 由[]1sin 20,2x α=+∈，则曲线C 的普通方程为2y x =，[]0,2x ∈， 由l：)πsin sin cos 42ρθρθθ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭，则2y x -=， 则直线l 的直角坐标方程为20x y -+=（2）方法1：设l '：0x y c -+=，由2200x y c y y c y x -+=⎧⇒-+=⎨=⎩， 由11404c c ∆=-=⇒=， 则l '：104x y -+=，则l 与l '的距离18d ==，由(2,A ，则点A 到直线l距离21d ==+综上：P 点到直线l距离的最大值为1+8方法2：设点()2,P t t，t ⎡∈⎣，则d =， 由22y t t =-+，t ⎡∈⎣，则7,44y ⎡∈+⎢⎣，则8d ⎡∈+⎢⎣ 综上：P 点到直线l距离的最大值为1+8． 【点睛】(1)参数方程与普通方程的互化通常用22cos sin 1αα+=；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩； (2)极坐标问题可以直接利用直角坐标方程,利用解析几何知识求解；(3)有时根据题意， 利用极径和极角的几何意义或利用参数方程可以简化一些原来解析几何中运算量较大的题目的运算量．[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()12f x x x =-+．（1）解不等式()2f x ≥；（2）若()f x 的最小值为A ，且正实数m ，n 满足m n A +=，求11m n m n ⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值． 【答案】（1）[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）254【解析】【分析】 （1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）由（1）求出1A =，即1m n +=，再将式子展开可得22mn mn +-，再利用基本不等式可得10,4mn ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，代入式子即可求解. 【详解】解：（1）由()13,01,0131,1x x f x x x x x -≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，当0x ≤，由()121323f x x x ≥⇒-≥⇒≤- 当01x <<，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥（舍） 当1≥x ，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥ 综上：13x ≤-或1≥x ，即不等式的解集为[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ （2）由（1）当0x ≤时，()131f x x =-≥， 当01x <<时，()()11,2f x x =+∈，当1≥x 时，()312f x x =-≥，所以()1f x ≥， 即1A =，则1m n +=， 由()()()2222212111mn m n mn m n mn m n m n mn mn +++++-+⎛⎫⎛⎫++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22222mn mn mn mn mn-+==+-由110,44m n mn mn ⎛⎤+≥⇒≤⇒∈ ⎥⎝⎦, 当且仅当12m n ==时取等号， 当14mn =时，原式取最小值为254.。