高中数学 矩阵与变换

14.2 矩阵与变换
解答题
1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2
＋y 2
＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2 00 1对应的变换下
得到曲线F ，求F 的方程．
解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2
00
1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧
x ′＝2x ，y ′＝y ，
所以⎩⎨⎧
x ＝x ′
2y ＝y ′
.
又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(
x ′2
)2＋y ′2＝1，
即x ′2＋y ′2＝1.
故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.
【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y 得到点
P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．
2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a
b c
d ，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
b c
d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤24， 即⎩⎨⎧ a ＋2b ＝7，
c ＋2
d ＝10，2a ＝2，2c ＝4.
解得⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝3，
c ＝2，
d ＝4.
所以M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
32 4.
3．求圆C ：x 2
＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2
00
1的变换作用下的曲线方程． 解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点， 设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2
00 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00
1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2x ′ y ′， 即⎩⎨
⎧
x ＝2x ′，y ＝y ′，
所以⎩⎨
⎧
x ′＝x 2，
y ′＝y .
将⎩⎨⎧
x ′＝x 2，
y ′＝y
代入x 2
＋y 2
＝4，得x 2
4
＋y 2＝4，
故方程为x 2
16＋y 2
4
＝1.
4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值．
解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)．
A 、
B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )；
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上， 所以⎩⎨⎧
(－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0.
解得a ＝2，b ＝3.
5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程．
解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，
它在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
1－1 1对应的变换作用下得到点Q (x ，y ) 由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 1 1－1
1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎨⎧
x 0＋y 0＝x ，－x 0＋y 0＝y .
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝x －y 2，y 0
＝x ＋y 2.
因为P (x 0，y 0)在曲线C ：xy ＝1上，所以x 0y 0＝1. 所以
x －y 2×
x ＋y 2
＝1，即x 2－y 2＝4.
所以所求曲线C 1的方程为x 2－y 2＝4.
6. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属 于特征值1的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．
解析 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡11， 即6=+d c ；
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，
解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32
. 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2，0)，C (－2,1)，设k 为非零实数，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点
分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值． 解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 k 1 0.
由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1
0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－2 1 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为－2或2.
8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1
＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 解析 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 00 －1，
设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，
点(x ，y )在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x ′，y ′)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，
即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨
⎧
x ＝x ′，y ＝－y ′.
因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，
从而2x ′－(－y ′)＋1＝0，即2x ′＋y ′＋1＝0， 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.。