四年级奥数.计数综合.几何计数
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
小学四年级奥数知识点 第八讲 几何中的计数问题(二)
例2 如右图数一数图中长方形的个数.
解：AB边上分成的线段有：
5+4+3+2+1=15.
BC边上分成的线段有：
3+2+1=6.
所以共有长方形：
（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.
二、数正方形
例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）
分析 图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：
2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：
1×1=1（个）.
所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.
图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；
最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.
解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：
①由一个三角形构成的有8个.
②由两个三角形构成的三角形有5个.
③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.
这样在一个小矩形内有17个三角形.
Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有5个三角形.
尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.
例7 页图数一数图中有多少个三角形.
解：参考例6所总结的规律把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类：
Ⅰ.尖朝上的三角形有五种：
小学奥数教程之-几何计数(三)教师版 (162) 全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
四年级奥数—几何中的计数问题
几何中的计数问题
例1、数一数下列图形中各有多少条线段。
例2、数一数下图中共有多少个角。
例3、数一数下图中共有多少个角。
例4、下图中，各有多少个三角形。
例5、如下图中，数一数共有多少条线段，多少个三角形。
例6、如下图中，共有多少个角。
例7、如下图，数一数共有多少个长方形。
例8、数一数下图中长方形的个数。
例9、数一数下面各图中所有正方形的个数。
例10、数一数下图中有多少个正方形。
例11、数一数下图三角形的个数。
例12、数一数下图中三角形的个数。
例13、数一数下图中三角形的个数。
例14、数一数下图中三角形的个数。
练：1、数一数下面各图中有多少条线段。
2、数一数下面各图中有多少个角。
3、数一数下面各图中，各有多少条线段。
4、数一数下面各图中，各有多少条线段，各有多少个三角形。
5、下面图中有多少个正方形。
6、下图中有多少个长方形。
7、下图中有多少个三角形。
8、下图中有多少个长方形。
9、下图中各有多少个三角形。
小学奥数 几何计数(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
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第二讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右中共有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），所以∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：中共有10 个角。
一：数一数右中共有多少个角？答案 :共有角：10+9+8+⋯ +4+3+2+1=55（个）例（ 2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段3 条基本线段，再看 BC、 MN、GH 这AB、AD、 AE、AF、 AC、上各有3 条线段上各有 3 个分点，各分红2 个分点，各分红4 条基本线段 .所以图中总合有线段是：（3+2+1）× 5+（ 4+3+2+1）× 3=30+30=60（条） .②要数有多少个三角形，先看在△ AGH中，在 GH上有 3 个分点，分红基本小三角形有 4 个. 所以在△ AGH中共有三角形 4+3+2+1=10（个） . 在△ AMN与△ ABC中，三角形有相同的个数，所以在△ ABC中三角形个数总合：（4+3+2+1）× 3=10× 3=30（个）解：：①在△ ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）× 3=10× 3=30（个）答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。
4年级奥数几何计数问题例题
例1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?[分析与解]把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2＝6根火柴；从上向下数第三层用了3×3＝9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20＝60根火柴．所以，总共要用火柴3×(1+2+3+…+20)＝630根．【巩固提高】1．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.2.右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.3.数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.例2．如图19-2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?[分析与解]横放需1996×4根，竖放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．【巩固与提高】1．如图下图是一个4×328的长方形，每个小正方形的边长为1厘米，请你计算这个图形中所有线段的长度之和是多少？例3．图19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?[分析与解]把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121个．或直接数出有121个．例4．如图19-4，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？[分析与解]如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×6＝216个．【巩固提高】如图一个正六边形，每条边上均与分布着998个点（不包括两个端点），分别连接不相邻的两条边上相互对应的两点，这样就把这个六边形分割成多个等边三角形，请问可以分割出多少个等边三角形？例5．如图19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．[分析与解]确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．于是横向线段有(1+2+3+4)＝10种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)＝10种选法，则共有10×10＝100个长方形．这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)＝124×86＝10664(平方厘米)．例6．如图19-6，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?[分析与解]我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12×3＝36个正、长方形包含“*”．【巩固提高】1.下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2．如图19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?[分析与解]图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．例7．图19-7是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?[分析与解]每个4×4正方形中有：边长为1的正方形4×4个；边长为2的正方形3×3个；边长为3的正方形2×2个，边长为4的正方形1×1个．总共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30个正方形．现在5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×5－5×4＝130．例8．图19-8中共有多少个三角形?[分析与解]边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．例9．图19-9是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?[分析与解]设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．【巩固提高】1.图形中有_____个三角形.2．下图中共有_____个正方形.例10．在图19-1l中，共有多少个不同的三角形?[分析与解]下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×2＝15个三角形，共计35×2+15＝85个三角形．【巩固提高】在下图中有多少条线段，有多少个三角形？例11．如图19-12，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图19-13．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?[分析与解]按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．【巩固提高】1.如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.3．