选修4-2矩阵与变换习题
选修4-2矩阵与变换习题
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换一、二阶矩阵 1.矩阵的概念（2, 3），将5P 的坐标排成一列，并简记为P2, 3）②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下:概念一:横排叫做矩阵的行，竖排叫做矩阵的列•名称介绍：① 上述三个矩阵分别是 2X 1矩阵，2 X 2矩阵（二阶矩阵），2 X 3矩阵，注意 行的个数在前 ② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为 A = Bo③ 行矩阵：［a ii ,a i2］（仅有一行） xP （x,y ）都可以看成行矩阵［x, y ］或列矩阵 ，在本书中规定所有的平面向量yx的形式。
y练习1:2 x m n x y2.设A,B，若 A=B,求 x,y,m,n 的值。
y 32x y m n概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
c d 0 0① 零矩阵：所有元素均为 0,即，记为0o0 01 0② 二阶单位矩阵：，记为E 2.0 1二、二阶矩阵与平面向量的乘法④列矩阵：an（仅有一①"O P初赛 复赛 甲80 90 乙868880 90 86 882x 3y mz 1, 3x 2y 4z 223 m 3:-2480 9086 88的矩形数字（或字母） 阵列称为 矩阵.通常用大写的拉丁字母 A 、B C …表示，均写成列向量 1•已知A,B，若 A=B ，试求 x, y,z3O—简记为⑤向量a =（ x,y ）,平面上的点定义: 规定二a b x , ax by a b x ax by 二阶矩阵A= ，与向量的乘积为A,即Ac dycx dyc dycx dy练习 2:12 31.( 1 )0 1 11 2 1(2)=0 1 31 0 x 1+ x2.=: ，求1 2 y1 y三、二阶矩阵与线性变换1•旋转变换问题3.把问题2中的旋转30°改为旋转 角，其结果又如何?2. 反射变换定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线I 的对称点P 的线性变换叫做关于直线I 的反射。
高中数学矩阵与变换(二)课后练习二新人教版选修4-2
2已知矩阵A =-4题2设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换.(1) 求直线4x 10y 1在M 作用下的方程； (2) 求M 的特征值与特征向量.题3.1 2已知a € R 矩阵A =，对应的线性变换把点 P (1,1)变成点P (3,3)，求矩阵 A 的特征a 1值以及每个特征值的一个特征向量.题4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A (0,0) , B ( — 2,0) , C ( — 2,1).设k 为非零实数，矩阵 Mk 0 0 1=o 1，N = 1 o ，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为 A 、B 、C , △ ABC 的面积是厶ABC 的面积的2倍，求k 的值.题51 01 1已知矩阵AB2 ,若矩阵AB 对应的变换把直线1 : x y 2 0变为直线0 20 1I'，求直线I'的方程.专题：矩阵与变换(二)，求满足AX B 的二阶矩阵X .所以所求曲线的方程为 4x 2y 1.(2)矩阵M 的特征多项式f( )1( 1)( 5) 0,5所以M 的特征值为1 1, 2 5 .当 二 11时，由M 11 1 1，得特征向量1当25时，由M 22 2，得特征向量21题3.1 1 答案：特征值为入 1 = — 1,入2= 3;特征向量为和 —1 11 21 33 详解：由题意= =, a 1 1a +13课后练习详解91 答案： 25—3 1详解：由题意得A 1=2 2,2 11 9— 4—1 - — 1 2 =2—3 115 — 1答案: (1) 4x 2y详解：(1) M设(x, y)是所求曲线上的任一点,所以x x, y 5y,x x ,所以 1 代入4x 10y 1得，4x y -y,52y题13 •/ AX B ,「. X = A 1B = 2得a+ 1 = 3,即a= 2,矩阵A的特征多项式为•••直线I 的方程为4x y 8 0入一1 — 2f （入）==（入一1）2 — 4=（入 + 1）（入一3）,—2 入一 1 令f （入）=0，所以矩阵 A 的特征值为 入1=— 1,入2= 3.2x + 2y = 0 ①对于特征值 入1 = 一1,解相应的线性方程组2x + 2y = 0x = 1得一个非零解，y =— 11因此，a = 是矩阵A 的属于特征值 入1=— 1的一个特征 —1 向量；2x — 2y = 0x = 1②对于特征值⑴3,解相应的线性方程组—2x + 2y = 0 ，得一个非零解y = 1，1因此，（3 = 是矩阵A 的属于特征值入2= 3的一个特征向量.1 题4.答案：—2或2.详解: 由题设得 MN= k 00 1 0 1 0 1 0 = 1 k 0 .由0 k 0 0 0 k —2 0 0 k — 2 k 由1 0 0 = 0， 1 0 0 = — 2， 1 0 1 = — 2， 可知」 A(0,0), B(0，- -2), C (k ,— 2).计算得△ ABC 的面积是1, △ ABC 的面积是| k | , 由题设知| k | = 2X 1= 2,所以k 的值为一2或2. 题5 答案：4x y 8 0.1 0 AB0 2y 20 中得 x — y — 2 0,4 2在直线I 上任取一点P （x, y ），经矩阵 AB 变换为点Q （x,y ）,11 x2 0 2 y11x y .x x y 2 , •22y y 2y详解：易得 1x y 4代入xy 2。
北师大版数学选修4-2练习：(第2章)几何变换与矩阵(1)(含答案)
第二章 几何变换与矩阵 同步练习(一)1、矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2cos 2sin 2sin -2cos ππππ对应的变换是（ ） A 、切变变换 B 、反射变换 C 、垂直压缩变换 D 、旋转变换2、平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10051的作用下（ ）A 、纵坐标不变，横坐标伸长5倍B 、纵坐标不变，横坐标缩短到51倍 C 、纵坐标、横坐标均伸长5倍 D 、纵坐标、横坐标均缩短到51倍3、可将点（2，1）变换成点（4，7）的矩阵是（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4102B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5012C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1502D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛51024、对平面上的任何一点实施某一变换，将它自己变为自己，这种特殊的变换叫做恒等变换，则此变换对应的矩阵为（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01105、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101将过点)1,1(),3,1(B A -的直线变成（ ）A 、直线2=xB 、直线2=yC 、直线y x =D 、直线y x -=6、过点（1，1），且平行于向量)2,3(-=v 的直线坐标形式为______________。
