选修 矩阵与变换知识点

ξ
，
则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值，ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．
（2）一般地，设ξ 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量，则对任意的非零常数 k ，
k ξ 也矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量．
（3）一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
（4
）设矩阵
A=
= 0．
cd
注 ： 利 用矩阵 知识 解二 元一 次方 程组 的一 般步骤 是（ 先将 二元 一次 方程 组化 为
⎧ax + by ⎨⎩cx + dy
= =
e f
的 形式 ，其 次 判断 系数 矩 形
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是 否可 逆， 若 可逆 则求
|
A|
， 代入
⎧ ⎪⎪
x
=
de |
− bf A|
（2）二阶矩阵
⎡0 ⎢⎣0
0⎤
0
⎥ ⎦
称为零矩阵，简记为
0，矩阵
⎡1 ⎢⎣0
0⎤
1
⎥ ⎦
称为二阶单位矩阵，记作
E．
（3）对于两个二阶矩阵 A，B，如果它们的对应元素分别相等，则称矩阵 A 与矩阵 B
相等，记作
A=B，设
A=
⎡a1
⎢ ⎣
c1
b1 d1
⎤ ⎥ ⎦
，B=
⎡a2
⎢ ⎣
c2
b2 d2
⎤ ⎥ ，若 ⎦
⎡cos a − sin a⎤
⎢⎣sin a
cos a
⎥ ⎦
⎪⎧x ' = x cos a − y s9;
=
x sin
a
+
y cos
a
2．反射变换
（1）关于 X 轴对称
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ − 1⎥⎦
⎪⎧x ' = x
⎨ ⎪⎩
y
'
=
−y
（2）关于 Y 轴对称
⎡− 1 0⎤ ⎪⎧x ' = −x
A=B，则
a1
=
a2 , b1
=
b2 , c1
=
c2 , d1
=
d2
．
2．线性变换的相关概念
（1）我们把形如
⎧ ⎨ ⎩
x′ y′
= =
ax cx
+ +
by dy
(∗)
的几何变换叫做线性变换，
(∗)
式叫做这个线性变换
的坐标变换公式， P′(x′, y ′) 是 P( x, y) 在这个线性变换作用下的像．
选修 4-2 矩阵与变换知识点
一、线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念
（1）由
4
个数
a,b,c,d
排成的正方形数表
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥称为二阶矩阵，数 ⎦
a,b,c,d
称为矩阵的
元素．在二阶矩阵中，横 的叫行，从上到下依次称为矩阵的 第一行、第二行 ;竖的叫列，从
左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母 A，B，C，…表示．
⎨ ⎪
y
=
−ce
+
af
求解;若 A 不可逆，当
a c
=
b d
=
e f
时，方程组有无数个解，当
a c
b =
d
≠
e f
时，
⎪⎩
|A|
方程组无解．）
三、变换的不变量与矩阵的特征向量
1．矩阵特征值、特征向量的相关概念
（ 1）定义
设矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
，如果存
在实数
λ
以及非零向量ξ
，使得
Aξ
=λ
detA=ad-bc≠0,当矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆 ⎦
⎡d
时，A-1=
⎢ ⎢
det
A
⎢ −c
⎢⎣ det A
−b ⎤
det
A
⎥ ⎥．
a⎥
det A ⎥⎦
6．逆矩阵与二元一次方程
（1 ）定理
如果关于变量
x,y
的二元一次方程组（线性方程组）
⎧ax + ⎨⎩cx +
by dy
= =
e f
的系数矩
⎡k1 ⎢⎣0
0⎤
k
2
⎥ ⎦
⎪⎧x '
⎨ ⎪⎩
y
'
= =
k1x k2y
4．投影变换 （1）关于 X 轴正投影
⎡0 1⎤ ⎪⎧x ' = x
⎢⎣0
0⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
0
（2）关于 Y 轴正投影
⎡0 0⎤ ⎪⎧x ' = 0
⎢⎣0
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
5．切变变换
（1）沿
X
轴平行方向移
ky
个单位
⎡1 ⎢⎣0
阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆时，那么该方程组有唯一解 ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a ⎢⎣c
b d
−1
⎤ ⎥ ⎦
⎡e
⎢ ⎣
f
⎤ ⎥
．
⎦
（ 2）推论
关于变量
x,y
的二元一次方程
组
⎧ ⎨ ⎩
ax cx
+ +
by dy
= =
0 0
，其中
a,b,c,d
是不全为零的
ab
常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式
令 f (λ)=0，求出矩阵 A 的特征值 ξ1，ξ2 ;（3）分别就 ξ1，ξ2 列出相应的二元一次方程组， 求出对应的特征向量ξ1，ξ2 ．
3．逆变换与逆矩阵
（1）一般地，设 ρ 是一个线性变换，如果存在线性变换 σ ，使得 σ ρ = ρ ， σ = I ，
则称变换 ρ 可逆，并且称σ 是 ρ 的逆变换．
（2）一般地，设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BA=AB=E，则称矩 阵 A 可逆，并且称 B 是 A 的逆矩阵．
（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．
（3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换 σ 、 ρ ，如果对平面内任意一点 P，都
有σ （P）= ρ （P），则称这个两个线性变换相等，简记为σ = ρ ，设 σ ， ρ 所对应的二阶
矩阵分别为 A，B，则 A=B．
注：1．旋转变换
⎢⎣0
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩ y ' = y
（3）关于 Y=X 对称
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
⎪⎧x ' = x
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
3．伸缩变换 （1） 纵轴伸缩
⎡1 0⎤ ⎪⎧x ' = x
⎢⎣0
k
⎥ ⎦
⎨ ⎪⎩ y ' = ky
（2）横轴伸缩
⎡k 0⎤ ⎪⎧x ' = kx
⎢⎣0
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
（3）横纵均伸缩
⎡ax + by⎤
⎢⎣cx
+
dy
⎥ ⎦
．
4．线性变换的基本性质
设 A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，
（1）性质 1 ①A(λα)=λAα ②A(α+β)=Aα+Aβ
（2）定理 1 A(λ1α + λ2 β ) = λ1 Aα + λ2 Aβ
（3）定理 2 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）． 二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵
对直角坐标系 xOy 内任意向量α，有 A（Bα）=（AB）α．
2．矩阵乘法的性质 （1）结合律 设 A，B，C 是任意的三个二阶矩阵，则 A（BC）=（AB）C．
（2）二阶矩阵 A 的方幂的性质 A0 = E2 , Ak Al = Ak+l , ( Ak )l = Akl (k, l ∈ N).
k ⎤ ⎪⎧x ' = x + ky
1
⎥ ⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
y
（2）沿
Y
轴平行方向移
kx
个单位
⎡1 ⎢⎣k
0⎤ ⎪⎧x' = x
1⎥⎦
⎨ ⎪⎩
y
'
=
kx+
y
3．二阶矩阵与平面向量的乘法
设
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
，α=
⎡ ⎢ ⎣
x y
⎤ ⎥ ⎦
，则
Aα=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥= ⎦
4．逆矩阵的性质 （1）性质 1 设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的． （2）性质 2 设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且（AB）-1=B-1A-1． 5．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是可逆的，当且仅当
特 征 值 λ1，λ2 的 特 征 向 量 ， 对 于 任 意 的 非 零 平 面 向 量 α ， 设
α = t1ξ1 + t2ξ2 (其中t1，t2这实数) ，则对任意的正整数 n，有 Anα = t1λ1nξ1 + t2 λ2nξ2 .