如图19-14，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?[分析与解]我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．(2)直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．(3)钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．例12．如图19-15，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?[分析与解]我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA 均是同一个图形．所以有12×11×10÷6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200个不同的三角形．【巩固提高】1.下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?例13．如图19-16，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?[分析与解]如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×3×2×1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7×6×5×4)÷24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．那么需要排除的情况有4×3＝12种．所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．【巩固提高】如下图，在三角形AFJ的边界上有A，B，C，……J，K，L共12个点，以这12个点中的3个点位顶点的三角形共有多少个？。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案33几何计数(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题几何计数（一）在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等。
这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的。
通常采用一种简单原始的计数方法——枚举法。
具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总数。
我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点。
线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等图形最基本的元素。
因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。
数线段：如果一条线段上有n＋1个点（包括两个端点）（或含有n条“基本线段”），那么这n＋1个点把这条线段一共分成的线段总数为n＋（n－1）＋…＋2＋1条。
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。
数三角形：可用数线段的方法（对应法）数如图所示的三角形，因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形。
同样一边在BC 上构成的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。
例1数出下图中有多少条线段。
A B CD分析与解：方法一：我们可以采用以线段左端点分类来数的方法。
以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。
所以，图中共有线段3＋2＋1＝6（条）。
方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。
所以，图中一共有3＋2＋1＝6（条）线段。
例2 数出下图中总共有多少个角。
分析与解：在∠AOB 内有三条角分线1OC 、2OC 、3OC ，∠AOB 被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB 内总共有多少个角呢？首先有OB C OC C OC C AOC 332211∠∠∠∠、、、这4个基本角，其次是由2个基本角组成的角有3个（即∠2AOC 、∠31OC C 、∠OB C 2），然后是由3个基本角组成的角有2个（即∠3AOC 、∠OB C 1），最后是由4个基本角组成的角有1个（即∠AOB ），所以∠AOB 内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）。
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几何计数
知识结构
一、公式计算法
几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是
（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1
（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是
（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）
（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是
n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12
上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
二、对应法
将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．
重难点
（1）分类数图形。
（2）对应法数图形。
例题精讲
一、分类数图形
【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共
用了多少根小棍？
【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?
【例 2】图中有______个正方形．
【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。
【例 3】 右图中三角形共有 个．
【巩固】 数一数图中有_______个三角形．
【例 4】 图中共有多少个三角形？
C
B A
【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。
【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是4平
方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
【巩固】图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的矩形有个。
二、对应法数图形
【例 6】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？
【例 7】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？
【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66 方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？
三、几何计数综合
【例 8】如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？
【巩固】如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？
【例 9】如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．以AB上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD
之间的交点数．
A
B
C D 【巩固】图中可数出的三角形的个数为．
【例 10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面
积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【巩固】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【例 11】一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？
【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？
【例 12】一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
A 12
A 11A 10A 9
A 8
A 7
A 6
A 5
A 4
A 3A 2
A 1
【随练1】 数一数，图中有_________________个三角形。
【随练2】 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边
三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?
【作业1】 图中共有 个三角形。
课堂检测
家庭作业
【作业2】右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰直角三角形，图中，正方形有个，三角形有个。
【作业3】图中共有个正方形。
【作业4】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？
【作业5】图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点在图中交叉点上的三角形)____个。
【作业6】如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。
在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个。
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学生对本次课的评价
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