选修42选修42矩阵与变换

，
并且(AB)C＝
，求矩阵A.
思路点拨：本例在解题中应灵活应用矩阵乘法的结合律和逆矩阵的知识
，从而避开繁琐的计算．
答案：∵(AB)C＝A(BC)且BC＝
，
故
∴A＝
变式2：设矩阵A＝ 解：∵A＝ ∴A2＝AA ＝
A4＝(A2)2＝
由此猜想An＝
.求A2，A4，由此猜想An(n∈N*)．
＝ (n∈N*)．
(2)像
这样的矩阵，称为沿y轴或x轴的垂直伸压 变换矩阵．
(3)像
这样的矩阵，称为反射变换矩阵．
(4)像
这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．
(5)像
这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称
为投影变换矩阵．
(6)像
(k∈R，k≠0)这样的矩阵，称为切变变换矩阵．
3．变换的复合与矩阵的乘法 (1)对于矩阵
换》的教材中均有，如苏教版教材P95练习题就是：求矩阵 说本题是一道来源于教材的题目．
【知识链接】
矩阵的逆矩阵
的逆矩阵，可以
逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得矩阵A与其乘积等于单位矩阵，即矩阵A的逆矩阵
满足AB＝BA＝I.一个二阶矩阵存在逆矩阵的充要条件是这个矩阵的行列式不等于0
，即矩阵
存在逆矩阵的充要条件是ad－bc≠0.
则
，即
，所以
，即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0.
【例4】 (江苏南京)已知矩阵M＝
(1)判断矩阵M是否有特征值和特征向量，如果有，求出它的特征值和特征向量；
(2)若向量c＝
求M5c.
思路点拨：求解特征值和特征向量是基本功，是后继应用的前提，同学们要在理解
其解题原理的基础上加以熟练掌握．
解：(1)∵方程
(2)∵
，
故
变式4：(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知矩阵M＝
，其中a∈R，若
点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)．
(1)求实数a的值；(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
解：(1)由
.得2－2a＝－4，即a＝3.
(2)由(1)知，M＝
，则矩阵M的特征多项式为：
f(λ)＝
【例1】已知△ABC经过矩阵M的变换后，变成了△A′B′C′，且A(1,0)，B(1 ，－1)，C(0，－1)，A′(1,0)，B′(0，－1)． (1)试求出矩阵M，并说明它的变换类型；(2)试求出点C′的坐标． 思路点拨：对于已知变换前后的象和原象，求变换矩阵这类问题，我 们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事 半功倍的效果．
【应试对策】 1．矩阵变换的性质从代数方面可以简单概括为以下三条：对于给定的矩阵A
和任意的向量a和b，都有(1)A(a＋b)＝Aa＋Ab；(2)对于任意实数λ都有 A(λa)＝λ(Aa)；(3)综合(1)(2)可得对于任意实数λ和μ，都有A(λa＋μb)＝ λ(Aa)＋μ(Ab)．从几何角度来看，可逆的矩阵变换把直线变成直线，把线 段变成线段，把平行四边形变成平行四边形． 2．因为矩阵的乘法运算不满足交换律，对应的，对一个向量a先实施变换f， 再实施变换g和先实施变换g，再实施变换f，其结果通常也是不一样的．因 而做题时必须认真审题，弄清题意，不能混淆f(ga)和g(fa)．
1．已知A＝
， B＝
，且A＝B，则x＝________，y＝________，z
＝________，m＝________.
答案：3 0 1 －2
2.
＝________.
解析：
＝
答案：
3.
＝________.
解析：
＝1×4－(－1)×(－2)＝2.
答案：2
4．A＝
的特征多项式f(λ)＝________.
