统计案例和推理与证明练习题
统计案例练习题(附答案)
统计案例练习题（附答案）一、选择题 1．对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b( ) A．可以小于0 B．只能大于0 C．可能等于0 D．只能小于0 【解析】b可能大于0，也可能小于0，但当b＝0时，x，y不具有线性相关关系．【答案】 A 2．下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A．正方体的棱长与体积 B．角的弧度数与它的正弦值 C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D．日照时间与水稻亩产量【解析】∵A、B、C都可以得出一个函数关系式，而D不能写出确定的函数关系式，它只是一个不确定关系．【答案】 D 3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A．63.36万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元【解析】x＝4＋2＋3＋54＝3.5， y＝49＋26＋39＋544＝42，∴a＝y－bx＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B. 【答案】 B 4．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到回归直线方程y＝bx＋a，那么下列说法中不正确的是( ) A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y) B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，bn)中的一个点 C．直线y＝bx＋a的斜率为∑ni＝1xiyi－nx•y∑ni＝1x2i－nx2 D．直线y＝bx＋a的纵截距为y－bx 【解析】回归直线可以不经过任何一个点．其中A：由a＝y－bx代入回归直线方程y＝bx＋y－ax，即y＝b(x－x)＋y过点(x，y)．∴B错误．【答案】 B 5．已知两个变量x和y 之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y 的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是( ) A．l1与l2一定有公共点(s，t) B．l1与l2相交，但交点一定不是(s，t) C．l1与l2必定平行 D．l1与l2必定重合【解析】由于回归直线y＝bx＋a恒过(x，y)点，又两人对变量x的观测数据的平均值为s，对变量y的观测数据的平均值为t，所以l1和l2恒过点(s，t)．【答案】 A 二、填空题 6．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以预测其体重约为________．【解析】将x＝172代入线性回归方程y＝0.849x－85.712，有y＝0.849×172－85.712＝60.316(kg)．【答案】60.316 kg 7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析，结果如下：x＝72，y＝71，∑6i＝1x2i＝79，∑6i＝1xiyi＝1 481. b＝1 481－6×72×7179－－1.818 2， a＝71－(－1.8182)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．【解析】由上表可得，y＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．【答案】 1.818 2 8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 【答案】0.254 三、解答题 9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元 2 3 3 4 5 (1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程； (2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．【解】(1)设所求的线性回归方程为y＝bx＋a，则b＝i＝－－＝－＝1020＝0.5， a＝y－bx＝0.4. 所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y＝0.5x＋0.4. (2)当x＝11时，y＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4 ＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． 10．一种机器可以按各种不同速度运转，其生产物件中有一些含有缺点，每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化，用x表示转速(单位：转/秒)，用y表示每小时生产的有缺点物件个数．现观测得到(x，y)的4组值为(8,5)，(12,8)，(14,9)，(16,11)． (1)假设y与x之间存在线性相关关系，求y与x之间的线性回归方程． (2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10，则机器的速度不得超过多少转/秒？(精确到1) 【解】(1)设回归方程为y＝a＋bx，则x＝8＋12＋14＋164＝12.5， y＝5＋8＋9＋114＝8.25，∑4i＝1x2i＝660，∑4i ＝1xiyi＝438， b＝∑4i＝1xiyi－4xy∑4i＝1x2i－4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73， a＝y－bx＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，所以所求回归方程为y＝－0.875＋0.73x. (2)由y≤10，即－0.875＋0.73x≤10，得x≤10.8750.73≈15，即机器速度不得超过15转/秒． 11．高二(3)班学生每周用于数学学习的时间x(单位：小时)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 若某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该同学的数学成绩．【解】显然学习时间与学习成绩间具有相关关系，可以列出下表，并用科学计算器进行计算．i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 yi 9279 97 89 64 47 83 68 71 59 xiyi 2 208 1 185 2 231 1 691 1 024 517 1 660 1 088 1 207 767 ∑10i＝1x2i＝3 182，∑10i＝1xiyi＝13 578于是可得b＝∑10i＝1xiyi－10xy∑10i＝1x2i－10x2＝545.4154.4≈3.53， a＝y－bx＝74.9－3.53×17.4≈13.5. 因此可求得回归直线方程为y＝3.53x＋13.5. 当x＝18时，y＝3.53×18＋13.5≈77. 故该同学预计可得77分左右.。
高二数学统计案例与推理证明文B知识精讲 试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学统计案例与推理证明〔文〕实验〔B 〕【本讲教育信息】 一.教学内容：统计案例与推理证明 二.学习目的：理解HY 性检验〔只要求2×2列联表〕的根本思想、方法及初步应用，进一步理解回归的根本思想、方法及初步应用；可以利用归纳推理、类比推理、合情推理、演绎推理分析问题，解决问题，掌握各种证明方法的应用。
三.考点分析：1、研究：两个对象Ⅰ和Ⅱ是否有关系。
Ⅰ有两类取值：类A 和类B ；Ⅱ有两类取值：类1和类2卡方统计量：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++为样本量。
用卡方统计量研究两随机事件是否有关的问题的方法称为HY 性检验。
2、HY 性检验的解决步骤； 第一步：提出假设检验问题第二步：选择检验的指标2x 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++第三步：查表得出结论直线方程y bx a =+叫做回归直线方程，相应的直线叫做回归直线，其中11nii x x n ==∑，11ni i y y n ==∑，(,)x y 称为样本点的中心4、检验的步骤如下：〔1〕做统计假设：x 与y 不具有线性相关关系。