7、在变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=61005M 作用下，平面上任意一点（x ，y ）的横坐标_______________，纵坐标______________。
8、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-1-3-2对应的变换将点),(54-变换成了___________。
9、变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3cos 3sin 3sin -3cos ππππ将平面内的图形进行了怎样的变换？它把点（-2，5）变换成什么？10、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310031M 将下列曲线变换成什么图形？ （1）1+=x y ； （2）1=+22y x11、已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001M ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32,01βα，试验证等式： （1）M M M +=+)(； （2）M M 81)81(= 。
高中数学矩阵与变换(二)课后练习一新人教版选修4-2
-2专题：矩阵与变换(二)1 已知M= ，求M 20a •题21矩阵A=-1题3.1 2 1 5已知M= ，卩=，计算M® .2 1 7题4.1已知二阶矩阵S有特征值入=8，其对应的一个特征向量，并且矩阵S对应的变换将点1A—1,2)变换成A ( —2,4) •(1) 求矩阵S;(2) 求矩阵S的另一个特征值及对应的另一个特征向量n的坐标之间的关系.题5a 1设a,b€ R,若矩阵A= 把直线l :x+ y — 1 = 0变成为直线mx—y — 2 = 0,则a=0 b -------------4的特征值为b= _______ .-2课后练习详解入一1 — 21 一 4=（ 一 1）（ 一 4）+2 =^— 5^+6 令 f （入）=°，则 “ 3或 2. 题 3.入一1 — 2 2矩阵 M 的特征多项式为f （入）= =入一 2入一 3.—2 入一1令f (入)=0，解得 入1= 3,入2=— 1,从而求得它们对应的一个特征向量分别为 11a 1 = , a 2=.1 —1令(3 = m a 1+ n a 2，所以求得 m= 4, n = — 3.5555M 3 = M (4 a 1 — 3a 2) = 4(M a 1) — 3(M a 2)151 9755=4(入 1 a 1)- 3(入2 a 2) =4 ・3—3(—1) =.1— 1 969题 4.6 2答案： （1）S = 4 4 ；（ 2）2x + y = 0.acac 1 1 a + c = 8，详(1) 设矩阵 S =，则=8 ，故①b dbd11b + d = 8.a c—1—2— a +2c =— 2，又=，② b d24— b + 2d =46 2由①②得c = 2 ，d = 4，故 S =2020+答案： 20 ． —3 +2详解：矩阵 M 的特征多项式为 f （入）=（入一11 1 11分别为 和 ，而 a =+2， —1 1— 11120 1 320 + 2 所以 M 20a = 20 320 +2(—1) 20 = 20—1 1 — 320 +2—4= 0,入i = 3,入2=— 1，对应的特征向量3或2详解： 答案：975 969详解： 题1题2 答案：a= 6，b= 44.入一6 —2⑵由⑴知，矩阵S的特征多项式为f （入）= =（入一2）（入一8）,—4 入一4令f （入）=0，得矩阵S的特征值为2或8.所以另一个特征值为入=2,x 设矩阵S的另一个特征向量n=,y6x+ 2y x 6x+ 2y= 2x,则Sn= = 2 ，即得2x+ y = 0,4x+ 4y y 4x+ 4y= 2y.所以矩阵S的另一个特征值对应的另一个特征向量n的坐标之间的关系是2x+y=0.题52，—1．答案：x' a 1 x x' = ax＋y详= 得代入x'—y'—2= 0 得a= 2，b=—1 y' 0 b y y' = by。
北师大版高中数学选修4-2矩阵变换的性质同步练习.docx
矩阵变换的性质 同步练习一,选择题 1, 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点 2,以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10j 的 变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛228二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(βαM .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 .6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 . 三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5） （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7） （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7） （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换O xyB(1,1) C(0,1)A(1,0)参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换.8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。
高考数学 试题汇编 第二节 矩阵与变换(选修4-2) 理(含解析)
第二节 矩阵与变换(选修42)矩阵的线性变换与矩阵的乘法1.(2011年江苏卷,21B)已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,向量β=.求向量α,使得A 2α=β. 解:A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423, 设α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y a , 由A 2α=β,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 3423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21, 从而解得,所以α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-. 2.(2010年福建卷,理21)已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02,且MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202. (1)求实数a,b,c,d 的值; (2)求直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程.解:法一:(1)由MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d b bc ad c 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202 从而解得(2)因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x 上的两点(0,0),(1,3).