高中数学选修4- 2矩阵与变换
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念
1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；
2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零 矩阵、矩阵的相等等相关知识；
3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。
何为矩阵?
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
5.妻子的怀疑、外人的讥讽 “其妻献疑”“河曲智叟笑而止之”
愚公面对困难的解决办法：
没有地方放置土石 “投诸渤海之尾，隐土之北” 不惧路途遥远
劳动力缺乏 “率子孙荷担者三夫”“遗男，始龀，跳往助之”
——团结一切力量
智叟的嘲讽 “虽我之死，有子存焉……子子孙孙，无穷 匮也”“山不加增，何苦而不平” ——移山的信念会永远传承下去
4.投诸渤海之北
（古：之于
今：各个，许多 ）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花 ）
6.曾不能毁山之一毛
（古：草木
今：毛发）
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息 ）
8.虽我之死
（古：即使
今：虽然 ）
9.惧其不已也
（古：停止
今：已经 ）
四、词类活用 1.面山而居 名词作动词，向着。 2.聚室而谋 使动用法，使……聚。
细读感悟
在疏通文意的基础上，概括故事情节。
第一段： 故事背景，介绍两座山。 第二段： 开端和发展，愚公决心移山，得到全
家的支持，并排除疑难，立即行动。 第三段： 高潮，愚公驳斥智叟的观点。 第四段： 结尾，神仙帮忙移走了两座山。
朗读第一段，说说介绍了两座山的什么 内容，有何作用。
2.反射变换-人教A版选修4-2矩阵与变换教案
反射变换-人教A版选修4-2 矩阵与变换教案一、知识点1. 反射变换的定义反射变换是将一个点关于直线对称成一个新的点，直线称为对称轴，被对称的点称为对称点。
一个点对于两条相交的直线的对称变换，可以看作是两个方向相反的反射变换。
2. 反射变换的矩阵表示以直线 y = ax + b 为对称轴，其矩阵表示为：| 1 - 2a^2 2ab |R = 1/ (| 2ab 1 - 2b^2 |)| 0 0 |3. 反射变换的性质（1）反射变换是不改变距离大小的变换，即对于直线 AB 和A’B’，点 A 到直线 AB 的距离和点A’ 到直线A’B’ 的距离是相等的。
（2）反射变换满足线性运算，即 R(x1 + x2) = R(x1) + R(x2) 以及 R(kx) =kR(x)，其中 k 为常数。
（3）反射变换还具有反向性，即进行两次反射变换后还原原来的点。
二、教学设计1. 教学目标通过本节课的学习，学生将掌握反射变换的定义，矩阵表示以及性质等知识；同时，能够运用所学知识解决反射变换的相关问题。
2. 教学重点和难点（1）教学重点：反射变换的定义、矩阵表示和性质。
（2）教学难点：如何运用所学知识解决反射变换的相关问题，如求解经过反射变换后的坐标等。
3. 教学过程（1）引入通过讲解实际场景中的反射现象，如水面反射、镜面反射等，激发学生对反射变换的兴趣和认识。
（2）讲授首先，通过图示等方式，介绍反射变换的定义，以及反射变换的示例；然后，讲解反射变换的矩阵表示，帮助学生理解并掌握相应的公式；最后，讲解反射变换的性质，并结合具体的例子进行说明。
（3）例题练习针对反射变换中的相关问题，设计一系列例题，在课堂上由教师讲解，并且组织学生进行练习和答题，加深对所学知识的理解和掌握，同时锻炼学生的运用能力。
4. 课堂小结教师对学生进行带头小结，帮助学生回顾本节课所学内容，并进行归纳总结，以便学生更好地掌握知识点。
三、课堂反思针对本节课教学情况，我认为还需加强与学生的互动交流，尤其是在例题练习中，应该适当地引导学生思考和讨论，增强他们的自主思考和解决问题的能力，同时通过每节课的反思总结，不断优化和改进教学方式，提高教学质量。
]高二数学选修4-2 矩阵与变换ppt课件
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1
1 3 y = -2
求解线性方程组即为：求一个向量，它由已知变 换变为一个已知向量。
Mx x M 1
可以根据变换，讨论可逆解的情况。
20
特征值与特征向量的意义
1 0
矩阵
0
1 2
的特征向量为 1 和
0
0
1
和
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
21
特征值与特征向量的意义
矩阵 1 0
0 –1
1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
22