逆矩阵是对应着原先变换的逆变换，求逆矩阵一般是先设出逆矩阵，通过与 原矩阵相乘得到的矩阵等于单位矩阵，由此得到方程组，解方程组便能求出 逆矩阵． 【例3】已知以原点为中心旋转60°的变换f对应于矩阵A，切变变换g： 对应于矩阵B. (1)写出矩阵A和矩阵B； (2)从逆变换的角度求解矩阵A和矩阵B的逆矩阵； (3)计算(AB)－1. 思路点拨：对于几何意义明显的线性变换(如题中的变换f和变换g)，要撑握它的逆变 换，利用逆变换求逆矩阵有时比利用行列式求逆矩阵要来得快捷简便．
选修42选修42矩阵与变换
【命题预测】 1．矩阵是研究数学问题和实际问题的一种工具，因此，掌握矩阵的运算方法就
显得非常重要．在高考中对这一部分的考查也主要体现在研究问题的方法 中． 2．由于这一部分是新增加的内容，也是高中数学教材与高等数学教材的接轨知 识，故难度不会很大，通常考查矩阵的基本运算，或与解析几何中二次曲线 的变换结合起来进行考查，以二阶矩阵的考查为主． 3．若有涉及生产实际中的问题，通常也会是一些基础的问题，主要与方程的变 换与求解结合起来，并且主要强调做题的技巧．矩阵带来的方便将会是考查 的方向，渗透等价转化与数形结合等基本数学思想．
3．鉴于大多数同学对矩阵的运算还不熟练，在求逆矩阵和利用逆矩阵求 二元一次方程组时，一定要注意对计算结果进行检验．
4．矩阵的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩阵与向量的乘法运算中有 重要应用，熟练掌握本讲知识，将可以大大减少运算量．另外，我们 还经常用它来解决生活类的问题，体现了矩阵知识在现实生活中的广 泛应用．
【知识拓展】 矩阵的转置
设A＝
，
所谓A的转置就是指矩阵A′＝
1．矩阵
(1)在数学中，把形如
这样的矩形数字(或字
母)阵列称做 矩阵 .把像[a11 a12]这样只有一行的矩阵称为
行矩阵 ，
像
这样只有一列的矩阵称为 列矩阵 .同一横排中按原来的次序排列的一行
数(或字母)叫做矩阵的 行 ，同一竖排中按原来的次序排列的一列数(或字母)叫做 矩阵的列 ，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素 .
解析：f(λ) ＝
＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3.
答案：λ2－2λ－3
5．A＝
的特征值为________．
解析：f(λ)＝
＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.由f(λ)＝
0得λ＝1或 λ＝3.
Байду номын сангаас
答案：1或3
给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上一个点(向量)变 成了另外一个点(向量)．平面中常见的变换都可以用矩阵来表示．
＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.
令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.
当λ＝－1时，
⇒x＋y＝0，
∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为
；
当λ＝4时，
⇒2x－3y＝0，
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为
.
【规律方法总结】
1．正确理解矩阵乘法的意义，熟练掌握二阶矩阵乘法的运算法则，是进行矩阵 乘法运算的关键，需要指出的是：一般地，矩阵乘法不满足交换律，即MN＝ NM不一定成立，这一点需要仔细体会．
解：(1)A＝
B＝
(2)变换f的逆变换f′是以原点为中心旋转－60°的旋转变换，故
A－1＝
变换g把任一向量 变成
，如要变回 ，只需
用实施一次切变变换
故B－1＝
(AB)－1＝B－1A－1＝
变式3：(盐城调研)已知矩阵M＝
，N＝
阵M－1N变换下的函数解析式．
解：M－1＝
，所以M－1N＝
即在矩阵M－1N的变换下有如下过程,
，试求曲线y＝cos x在矩
则 y′＝cos 2x′，即曲线y＝cos x在矩阵M－1N的变换下的解析式为y＝2 cos 2x.
矩阵的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩阵与向量的乘法运算中有重要
应用，应掌握求解二阶方阵的特征向量和特征值的基本方法．关于特征值问
题的一般解法探究如下：
给定矩阵A＝
，向量a＝ ，若有特征值λ，
【高考真题】
【例5】 (2009·江苏卷)求矩阵A＝
的逆矩阵．
分析：设出矩阵A的逆矩阵，通过这个矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵，列 出方程组求解．
规范解答：设矩阵A的逆矩阵为
，
则
，
即
故
解得 从而A的逆矩阵为A－1＝
【全解密】
【课本探源】本题考查的是矩阵的基础知识，类似的题目在各个版本《矩阵与变
解：设M＝
依题意得 且
它是沿x轴方向的切变变换．
(2)∵
故点C′的坐标是(－1，－1)．
变式1：(南京调研)已知矩阵M＝
，N＝
.在平面直角坐标系中，设
直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
解：由题设得MN＝
设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变
换作用下变为(x′，y′)，
则有
，即
＝所以
因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上．从而2x′－(－y′)＋1＝0，
即2x′＋y′＋1＝0.
所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.
矩阵相乘时应灵活运用运算律，以提高解题效率，但要注意交换律和消去 律在矩阵的乘法中一般不成立．
【例2】 (江苏镇江)已知B＝
(2)只有一行的矩阵称为行矩阵．
(3)只有一列的矩阵称为列矩阵．
(4)所有元素都为0的矩阵叫做 零 矩阵．
(5)对于两个矩阵A，B，只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元
素 也分别相等时 ，A和B才相等，记作 A＝B .
2．几种常见的平面变换
(1)矩阵E＝
称为恒等变换矩阵或 单位 矩阵．
4．对于特征值与特征向量，关键是要理解特征值与特征向量的本质含义，并会 求特征值与特征向量．判断矩阵的特征值与特征向量可通过验证Mα＝λα是否 成立．求解矩阵的特征值与特征向量要按步骤进行计算．对于特征值λ而言， 它的特征向量不唯一，若α为一个矩阵的特征向量，则tα(t∈R，t≠0)也为该矩 阵的特征向量.