小学奥数几何计数(三) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

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小学数学奥数讲义计数专题：几何计数

华杯赛计数专题：几何计数基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.方法铺垫：1）加法原理，乘法原理；2）容斥原理；3）排列数，组合数；4）对应法.例题：例1.如图，数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.例2.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个；包含4个正方形的正方形有3×3=9个；包含9个正方形的正方形有2×2=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线，共有4×条；竖线：5×，故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个，竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段，60个矩形【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图：因此共有个矩形.例12. 数一数，图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。

小学奥数教程之-几何计数(三)教师版 (162) 全国通用(含答案)

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。

小学奥数计数之递推法精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．【例 1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表：经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子．【答案】144【例 2】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝．【答案】89【例 3】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答例题精讲教学目标7-6-4.计数之递推法【解析】登 1级 2级 3级 4级 ...... 10级1种方法 2种 3种 5种 ...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A 0，那么登了1级的位置是在A 1，2级在A 2... A 10级就在A 10．到A 3的前一步有两个位置；分别是A 2 和A 1 ．在这里要强调一点，那么A 2 到A 3 既然是一步到了，那么A 2 、A 3之间就是一种选择了；同理A 1 到A 3 也是一种选择了．同时我们假设到n 级的选择数就是An ．那么从A 0 到A 3 就可以分成两类了：第一类：A 0 ---- A 1 ------ A 3 ，那么就可以分成两步．有A 1×1种，也就是A 1 种；(A 1 ------ A 3 是一种选择)第二类：A 0 ---- A 2 ------ A 3，同样道理有A 2 ．类类相加原理：A 3 = A 1 ＋A 2，依次类推An = An -1 + An -2．【答案】89【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】登 1级 2级 3级 4级 5级 ...... 10级1种方法 1种 2种 3种 4种...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面相隔的两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.【答案】28【例 4】 1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】如果用12⨯的长方形盖2n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，22a =,对于3n ≥，左边可能竖放1个12⨯的，也可能横放2个12⨯的，前者有-1n a 种，后者有-2n a 种，所以-1-2n n n a a a =+,所以根据递推，覆盖210⨯的长方形一共有89种．【例 5】用13⨯的小长方形覆盖38⨯的方格网，共有多少种不同的盖法？【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】解答【解析】如果用13⨯的长方形盖3n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，21a =,32a =,对于4n ≥，左边可能竖放1个13⨯的，也可能横放3个13⨯的，前者有-1n a 种，后者有-3n a 种，所以-1-3n n n a a a =+,依照这【答案】13【例 6】有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种【答案】927【巩固】一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】取1个苹果有1种方法，取2个苹果有2种方法，取3个苹果有4种取法，以后取任意个苹果的种【答案】81【例 7】有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】本题可以采用递推法，也可以进行分类讨论，当然也可以直接进行枚举．(法1)递推法．假设有n 枚棋子，每次拿出2枚或3枚，将n 枚棋子全部拿完的拿法总数为n a 种．则21a =，31a =，41a =．由于每次拿出2枚或3枚，所以32n n n a a a --=+(5n ≥)．所以，5232a a a =+=；6342a a a =+=；7453a a a =+=；8564a a a =+=；9675a a a =+=；10787a a a =+=．即当有10枚棋子时，共有7种不同的拿法． (法2)分类讨论．由于棋子总数为10枚，是个偶数，而每次拿2枚或3枚，所以其中拿3枚的次数也应该是偶数．由于拿3枚的次数不超过3次，所以只能为0次或2次．若为0次，则相当于2枚拿了5次，此时有1种拿法；若为2次，则2枚也拿了2次，共拿了4次，所以此时有246C =种拿法．根据加法原理，共有167+=种不同的拿法．【例 8】如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答BA AB 1357946821235813213455891【解析】蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【答案】89【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A 房间到达B 房间有多少种方法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】斐波那契数列第八项．21种．【答案】21【例 9】如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】按照蜜蜂只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房的原则，运用标号法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有296种不同的回家方法．【答案】296【例 10】对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止．问经过9次操作变为1的数有多少个？【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】可以先尝试一下，倒推得出下面的图：2410131112514302831643215167683421其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1个，即4，经3次操作变为1的2个，是一奇一偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，…这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过n 次操作变为1的数的个数为n a ,则1a =1，2a =1，3a =2，… 从上面的图看出，1n a +比n a 大.一方面，每个经过n 次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过1n +次操作变为1；反过来，每个经过1n +次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n 次操作变为1的数. 