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
23
返返回
8
反射变换
10 0 -1
-1 0 01 返回
9
切变变换
11 01
10 21
返回
10
旋转变换
0 -1 10
01 -1 0 返回
11
投影变换
10 00
00 11 返回
12
矩阵变换是线性变换
也就是
1)A() A
2)
A(
)
A
A
A(
)
A
A
13
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v2
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换矩阵变换的性质
列行变变换换：： AAcriicrjjBB
EAiEjAij BB
AAcriikkBB AAcriikkcrjjBB
EAiE(ki ()kA) BB
AEEijj(ik()kA)B B
如：
1 0 0 a11 a12 a13 E23(k)A 0 1 k a21 a22` a23
这表明，只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵。
用初等变换求逆矩阵
1.用初等变换求逆矩阵
设A是n阶可逆矩阵则A-1 也可逆。 从而存在初等阵P1，P2，…,Ps
使 A1 P1P2 Ps
由 A-1A=E; A-1E= A-1;
得 : P1P2…PsA=E
P1P2…PsE=A-1
结论: 若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵
1 2 1 0 1 0
A
E
1
2
1
0 1 0 r1r2 2
1
0 1 0 0
0 1 2 0 0 1
0 1 2 0 0 1
1 2 1 0 1 0
1 2 1 0 1 0
r2 2r10 3 2 1 2 0 r2 r30 1 2 0 0 1
，使
A=P1P2…Pk.
因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所
以A可逆。
必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=n
A经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等
变换可以将E变成A，
存在有限个初等阵P1，P2，…,Pl，Pl+1，…,Pk，使 A= P1P2…PlEPl+1…Pk，
即
A= P1P2…Pk，
E时，则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩
2.逆变换与逆矩阵-湘教版选修4-2矩阵与变换教案
2.逆变换与逆矩阵-湘教版选修4-2矩阵与变换教案一、逆变换在矩阵与变换中，逆变换是一种重要的变换。
逆变换的本质是将原变换的作用反转，即将输出值映射回原输入值。
在这个过程中，需要寻找一个新的变换，使得先作用原来的变换再作用新的变换后，得到的结果是原来的输入值。
考虑一个简单的例子：将一个点绕原点旋转α角度，在用一个向量β将其平移后得到新的点。
我们可以用一个组合变换来描述这个过程：T(x,y) = (x,y)Rα(β1,β2) = (x,y)(cosα, sinα, -sinα, cosα)(1,0,0,1)+ (β1,β2)其中，Rα(β1,β2)表示先将点绕原点旋转α角度，再将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向。
现在，我们想要逆转这个变换，将终点坐标(x’,y’)反向还原回起始坐标(x,y)，也就是满足下面的等式：(x', y') = (x,y)Rα(β1,β2)这个等式求解出来即可得到新的逆变换：(x,y) = (x', y')R-α(-β1,-β2) = (x', y')(cosα, -sinα, sinα, cosα)(-β1,-β2)其中，R-α(-β1,-β2)表示先将点绕原点旋转-α角度，将其平移β1单位水平方向，β2单位垂直方向，即反向执行原来的变换。
二、逆矩阵逆变换的本质是求解一个矩阵的逆矩阵。
对于任意一个可逆矩阵A，存在一个和A相乘等于单位矩阵的矩阵B，使得两个矩阵相乘的结果为单位矩阵：A ×B = B × A = I其中，A和B的乘积顺序并不影响结果，因此称A和B互为逆矩阵。
逆矩阵也满足以下性质：•对于任意可逆矩阵A和其逆矩阵B，A × B = B × A = I•对于任意可逆矩阵A，它的逆矩阵唯一对于一个2x2矩阵A = [a, b; c, d]，其逆矩阵可以通过以下公式求解：B = 1/(ad - bc) × [d, -b; -c, a]如果一个矩阵不可逆，则其行列式等于0。
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换二阶行列式与逆矩阵
D1 =
9 -3 -5 2
0ห้องสมุดไป่ตู้-6 -1 2
=81，