〔2〕根据小概率005⋅与n-2在附表中查出r 的一个临界值005r ⋅ 〔3〕根据样本相关系数计算公式算出r 的值 〔4〕统计推断，假设0.05r r >，说明有95%把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；假设0.05r r ≤，我们没有理由回绝原来的假设，这时寻找回归直线方程是毫无意义的 6、各种推理的思维形式归纳推理的思维过程为：实验、观察→概括、推广→猜想一般结论. 类比推理的思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜想新的结论. 演绎推理的思维过程为：大前提：M 是P ，小前提：S 是M ，结论：S 是P. 7、证明方法：综合法，分析法，反证法〔1〕综合法：利用条件和某些数学定义，定理公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。
统计案例与推理证明-试卷
统计案例与推理证明（考试时间：60分钟 满分：100分 ）临界值表22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++ （其中dc b a n +++=）一、 选择题：1．如果有95%的把握说事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足（ ）Ａ．2 3.841K > Ｂ．2 3.841K < Ｃ．2 6.635K > Ｄ．2 6.635K <2．如图所示，图中有5组数据，去掉 组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大（ ）Ａ．E Ｂ．C Ｃ．D Ｄ．A 3．已知有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程为y a bx =+，方程中的回归系数b （ ）Ａ．可以小于0Ｂ．只能大于0 Ｃ．可以为0 Ｄ．只能小于04．每一吨铸铁成本c y （元）与铸件废品率x %建立的回归方程568c y x =+，下列说法正确的是（ ）Ａ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 Ｂ．废品率每增加1%，成本每吨增加8% Ｃ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 Ｄ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元 5. 下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤. 6. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误^^, (1)a yb x =-^1122211()(), (2)()nniiiii i nniii i x x y y x nx yb x x xnxy ====---==--∑∑∑∑7. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
初三数学统计逻辑练习题
初三数学统计逻辑练习题统计是数学中的一个重要分支，通过对数据的收集、整理、分析和解释，可以帮助我们更好地理解事物的本质和规律。
在初三数学学习中，统计逻辑练习题是一种常见的训练方式，旨在提高学生的统计思维和问题解决能力。
下面将为大家提供一些有趣且充满挑战的初三数学统计逻辑练习题。
1. 小明的班级有40名男生和35名女生，请问男生人数占全班的百分比是多少？解析：男生人数占全班总人数的比例可以通过下面的公式计算：男生人数占比 = (男生人数 / 全班总人数) × 100%带入已知数据可得：男生人数占比 = (40 / (40 + 35)) × 100% = (40 / 75) × 100% = 53.33%所以，男生人数占全班的百分比为53.33%。
2. 某班级的同学进行了一次数学考试，考试成绩如下表所示：姓名 | 成绩---------------小明 | 85小红 | 92小刚 | 78小丽 | 88小华 | 95请问，这个班级的平均数是多少？解析：要计算这个班级的平均数，需要将所有同学的成绩相加，然后再除以总人数。
具体计算如下：平均数 = (85 + 92 + 78 + 88 + 95) / 5 = 438 / 5 = 87.6所以，这个班级的平均数是87.6。
3. 下面是某班级同学的身高数据：165厘米, 168厘米, 170厘米, 162厘米, 160厘米, 166厘米, 172厘米, 175厘米, 168厘米, 167厘米请问，这个班级同学的身高中位数是多少？解析：要计算这个班级同学的身高中位数，需要将所有同学的身高按照从小到大的顺序排列，然后找到中间位置的身高数据。
由于这里有10位同学的身高数据，所以中间位置为第5位同学的身高数据。
将数据按从小到大排列得：160厘米, 162厘米, 165厘米, 166厘米, 167厘米, 168厘米, 168厘米, 170厘米, 172厘米, 175厘米所以，这个班级同学的身高中位数是167厘米。
(完整版)推理证明与概率统计小题
一.推理证明小题（一）命题特点和预测：分析近7年的全国卷1的高考题,7考2，与数列等知识结合考查归纳推理、类比推理合情推理方法,难度有基础题，如14年14题,有压轴题,如17年12题，2018年仍可能考查合情推理与演绎推理知识，若单考合情推理，难度不大，若与其他知识结合，可能为中档题.（二）历年试题比较：年份题目答案2017年(12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4,1，2，4，8，1，2, 4，8，16，…,其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N >100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A．440 B．330 C．220 D．110A2014年(14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市;丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为。
【解析与点睛】（2017年）【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k kk++++=项和为1(1)1(12)(122)222k kk kS k++⎛⎫=+++++++=--⎪⎝⎭（2014年）【解析】∵丙说:三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说:我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ。
（三)命题专家押题题号试题1。
甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利。
甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个,则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞 B。
高考数学总温习——真题试题及解答分类汇编之概率统计统计案例推理与证明
高考数学总温习——真题试题及解答分类汇编 之概率、统计、统计案例、推理与证明一、选择题1．（2021全国新课标Ⅰ文、理）某地域通过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地域农村的经济收入转变情况，统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入组成比例．取得如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。
答案：A解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为，种植收入为.建设后经济收入则为2，种植收入则为，种植收入较之前增加．另解：假设建设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为%，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为x 0.6x x 0.3720.74x x ⨯=a 2a 60a 37%2a ⋅4%a ⋅5%2a ⋅30%a ⋅30%2a ⋅故不正确的是A.2．（2021全国新课标Ⅱ文）从2名男同窗和3名女同窗中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同窗的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．2．【答案】D【解析】设2名男同窗为，，3名女同窗为，，，从以上5名同窗中任选2人总共有，，，，，，，，，共10种可能，选中的2人都是女同窗的情况共有共，，三种可能则选中的2人都是女同窗的概率为，故选D ．3．（2021全国新课标Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73.答案：B解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B.二、填空1．（2021江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．1．