所以经过n 次操作变为1的数与经过1n +次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是n a ,因此后者也是n a 个. 另一方面，每个经过n 次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过1n +次操作变为1，反过来.每个经过1n +次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n 次操作变为1. 所以经过n 次操作变为1的偶数经过1n +次操作变为1的奇数恰好一样多. 而由上面所说，前者的个数就是1n a -,因此后者也是1n a -.经过n +1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以11n n n a a a +-=+，即上面所说的规律的确成立.【答案】34【例 11】有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数）【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】解答【解析】如果没有剩下的不能使质数这个条件，那么递推方法与前面学过的递推法相似，只不过每次都是前面3个数相加．现在剩下的不能是质数个，可以看作是质数个的取法总数都是0，然后再进行递推．【答案】25【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空【解析】把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成一串，用递推法把所有的方法数写出来：【答案】54【例 12】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】解答【解析】设第n 次传球后，球又回到甲手中的传球方法有n a 种．可以想象前1n -次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有11333333n n --⨯⨯⨯=()个…(种)传球方法．这些传球方法并不是都符合要求的，它们可以分为两类，一类是第1n -次恰好传到甲手中，这有1n a -种传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给甲；另一类是第1n -次传球，球不在甲手中，第n 次持球人再将球传给甲，有n a 种传法．根据加法原理，有11133333n n n n a a ---+=⨯⨯⨯=(个…)．由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以10a =．利用递推关系可以得到：2303a =-=，33336a =⨯-=，4333621a =⨯⨯-=，533332160a =⨯⨯⨯-=．这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种．本题也可以列表求解．由于第n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第1n +次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种．从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种．【答案】60【巩固】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中．问：共有多少种传球方式？【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】解答【解析】递推法．设第n 次传球后球传到甲的手中的方法有n a 种．由于每次传球有4种选择，传n 次有4n 次可能．其中有的球在甲的手中，有的球不在甲的手中，球在甲的手中的有n a 种，球不在甲的手中的，下一次传球都可以将球传到甲的手中，故有1n a +种．所以14n n n a a ++=．由于10a =，所以12144a a =-=，232412a a =-=，343452a a =-=．即经过4次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有52种．【答案】52点A出发恰好跳10次后落到E的方法总数为种．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空【关键词】清华附中【解析】可以使用递推法．回到A跳到B或H跳到C或G跳到D或F停在E 1步 12步 2 13步 3 14步 6 4 25步10 46步20 14 87步34 148步68 48 289步116 48其中，第一列的每一个数都等于它的上一行的第二列的数的2倍，第二列的每一个数都等于它的上一行的第一列和第三列的两个数的和，第三列的每一个数都等于它的上一行的第二列和第四列的两个数的和，第四列的每一个数都等于它的上一行的第三列的数，第五列的每一个数都等于都等于它的上一行的第四列的数的2倍．这一规律很容易根据青蛙的跳动规则分析得来．所以，青蛙第10步跳到E有48296⨯=种方法．【答案】96【巩固】在正五边形ABCDE上，一只青蛙从A点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动．青蛙在6次之内(含6次)跳到D点有种不同跳法．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空ABEC D【解析】采用递推的方法．列表如下：跳到A跳到B跳到C停在D跳到E1步 1 12步 2 1 13步 3 1 24步 5 3 25步8 3 56步13 8 5其中，根据规则，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动．所以，每一步跳到A的跳法数等于上一步跳到B和E的跳法数之和，每一步跳到B的跳法数等于上一步跳到A和C的跳法数之和，每一步跳到C的跳法数等于上一步跳到B的跳法数，每一步跳到E的跳法数等于上一步跳到A的跳法数，每一步跳到D的跳法数等于上一步跳到C或跳到E的跳法数．【答案】12【例 14】有6个木箱，编号为1，2，3，……，6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有种．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级组，决赛【解析】 (法1)分类讨论．如果1，2号箱中恰好放的就是1，2号箱的钥匙，显然不是“好”的方法，所以“好”的方法有两种情况：⑴1，2号箱的钥匙恰有1把在1，2号箱中，另一箱装的是3～6箱的钥匙． ⑵1，2号箱的钥匙都不在1，2号箱中．对于⑴，从1，2号箱的钥匙中选1把，从3～6号箱的钥匙中选1把，共有248⨯=(种)选法，每一种选法放入1，2号箱各有2种放法，共有8216⨯=(种)放法．不妨设1，3号箱的钥匙放入了1，2号箱，此时3号箱不能装2号箱的钥匙，有3种选法，依次类推，可知此时不同的放法有3216⨯⨯=(种)．所以，第⑴种情况有“好”的方法16696⨯=(种)．对于⑵，从3～6号箱的钥匙中选2把放入1，2号箱，有4312⨯=(种)放法．不妨设3，4号箱的钥匙放入了1，2号箱．此时1，2号箱的钥匙不可能都放在3，4号箱中，也就是说3，4号箱中至少有1把5，6号箱的钥匙．如果3，4号箱中有2把5，6号箱的钥匙，也就是说3，4号箱中放的恰好是5，6号箱的钥匙，那么1，2号箱的钥匙放在5，6号箱中，有224⨯=种放法；如果3，4号箱中有1把5，6号箱的钥匙，比如3，4号箱中放的是5，1号箱的钥匙，则只能是5号箱放6号箱的钥匙，6号箱放2号箱的钥匙，有212⨯=种放法；同理，3，4号箱放5，2号箱或6，1号箱或6，2号箱的钥匙，也各有2种放法．所以，第⑵种情况有“好”的放法()1242222144⨯++++=(种)．所以“好”的方法共有96144240+=(种)．(法2)递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-．所以，6542554543225!240a a a a ==⨯==⨯⨯⨯=⨯=，即好的方法总数为240种．【答案】240开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有种．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空【解析】递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-．所以，109829989876543229!=725760a a a a ==⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯，即好的方法总数为725760种．【答案】725760。

小学奥数图形计数知识点+例题+练习 (分类全面)