由(1)M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111, 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,⎥⎦⎤⎢⎣⎡00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22得 点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2). 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.法二:(1)同法一.(2)设直线y=3x 上的任意点(x,y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'), 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x 22 得x'=-2x,y'=2x,所以y'=-x',即点(x',y')必在直线y=-x 上.由(x,y)的任意性可知,直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,以防因颠倒而出错.(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解.逆变换与逆矩阵3.(2012年上海数学,理3,4分)函数f(x)=的值域是 .解析:f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-sin 2x,由于-1≤sin 2x ≤1,所以-≤-2-sin 2x ≤-,即-≤f(x)≤-.答案:[-,-]4.(2012年江苏数学,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341求矩阵A 的特征值. 解:因为A -1A=E,所以A=(A -1)-1. 因为A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341,所以A=(A -1)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232, 于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4. 令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.5.(2012年福建卷,理21(1),7分)设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1.①求实数a,b 的值;②求A 2的逆矩阵.解:①设曲线2x 2+2xy+y 2=1上任意点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是P'(x',y'). 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y bx ax , 得.又点P'(x',y')在x 2+y 2=1上,所以x'2+y'2=1,即a 2x 2+(bx+y)2=1,整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy+y 2=1, 依题意得解得或因为a>0,所以②由①知,A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201,所以|A 2|=1,(A 2)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201.。
3大题型：选修4系列专项强化练(一) 选修4-2：矩阵与变换(理科)
选修4系列专项强化练(一) 选修4－2：矩阵与变换(理科)题型一 常见平面变换1．已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由题意得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －132025 1120. 2．平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋2y ＋1＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23b 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －2＝0，求实数a ，b 的值．解：设坐标(x ，y )在矩阵M 的变换后的坐标为(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax －2y ，y ′＝3x ＋by ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bx ′＋2y ′ab ＋6，y ＝－3x ′＋ay ′ab ＋6，将上述结果代入直线l 的方程得 bx ′＋2y ′ab ＋6＋2(－3x ′＋ay ′)ab ＋6＋1＝0.化简得(b －6)x ′＋(2a ＋2)y ′＋ab ＋6＝0.(*) 于是有b －61＝2a ＋2－1＝ab ＋6－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.当a ＝－1，b ＝6时，代入(*)式得0·x ′＋0·y ′＋0＝0，不符合题意，舍去． 综上所述a ＝1，b ＝2. 3．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (其中a >0，b >0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．解：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1. 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C ′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1，则(ax )24＋(by )2＝1为曲线C的方程．又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1， 因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3. [临门一脚]1．把点A (x ，y )绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α，这个矩阵不能遗忘．2．求点被矩阵变换后的点的坐标或求曲线被矩阵变换后的曲线所用方法是求轨迹中的相关点法．3．求直线在矩阵作用下所得直线方程，可以取两个特殊点求解比较简便． 题型二 矩阵的复合、矩阵的乘法及逆矩阵1．已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：(1)由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋3a ＝3，2b －6＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. (2)由(1)，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1 1－1－5－1 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.2．