【答案】900.60.50.40.31A 2A 1B 2B 3B 12A A 11A B 12A B 13A B 21A B 22A B 23A B 12B B 13B B 23B B 12B B 13B B 23B B 30.310P ==【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数别离为89，89，90，91，91，故平均数为．2．（2021江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．2．【答案】【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方式，其中恰好选中2名女生的方式有3种，因此所求概率为．3. （2021上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）4．（2021全国新课标Ⅲ文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大不同．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方式是________．14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大不同，故采取分层抽样法.三、解答题8989909191905++++=3103101．（2021北京文）电影公司随机搜集了电影的有关数据，经分类整理取得下表：（1）从电影公司搜集的电影中随机选取1部，求这部电影是取得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估量这部电影没有取得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将致使不同类型电影的好评率发生转变．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生转变，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得取得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）1．【答案】（1）；（2）；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是．第四类电影中取得好评的电影部数是，故所求概率为． （2）设“随机选取1部电影，这部电影没有取得好评”为事件．没有取得好评的电影共有部． 由古典概型概率公式得． （3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．2．（2021北京理）设n 为正整数，集合A =．对于集合A 中的任意元素和，记M （）=．（Ⅰ）当n =3时，若，，求M （）和M （）的值；01．01．0025．0814．140503002008005102000+++++=20002550⨯=．5000252000=．B 14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．()162808142000P B ==．12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=12(,,,)n x x x α=12(,,,)n y y y β=αβ，111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--(1,1,0)α=(0,1,1)β=,αα,αβ（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且知足：对于B 中的任意元素，当相同时，M （）是奇数；当不同时，M （）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且知足：对于B 中的任意两个不同的元素，M （）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．2（共14分）解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以M (α，α)= [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2， M (α，β）= [(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1． （Ⅱ）设α=（x 1，x 2，x 3，x 4）∈B ，则M (α，α）= x 1+x 2+x 3+x 4． 由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且M (α，α)为奇数， 所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3．所以B {(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组：（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α，β）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过4.又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}知足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4.（Ⅲ）设S k =( x 1，x 2，…，x n ）|( x 1，x 2，…，x n ）∈A ，x k =1，x 1=x 2=…=x k –1=0）（k =1，2，…，n )，S n +1={( x 1，x 2，…，x n ）| x 1=x 2=…=x n =0}， 则A =S 1∪S 1∪…∪S n +1．对于S k （k =1，2，…，n –1）中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1. 所以S k （k =1，2 ，…，n –1）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．,αβ,αβαβ，,αβαβ，,αβαβ，1212⊆所以B 中元素的个数不超过n +1.取e k =( x 1，x 2，…，x n ）∈S k 且x k +1=…=x n =0（k =1，2，…，n –1）.令B =（e 1，e 2，…，e n –1）∪S n ∪S n +1，则集合B 的元素个数为n +1，且知足条件. 故B 是一个知足条件且元素个数最多的集合．3．（2021江苏）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，若是当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全数排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．3．【答案】（1）2，5；（2）时，．【解析】（1）记为排列的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，，，，，，所以，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．（2）对一般的的情形，逆序数为0的排列只有一个：，所以．逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置取得的排列，所以．为计算，当1，2，…，的排列及其逆序数肯定后，将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．当时，，5n ≥()2222n n n f --=()abc τabc ()123=0τ()132=1τ()213=1τ()231=2τ()312=2τ()321=3τ()301f =()()33122f f ==()()()()433322105f f f f =++=()4n n ≥12n ()01n f =12n ()11n f n =-()12n f +n 1n +1n +()()()()()122102n n n n n f f f f f n +=++=+5n ≥()()()()()()()()11254422222222n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()24212422n n n n f --=-+-+++=因此，时，．4．（2021天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数别离为240，160，160．现采用分层抽样的方式从中抽取７名同窗去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中别离抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同窗别离用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同窗承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同窗来自同一年级”，求事件M 发生的概率．