一、图形计数
要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

例1、数出下图中有多少条线段？
巩固、数出下图中有几个长方形？
例2、数出图中有几个角？
D A B
C O
D C
B
A
巩固、数出图中有几个角？
例3、数出下图中共有多少个三角形？
巩固、数出图中共有多少个三角形？
例4、数出下图中有多少个长方形？
O C B A
P
C B A K G I H G F E A
D C B A
巩固、数出下图中有多少个正方形？
课后练习：
1、数出下图中有多少条线段？
2、数出图中有几个角？
E
A B C D E D
O
C B A
3、数出图中共有多少个三角形？
4、数出下图中有多少个长方形？
A
B A D
C B A。

小学奥数习题版三年级几何图形计数教师版

图形计数知识要点(n m++-数线段【例1】请数出下图中线段的总条数。

【分析】法1：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数：由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF5条．由2条基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF4条．由3条基本线段构成的线段有：AD、BE、CF3条．由4条基本线段构成的线段有：AE、BF2条．由5条基本线段构成的线段有：AF1条．总数5432115++++=条．法2：按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有：AB、AC、AD、AE、AF5条．以B点为共同左端点的线段有：BC、BD、BE、BF4条．以C点为共同左端点的线段有：CD、CE、CF3条．以D点为共同左端点的线段有：DE、DF2条．以E点为共同左端点的线段有：EF1条．总数5432115++++=条．法3：线段AF上共有6个点，那么应该共有65215⨯÷=条线段。

【小结】两点确定一条线段，假设某条线段上有n个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为(1)2n n-÷条。

【例2】数一数，下图中共有多少条线段？【分析】水平方向，有(12)39+⨯=（条），两条对角线上有(12)26+⨯=+⨯=（条），竖直方向有(12)39（条）线段，所以共有99624++=（条）线段。

【例3】请问下图有多少条线段？【分析】五角星每条边上都有6条线段，那么除去相接的那条线段，两个五角星各24条线段，而两个五角星相接的那条线段上有76221⨯÷=（条），由此可得此图共有线段++=（条）。

24242169【例4】数一数下图一共有多少条线段？【分析】横向线段：1(21)(321)(4321)(54321)(654321)56++++++++++++++++++++=（条）；同样的，斜向左与斜向右的线段条数也均为56条，那么此图形线段总数为：563168⨯=（条）。

三年级奥数.计数综合.几何计数(ABC通用).教师版

一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1）数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2）数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3）数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4）数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．ED CBA知识结构几何计数（1）重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2）难点:复杂正方的计数技巧【例 1】数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】一共有：12345621+++++=（条）。

小学数学《几何计数》练习题(含答案)

小学数学《几何计数》练习题（含答案）内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。

请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？【例4】（小数报数学竞赛初赛）数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【例6】如右图，数数有多少个三角形？【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?【例8】数一数，右图中共有多少个三角形?【例9】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中三角形共多少个？【例10】数一数，各图中长方形的个数?【例11】带*的长方形有多少个？【例12】右图中有多少个长方形？【例13】右图中各小格都是正方形，图中共有多少个正方形？【例14】数一数，下例各图中有多少个正方形？习题七1．有一把尺子，因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”，你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段？2．数一数，右图中有多少个角?3．数数右图中有多少条线段？4．如右图，数数有多少个三角形？5．数一数下图中有多少个正方形？6．如下图，数一数下列图中长方形的个数？带小花的长方形有多少个？*7．数一数，右图中共有多少个正方形?数线段【例15】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。