设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，求B －1.解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，因为(BA )－1＝A －1B －1， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. [临门一脚] 1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，如果ad －bc ≠0，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 存在逆矩阵．2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . 3．逆矩阵求解可以用定义法求解也可以用公式求解，用公式求解时要写出原始公式． 4．若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1，乘法顺序不能颠倒．题型三 特征值和特征向量1．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值． 解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由题意，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2.矩阵M 的另一个特征值为2. 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b －14，A 的两个特征值为λ1＝2，λ2＝3.(1)求a ，b 的值；(2)求属于λ2的一个特征向量α.解：(1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b 1 λ－4＝(λ－a )(λ－4)＋b ＝λ2－(a ＋4)λ＋4a ＋b ＝0，于是λ1＋λ2＝a ＋4，λ1·λ2＝4a ＋b .解得a ＝1，b ＝2. (2)设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y －x ＋4y ＝ 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x 3y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x ，－x ＋4y ＝3y ，解得x ＝y .所以属于λ2的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3. 所以M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. [临门一脚] 1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A的特征多项式．2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .3．特征值和特征向量，可以用定义求解也可以用公式求解． 4．M n β的计算流程要熟悉，这也是求特征值和特征向量的应用．。
2021年高中数学 矩阵与变换(二)课后练习二 新人教版选修4-2
2021年高中数学 矩阵与变换（二）课后练习二 新人教版选修4-2 题1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X ．题2设是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．（1）求直线在作用下的方程；（2）求的特征值与特征向量．题3.已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a 1，对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量．题4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．题5已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线：变为直线，求直线的方程.课后练习详解题1答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤92 －1 5 －1． 详解：由题意得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32 122 1， ∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32 122 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤92 －1 5 －1. 题2答案：（1）；（2）；．详解：（1）．设是所求曲线上的任一点，，所以 所以代入得，，所以所求曲线的方程为．（2）矩阵的特征多项式，所以的特征值为．当时，由，得特征向量；当时，由，得特征向量．题3.答案：特征值为λ1＝－1，λ2＝3；特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11． 详解：由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ 2x ＋2y ＝02x ＋2y ＝0， 得一个非零解⎩⎨⎧ x ＝1y ＝－1，因此，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ 2x －2y ＝0－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎨⎧ x ＝1y ＝1，因此，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 题4.答案：－2或2.详解：由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1 ⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0.由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤0－2，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |， 由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2. 题5答案：．详解：易得,在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，∴，即代入中得,∴直线的方程为33650 8372 荲ff37138 9112 鄒6 24890 613A 愺]30078 757E 畾 J20340 4F74 佴28292 6E84 溄021318 5346 卆。
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研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P10 1.2.3.4
四、简单应用
第 2 页 共 16 页
2.
在切变变换
：
1 2
0 1
作用下，直线
y=2x-1
变为
3.
在
A＝
0.5
2
1
1
作用下，直线
l
变为
y=-2x-3,则直线
l
为
4.在
1 1
0 0
对应的线性边变换作用下，椭圆
x2 2
y2 4
1变为
5.已知平面内矩形区域为 x1 i x2 j （0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线
1 0
0 1
，记为
E2.