4．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中别离抽取3人，2人，2人； （2）①答案观点析；②． 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采用分层抽样的方式从中抽取7名同窗，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中别离抽取3人，2人，2人．（2）①从抽出的7名同窗中随机抽取2名同窗的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种．②由（1），不妨设抽出的7名同窗中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，则从抽出的7名同窗中随机抽取的2名同窗来自同一年级的所有可能结果为，，，，，共5种． 所以，事件发生的概率为．5．（2021全国新课标Ⅰ文）某家庭记录了未利用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和利用了节水龙头50天的日用水量数据，取得频数散布表如下：未利用节水龙头50天的日用水量频数散布表5n ≥()2222n n n f --=5213:2:2{},A B {},A C {},A D {},A E {},A F {},A G {},B C {},B D {},B E {},B F {},B G {},C D {},C E {},C F {},C G {},D E {},D F {},D G {},E F {},E G {},F G A B C D E F G {},A B {},A C {},B C {},D E {},F G M ()521P M =（（2）估量该家庭利用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估量该家庭利用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）5．答案：略解答：（1）（2）由题可知用水量在的频数为，所以可估量在的频数为，故用水量小于的频数为，其概率为. （3）未利用节水龙头时，天中平均每日用水量为：， 一年的平均用水量则为. 利用节水龙头后，天中平均每日用水量为：， 一年的平均用水量则为， ∴一年能节省.6．（2021全国新课标Ⅱ文、理） 下图是某地域2000年至2021年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地域2021年的环境基础设施投资额，成立了与时间变量的两个线性回归模型．按照2000年至2021年的数据（时间变量的值依次为）成立模[0.3,0.4]10[0.3,0.35)530.35m 1513524+++=240.4850P ==5031(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=30.506365184.69m ⨯=5031(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=30.35365127.75m ⨯=3184.69127.7556.94m -=y y t t 1,2,,17型①：；按照2021年至2021年的数据（时间变量的值依次为）成立模型②：． （1）别离利用这两个模型，求该地域2021年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你以为用哪个模型取得的预测值更靠得住？并说明理由．6．【答案】（1）模型①亿元，模型②亿元；（2）模型②，观点析．【解析】（1）利用模型①，该地域2021年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）．利用模型②，该地域2021年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）．（2）利用模型②取得的预测值更靠得住．理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2021年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2021年的数据成立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的转变趋势．2021年相对2021年的环境基础设施投资额有明显增加，2021年至2021年的数据对应的点位于一条直线的周围，这说明从2021年开始环境基础设施投资额的转变规律呈线性增加趋势，利用2021年至2021年的数据成立的线性模型可以较好地描述2021年以后的环境基础设施投资额的转变趋势，因此利用模型②取得的预测值更靠得住．（ii ）从计算结果看，相对于2021年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①取得的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②取得的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②取得的预测值更靠得住．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由都可得分．7．（2021全国新课标Ⅲ文、理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．按照工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）按照茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高？并说明理由；ˆ30.413.5y t =-+t 1,2,,7ˆ9917.5yt =+226.12565．30.413.5192ˆ26.1y =-+⨯=ˆ9917592565y =+⨯=．．30.413.5y t =-+ˆ99175y t =+．（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）按照（2）中的列联表，可否有99%的把握以为两种生产方式的效率有不同？附：，．7.答案：观点析解答：（1）第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =， ∴12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据取得80m =，∴列联表为（3）222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99% 的把握以为两种生产方式的效率有不同.m m m m m 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥。
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题一、选择题：1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ．C ．D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x 3、下列推理正确的是(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+． (C) 把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+． (D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．4、用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)25、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（ ） (A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ． (B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直． (C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交． (D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．6、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）12)1(3++-=n nn a nn 12)3()1(++-=n n n a n n121)1()1(2--+-=n n a nn 12)2()1(++-=n n n a nn ⋯--,924,715,58,1A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－209、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a--+115 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 二、填空题：11、9、由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABCV V '''--=12、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2010S S =，则30S 的值是_______。
