高三数学(理)《选修4-2_矩阵与变换》专题练习答案

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矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(二)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.2．在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积. 评卷人得分二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．【考点定位】本题考查的是矩阵的特征值特征向量和逆矩阵的运算，正确理解概念是本题的关键。

4．已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值;(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求点p 的坐标. （汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换5．求曲线C ：xy=1在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111M 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程。

6．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．7．已知矩阵M 2311-⎛⎫ ⎪-⎝⎭所对应的线性变换把点A(x,y )变成点'(13,5)A ,试求M 的逆矩阵及点A 的坐标。

8．二阶矩阵M 有特征值8λ=，其对应的一个特征向量e =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变换成点(－2,4)，求矩阵M 的逆矩阵2M .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．易得……3分,在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，∴，即……8分代入中得,∴直线的方程为……………10分解析：易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y yy ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……8分代入20x y ''+-=中得12042y x y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=……………10分2．，………………4分设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，则，………………6分∴，即，………………10分代入得，………………12分∴.………………14分解析： 010*********MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………4分设00(,)x y 为椭圆2241x y +=上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(,)x y ，则000010202x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………6分 ∴ 002x x y y =⎧⎨=⎩，即002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ………………10分代入220041x y +=得221x y +=， ………………12分∴ S π=. ………………14分评卷人得分二、解答题3．4．解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x y y y'=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上,所以01x =故点P 的坐标为(1,0)5．6．7．8．设M=a b cd ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a b c d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即a+b=c+d=8.……2分由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2224a b c d -+-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，从而-a+2b=-2，-c+2d=4. ……4分由a+b =8及-a+2b=-2，解得a=6，b=2； ……………………………………6分由c+d =8及-c+2d=4，解得c=4，b=4所以M=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……………………8分从而M2=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦=44204024⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (10)分。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测专题练习(四)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则=+b a ． 2．设2111()1111f x xx =-()x R ∈，则方程()0f x =的解集为 .评卷人得分二、解答题3．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．4．已知矩阵0201,00M N m n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若矩阵MN 的对应的变换把直线40x y -+=变成直线40x y ++=，求实数,m n 的值。

5．曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y -=，（1）求实数,a b 的值；（2）求证：矩阵=N ⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤-12是矩阵M 的逆矩阵6．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．7．给定矩阵M=⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－1323，N=⎣⎡⎦⎤2112及向量e 1=⎣⎡⎦⎤11，e 1=⎣⎡⎦⎤1－1. (1)证明M 和N 互为逆矩阵； (2)证明e 1和e 1都是M 的特征向量．8．若曲线C ：22421x xy y ++=在矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变成曲线/C ：2221x y -=。

（1）求,a b 的值；（2）求M 的逆矩阵1M -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．8 2．；评卷人得分二、解答题3．（选修4-2：矩阵与变换）设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11a x xb y y=⎧⎨=⎩． …………………………………………………………5分又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=，则2214ax by +=为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分4． 5．6．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即c ＋d ＝6； ………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分 A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦7．(1)因为MN =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，NM =⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3131=31⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，所以e 1和e 2是M的特征向量．………………………………………………………10分 8．（1）2, b=0a = 5分 (2）11201M --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10分。

高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练：选修4-2矩阵与变换 Word版含解析[ 高考]

选修4－2 矩阵与变换解答题1．若点A (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1对应变换的作用下得到的点为B (－1,1)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋b a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，所以⎩⎨⎧ 1＋b ＝－1，a ＋1＝1，得⎩⎨⎧b ＝－2，a ＝0，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤101，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 21. 2．(2013·苏州四市模拟)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112的特征值及对应的特征向量．解特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1 －1λ－2＝(λ－2)2－1 ＝λ2－4λ＋3，由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.将λ1＝1代入⎩⎨⎧(λ－2)x －y ＝0，－x ＋(λ－2)y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－1，则特征值λ1＝1对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ2＝3时，得x －y ＝0，特征值λ2＝3对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.3．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．设P (x 0，y 0)是椭圆上的任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， ∴⎩⎨⎧x ′0＝2x 0，y ′0＝y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又点P 在椭圆上，∴4x 20＋y 20＝1，∴(x ′0)2＋(y ′0)2＝1，∴曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 4．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，且M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003. 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.5．已知矩阵M ＝，△ABC 的顶点为A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，求△ABC 在矩阵M －1的变换作用下所得△A ′B ′C ′的面积．解∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－112 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33. ∴A ′(0,0)，B ′(2，－2)，C ′(3,3)．∴A ′B ′→·A ′C ′→＝0，故A ′B ′→⊥A ′C ′→.∴S △A ′B ′C ′＝12|A ′B ′→|·|A ′C ′→|＝6.6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c b 2有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.求：(1)矩阵M ；(2)曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线方程．解 (1)由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c b 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋3b 2c ＋6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤812，即⎩⎨⎧ 2＋3b ＝82c ＋6＝12，得⎩⎨⎧b ＝2c ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 22.(2)设曲线上任一点P (x ，y )，点P 在M 作用下对应点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 即⎩⎨⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′－x ′2y ＝3x ′－y ′4，代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1，得x ′2＋y ′2＝2，即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2.。