第 1 页 共 16 页
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：规定二阶矩阵
A=
a c
b d
，与向量
x y
的乘积为
A
ax cx
by
dy
，即
A
＝
a c
b
d
x y
＝
ax cx
0
1
。求①点
A（1/5,3）在该变换作用下的像；
2
第 3 页 共 16 页
答
案
：
1.
1 0
0 1
2.
1 2
3
2
3 2
1 2
3.
R360o
4.
0
0
a
a
5.
1 0
0
1
6.
y
'
x' x 2x
x.
14.一种线性变换对应的矩阵为
1 1
0 0
。①若点
A
在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电
A
的坐标；②解
释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为 1 0
②圆 x2 y2 1上任意一点 P(x0 , y0 ) 在该变换作用下的像。
性变换对应的矩阵为
6.将椭圆 x2 y2 1绕原点顺时针旋转 45ｏ后得到新的椭圆方程为 34
7.在
1 1
0 0
对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1
变为
8.计算：
①
1 2
3 1
1 0
2 1
；④反射变
2
换：
1 0
0 1
；⑤投影变换：
1 0
0 0
五种变换作用下的新曲线方程。
进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
【练习：P35】 【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ）
A.反射变换
B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
AB
3.求
1 3
在经过切变变换
：A=
1 2
0 1
，及切变变换
：B=
1 0
2 1
两次变换后的像
。
1
4.设压缩变换
：A＝
2
0
0 1
，旋转变换
R90o
：B＝
0 1
1
0
，将两个变换进行复合
R90o
1 5 3 2
,
xo yo 2
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设
x
y
，
是任意一个实数，则
x y
2.平面向量的加法：设
by dy
练习 2：
1.（1）
1 0
2 1
3 1
＝
（2）
1 0
2 1
1 3
＝
1 2. 1
0 2
x
y
1
=
1
，求
x y
三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题
1:P（x,y）绕原点逆时针旋转
4.平面内的一种线性变换使抛物线 y x2 的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1 绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2，若存在一种反 射变换同样可以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
y
7. － 1
8.
1
2
1 2
1 2
1 2
9.（0，5）
10.（2，8）
2
2
11. 2 ， 2
2 2
2 2
12.
7 18
、
19 4
13.ｘ＝2/3
研究：P（x,y）关于 x 轴的反射变换下的象 P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍，（ k1 、 k2 均不为 0），这样的几何变换为伸
缩变换。 试分别研究以下问题： ①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
b1 a2
d1
c2
b2 d2
＝
b2 d2
，则
A
与
B
的乘积
【应用】
1.计算
1 2
-1 1 1 2
0 1
＝
2.A＝
cos sin
c
s in o s
，B＝
cos sin
- s in
c
o
s
，求
②. 将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线 l 上的投影 P’（即垂足），这个变换称为关于直线 l 的投影变换。
研究：P（x,y）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
2
1
对应的线性变换作用下，点
P(2,1)的像的坐标为
1
10.已知点
A（2，－1），B（－2，3），则向量
AB
在矩阵
2
2
1 对应的线性变换下得到的向量坐标为 0
11.向量
a
在矩阵
A
1 0
2
1
的作用下变为与向量
1 1
平行的单位向量，则
a
6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7.
设
A
1 2x 1
x y
，
B
x2
z
4
x2 2
，且
A=B.则
x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵
A
1 2
＝
12.已知 A 5 3
1
2
4
，
a
＝
1
2
，
b
＝
3 4
，设
a
b
，
a
b
，①求
A
，
A
；
13.已知
A
1 1
0 2
，
a
＝
1 1
，
b
＝
x 1
，若
A
a
与
A
b
的夹角为
135o，求
怎么算出来的？
问题 2. P（x,y）绕原点逆时针旋转 30o 得到 P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象 P’； ②写出这个旋转变换的 方程组形式；③写出矩阵形式.
30o
问题 3.把问题 2 中的旋转 30o 改为旋转 角，其结果又如何？
2.反射变换
定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线 l 的对称点 P’的线性变换叫做关于直线 l 的反射。
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