3 小学奥数——几何图形试题及解析

小学奥数——几何图形一.选择题（共50小题）1.图中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到.则至少需要知道()条线段的长度，才可以计算出这个八边形的周长.A.4B.3C.5D.102.如图中阴影部分是正方形，最大长方形的周长是()厘米.A.22B.26C.36D.无法确定3.如图，由6个边长为3厘米的小正方形拼成的图形，它的周长是()厘米.A.36B.39C.42D.454.把一个直径是4厘米的圆分成两个完全相等的半圆，这两个半圆的周长之和是()A.12.56厘米B.16.56厘米C.20.56厘米D.24.56厘米5.如图，有8条线段，至少要分别测量编号为()的三条线段的长度，才能求出这个图形的周长.A.①②⑤B.①②③C.①②⑦D.②③⑦6.如图，是一个台阶的侧面（线段AC，BC，AB的长依次为5米、12米、13米）要在台阶上面铺上红地毯，且上下各多铺出两米，需要地毯的长度是()米.A.17B.18C.20D.217.如图，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，下面第()种说法不正确？A.如果a b>，那么A的周长大于B的周长B.如果a b<，那么A的周长小于B的周长C.如果a b=，那么A的周长等于B的周长D.不管a、b哪个大，A、B的周长总是相等8.如图是用3个长8厘米、宽3厘米的长方形拼成的，这个图形的周长是()A.66厘米B.48厘米C.45厘米9.图中多边形每相邻两条边都互相垂直，若要计算起其周长，那么至少要知道()边长.A.6B.5C.4D.310.一个长方形花园长是30米，宽是10米，沿着花园走两圈，共走了()A.45米B.90米C.160米D.200米11.把如图的长方形用一条曲线分成甲、乙两个图形，甲图与乙图的周长相比，()A.甲图的长B.乙图的长C.甲图与乙图同样长12.如图，在由11⨯的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接11⨯的正方形相邻两边中点的线段，或者是11⨯的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是()A.47B.1472C.48D.148213.如图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS.那么正八边形中阴影部分的面积()A.12B.23C.35D.5814.如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是( )A.25B.40C.49D.5015.大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）.那么，大正方形的面积是( )平方厘米.A.25B.36C.49D.6416.如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米.那么大正六边形的面积是( )平方厘米.A.240B.270C.300D.36017.如图所示，在58 的方格中，阴影部分的面积为237cm .则非阴影部分的面积为( 2)cm .A.43B.74C.80D.11118.图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为0l，6，则图中阴影部分面积为()A.42B.40C.38D.3619.下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，m n的值等于()A.5B.7C.8D.1220.有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为()A.169B.144C.121D.10021.一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，它的面积与原面积相比()A.变大了B.变小了C.不变D.高不知道，所以无法比较22.已知图中正方形的两个顶点正好是两个等腰直角三角形斜边上的中点，小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，请问正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积的比值A.13B.12C.1D.3223.如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ADC BCD ∠+∠=︒，且2DC AB =，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 之间的关系是下列选项中的( )A.123S S S +>；B.132S S S +=；C.132S S S +<；D.无法确定.24.小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上.第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；⋯摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）.第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片( )张.A.571B.572C.573D.57425.在88⨯网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个88⨯网格中共有( )枚黑色棋子.A.42B.32C.22D.1226.在66⨯网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个66⨯网格中共有( )枚黑A.18B.14C.12D.1027.一块木板上有13枚钉子（如图1所示）.用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形等等（如图2).请回答：可以构成()个正方形.A.9B.10C.11D.1228.在如图中，一共能数出()个含有“☆”的长方形.A.8B.10C.12D.1429.如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出()个正三角形.A.6B.10C.13D.1530.以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有()个.A.5B.2C.4D.331.图中，有()个三角形.A.13B.15C.14D.1632.图中共有()个三角形.A.10B.9C.19D.1833.两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由()拼成.A.两个锐角三角形B.两个直角三角形C.两个钝角三角形D.一个锐角三角形和一个钝角三角形34.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是()平方厘米.A.14B.16C.18D.2035.在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为()A.8B.7C.6D.536.用210个大小相同的正方形拼成一个长方形，不同的拼法有()种.A.2B.4C.6D.837.一个长方形由15个小正方形拼成，如图所示，若这个长方形的周长是64cm，则它的面)cm.积为(2A.960B.256C.240D.12838.如图，每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求下图的面积为()平方厘米.A.16B.20C.24D.3239.如图，四边形ABCD为长方形，四边形CDEF为平行四边形.下面四种说法中正确的是()A.甲的面积比乙的面积大B.甲的面积比乙的面积小C.只有当丙、丁两部分面积相等时，甲、乙两部分面积才相等D.甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关40.