高中数学矩阵与变换(二)课后练习二新人教版选修4-2

2已知矩阵A =-4题2设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换.(1) 求直线4x 10y 1在M 作用下的方程； (2) 求M 的特征值与特征向量.题3.1 2已知a € R 矩阵A =，对应的线性变换把点 P (1,1)变成点P (3,3)，求矩阵 A 的特征a 1值以及每个特征值的一个特征向量.题4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A (0,0) , B ( — 2,0) , C ( — 2,1).设k 为非零实数，矩阵 Mk 0 0 1=o 1，N = 1 o ，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为 A 、B 、C , △ ABC 的面积是厶ABC 的面积的2倍，求k 的值.题51 01 1已知矩阵AB2 ,若矩阵AB 对应的变换把直线1 : x y 2 0变为直线0 20 1I'，求直线I'的方程.专题：矩阵与变换(二)，求满足AX B 的二阶矩阵X .所以所求曲线的方程为 4x 2y 1.(2)矩阵M 的特征多项式f( )1( 1)( 5) 0,5所以M 的特征值为1 1, 2 5 .当二 11时，由M 11 1 1，得特征向量1当25时，由M 22 2，得特征向量21题3.1 1 答案：特征值为入 1 = — 1,入2= 3;特征向量为和 —1 11 21 33 详解：由题意= =, a 1 1a +13课后练习详解91 答案： 25—3 1详解：由题意得A 1=2 2,2 11 9— 4—1 - — 1 2 =2—3 115 — 1答案: (1) 4x 2y详解：(1) M设(x, y)是所求曲线上的任一点,所以x x, y 5y,x x ,所以 1 代入4x 10y 1得，4x y -y,52y题13 •/ AX B ,「. X = A 1B = 2得a+ 1 = 3,即a= 2,矩阵A的特征多项式为•••直线I 的方程为4x y 8 0入一1 — 2f （入）==（入一1）2 — 4=（入 + 1）（入一3）,—2 入一 1 令f （入）=0，所以矩阵 A 的特征值为入1=— 1,入2= 3.2x + 2y = 0 ①对于特征值入1 = 一1,解相应的线性方程组2x + 2y = 0x = 1得一个非零解，y =— 11因此，a = 是矩阵A 的属于特征值入1=— 1的一个特征 —1 向量；2x — 2y = 0x = 1②对于特征值⑴3,解相应的线性方程组—2x + 2y = 0 ，得一个非零解y = 1，1因此，（3 = 是矩阵A 的属于特征值入2= 3的一个特征向量.1 题4.答案：—2或2.详解: 由题设得 MN= k 00 1 0 1 0 1 0 = 1 k 0 .由0 k 0 0 0 k —2 0 0 k — 2 k 由1 0 0 = 0， 1 0 0 = — 2， 1 0 1 = — 2，可知」 A(0,0), B(0，- -2), C (k ,— 2).计算得△ ABC 的面积是1, △ ABC 的面积是| k | , 由题设知| k | = 2X 1= 2,所以k 的值为一2或2. 题5 答案：4x y 8 0.1 0 AB0 2y 20 中得 x — y — 2 0,4 2在直线I 上任取一点P （x, y ），经矩阵 AB 变换为点Q （x,y ）,11 x2 0 2 y11x y .x x y 2 , •22y y 2y详解：易得 1x y 4代入xy 2。

北师大版数学选修4-2练习：(第2章)矩阵变换的性质(含答案)

矩阵变换的性质同步练习一,选择题1, 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点2,以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10j 的变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛228二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(M .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 .6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 .三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5）（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7）（4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7）（5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换. 8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。

江苏理数选修4-2 矩阵与变换第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3，－4
2－6＝2λ，即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3，解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2．已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ，向量 α ＝－3是－4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等一轮复习专题练习(四)含答案高中数学