0 4-7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零， 则 方程组有唯一解xj=Dj/D(j=1， 2， ， n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
2 -3
2
6 -6
2
-
245
=
1 3 2 1
3 -3
1
-52 -21
二、行列式的乘法定理
定理 设A、B为n阶矩阵，那么|AB|=|A||B|。
推论1 设A1，A2，……，Ar都是n阶矩阵，则 | A1A2……Ar |=|A1||A2|……| Ar |。
推论2 A可逆，则|A-1|=|A|-1。
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
- 6x4 2x4 6x4
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
例
2
求方阵 A = 132
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在。因为
所以
A*
=
2 -3
2
6 -6
2
-54 -2
A--11
=
|
1 A
|
A*
=
1 2
(3.5)
a11 a12 a1n 行列式 D = a21 a22 a2n 称为方程组(3.5)的系数行列式。
高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版
a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是
高中数学选修4-2《矩阵与变换》.3.1矩阵乘法的概念
南京东山外国语学校高三数学组 2019年12月7日星期六
选修4－2 矩阵与变换
河曲智叟笑而止之曰：“甚矣，
你太不聪明了
汝之不惠。以残年余力，曾不能毁山
地面长的草木
之一毛，其如土石何？”
放在“如……何”前面，有加强反问语气 的作用
南京东山外国语学校高三数学组 2019年12月7日星期六
译文：
4 1 0
C=AB=
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3
1 4
BA=?
AB有意义，但是BA没有意义，故 要注意相乘顺序。（AB≠BA）
1 4 0 (1) 11 01
1 0 03
3 2 (1)1 3 0 (1) 3 31 (1) 4 9 2 1
二、一词多义
其妻献疑代词，他的 其如土石助何词，加强反问语气。 惧其不已代也词，他，指愚公。
以君的之力 助虽词我，之主死谓间取消句子独立性。
告之于代帝词，这件事。
南京东山外国语学校高三数学组 2019年12月7日星期六
选修4－2 矩阵与变换
年且九十 将近 且焉置土石 况且
且焉置土疑石问代词，哪里。 始一反焉加强语气
矩阵乘法的概念
复习回顾
二阶矩阵与平面列向量的乘法法则为:
a11
a21
a12 a22
x0
y0
a11 a21
x0 x0
a12 a22
y0 y0
2 0
0
1
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二、教学思考
1、知识结构 2、教学定位 3、教学建议
1、知识结构
矩阵与变换
常见的二阶矩阵
恒等变换矩阵 旋转变换矩阵 反射变换矩阵 伸缩变换矩阵 投影变换矩阵 切变变换矩阵
矩阵的乘法 逆矩阵 特征值
常见几何变换
恒等变换 旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换
变换的复合 逆变换 特征向量
0
2
1
2 1
1 1
10
20 11 10 (1)1
1 1
矩阵就是一个几何变换，它 把平面上 的任一个点 ，变成平面上的另一个点。
中学常见的几种几何变换的矩阵表示
• 恒等变换 • 旋转变换 • 反射变换 • 伸缩变换 • 投影变换 • 切变变换
伸缩变换
1/2 0 01
10 0 1/2
反射变换
-1 0 01
• 伸缩变换之逆为伸缩变换 • 旋转变换之逆为旋转变换 • 切变变换之逆为切变变换
线性方程组与变换
• 线性方程组的矩阵形式
2x y 1 x 3y 2
12
31
x y
1
2
• 求解线性方程组即为：求一个向量，它 由已知变换变为一个已知向量。
Mx x M 1
• 可以根据变换，讨论可逆解的情况。
《矩阵与变换》
教学思考与备考建议
鄞州区正始中学 胡乾彪
一、背景分析
1、浙江省 2、其他省份
（1）广东省 （2）海南、宁夏 （3）山东省
2007、2008年考试内容分析：
省区
文理
理
广东
填空题
文
选修系列4
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3． 坐标系与参数方程
1． 坐标系与参数方程 2． 几何证明选讲
教材P60思考 如果关于变量x, y的二元一次方程组
ax cx
by dy
e f
的系数矩阵A
a c
b d
不可逆，
那么它的解的情况如何？
矩阵表示为 ca
b d
x y
e f
，即A
x y
e f
.