如图，正方形ABCD的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米.则阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是()平方厘米.A.40B.50C.60D.8041.如图，线段BE将长方形ABCD分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小80l 平方厘米，那么AE的长是()A.24厘米B.21厘米C.20厘米D.14厘米42.如图，一个33的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是()A.5B.4C.3D.243.如图所示，四边形BCDE 为平行四边形，AOE ∆的面积为6，求BOC ∆的面积.( )A.3B.4C.5D.644.如图，M 为平行四边形ABCD 的边BC 上的一点，且:2:3BM MC =，已知三角形CMN的面积为245cm ，则平行四边形ABCD 的面积为( 2)cm .A.30B.45C.90D.10045.如图，长方形ABCD 中的AE 、AF 、AG 、AH 四条线段把此长方形面积五等分，又长方形长20厘米、宽12厘米，那么三角形AFG 的面积AFG S ∆等于( )平方厘米.A.41.2B.43.2C.43.1D.42.346.在等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，6AB =，14CD =，AEC ∠是直角，CE CB =，则2AE 等于( )A.84B.80C.75D.6447.下面的四个图形中，第()幅图只有2条对称轴.A. B.C. D.48.下面图形中，恰有2条对称轴()A. B. C. D.49.在如图的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B.C. D.50.在下面的阴影三角形中，不能由图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B. C. D.参考答案与试题解析一.选择题（共50小题）1.图中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到.则至少需要知道()条线段的长度，才可以计算出这个八边形的周长.A.4B.3C.5D.10【解析】如上图，把线段①平移到②的位置可以组成一个大长方形，大长方形的4条边，对边相等，所以只需知道相邻两条边的长度，③=④，所以只需知道1条线段的长度，所以求八边形的周长需要知道：213+=条线段的长度.故选：B.2.如图中阴影部分是正方形，最大长方形的周长是()厘米.A.22B.26C.36D.无法确定【解析】+⨯=(94)226答：最大长方形的周长是26厘米.3.如图，由6个边长为3厘米的小正方形拼成的图形，它的周长是()厘米.A.36B.39C.42D.45【解析】3412⨯=（厘米）326⨯=（厘米）+⨯+(126)26366=+=（厘米）42答：它的周长是42厘米.故选：C.4.把一个直径是4厘米的圆分成两个完全相等的半圆，这两个半圆的周长之和是()A.12.56厘米B.16.56厘米C.20.56厘米D.24.56厘米【解析】(3.14424)2⨯÷+⨯=+⨯(6.284)210.282=⨯=（厘米）20.56答：这两个半圆周长之和是20.56厘米.故选：C.5.如图，有8条线段，至少要分别测量编号为()的三条线段的长度，才能求出这个图形的周长.A.①②⑤B.①②③C.①②⑦D.②③⑦【解析】由图形可知，④+⑥的线段补给⑧所在的长方形边的虚线部分，⑦-⑤等长线段的补给③所在边的虚线部分，这样就构成了一个完整的长方形，原图形的周长就是答长方形的周长2+个⑤的线段总长，所以图形的周长只要知道①②⑤即可求得.故选：A.6.如图，是一个台阶的侧面（线段AC，BC，AB的长依次为5米、12米、13米）要在台阶上面铺上红地毯，且上下各多铺出两米，需要地毯的长度是()米.A.17B.18C.20D.21【解析】12522++⨯=++1254=（米)21答：需要地毯的长度是21米.故选：D.7.如图，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，下面第()种说法不正确？A.如果a b>，那么A的周长大于B的周长B.如果a b<，那么A的周长小于B的周长C.如果a b=，那么A的周长等于B的周长D.不管a、b哪个大，A、B的周长总是相等【解析】A的周长=曲线长+正方形边长2b a⨯+-B的周长=曲线长+正方形边长2a b⨯+-所以A、B、C选项都是正确的，错误的是D.8.如图是用3个长8厘米、宽3厘米的长方形拼成的，这个图形的周长是()A.66厘米B.48厘米C.45厘米【解析】8631⨯-⨯483=-=（厘米）45答：这个图形的周长是45厘米.故选：C.9.图中多边形每相邻两条边都互相垂直，若要计算起其周长，那么至少要知道()边长.A.6B.5C.4D.3【解析】根据题干分析可得：这个图形的横着的边长之和是：2b；竖着的边长之和是：22+；a c所以这个图形的周长是：2222()++=++，故计算这个图形的周长至少需要知道3a b c a b c条边，故选：D.10.一个长方形花园长是30米，宽是10米，沿着花园走两圈，共走了()A.45米B.90米C.160米D.200米【解析】(3010)22160+⨯⨯=（米)故选：C.11.把如图的长方形用一条曲线分成甲、乙两个图形，甲图与乙图的周长相比，()A.甲图的长B.乙图的长C.甲图与乙图同样长【解析】因为，甲图形的周长是：AB BC AC++，乙图形的周长是：DC AD AC++，而AB CD=，AD BC=，所以，甲、乙两个图形的周长相等；故选：C.12.如图，在由11⨯的正方形组成的网格中写有2015四个数字（阴影部分），其边线要么是水平或竖直的直线段，要么是连接11⨯的正方形相邻两边中点的线段，或者是11⨯的正方形的对角线，则图中2015四个数字（阴影部分）的面积是()A.47B.1472C.48D.1482【解析】据分析可知：将小三角形移到空白处补全完整正方形，共47.5个，所以阴影部分的面积是1 472；故选：B.13.如图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS.那么正八边形中阴影部分的面积()A.12B.23C.35D.58【解析】根据分析，将图中阴影部分进行等积变形，由图不难发现，阴影部分和空白部分的面积刚好相等，正八边形中阴影部分的面积占：1 2故选：A.14.如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是()A.25B.40C.49D.50【解析】根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90︒，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，214449S=÷=故选：C.15.大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）.那么，大正方形的面积是()平方厘米.A.25B.36C.49D.64【解析】根据分析，一条阴影部分的面积为1025÷=平方厘米.因为都是整数，所以只能为15⨯.故，大正方形面积(15)(15)6636=+⨯+=⨯=平方厘米.故选：B.16.如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米.那么大正六边形的面积是()平方厘米.A.240B.270C.300D.360【解析】如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形.而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的.一个小正六边形的面积为：180630÷=（平方厘米），大正六边形的面积为：309270⨯=（平方厘米），故选：B.17.