数据统计学推断数据统计习题
数据统计学推断数据统计习题总体均值的估计（总体方差σ2已知）1. 某企业加工的产品直径X是一随机变量，且服从方差为0.0025的正态分布。
从某日生产的大量产品中随机抽取6个，测得平均直径为16厘米，试在0.95的置信度下，求该产品直径的均值置信区间。
2. 一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产品质量进行监测，企业部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。
现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示，已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。
试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95％。
3. 某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取9件，测得平均长度为21.4㎜。
已知总体标准差σ＝0.15㎜，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。
4. 某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。
试以95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36小时）。
（总体方差σ2未知）1.某企业加工的产品直径X是一随机变量，若总体方差未知，但通过抽取的6个样本测得的样本方差为0.0025，试在0.95的置信度下，求该产品直径的均值置信区间。
2. 已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。
建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。
15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014703. 从一个正态总体中抽取一个随机样本，n＝25，其均值为50，标准差s＝8。
建立总体均值m的95％的置信区间。
4. 一家保险公司搜集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄（周岁）数据如下表。
试建立投保人年龄均值90％的置信区间。
233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体比例的估计1. 在某市区随机调查了300个居民户，其中6户拥有等离子电视机。
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统计案例和推理与证明练习题
一． 选择题：
1、下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一
般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A ．①②③；
B ．②③④；
C ．②④⑤；
D ．①③⑤
2．下列属于相关现象的是（ ）
Ａ．利息与利率 Ｂ．居民收入与储蓄存款
Ｃ．电视机产量与苹果产量 Ｄ．某种商品的销售额与销售价格
3．如果有95%的把握说事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足（ ）
Ａ．2 3.841K > Ｂ．2 3.841K < Ｃ．2 6.635K > Ｄ．2 6.635K <
4、下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”
B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b c c c +=+ （c ≠0）” D.“
n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ） 5、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平
面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，
这是因为（ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
6、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度
7．已知回归直线方程y bx a =+，其中3a =且样本点中心为(12)，，则回归直线方程为（ ）
Ａ．3y x =+ Ｂ．23y x =-+ Ｃ．3y x =-+ Ｄ．3y x =-
8. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )
(A)预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 (B)解释变量在x 轴上，预报变
量在y 轴上
(C)可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上(D)选择两个变量中任意一个变
量在y 轴上
9、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的
规 律拼成若干个图案，则第五个图案中有白
色地面砖（ ）块.
A.21
B.22
C.20
D.23
10、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是( )
A.模型1的相关指数2R 为0.98
B.模型2的相关指数2R 为0.80
C.模型3的相关指数2R 为0.50
D.模型4的相关指数2R 为0.25
11、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A.若K 2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;
B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;
C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;
D.以上三种说法都不正确
12、下面几种推理是合情推理的是（ ）
（1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质；
（2）由平行四边形、梯形内角和是360︒，归纳出所有四边形的内角和都是360︒；
（3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；
（4）三角形内角和是180︒，四边形内角和是360︒，五边形内角和是540︒，由此得凸多
边形内角和是()2180n -︒
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（1）（2）（4）
D ．（2）（4）
二．填空题：
13、“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，
现给出一组数：12 ,-12 ,38 ,-14 ,532
,它的第8个数可以是 。
14、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
15、若一组观测值（x 1,y 1）（x 2,y 2）…（x n ,y n ）之间满足y i =bx i +a+e i (i=1、
2. …n)若e i 恒为0，则R 2为
16、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三
角形三边长之间满足关系：222BC AC AB =+。
若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、
ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .
三、解答题
17, 求证6+7>22+5
18、若两个分类变量X与Y的列联表为：
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为多少？
19.在三角形ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且A,B,C成等差数列，
a，b，c成等比数列，求证三角形ABC为等边三角形。