已知两条直线l1:x+m2y+6=0, l2:(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时,l1与l2 （１）相交；（２）平行；（３）重合。
l1、l2相交
1 m
2
m2 3m m2 (m 2) 0 3m
1 l1 // l2 m 2
m2 0且1
3m
m2
6 0
2m
教材第28页第5题
2
把矩阵
2 2
2
2
2 2
对应的线性变换作用在
2
双曲线 xy 1上，试写出所得曲线的方程，
并画出图形.
2 2
解通：过矩旋阵转 变222 换22可2 对研应究的某线些性变非换标为准
10 0 -1
-1 0 01
切变变换
11 01
10 21
旋转变换
0 -1 10
01 -1 0
10 00
投影变换
00 11
矩阵变换的基本性质——线性
1)A() A
2)A( ) A A
• 也就是，
A( ) A A
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
• 直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
x0 y0
，即
，所以 x0' 2x0
y0'
y0
x0
x0' 2
y0 y0'
又因为点 P在椭圆上，所以F的方程是 x2 y2 1
具体考查要求如下：
内容
矩阵的有关概念 二阶矩阵与平面向量
常见的平面变换 矩阵的复合与矩阵的乘法
二阶逆矩阵 二阶矩阵的特征值和特征向量
二阶矩阵的简单应用
要求 A BC √M0(x0, Nhomakorabea0）且平行于非零向量 v0 的方程为
v1
v2
的直线l
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 -1 0 1 10
的变换过程(先旋转后压缩):
0 -1 1/2 0 1 00 1
的变换过程(先压缩后旋转):
逆变换与逆矩阵
反射变换之逆为反射变换
-1 0 01
理
山东 文
不考 不考
海南
宁夏
理
解答题 文
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3．坐标系与参数方程
1． 坐标系与参数方程 2．几何证明选讲
（4）江苏省
2008江苏高考数学科考试说明
附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修 系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何 证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系 与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的 内容（考生只需选考其中两个专题）。
• 线性代数 突出的是代数，计算及运算规律，内容抽象。 方程组 行列式 矩阵 线性空间
• “矩阵与变换”强调矩阵的几何背景和矩阵 的几何意义，强调通过具体的变换建立和 理解这些抽象的概念.
3、设计思路及特色
突出矩阵的几何意义 从具体到一般，从直观到抽象 用实例展示矩阵应用广泛性 运用信息技术
3．严格控制本专题内容的教学 难度
1．研究高考试题，把握考试趋势 2．认真研读课标，吃透教学意见 3．回归课本，抓好基础落实 4、注重规范，重视通性通法 5、了解学生学情，制订复习计划
矩阵---几何变换的代数表示
• 几何代数化----向量
• 平面几何变换 : 二阶矩阵 乘向量
2 1
1 1
10
2 1 1 0 11 (1)
4、教学建议
（1）重视展现基本概念、重要结论 的发生发展过程
（2）强调把矩阵看作线性变换的本质， 强调几何直观
（3）强调数学思想方法的渗透和运用
具体与抽象 操作与理解
（4）处理好五大关系 基础与拓展
局部与整体 总结与提高
三、备考建议
1．准确把握教学要求，落实基础
2．加强相关知识的联系性，强 调数学思想方法
2008年高考江苏数学试题
在平面直角坐标系中，设椭圆 4x 2 y 2 1
在矩阵
A
2 0
10 对应的变换下得到曲线 F，
求 F 的方程.
解：设 P(x0, y 0) 是椭圆上任意一点，点 P(x0, y 0)
在矩阵 A 对应的变换下变为点P'(x0' , y0' )，则有
x0/ y0/
2 0
0 1
方程的曲线的几何性质。
x/ y/
2
2
2
，
2
2 2
x y
2
2
其坐标变换公式为
x
/
2 x 2
2y
2 ，代入
y
/
2 x 2
2、教材定位及意图
＊ 只讨论具体的二阶矩阵 ＊ 从几何上理解矩阵的有关知识 ＊ 为进一步学习高等数学奠定基
础
与大学教学相区别： • 大学:代数的运算对象,主要研究运算性
质;线性方程组与线性空间的表示方法.
• 课程标准:通过几何变换对几何图形的 作用体会矩阵的几何作用,从直观上认 识矩阵的意义.
“矩阵与变换”与“线性代数”