如图所示，在58⨯的方格中，阴影部分的面积为237cm .则非阴影部分的面积为( 2)cm .A.43B.74C.80D.111【解析】如图，阴影部分占了18.5个格，面积为237cm ，每格的面积是：23718.52()cm ÷=；非阴影就分占21.5格，其面积是：221.5243()cm ⨯=；答：则非阴影部分的面积为243cm ；故选：A .18.图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为0l ，6，则图中阴影部分面积为( )A.42B.40C.38D.36【解析】1010666(106)210102⨯+⨯-⨯+÷-⨯÷ 100364850=+--38=答：阴影部分的面积是38.故选：C.19.下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，m n+的值等于()A.5B.7C.8D.12【解析】由以上可知，两个阴影面积比为11:3:2 23=，325+=.故选：A.20.有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为()A.169B.144C.121D.100【解析】如图所示，，于是可得：正方形的边长为11，则其面积为1111121⨯=.答：大正方形面积的最小值为121.故选：C.21.一个梯形的上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变，它的面积与原面积相比( ) A.变大了 B.变小了C.不变D.高不知道，所以无法比较【解析】因为梯形的面积=（上底+下底）⨯高2÷，若“上底增加2厘米，下底减少2厘米，高不变”则（上底+下底）的和不变，且高不变，所以梯形的面积不变. 故选：C .22.已知图中正方形的两个顶点正好是两个等腰直角三角形斜边上的中点，小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，请问正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积的比值是( )A.13B.12C.1D.32【解析】设小等腰三角形的边长是a ，大等腰三角形的边长为b ， 2a 2b 则正方形的面积是22222222()(222a b a b a b ++=+=小等腰三角形与大等腰三角形的面积和：2222222a b a b ++=又因小等腰直角三角形与正方形中的圆面积相等，所以正方形中的阴影面积与大等腰直角三角形面积相等. 所以它们的比值是1. 故选：C .23.如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ADC BCD ∠+∠=︒，且2DC AB =，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S ，3S 之间的关系是下列选项中的( )A.123S S S +>；B.132S S S +=；C.132S S S +<；D.无法确定.【解析】过点A 作//AE BC 交CD 于点E ，因为//AB DC ，所以四边形AECB 是平行四边形，所以AB CE =，BC AE =，BCD AED ∠=∠，因为90ADC BCD ∠+∠=︒，2DC AB =，所以AB DE =，90ADC AED ∠+∠=︒，所以90DAE ∠=︒那么222AD AE DE +=，因为21S AD =，222S AB DE ==，223S BC AE ==，所以213S S S =+. 故选：B .24.小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上.第一次放1张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放三张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片；⋯摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有一条边重合，且纸片之间除边之外，无重合（见图）.第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片( )张.A.571B.572C.573D.574【解析】根据分析可得，第20次摆放后，该图形共用：++++⋯+⨯-13693(201)=++++⋯+136957=+⨯-÷+(357)(201)21=+5701=（个)571答：第20次摆放后，该图形共用了正三角形纸片571张.故选：A.25.在88⨯网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这个88⨯网格中共有( )枚黑色棋子.A.42B.32C.22D.12【解析】由分析得+++++++=（枚)0123567832⨯-=（枚)883232故选：B.26.在66⨯网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个66⨯网格中共有()枚黑色围棋子.A.18B.14C.12D.10【解析】每行的数目可以为0~6个，每列都相等，所以一定是6的倍数，++++++=，012345621如果去掉3，那么剩下的数：21318-=正好是6的倍数，所以，白棋子有18个，则，黑色围棋子有：661818⨯-=（个)故选：A.27.一块木板上有13枚钉子（如图1所示）.用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形等等（如图2).请回答：可以构成()个正方形.A.9B.10C.11D.12【解析】第一种正方形有5个，第二种正方形有4个，第三个正方形有1个，第四种正方形有1个，共11个.故选：C.28.在如图中，一共能数出()个含有“☆”的长方形.A.8B.10C.12D.14【解析】根据分析可得，共有：6612+=（个)；答：图中，一共能数出12个含有“☆”的长方形.故选：C.29.如图，木板上有10根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出()个正三角形.A.6B.10C.13D.15【解析】单个的三角形有9个，4个三角形组成的大三角形3个，最外面的最大的三角形1个，共有：93113++=（个)答：用橡皮筋可套出13个正三角形. 故选：C .30.以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有( )个. A.5B.2C.4D.3【解析】如图，平面上任意4点构成了4个钝角三角形： ABC ∆、ABD ∆、ACD ∆、BCD ∆，所以以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有4个. 故选：C .31.图中，有( )个三角形.A.13B.15C.14D.16【解析】由题意，由一个小三角形构成的，有6个；由两个小三角形构成的，有3个；由三个小三角形构成的，有6个；大三角形1个，所以三角形的个数为636116+++=个，故选：D .32.图中共有( )个三角形.A.10B.9C.19D.18【解析】根据题干分析可得：88218++=（个)，答：图中一共有18个三角形.故选：D.33.两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由()拼成.A.两个锐角三角形B.两个直角三角形C.两个钝角三角形D.一个锐角三角形和一个钝角三角形【解析】因为拼在一起的两个小三角形一定有两条边共线，这时能组成一个平角，A、因为两个锐角的和小于180度，所以，两个锐角三角形不可能拼成一个大三角形；B、因为9090180︒+︒=︒，所以两个直角三角形能拼成一个大三角形；C、因为钝角+锐角有可能等于180︒，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形；D、因为钝角+锐角有可能等于180︒，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形；故选：A.34.