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一、填空题
1．坐标平面内某种线性变换将椭圆
2
21
2
y
x
+=的上焦点变到直线3
y x
=上，则该
变换对应的矩阵
a b
c d
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
中的,,,
a b c d应满足关系为3
d b
=
1
2．方程组
21
320
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
对应的增广矩阵为.
评卷人得分
二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换
若矩阵
12
a
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
M把直线:20
l x y
+-=变换为另一条直线:40
l x y
'+-=，试求实数
a值．
4．给定矩阵
3
122
,2
23
11
A B
⎡⎤
-
⎡⎤⎢⎥
==
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦-
⎣⎦
.。

高考数学试题汇编第二节矩阵与变换(选修4-2) 理(含解析)

第二节矩阵与变换(选修42)矩阵的线性变换与矩阵的乘法1.(2011年江苏卷,21B)已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,向量β=.求向量α,使得A 2α=β. 解:A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423, 设α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y a , 由A 2α=β,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 3423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21, 从而解得,所以α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-. 2.(2010年福建卷,理21)已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02,且MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202. (1)求实数a,b,c,d 的值; (2)求直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程.解:法一:(1)由MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d b bc ad c 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202 从而解得(2)因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x 上的两点(0,0),(1,3).由(1)M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111, 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,⎥⎦⎤⎢⎣⎡00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22得点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2). 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.法二:(1)同法一.(2)设直线y=3x 上的任意点(x,y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'), 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x 22 得x'=-2x,y'=2x,所以y'=-x',即点(x',y')必在直线y=-x 上.由(x,y)的任意性可知,直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,以防因颠倒而出错.(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解.逆变换与逆矩阵3.(2012年上海数学,理3,4分)函数f(x)=的值域是 .解析:f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-sin 2x,由于-1≤sin 2x ≤1,所以-≤-2-sin 2x ≤-,即-≤f(x)≤-.答案:[-,-]4.(2012年江苏数学,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341求矩阵A 的特征值. 解:因为A -1A=E,所以A=(A -1)-1. 因为A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341,所以A=(A -1)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232, 于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4. 令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.5.(2012年福建卷,理21(1),7分)设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1.①求实数a,b 的值;②求A 2的逆矩阵.解:①设曲线2x 2+2xy+y 2=1上任意点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是P'(x',y'). 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y bx ax , 得.又点P'(x',y')在x 2+y 2=1上,所以x'2+y'2=1,即a 2x 2+(bx+y)2=1,整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy+y 2=1, 依题意得解得或因为a>0,所以②由①知,A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201,所以|A 2|=1,(A 2)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201.。

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高二数学（理）《矩阵与变换》
1、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD
在矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝ 2、在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标与纵坐标都变为原来的3倍，则该变换的矩阵是
3、已知矩阵A =1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B =2111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
，则AB 等于 4、已知矩阵A =1111-⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则矩阵A 的逆矩阵A -1等于 5、点（－１，k ）在伸压变换矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡100m 之下的对应点的坐标为（-2, -4 ），则m 、k 的值分别为 6、计算:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡321110=__________ 7、点A （1，2）在矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 8、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
对应的变换作用下下得到的点为（2，4），则点A 的坐标为_________ 9、将向量⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为___________ 10、在某个旋转变换中，顺时针旋转3
π所对应的变换矩阵为＿＿＿＿＿＿ 11、曲线y x =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦
作用下变换所得的图形对应的曲线方程为＿＿＿＿＿＿ 12、曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是，变换对应的矩阵是＿＿
13、若曲线x 3cos 2
1y =经过伸压变换T 作用后变为新的曲线cos y x =，试求变换T 对应的矩阵M =＿＿＿＿.
14、矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵
15、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.
16、在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡
⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程.
17、求曲线C ：1xy =在矩阵1111M ⎛⎫=
⎪-⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程.
18、求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程.
19、直角坐标系xOy 中，点（2，-2）在矩阵010M a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
对应变换作用下得到点（-2，4），曲线22:1C x y +=在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.
20、设点P 的坐标为（１，-２），T 是绕原点逆时针方向旋转
3
π 的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵，并求点P 在T 作用下的象点P ′的坐标.
21、在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值.
22、若点(2,2)A 在矩阵=M ⎝⎛ααsin cos ⎪⎪⎭
⎫-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B (2,2)-，
求矩阵M 的逆矩阵.
23、已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值.
24、设矩阵A ＝⎣⎡
⎦
⎤1 a 0 1（a ≠0）、（1）求A 2 ，A 3；（2）猜想A n （n ∈N *）；（3）证明：A n （n ∈N *）的特征值是与n 无关的常数，并求出此常数.
25已知矩阵11A ⎡=⎢
-⎣ a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
. （1）求矩阵A ；（2）若向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.
26、已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3－2、求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵.
27、已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦,向量74α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
. (1)求A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α、2α； (2)计算5A α的值.。