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是()平方厘米.A.14B.16C.18D.20【解析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1ab=，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2233a b ab ab⨯-==，同理，相邻的空白部分的面积就是55ab=，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是15915++=，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是210153÷=（平方厘米）；那么阴影部分面积总和是：371121++=，则实际面积是：221143⨯=（平方厘米）；答：阴影部分面积总和是14平方厘米.故选：A.35.在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为()A.8B.7C.6D.5【解析】180(62)6︒⨯-÷18046=︒⨯÷120=︒180660︒÷=︒12060180︒+︒=︒所以，拼接后的图形是：6345+-=（条)答：得到的新图形的边数为5.故选：D.36.用210个大小相同的正方形拼成一个长方形，不同的拼法有()种.A.2B.4C.6D.8【解析】2102357=⨯⨯⨯因数的总个数：(11)(11)(11)(11)16+⨯+⨯+⨯+=（个)不同的拼法有：1628÷=（种)答：不同的拼法有8种.故选：D.37.一个长方形由15个小正方形拼成，如图所示，若这个长方形的周长是64cm，则它的面积为(2)cm.A.960B.256C.240D.128【解析】64[(53)2]÷+⨯=÷6416=（厘米）4⨯⨯=（平方厘米）4415240答：它的面积为2240cm.故选：C.38.如图，每条边都相等，每个角都是直角，则根据信息，求下图的面积为()平方厘米.A.16B.20C.24D.32【解析】如右图进行分割，把图形分成了8个边长是2厘米的小正方形⨯⨯=（平方厘米）22832答：这个图形的面积是32平方厘米.故选：D.39.如图，四边形ABCD为长方形，四边形CDEF为平行四边形.下面四种说法中正确的是()A.甲的面积比乙的面积大B.甲的面积比乙的面积小C.只有当丙、丁两部分面积相等时，甲、乙两部分面积才相等D.甲、乙两部分面积总是相等的，与丙、丁两部分面积的大小无关【解析】四边形ABCD为长方形，所以BC AD=，AB CD=，因为四边形CDEF为平行四边形，所以CD EF=，=，所以AB EF两边同时加上BE，所以BF AE=；根据等底等高的三角形的面积相等，所以得出三角形CBF的面积=三角形DAE的面积，则：三角形CBF的面积-丁的面积=三角形DAE的面积-丁的面积，所以甲、乙两部分面积总是相等，与与丙、丁两部分面积的大小无关；故选：D.40.如图，正方形ABCD的边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米，宽为5厘米.则阴影部分的甲与阴影部分乙面积的差是()平方厘米.A.40B.50C.60D.80【解析】⨯-⨯=（平方厘米）10108560故选：C.41.如图，线段BE将长方形ABCD分成M、N两个部分，如果M部分比N部分的面积小80l 平方厘米，那么AE的长是()A.24厘米B.21厘米C.20厘米D.14厘米【解析】设N部分的面积为x，那么M部分的面积为180x-，+-=⨯(180)3020x xx-=2180600x=+2600180x=2780x=；390N部分的面积是390平方厘米.设梯形的上底为y，1y+⨯⨯=(30)203902y+=10300390y=1090y=；9AE=-=（厘米）；30921故选：B.42.如图，一个33⨯的正方形网格，如果小正方形边长是1，那么阴影部分的面积是()A.5B.4C.3D.2【解析】通过观察可知，阴影部分的面积=长是3宽是1的长方形的面积-中间边长是1的正方形的面积.⨯-⨯=31112故选：D.43.如图所示，四边形BCDE为平行四边形，AOE∆的面积.()∆的面积为6，求BOCA.3B.4C.5D.6【解析】连接BD，因为，//BE CD ，OB OB =，所以，BOC ∆的面积等于BOD ∆的面积，又因为，//DE AC ，AB AB =，所以，ABE ∆的面积等于ABD ∆的面积，又因为，ABO ∆是ABE ∆和ABD ∆的公共部分，所以，BOD ∆的面积等于AOE ∆的面积，即，BOD ∆的面积AOE =∆的面积6=.答：BOC ∆的面积是6.故选：D .44.如图，M 为平行四边形ABCD 的边BC 上的一点，且:2:3BM MC =，已知三角形CMN的面积为245cm ，则平行四边形ABCD 的面积为( 2)cm .A.30B.45C.90D.100【解析】如图，连接AC .Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BN ∴，ADM NCM ∴∆∆∽，∴24()9ADM MNC S DM S CM ∆∆==， 45MNC S ∆=Q ，20ADM S ∆∴=，:3:2CM DM =Q ，30ACM S ∆∴=，50ADC S ∆∴=，2100ADC ABCD S S ∆∴==平行四边形，故选：D .45.如图，长方形ABCD 中的AE 、AF 、AG 、AH 四条线段把此长方形面积五等分，又长方形长20厘米、宽12厘米，那么三角形AFG 的面积AFG S ∆等于( )平方厘米.A.41.2B.43.2C.43.1D.42.3【解析】由题意可知2012485ABE AEF AGH ADH AFCG S S S S S ∆∆∆∆⨯======四边形， BE EF ∴=，DH HG =，Q 1482BE AB =g g ， 8BE EF ∴==，20164CF =-=，Q 1482DH AD =g g ， 4.8DH HG ∴==， 2.4CG =，14 2.4 4.82FGC S ∆∴=⨯⨯=， 48 4.843.2AFG S ∆∴=-=，故选：B .46.在等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，6AB =，14CD =，AEC ∠是直角，CE CB =，则2AE 等于( )A.84B.80C.75D.64【解析】如图，连接AC ，过点A 作AF CD ⊥于点F ，过点B 作BG CD ⊥于点G ，则AF BG =，6AB FG ==，4DF CG ==.在直角AFC ∆中，22222210100AC AF FC AF AF =+=+=+，在直角BGC ∆中，222222416BC BG GC AF AF =+=+=+，又CE CB =Q ，90AEC ∠=︒，22222100(16)84AE AC EC AF AF ∴=-=+-+=，即284AE =.故选：A .47.下面的四个图形中，第( )幅图只有2条对称轴. A. B. C. D.【解析】如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴.观察易知，符合题意的是C.故选：C.48.下面图形中，恰有2条对称轴()A. B. C. D.【解析】根据轴对称图形的定义，可得：A有4条对称轴，B没有对称轴，C有2条对称轴，D有1条对称轴.故选：C.49.在如图的阴影三角形中，不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B.C. D.【解析】根据分析，可以逆向思维，可以将题中的阴影三角形经过旋转、平移，长直角边旋转和短直角边旋转后得到的图形，不难看出，只有A选项是不可能出现的.图中图中①、②、③三边应为顺时针关系，A不合要求.故选：A.50.在下面的阴影三角形中，不能由图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图()中的三角形.A. B. C. D.【解析】解析：由图可知：A、C、D都可由原三角形经过旋转和平移得到，而B选项必须经过对称才能与原三角形重合，故选：B.。

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教学目标例题精讲知识要点7-8-3.几何计数（三）【考点】立体图形几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试，6题，走美杯，4年级，决赛，第8题【解析】一共有：()3-++=（块）。

414950【答案】50块【例2】将32个相同的小正方体拼成一个体积为32立方厘米的长方体，将表面涂上红漆，然后分开，其中有2个面涂红的小正方体有24个，则有1个面涂红的小正方体有个。

【考点】立体图形几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第7题【解析】5=，所以这个长方体的尺寸只有1132322⨯⨯，228⨯⨯，244⨯⨯，148⨯⨯，1216⨯⨯五种情况，其中只有尺寸为228⨯⨯的长方体的表面染色后，有24个正方体有2个面涂红，所以有1个面涂红的小正方体有0个。

【答案】0【例3】如图是一个由27个棱长为1的白色小正方体木块粘成的棱长为3的正方体木块，现任意挖去其中的3个棱长为1的小正方体，然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆，那么余下的24个棱长为1的小正方体中恰好有3面涂蓝漆的最多能有____个.【考点】立体图形几何计数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第12题【解析】1）角块本身为3面暴露在外的小方块；2）挖去外侧面中部的小方块，能够增加4块三面暴露在外的小方块，加上角块，共形成8块3面涂漆的小方块，为最优方案3）因此挖去对称的2块外侧中部的小方块后，将产生16块3面暴露在外的小方块4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块，将增加3块3面暴露在外的小方块，但同时破坏原来的2块3面在外的小方块.5）所以最多有17块3面涂漆的小方块【答案】17模块二、几何计数的应用【例4】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是2平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:3×3=9(个)【答案】9【巩固】图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的矩形有个。

【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第8题【解析】4×4+3×5=31【答案】31个【巩固】下图是由25个面积等于1的小正方形组成的大正方形，图中面积是6的长方形有个。

【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题【解析】每两行正方形可确定3个面积是2平方厘米的格点正方形,总共有:34224⨯⨯=(个)【答案】24个【例5】如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。

在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个。

【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第2题【解析】我们把一排连续三个正方形叫做三连正方形，三连正方形的个数乘上每个三连正方形中直角三角形的个数就得到所求的总数：4×2×2×4＝64 （个）【答案】64【例6】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)⑤⑥底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例7】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】解答【解析】1．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=32．思考图中怎样的三角形的面积等于3（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）．这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线．这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．【答案】48个【巩固】图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点在图中交叉点上的三角形)____个。

【考点】几何计数的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第11题【解析】由三角形面积为3平方厘米,可知三角形的底×高为6，6=1×6=2×3，因为图形中长方形的长为3厘米，宽为2厘米。

当三角形的底=3厘米时，有4×2=8种情况，；当底=2厘米时，有1×2=2种情况。

所以，一共有8+2=10个。

【答案】10个【例8】在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出个等腰三角形．【考点】几何计数的应用【难度】4星【题型】解答【解析】由于8个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3个点作为顶点都不能组成等边三角形．那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有8个顶点，所以一共有3824⨯=个等腰三角形，而且这些等腰三角形互不相同(否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，只能是不同的顶点，这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不合)，所以可以作出24个等腰三角形．【答案】24个等腰三角形【例9】圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？【考点】几何计数的应用【难度】4星【题型】解答【解析】圆周上4点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点．问题转化为“圆周上10个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：()⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=个．所以交点有210个．109874321210【答案】210个【例10】圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有________种．【考点】几何计数与找规律【难度】4星【题型】解答【解析】本题可以利用归纳的方法解决．若圆周上只有2个点，只有1种连法；若圆周上只有4个点，先选中1个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1种连法，所以此时有122⨯=种连法；若圆周上只有6个点，先选中1个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以相对的1个点相连，若与相邻的点相连，剩下的4个点有2种连法；若与相对的点相连，剩下的4个点只有1种连法，所以此时有2215⨯+=种连法；若圆周上只有8个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以与与它相隔2个点的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的6个点有5种连法；若与相隔两个点的点相连，剩下的6个点被分成两边，一边2个点，只有一种连法，一边4个点，有2种连法．所以此时共有⨯+⨯=种连法．522214【答案】14种连接法【例11】九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点A走到点B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A走到点B共有________种不同的走法．【考点】几何计数的应用【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级，初试，10题【解析】路线相当于右图中从A到B的不同路线（不走重复路线），从A到C、D到B方法都唯一，从C出发有3种方向，从D出发也有3种方向（不一定是最短路线），根据乘法原理，共有3⨯3=9种不同走法。

小学奥数 几何计数(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)

小学数学 奥数讲义计数专题：几何计数